Geometrische Bedeutung der Ableitung. Vortrag zum Thema „Geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion“ Vortrag zum Thema Geometrische Bedeutung der Ableitung

Zusammenfassung andere Präsentationen

„Trigonometrische Formeln“ – Cos x. Cos. Formeln zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt. Sin (x+y). Formeln mit doppeltem Argument. Umrechnungsformeln Prod. in der Anzahl. Additionsformeln. Trigonometrie. Tg. Sünde x. Verhältnis zwischen f-s. F-ly halbes Argument. Trigonometrische Gleichungen.

„Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes“ – Flächen krummliniger Trapeze. Formeln zur Flächenberechnung. Welche Figur wird als gebogenes Trapez bezeichnet? Wiederholung der Theorie. Fläche eines gebogenen Trapezes. Finden Sie die Stammfunktion der Funktion. Welche der Figuren sind krummlinige Trapeze? Lösung. Vorlagen für Funktionsdiagramme. Vorbereitung auf Prüfungen. Eine Figur, die kein gebogenes Trapez ist.

„Bestimmen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist“ – Ungerade Funktionen. Ist nicht einmal. Funktion. Graph einer ungeraden Funktion. Ist die Funktion gerade? Spalte. Graph einer geraden Funktion. Sogar Funktionen. Die Funktion ist seltsam. Symmetrie um die Achse. Beispiel. Ist die Funktion seltsam? Ist nicht seltsam. Gerade und ungerade Funktionen.

„Logarithmen und ihre Eigenschaften“ – Eigenschaften von Graden. Logarithmentabellen. Eigenschaften von Logarithmen. Die Geschichte der Logarithmen. Sehen Sie sich die Definition des Logarithmus an. Berechnung. Anwendung des untersuchten Materials. Hör zu. Definition von Logarithmus. Entdeckung der Logarithmen. Finden Sie die zweite Hälfte der Formel.

„„Logarithmische Ungleichungen“ 11. Klasse“ – Anwendung des Satzes. log26 … log210 log0,36 … log0,310. Definition. > ,T.K. 6<10 и функция у=log0,3x - убывающая. Повторить свойства логарифмической функции. График какой функции изображен на рисунке? Сравните числа: Логарифмические неравенства. < , Т.К. 6<10 и функция у=log2x - возрастающая. Найдите область определения функции: Если а>1, dann logà f(x)>logà g(x)? Wenn 0<а<1, то logа f(x)>loga g(x) ?.

„Viele Stammfunktionen“ – Stammfunktion. Wählen Sie eine Stammfunktion für die Funktionen. Ermittlung des Wissensstandes. Lösung einer neuen Art von Aufgabe. Frontalvermessung. Fortschritt überprüfen. Ausgangskontrolle. Pädagogische selbstständige Arbeit. Das Konzept der Integration. Gesamtansicht der Primitiven. Formeln. Evaluierungssystem.

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Früher oder später findet jede richtige mathematische Idee in der einen oder anderen Sache Anwendung. A. N. Krylow

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Der Zweck der Lektion

1) Finden Sie heraus, was die geometrische Bedeutung der Ableitung ist, leiten Sie Gleichungen für die Tangente an den Graphen der Funktion ab. 2) Entwickeln Sie OUUN der geistigen Aktivität: Analyse, Verallgemeinerung und Systematisierung, logisches Denken, bewusste Wahrnehmung von Lehrmaterial. 3) Entwickeln Sie die Fähigkeit, Ihren Wissensstand einzuschätzen und den Wunsch, ihn zu verbessern, fördern die Entwicklung des Bedarfs an Selbstbildung. Förderung von Verantwortung und Kollektivismus.

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Vokabeln im Unterricht

Ableitung, lineare Funktion, Winkelkoeffizient, Kontinuität, Winkeltangenten (spitz, stumpf).

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Bilden Sie ein Paar: Jeder Schüler arbeitet 3 Minuten lang unabhängig, 2 Minuten lang zu zweit. Besprechen Sie die Ergebnisse und notieren Sie die Antworten auf der Karte. (Karte Nr. 1 verbleibt zur Selbstkontrolle beim Schüler, Karte Nr. 2 muss dem Lehrer ausgehändigt werden)

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Antwort.

Bilden Sie ein Paar

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Definition

Eine mit der Formel y=khx+b definierte Funktion heißt linear. Die Zahl k=tg wird Steigung der Geraden genannt.

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y x -1 0 1 2 y=кх+b

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y x -1 0 1 2 y=кх+b

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y x 0 y=yₒ+к(х-xₒ)   x-xₒ y-yₒ xₒ x Mₒ(xₒ;yₒ) M(x;y) A(x;yₒ)

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Gleichung einer Geraden mit Steigung k, die durch den Punkt (x0;y0) geht y=y0+k(x-x0) Gleichung einer Geraden mit Steigung k, die durch den Punkt (x0;y0) geht y=y0+k( x-x0) (1) Winkelkoeffizient der Geraden, die durch die Punkte (x1;y1) und (x0;y0) verläuft (2)

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y x -1 0 1 2 Finden Sie die Steigung der Geraden y=кх+b

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Definition

Die Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) ist die Grenzposition der Sekante. Zeichnung

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Tangentensekante

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Praktische Forschungsarbeit Geometrische Bedeutung der Ableitung

Ziel: Bestimmen Sie anhand von Daten aus der praktischen Arbeit die geometrische Bedeutung der Ableitung. Ausrüstung: Lineale, Winkelmesser, Mikrorechner, Millimeterpapier mit aufgezeichnetem Diagramm

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Übung

1. Konstruieren Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion ... am Punkt mit der Abszisse xₒ=2. 2. Messen Sie den Winkel, den die Tangente und die positive Richtung der oX-Achse bilden. 3. Schreiben Sie =…. 4. Berechnen Sie tg=… mit einem Mikrorechner. 5. Berechnen Sie f´(xₒ), finden Sie dazu f´(x) 6. Schreiben Sie: f´(x)=…. ; f´(xₒ)=…. 7. Wählen Sie zwei Punkte im Tangentendiagramm aus und notieren Sie ihre Koordinaten. 8. Berechnen Sie die Steigung der Geraden k mit Formel 9. Tragen Sie die Berechnungsergebnisse in die Tabelle ein

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Geometrische Bedeutung der Ableitung

Der Wert der Ableitung der Funktion y=f(x) am Punkt x0 ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) am Punkt (x0;f(x0))

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Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

1. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie mit Steigung k auf, die durch Punkt 2 verläuft. Ersetzen Sie k durch und y=y0+k(x-x0)

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Folienunterschriften:

Geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangentengleichung. f(x)

Finden Sie mithilfe von Formeln und Differenzierungsregeln die Ableitungen der folgenden Funktionen:

1 . Was ist die geometrische Bedeutung einer Ableitung? 2. Ist es möglich, an jedem Punkt des Diagramms eine Tangente zu zeichnen? Welche Funktion heißt an einem Punkt differenzierbar? 3. Die Tangente ist in einem stumpfen Winkel zur positiven Richtung der Ox-Achse geneigt. Was lässt sich über das Vorzeichen der Ableitung und die Art der Monotonie der Funktion sagen? 4 . Die Tangente ist in einem spitzen Winkel zur positiven Richtung der Ox-Achse geneigt. Was lässt sich über das Vorzeichen der Ableitung und die Art der Monotonie der Funktion sagen? 5 . Die Tangente ist im rechten Winkel zur positiven Richtung der Ox-Achse geneigt. Was können Sie zum Derivat sagen?

für differenzierbare Funktionen: 0 ° ≤ α ≤ 180 °, α ≠ 90 ° α - stumpf tg α 0 f ´(x 1) >0 Position der Tangente ist nicht definiert tg α Substantiv. f ´(x 3) kein Substantiv. α = 0 tan α =0 f ´(x 2) = 0

y = f / (x 0) · (x - x 0) + f(x 0) (x 0 ; f(x 0)) – Koordinaten des Tangentenpunktes f ´ (x 0) = tan α = k – Tangente des Neigungswinkels der Tangente an einem bestimmten Punkt oder einer bestimmten Steigung (x;y) – Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Tangente. Gleichung der Tangente

Nr. 1. Finden Sie den Winkelkoeffizienten der Tangente an die Kurve am Punkt mit der Abszisse x 0 = - 2. Aufgabe B8 FBTZ Unified State Exam

Nr. 2. Geben Sie den Wert des Koeffizienten k an, bei dem die Graphen der linearen Funktionen y = 8x+12 und y = k x – 3 parallel sind. Antwort: 8. Aufgabe B8 FBTZ Einheitliches Staatsexamen

0 Y X 1 -1 1 -1 Nr.3. Die Funktion y = f (x) ist auf dem Intervall (-7; 7) definiert. Die folgende Abbildung zeigt eine Grafik seiner Ableitung. Bestimmen Sie die Anzahl der Tangenten an den Graphen der Funktion y = f (x), die parallel zur Abszissenachse verlaufen. Antwort: 3. Aufgabe B8 FBTZ Einheitliches Staatsexamen

Nummer 4. Die Abbildung zeigt eine Gerade, die den Graphen der Funktion y = p (x) im Punkt (x 0; p (x 0)) tangiert. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0. Antwort: -0,5. Aufgabe B8 FBTZ Einheitliches Staatsexamen

0 Y X 1 -1 1 -1 Nr. 5. Alle zur Geraden y=2x+5 parallelen oder mit ihr zusammenfallenden Tangenten wurden in den Graphen der Funktion f(x) eingezeichnet. Geben Sie die Anzahl der Berührungspunkte an. Antwort: 4. Aufgabe B8 FBTZ Einheitliches Staatsexamen

Schreiben Sie Gleichungen für die Tangenten an den Funktionsgraphen an den Schnittpunkten mit der x-Achse. Selbstständige Arbeit

Nachname, Vorname Testen Kreative Aufgabe Lektion +,-, :), :(, : |

1 Gruppe Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung? Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte die auf dem Intervall (a; b) definierte Funktion y = f (x) haben, damit ihr Graph am Punkt mit der Abszisse x 0 Є (a; b) eine Tangente hat? Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung? Nr. 4. Erstellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) =0,5 -4, wenn die Tangente mit der positiven Richtung der Abszissenachse einen Winkel von 45 Grad bildet.

2 Gruppe Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung? Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte die auf dem Intervall (a; b) definierte Funktion y = f (x) haben, damit ihr Graph am Punkt mit der Abszisse x 0 Є (a; b) eine Tangente hat? Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung? Nr. 4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = parallel zur Geraden y = 9 x – 7.

3 Gruppe Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung? Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte die auf dem Intervall (a; b) definierte Funktion y = f (x) haben, damit ihr Graph am Punkt mit der Abszisse x 0 Є (a; b) eine Tangente hat? Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung? Nr. 4. Die durch den Ursprung verlaufende Gerade berührt den Graphen der Funktion y = f (x) im Punkt A (-7;14). Finde es.

4 Gruppe Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung? Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte die auf dem Intervall (a; b) definierte Funktion y = f (x) haben, damit ihr Graph am Punkt mit der Abszisse x 0 Є (a; b) eine Tangente hat? Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung? Nr. 4. Die Gerade y=-4x-11 tangiert den Graphen der Funktion. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Vorschau:

Unterrichtsskript
in Algebra und Elementaranalyse in der 10. Klasse.

Thema: „Geometrische Bedeutung von Derivaten. Tangentengleichung"

Ziele: 1) die Bildung eines Systems mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten zum Thema „Tangentengleichung“ fortzusetzen, das für die Anwendung in erforderlich ist praktische Tätigkeiten, Studium verwandter Disziplinen, Weiterbildung;

2) Computer- und Multimediakenntnisse entwickeln Lehrpläne um Ihre eigene kognitive Aktivität zu organisieren;

3) logisches Denken, algorithmische Kultur und kritisches Denken entwickeln;

4) Toleranz und Kommunikation pflegen.

Während des Unterrichts.

1. Zeit organisieren.
2. Das Thema melden, Unterrichtsziele festlegen.
3. Hausaufgaben überprüfen.

1. Aufgaben Basislevel(gescannte Arbeit)
2. Die Studierenden lösten frei wählbar Aufgaben mit praktischem Inhalt und erhöhtem Komplexitätsgrad. Einer der Studierenden stellt seine Lösung in Form eines Multimedia-Projekts vor: „Es entsteht eine Parabolbrücke, die die Punkte A und B verbindet, deren Abstand 200 m beträgt. Der Ein- und Ausgang der Brücke sollte gerade Abschnitte sein.“ Auf dem Weg sind diese Abschnitte in einem Winkel von 150 zum Horizont gerichtet. Die angezeigten Linien müssen tangential zur Parabel sein. Erstellen Sie eine Gleichung für das Brückenprofil in einem bestimmten Koordinatensystem.

1. Grundkenntnisse aktualisieren.

1. Unterscheiden Sie die Funktionen:

• ()
• y=4()
• y=7x+4()
• y=tan x+ ()
• y=x 3 sin x ()
• y=()

1. Beantworten Sie die Fragen:

• Was ist die geometrische Bedeutung einer Ableitung?
• Ist es möglich, an jedem Punkt des Diagramms eine Tangente zu zeichnen? Welche Funktion heißt an einem Punkt differenzierbar?
• Die Tangente ist in einem stumpfen Winkel zur positiven Richtung der Ox-Achse geneigt. Was lässt sich über das Vorzeichen der Ableitung und die Art der Monotonie der Funktion sagen?
• Die Tangente ist in einem spitzen Winkel zur positiven Richtung der Ox-Achse geneigt. Was lässt sich über das Vorzeichen der Ableitung und die Art der Monotonie der Funktion sagen?
• Die Tangente ist im rechten Winkel zur positiven Richtung der OX-Achse geneigt. Was lässt sich über das Vorzeichen der Ableitung und die Art der Monotonie der Funktion sagen?
• Wie sollte der Graph einer an einem Punkt differenzierbaren Funktion aussehen?

1. Welche Form hat die Tangentengleichung? Erklären Sie, dass in dieser Gleichung (x 0 ; f(x 0)), f ’ (x 0), (x;y)
2. Finden Sie die Steigung der Tangente an die Kurve y=2x 2 +x am Abszissenpunkt x 0 =-2 (-7).
3. Geben Sie den Wert des Koeffizienten k an, bei dem die Graphen der linearen Funktionen y = 8х+12 und y = khх – 3 parallel sind. (8)
4. Die Funktion y = f(x) ist auf dem Intervall (-7; 7) definiert. Die folgende Abbildung zeigt eine Grafik seiner Ableitung. Bestimmen Sie die Anzahl der Tangenten an den Graphen der Funktion y = f(x), die parallel zur Abszissenachse verlaufen. (3)
5. Die Abbildung zeigt eine Gerade, die den Graphen der Funktion y = p(x) im Punkt (x) tangiert 0 ; p(x 0 )). Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0 . (-0,5)
6. Alle zur Geraden y=2x+5 parallelen oder mit ihr zusammenfallenden Tangenten wurden in den Graphen der Funktion f(x) eingezeichnet. Geben Sie die Anzahl der Berührungspunkte an. (4)

1. Selbstständiges Arbeiten mit Stichprobenprüfung (ein Student erledigt die Aufgabe an der Tafel). Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion f (x) = 4 – x 2 an den Schnittpunkten mit der Abszissenachse. (y=-+4x+8). Demonstration der Illustration.
2. Arbeiten Sie in kreativen Gruppen von 5-6 Personen.

1. Nehmen Sie abwechselnd an Computertests teil (zusätzliche Tests für Lektion 5, Versionen 1 und 2 „Algebra-Lektionen von Cyril und Methodius“). Die Ergebnisse werden in das Diagnosediagramm eingetragen.
2. Führen Sie die folgenden Aufgaben in Ihren Notizbüchern aus:

1 Gruppe

y = f (x ), angegeben im Intervall ( A; B ), so dass am Abszissenpunkt x 0 Є (a; b

Nr. 4. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen f(x) =0,5 x 2 -4, wenn die Tangente mit der x-Achse einen Winkel von 45° bildet 0 .

2. Gruppe

Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung?

Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte eine Funktion haben? y = f (x ), angegeben im Intervall ( A; B ), so dass am Abszissenpunkt x 0 Є (a; b ) Hatte ihr Graph eine Tangente?

Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung?

№ 4. Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen f(x) = x3 /3 parallel zur Linie y = 9 x – 7.

3 Gruppe

Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung?

Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte eine Funktion haben? y = f (x ), angegeben im Intervall ( A; B ), so dass am Abszissenpunkt x 0 Є (a; b ) Hatte ihr Graph eine Tangente?

Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung?

Nr. 4. Eine durch den Ursprung verlaufende Gerade berührt den Graphen der Funktion
y = f (x) am Punkt A (-7;14). Finden . (Aufgabe von KIM zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen)

4 Gruppe

Nr. 1. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung?

Nr. 2. Welche Eigenschaften sollte eine Funktion haben? y = f (x ), angegeben im Intervall ( A; B ), so dass am Abszissenpunkt x 0 Є (a; b ) Hatte ihr Graph eine Tangente?

Nr. 3. Welche Form hat die Tangentengleichung?

Nr. 4. Die Gerade y=-4x-11 tangiert den Graphen der Funktion f(x)=x 3 +7x 2 +7x-6. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts. (Aufgabe von KIM zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen)

Einer aus der Gruppe erstellt einen Bericht über die an der Tafel geleistete Arbeit. Es wird vom Lehrer oder der Gruppe ausgewählt. Die Diagnosekarte enthält die Note des Befragten und die Selbsteinschätzung jedes Gruppenmitglieds.

1. Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung.
2. Die Hausaufgabe besteht aus Übungen B8 FBTZ FIPI.

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

Glukhovskaya-Sekundarschule

Abstrakt offene Lektion in der Algebra

zum Thema:

„Die Ableitung und ihre geometrische Bedeutung. Ableitung im Einheitlichen Staatsexamen“

Mathematik- und Informatiklehrer

Dikalow Dmitri Gennadijewitsch

2015

Zusammenfassung der Lektion zum Thema: Ableitung und ihre geometrische Bedeutung

Lernziele:

Lehrreich:

• Überprüfen Sie die Grundkonzepte des Abschnitts „Derivate“.
• Bringen Sie den Schülern bei, wie sie Probleme zum Thema „Ableitung“ aus den Optionen des Einheitlichen Staatsexamens schnell lösen können

Lehrreich:

• Entwicklung des kognitiven Interesses, des logischen Denkens, der Entwicklung des Gedächtnisses, der Aufmerksamkeit.
• Interesse an der Struktur von Computernetzwerken wecken.

Lehrreich:

• eine gewissenhafte Einstellung zur Arbeit und Initiative pflegen;
• Disziplin und Organisation vermitteln

Unterrichtsart:

• Lektion der Wiederholung und Festigung des Wissens

Unterrichtsaufbau:

• Zeit organisieren;
• Aktualisierung des Hintergrundwissens
• Probleme lösen
• Hausaufgaben

Ausrüstung : Präsentationsprogramm Microsoft Office PowerPoint, Präsentation, Computer, Multimedia-Projektor, interaktives Whiteboard.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment (1 Min.)
2. Wissen aktualisieren (5 Min.)
3. Problemlösung (34 Min.)
4. Zusammenfassung der Lektion (4 Min.)
5. Hausaufgabe (1 Minute)

Während des Unterrichts:

I. Organisatorischer Moment

Der Lehrer begrüßt, stellt das Thema, die Ziele und den Fortschritt des Unterrichts vor.

II. Wissen aktualisieren

1. 1. Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung?
2. Wie werden die Intervalle steigender (abfallender) Funktionen ermittelt?
3. Was ist der Algorithmus zum Finden von Extrempunkten?
4. Wie unterscheiden sich stationäre Punkte von Extrempunkten?

III. Probleme lösen.

Lösen von Problemen beim Finden der Ableitung an einem Punkt, beim Finden von Intervallen mit steigender und fallender Tendenz, beim Finden von Punkten, bei denen die Ableitung = 0 ist, beim Finden des größten und kleinsten Wertes einer Funktion.

Die Schüler lösen diese Aufgaben mithilfe eines interaktiven Whiteboards; jedes Problem wird auf einer separaten Folie dargestellt.

Die Schüler diskutieren die Nuancen der Problemlösung, während sie sich durch die Folien bewegen.

Den Studierenden werden folgende Aufgaben zur selbstständigen Lösung angeboten.

IV. Zusammenfassung der Lektion.

Um die Lektion zusammenzufassen, werden 1-2 Schüler an die Tafel gerufen, um Probleme aus dem Lehrbuch Nr. 956 (1,2) zu lösen: Finden Sie die Intervalle der steigenden und fallenden Funktion y = 2x 3 +3x 2 -2

Schülerlösung:

Um die Anstiegs- und Abfallintervalle einer Funktion zu ermitteln, ermitteln wir ihre Ableitung:

y`=6x 2 +6x

Um stationäre Punkte zu finden, setzen wir die Ableitung mit 0 gleich und lösen diese Gleichung. Wir erhalten die Punkte x=0 und x=-1. Finden wir unter diesen Punkten die Extrempunkte. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in jedem der drei Intervalle. Im Intervall x0 ist die Ableitung positiv, was bedeutet, dass die Funktion in diesen Intervallen zunimmt. Auf der Pause

1

Der Schüler schreibt die Antwort auf.

V. Hausaufgaben

Nr. 957, Nr. 956 (noch zu ergänzen)

Vergabe von Noten an Schüler, die aktiv am Unterricht teilgenommen haben.