პრობლემის ფორმულირება.Შესასვლელთან ნ-არხი QS იღებს მოთხოვნების უმარტივეს ნაკადს λ სიმკვრივით. თითოეული არხის უმარტივესი სერვისის ნაკადის სიმკვრივე უდრის μ. თუ სერვისზე მიღებული მოთხოვნა ყველა არხს თავისუფლად თვლის, მაშინ ის მიიღება სერვისზე და ერთდროულად ემსახურება. ლ არხები ( ლ < ნ). ამ შემთხვევაში, ერთი მოთხოვნის მომსახურების ნაკადს ექნება ინტენსივობა ლ.
თუ სერვისზე მიღებული მოთხოვნა აღმოაჩენს სისტემაში ერთ მოთხოვნას, მაშინ ნ ≥ 2ლახლად ჩამოსული განაცხადი მიიღება მომსახურებაზე და მოემსახურება ერთდროულად ლარხები.
თუ სერვისზე მიღებული განცხადება სისტემაში აღმოჩნდება მეაპლიკაციები ( მე= 0,1, ...), ხოლო ( მე+ 1)ლ≤ ნ, შემდეგ მიღებულ მოთხოვნას მოემსახურება ლარხები მთლიანი სიმძლავრით ლ. თუ ახლად მიღებული აპლიკაცია აღმოაჩენს სისტემაში ჯმოთხოვნები და ორი უტოლობა ერთდროულად დაკმაყოფილებულია: ( ჯ + 1)ლ > ნდა ჯ < ნ, მაშინ განაცხადი მიიღება მომსახურებისთვის. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია ზოგიერთი განაცხადის მიღება ლარხები, მეორე ნაწილი უფრო მცირეა ვიდრე ლ, არხების რაოდენობა, მაგრამ ყველა ნარხები, რომლებიც შემთხვევით ნაწილდება აპლიკაციებს შორის. თუ სისტემაში აღმოჩნდება ახლად მიღებული განცხადება ნგანაცხადები, იგი უარყოფილია და არ იქნება მოწოდებული. სერვისი განხორციელებული აპლიკაცია ემსახურება ბოლომდე (აპლიკაციები არის „პაციენტი“).
ასეთი სისტემის მდგომარეობის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 3.8.
ბრინჯი. 3.8. QS მდგომარეობის გრაფიკი წარუმატებლობებით და ნაწილობრივ
არხებს შორის ურთიერთდახმარება
გაითვალისწინეთ, რომ სისტემის მდგომარეობის გრაფიკი მდგომარეობამდე x თემთხვევა კლასიკური რიგის სისტემის მდგომარეობის გრაფიკს მარცხებით, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 2-ში, ნაკადის პარამეტრების აღნიშვნამდე. 3.6.
შესაბამისად,
(მე
= 0, 1, ..., თ).
სისტემის მდგომარეობების გრაფიკი, დაწყებული მდგომარეობიდან x თდა დამთავრებული სახელმწიფოთი x ნ, ნოტაციამდე ემთხვევა QS-ის მდგომარეობის გრაფიკს სრული ურთიერთდახმარებით, ნაჩვენები ნახ. 3.7. Ამგვარად,
.
ჩვენ შემოგთავაზებთ აღნიშვნას λ / ლμ = ρ ლ ; λ / ნμ = χ, მაშინ
ნორმალიზებული მდგომარეობის გათვალისწინებით ვიღებთ
შემდგომი აღნიშვნის შესამცირებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ აღნიშვნას
იპოვნეთ სისტემის მახასიათებლები.
განაცხადის სერვისის ალბათობა
განაცხადების საშუალო რაოდენობა სისტემაში,
საშუალო დაკავებული არხები
.
ალბათობა იმისა, რომ კონკრეტული არხი დაკავებული იქნება
.
სისტემის ყველა არხის დაკავების ალბათობა
3.4.4. რიგის სისტემები წარუმატებლობებით და არაერთგვაროვანი ნაკადებით
პრობლემის ფორმულირება.Შესასვლელთან ნ-არხი QS იღებს არაჰომოგენურ ელემენტარულ ნაკადს λ Σ მთლიანი ინტენსივობით და
λ Σ
=
,
სადაც ლ მე- განაცხადების ინტენსივობა მე-მ წყარო.
ვინაიდან მოთხოვნების ნაკადი განიხილება, როგორც მოთხოვნების სუპერპოზიცია სხვადასხვა წყაროდან, კომბინირებული ნაკადი საკმარისი სიზუსტით პრაქტიკისთვის შეიძლება ჩაითვალოს პუასონისთვის. ნ = 5...20 და λ მე ≈ λ მე +1 (მე1,ნ). ერთი მოწყობილობის მომსახურების ინტენსივობა ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით და უდრის μ = 1/ ტ. აპლიკაციის მომსახურე მოწყობილობები დაკავშირებულია სერიებში, რაც უდრის სერვისის დროის გაზრდის იმდენჯერ, რამდენჯერაც გაერთიანებულია მომსახურებისთვის:
ტობს = კტ, μ obs = 1 / კტ = μ/ კ,
სადაც ტ obs – მოითხოვეთ მომსახურების დრო; კ- მომსახურების მოწყობილობების რაოდენობა; μ obs - აპლიკაციის სერვისის ინტენსივობა.
მე-2 თავში მოცემული დაშვებების ფარგლებში ჩვენ წარმოვადგენთ QS მდგომარეობას ვექტორის სახით, სადაც კ მარის სისტემაში მოთხოვნის რაოდენობა, რომელთაგან თითოეული ემსახურება მტექნიკა; ლ = ქმაქს- ქ min +1 არის შეყვანის ნაკადების რაოდენობა.
შემდეგ დაკავებული და თავისუფალი მოწყობილობების რაოდენობა ( ნზან ( 
),ნ sv ( 
)) შეუძლია 
განისაზღვრება შემდეგნაირად:
სახელმწიფოს გარეთ 
სისტემა შეიძლება გადავიდეს ნებისმიერ სხვა სახელმწიფოში 
. ვინაიდან სისტემას აქვს ლშეყვანის ნაკადები, მაშინ თითოეული მდგომარეობიდან ეს პოტენციურად შესაძლებელია ლპირდაპირი გადასვლები. თუმცა, სისტემის შეზღუდული რესურსების გამო, ყველა ეს გადასვლა არ არის შესაძლებელი. დაე, QS იყოს სახელმწიფოში 
და ჩამოდის განაცხადი, რომელიც მოითხოვს მტექნიკა. Თუ მ≤ ნ sv ( 
), შემდეგ მიიღება მოთხოვნა სერვისზე და სისტემა გადადის λ ინტენსივობით მდგომარეობაში მ. თუ აპლიკაცია მოითხოვს უფრო მეტ მოწყობილობას, ვიდრე უფასოა, მაშინ ის მიიღებს სერვისზე უარის თქმას და QS დარჩება მდგომარეობაში 
. თუ შეუძლია 
არის განაცხადები, რომელიც მოითხოვს მმოწყობილობები, შემდეგ თითოეულ მათგანს ემსახურება ინტენსივობით მდა ასეთი მოთხოვნების მომსახურების მთლიანი ინტენსივობა (μ მ) განისაზღვრება როგორც μ მ
= კ მ μ
/ მ. როდესაც ერთ-ერთი მოთხოვნის სერვისი დასრულდება, სისტემა გადავა ისეთ მდგომარეობაში, რომელშიც შესაბამის კოორდინატს აქვს მნიშვნელობა ერთით ნაკლები, ვიდრე მდგომარეობაში. 
,
=, ე.ი. საპირისპირო გადასვლა მოხდება. ნახ. 3.9 გვიჩვენებს QS ვექტორული მოდელის მაგალითს ნ
= 3, ლ
= 3, ქწთ = 1, ქმაქსიმალური = 3, პ(მ) = 1/3, λ Σ = λ, ინსტრუმენტის შენარჩუნების ინტენსივობა არის μ.
ბრინჯი. 3.9. QS ვექტორული მოდელის გრაფიკის მაგალითი მომსახურების უარყოფით
ასე რომ, ყველა სახელმწიფო 
ხასიათდება გარკვეული ტიპის მომსახურე მოთხოვნების რაოდენობით. მაგალითად, სახელმწიფოში 
ერთ პრეტენზიას ემსახურება ერთი მოწყობილობა და ერთი პრეტენზია ორი მოწყობილობის მიერ. ამ მდგომარეობაში, ყველა მოწყობილობა დაკავებულია, შესაბამისად, შესაძლებელია მხოლოდ საპირისპირო გადასვლები (ნებისმიერი მომხმარებლის ჩამოსვლა ამ მდგომარეობაში იწვევს მომსახურების უარყოფას). თუ პირველი ტიპის მოთხოვნის სერვისი ადრე დასრულდა, სისტემა გადადის სახელმწიფოზე 
(0,1,0) μ ინტენსივობით, მაგრამ თუ მეორე ტიპის მოთხოვნის სერვისი ადრე დასრულდა, მაშინ სისტემა გადავა მდგომარეობაში 
(0,1,0) μ/2 ინტენსივობით.
ხაზოვანი ალგებრული განტოლებათა სისტემა შედგენილია გარდამავალი ინტენსივობების მქონე მდგომარეობების გრაფიკიდან. ამ განტოლებების ამოხსნიდან არის ნაპოვნი ალბათობები რ(
), რომლითაც განისაზღვრება QS მახასიათებელი.
იფიქრეთ პოვნაზე რ otk (მომსახურებაზე უარის თქმის ალბათობა).
,
სადაც სარის QS ვექტორული მოდელის გრაფიკის მდგომარეობების რაოდენობა; რ(
) არის სისტემის მდგომარეობაში ყოფნის ალბათობა 
.
სახელმწიფოების რაოდენობა განისაზღვრება შემდეგნაირად:
,
(3.22)
;
მოდით განვსაზღვროთ QS ვექტორული მოდელის მდგომარეობების რაოდენობა (3.22) ნახ. 3.9.
.
შესაბამისად, ს = 1 + 5 + 1 = 7.
მომსახურების მოწყობილობების რეალური მოთხოვნების განსახორციელებლად, საკმარისად დიდი რაოდენობით ნ
(40, ..., 50) და მოთხოვნები აპლიკაციის სერვის მოწყობილობების რაოდენობაზე პრაქტიკაში 8–16 დიაპაზონშია. ინსტრუმენტებისა და მოთხოვნების ასეთი თანაფარდობით, ალბათობების პოვნის შემოთავაზებული გზა უკიდურესად რთული ხდება, რადგან QS ვექტორულ მოდელს აქვს მდგომარეობების დიდი რაოდენობა ს(50)
= 1790, ს(60)
= 4676, ს(70) = 11075 და ალგებრული განტოლებების სისტემის კოეფიციენტების მატრიცის ზომა კვადრატის პროპორციულია ს, რომელიც მოითხოვს კომპიუტერის მეხსიერების დიდ რაოდენობას და კომპიუტერის მნიშვნელოვან დროს. გამოთვლების რაოდენობის შემცირების სურვილმა სტიმული მისცა განმეორებადი გამოთვლითი შესაძლებლობების ძიებას რ(
) მდგომარეობით ალბათობების წარმოდგენის მრავლობითი ფორმების საფუძველზე. ნაშრომში წარმოდგენილია გაანგარიშების მიდგომა რ(
):
(3.23)
ნაშრომში შემოთავაზებული მარკოვის ჯაჭვების გლობალური და დეტალური ნაშთების ეკვივალენტობის კრიტერიუმის გამოყენება შესაძლებელს ხდის პრობლემის განზომილების შემცირებას და გამოთვლების შესრულებას საშუალო სიმძლავრის კომპიუტერზე გამოთვლების განმეორების გამოყენებით. გარდა ამისა, არსებობს შესაძლებლობა:
- გამოთვალეთ ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ნ;
- დააჩქარეთ გაანგარიშება და შეამცირეთ მანქანის დროის ღირებულება.
სისტემის სხვა მახასიათებლები შეიძლება განისაზღვროს ანალოგიურად.
ჯერჯერობით, ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის QS-ები, რომლებშიც თითოეული პრეტენზია შეიძლება მოემსახუროს მხოლოდ ერთ არხს; უმოქმედო არხები ვერ "დაეხმარებიან" დაკავებულს სერვისში.
ზოგადად, ეს ყოველთვის ასე არ არის: არის სისტემები რიგში დგომა, სადაც ერთი და იგივე მოთხოვნა შეიძლება ერთდროულად მოემსახუროს ორ ან მეტ არხს. მაგალითად, ერთი და იგივე ჩავარდნილი მანქანა შეიძლება მოემსახუროს ორ მუშას ერთდროულად. არხებს შორის ასეთი „ურთიერთდახმარება“ შეიძლება მოხდეს როგორც ღია, ასევე დახურულ QS-ში.
CMO-ების განხილვისას არხებს შორის ურთიერთდახმარებით, მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ორი ფაქტორი:
1. რამდენად სწრაფია აპლიკაციის სერვისი, როცა მასზე ერთდროულად მუშაობს არა ერთი, არამედ რამდენიმე არხი?
2. რა არის „ურთიერთდახმარების დისციპლინა“, ანუ როდის და როგორ იღებს რამდენიმე არხი ერთი და იგივე მოთხოვნის მომსახურებას?
ჯერ პირველი შეკითხვა განვიხილოთ. ბუნებრივია ვივარაუდოთ, რომ თუ ერთზე მეტი არხი, მაგრამ რამდენიმე არხი მუშაობს მოთხოვნის მომსახურებაზე, მომსახურების ნაკადის ინტენსივობა არ შემცირდება k-ს გაზრდით, ანუ ეს იქნება k რიცხვის გარკვეული შეუმცირებელი ფუნქცია. სამუშაო არხებიდან. ავღნიშნოთ ეს ფუნქცია.ფუნქციის შესაძლო ფორმა ნაჩვენებია ნახ. 5.11.
ცხადია, ერთდროულად მოქმედი არხების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდა ყოველთვის არ იწვევს მომსახურების ტარიფის პროპორციულ ზრდას; უფრო ბუნებრივია ვივარაუდოთ, რომ გარკვეული კრიტიკული მნიშვნელობისას დატვირთული არხების რაოდენობის შემდგომი ზრდა აღარ ზრდის სერვისის ინტენსივობას.
იმისათვის, რომ გავაანალიზოთ QS-ის მოქმედება არხებს შორის ურთიერთდახმარებით, აუცილებელია, უპირველეს ყოვლისა, დააყენოთ ფუნქციის ტიპი.
გამოკვლევისთვის უმარტივესი შემთხვევა იქნება ის შემთხვევა, როდესაც ფუნქცია იზრდება k-ის პროპორციულად, როდესაც a რჩება მუდმივი და ტოლი, როდესაც a (იხ. სურ. 5.12). თუ გარდა ამისა, არხების საერთო რაოდენობა, რომლებსაც შეუძლიათ ერთმანეთის დახმარება, არ აღემატება
ახლა გადავიდეთ მეორე კითხვაზე: ურთიერთდახმარების დისციპლინა. ამ დისციპლინის უმარტივეს შემთხვევას ჩვენ პირობითად აღვნიშნავთ, როგორც "ყველა, როგორც ერთი". ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ერთი მოთხოვნა გამოჩნდება, ყველა არხი ერთდროულად იწყებს მის მომსახურებას და დაკავებული რჩება ამ მოთხოვნის სერვისის დასრულებამდე; შემდეგ ყველა არხი გადადის სხვა მოთხოვნის სერვისზე (თუ ის არსებობს) ან ელოდება მის გამოჩენას, თუ არ არსებობს და ა.შ. ცხადია, ამ შემთხვევაში ყველა არხი მუშაობს როგორც ერთი, QS ხდება ერთარხიანი, მაგრამ უფრო მაღალი. მომსახურების ინტენსივობა.
ჩნდება კითხვა: არხებს შორის ასეთი ურთიერთდახმარების დანერგვა მომგებიანია თუ არახელსაყრელი? ამ კითხვაზე პასუხი დამოკიდებულია აპლიკაციების ნაკადის ინტენსივობაზე, რა ტიპის ფუნქციაზე, რა ტიპის QS (ჩავარდნებით, რიგით), რა მნიშვნელობა არის არჩეული, როგორც მომსახურების ეფექტურობის მახასიათებელი.
მაგალითი 1. არსებობს სამარხიანი QS ჩავარდნებით: აპლიკაციების ნაკადის ინტენსივობა (აპლიკაციები წუთში), ერთი აპლიკაციის მომსახურების საშუალო დრო ერთი არხით (წთ), ფუნქცია "? არის თუ არა ეს მომგებიანი სისტემაში განაცხადის საშუალო ბინადრობის დროის შემცირების თვალსაზრისით?
გამოსავალი ა. ურთიერთდახმარების გარეშე
ერლანგის ფორმულებით (იხ. § 4) გვაქვს:
ნათესავი გამტარუნარიანობა CMO;
აბსოლუტური გამტარობა:
განაცხადის საშუალო ბინადრობის დრო QS-ში გამოითვლება, როგორც ალბათობა იმისა, რომ განაცხადი მიიღება მომსახურებისთვის, გამრავლებული მომსახურების საშუალო დროზე:
არსი (წთ).
არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს საშუალო დრო ეხება ყველა მოთხოვნას - როგორც შესრულებულს, ასევე არამომსახურებულს. ჩვენ შეიძლება გვაინტერესებდეს საშუალო დრო, როდესაც სერვისული მოთხოვნა დარჩება სისტემაში. ამჯერად არის:
6. ურთიერთდახმარებით.
განაცხადის საშუალო ბინადრობის დრო CMO-ში:
სერვისული მოთხოვნის ბინადრობის საშუალო დრო QS-ში:
ამრიგად, ურთიერთდახმარების თანდასწრებით, „ყველა ერთიანი“, SMO-ს გამტარუნარიანობა შესამჩნევად შემცირდა. ეს აიხსნება წარუმატებლობის ალბათობის გაზრდით: სანამ ყველა არხი დაკავებულია ერთი აპლიკაციის სერვისით, სხვა აპლიკაციები შეიძლება მოვიდეს და, ბუნებრივია, უარი თქვას. რაც შეეხება CMO-ში განაცხადის საშუალო ბინადრობის დროს, ის, როგორც მოსალოდნელი იყო, შემცირდა. თუ რაიმე მიზეზით ჩვენ ვცდილობთ შევამციროთ ის დრო, რომელსაც აპლიკაცია ატარებს QS-ში (მაგალითად, თუ QS-ში დარჩენა სახიფათოა აპლიკაციისთვის), შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ შემცირების მიუხედავად გამტარუნარიანობა, მაინც მომგებიანი იქნება სამი არხის ერთში გაერთიანება.
მოდით, ახლა მოლოდინით განვიხილოთ ურთიერთდახმარების „ყველა როგორც ერთის“ გავლენა CMO-ების მუშაობაზე. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვიღებთ მხოლოდ შეუზღუდავი რიგის შემთხვევას. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში ურთიერთდახმარების გავლენა QS-ის გამტარუნარიანობაზე არ იქნება, რადგან ნებისმიერ პირობებში მოემსახურება ყველა შემომავალი აპლიკაცია. ჩნდება კითხვა ურთიერთდახმარების გავლენის შესახებ ლოდინის მახასიათებლებზე: რიგის საშუალო ხანგრძლივობა, ლოდინის საშუალო დრო, QS-ში გატარებული საშუალო დრო.
(6.13), (6.14) § 6 ფორმულების მიხედვით ურთიერთდახმარების გარეშე მომსახურებისთვის, რიგში მყოფი მომხმარებლების საშუალო რაოდენობა იქნება
ლოდინის საშუალო დრო:
და სისტემაში გატარებული საშუალო დრო:
თუ გამოიყენება "ყველა როგორც ერთი" ტიპის ურთიერთდახმარება, მაშინ სისტემა იმუშავებს როგორც ერთარხიანი სისტემა პარამეტრებით.
და მისი მახასიათებლები განისაზღვრება ფორმულებით (5.14), (5.15) § 5:
მაგალითი 2. არის სამარხიანი QS შეუზღუდავი რიგით; განაცხადების ნაკადის ინტენსივობა (აპლიკაციები წუთში), მომსახურების საშუალო დრო ფუნქცია სასარგებლოა იმის გათვალისწინებით, რომ:
რიგის საშუალო სიგრძე
მომსახურების ლოდინის საშუალო დრო,
განაცხადის საშუალო ბინადრობის დრო CMO-ში
დანერგოთ ურთიერთდახმარება არხებს შორის, როგორიცაა "ყველა როგორც ერთი"?
გამოსავალი ა. არანაირი ურთიერთდახმარება.
(9.1) - (9.4) ფორმულებით გვაქვს
(3-2)
ბ. ურთიერთდახმარებით
(9.5) - (9.7) ფორმულებით ვპოულობთ;
ამრიგად, რიგის საშუალო ხანგრძლივობა და რიგში ლოდინის საშუალო დრო ურთიერთდახმარების შემთხვევაში მეტია, მაგრამ სისტემაში განაცხადის გატარებული საშუალო დრო ნაკლებია.
განხილული მაგალითებიდან ირკვევა, რომ ურთიერთდახმარება კ? ნაღდი ფულის "ყველა როგორც ერთი" ტიპი, როგორც წესი, არ უწყობს ხელს მომსახურების ეფექტურობის გაუმჯობესებას: მცირდება აპლიკაციის მიერ QS-ში გატარებული დრო, მაგრამ უარესდება მომსახურების სხვა მახასიათებლები.
ამიტომ სასურველია სერვისის დისციპლინის შეცვლა ისე, რომ არხებს შორის ურთიერთდახმარებამ ხელი არ შეუშალოს სერვისის ახალი მოთხოვნების მიღებას, თუ ისინი გამოჩნდება იმ დროს, როდესაც ყველა არხი დაკავებულია.
მოდი პირობითად ვუწოდოთ „ერთგვაროვან ურთიერთდახმარებას“ შემდეგი სახის ურთიერთდახმარება. თუ მოთხოვნა მოდის იმ მომენტში, როდესაც ყველა არხი უფასოა, მაშინ ყველა არხი მიიღება მის მომსახურებაზე; თუ მოთხოვნის მომსახურების დროს მეორე ჩამოვა, ზოგიერთი არხი გადადის მის მომსახურებაზე; თუ ამ ორი მოთხოვნის განხილვისას მეორე მოდის, ზოგიერთი არხი გადართულია მის მოსამსახურებლად და ასე შემდეგ, სანამ ყველა არხი დაიკავებს; თუ ასეა, ახლად ჩამოსული პრეტენზია უარყოფილია (QS-ში უარყოფით) ან მოთავსებულია რიგში (QS-ში ლოდინის დროს).
ურთიერთდახმარების ამ დისციპლინით განაცხადი უარყოფილია ან რიგში დგება მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი მოწოდება შეუძლებელია. რაც შეეხება არხების „ჩამოშლას“, ის მინიმალურია ამ პირობებში: თუ სისტემაში ერთი აპლიკაცია მაინც არის, ყველა არხი მუშაობს.
ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ ახალი მოთხოვნის გამოჩენისას ზოგიერთი დაკავებული არხი იხსნება და გადადის ახლად შემოსული მოთხოვნის მომსახურებაზე. Რომელი ნაწილი? ეს დამოკიდებულია ფუნქციის ტიპზე, თუ მას აქვს წრფივი დამოკიდებულების ფორმა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5.12 და არ აქვს მნიშვნელობა არხების რომელი ნაწილი გამოვყოთ ახლად მიღებული მოთხოვნის მომსახურებისთვის, სანამ ყველა არხი დაკავებულია (მაშინ არხების ნებისმიერი განაწილების სერვისების ჯამური ინტენსივობა მოთხოვნით იქნება ტოლი). შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ მრუდი ამოზნექილია ზემოთ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5.11, მაშინ თქვენ უნდა გაანაწილოთ არხები აპლიკაციებს შორის რაც შეიძლება თანაბრად.
განვიხილოთ -არხის QS მუშაობა არხებს შორის "ერთგვაროვანი" ურთიერთდახმარებით.
განვიხილოთ მრავალარხიანი რიგის სისტემა (სულ არის n არხი), რომელშიც მოთხოვნები მოდის λ სიჩქარით და ემსახურება μ სიჩქარით. სისტემაში შემოსული მოთხოვნა ემსახურება თუ ერთი არხი მაინც უფასოა. თუ ყველა არხი დაკავებულია, სისტემაში შესული შემდეგი მოთხოვნა უარყოფილია და ტოვებს QS-ს. ჩვენ ვითვლით სისტემის მდგომარეობებს დაკავებული არხების რაოდენობის მიხედვით:
- ს 0 - ყველა არხი უფასოა;
- ს 1 – დაკავებულია ერთი არხი;
- ს 2 – დაკავებულია ორი არხი;
- სკ- დაკავებული კარხები;
- სნ- ყველა არხი დაკავებულია.
ბრინჯი. 7.24
ნახაზი 6.24 გვიჩვენებს მდგომარეობის გრაფიკს, რომელშიც სმე- არხის ნომერი; λ არის განაცხადების მიღების ინტენსივობა; μ
- შესაბამისად, აპლიკაციების მომსახურების ინტენსივობა. აპლიკაციები მუდმივი ინტენსივობით შემოდის რიგის სისტემაში და თანდათან იკავებენ არხებს ერთმანეთის მიყოლებით; როდესაც ყველა არხი დაიკავებს, შემდეგი მოთხოვნა, რომელიც მოვა QS-ში, უარყოფილი იქნება და დატოვებს სისტემას.
მოდით განვსაზღვროთ მოვლენის ნაკადების ინტენსივობა, რომელიც გადასცემს სისტემას მდგომარეობიდან მდგომარეობამდე, როდესაც მოძრაობს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ მდგომარეობის გრაფიკის გასწვრივ.
მაგალითად, სისტემა იყოს სახელმწიფოში ს 1, ანუ ერთი არხი დაკავებულია, რადგან არის მოთხოვნა მის შეყვანაზე. მოთხოვნის დამუშავებისთანავე სისტემა გადადის სახელმწიფოზე ს 0 .
მაგალითად, თუ ორი არხი დაკავებულია, მაშინ სერვისის ნაკადი, რომელიც სისტემას გადასცემს მდგომარეობიდან ს 2 შტატში ს 1 ორჯერ უფრო ინტენსიური იქნება: 2-μ; შესაბამისად, თუ დაკავებულია კარხები, ინტენსივობა ტოლია k-μ.
მომსახურების პროცესი სიკვდილისა და გამრავლების პროცესია. კოლმოგოროვის განტოლებებს ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის ექნება შემდეგი ფორმა:
(7.25)
განტოლებები (7.25) ეწოდება ერლანგის განტოლებები
.
რათა ვიპოვოთ მდგომარეობების ალბათობის მნიშვნელობები რ 0 , რ 1 , …, რნ, აუცილებელია საწყისი პირობების დადგენა:
– რ 0 (0) = 1, ანუ არის მოთხოვნა სისტემის შეყვანისას;
– რ 1 (0) = რ 2 (0) = … = რნ(0) = 0, ანუ in საწყისი მომენტიროდესაც სისტემა თავისუფალია.
დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ინტეგრაციის შემდეგ (7.25) ვიღებთ მდგომარეობების ალბათობების მნიშვნელობებს. რ 0 (ტ), რ 1 (ტ), … რნ(ტ).
მაგრამ ჩვენ უფრო მეტად გვაინტერესებს სახელმწიფოების შემზღუდველი ალბათობა. როგორც t → ∞ და სიკვდილის და გამრავლების პროცესის განხილვისას მიღებული ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნას (7.25):
(7.26)
ამ ფორმულებში, ინტენსივობის თანაფარდობა λ / μ
აპლიკაციების ნაკადისთვის მოსახერხებელია დანიშვნა ρ
.ეს მნიშვნელობა ე.წ განაცხადების ნაკადის შემცირებული ინტენსივობა,ანუ QS-ში შემოსული განაცხადების საშუალო რაოდენობა ერთი აპლიკაციის მომსახურების საშუალო დროისთვის.
ზემოაღნიშნული აღნიშვნის გათვალისწინებით, განტოლებათა სისტემა (7.26) იღებს შემდეგ ფორმას:
(7.27)
ზღვრული ალბათობების გამოთვლის ამ ფორმულებს ე.წ ერლანგის ფორმულები
.
თუ ვიცით QS მდგომარეობების ყველა ალბათობა, ვპოულობთ QS ეფექტურობის მახასიათებლებს, ანუ აბსოლუტურ გამტარუნარიანობას. მაგრამ, შედარებითი გამტარუნარიანობა ქდა წარუმატებლობის ალბათობა რგახსნა
მოთხოვნა, რომელიც შედის სისტემაში, უარყოფილი იქნება, თუ ყველა არხი დატვირთული იქნება:
.
ალბათობა იმისა, რომ განაცხადი მიიღება მომსახურებისთვის:
ქ = 1 – როტკ,
სადაც ქარის სისტემის მიერ მოწოდებული მიღებული მოთხოვნების საშუალო წილი, ან QS-ის მიერ მოწოდებული მოთხოვნების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე, გაყოფილი ამ დროის განმავლობაში მიღებული მოთხოვნების საშუალო რაოდენობაზე:
A=λ Q=λ (1-P ღია)
გარდა ამისა, ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებლები QS ჩავარდნებით არის საშუალოდ დატვირთული არხები. AT ნ-არხი QS ხარვეზებით, ეს რიცხვი ემთხვევა QS-ში აპლიკაციების საშუალო რაოდენობას.
k განაცხადების საშუალო რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს პირდაპირ Р 0 , Р 1 , ... , Р n მდგომარეობების ალბათობების მიხედვით:
,
ანუ ჩვენ ვპოულობთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკურ მოლოდინს, რომელიც იღებს მნიშვნელობას 0-დან ნალბათობით რ 0 , რ 1 , …, რნ.
კიდევ უფრო ადვილია k-ის მნიშვნელობის გამოხატვა QS-ის აბსოლუტური გამტარუნარიანობის მიხედვით, ე.ი. A. მნიშვნელობა არის აპლიკაციების საშუალო რაოდენობა, რომლებსაც სისტემა ემსახურება დროის ერთეულზე. ერთი დაკავებული არხი ემსახურება μ მოთხოვნას დროის ერთეულზე, შემდეგ დატვირთული არხების საშუალო რაოდენობას
| კლასიფიკაციის მახასიათებლები | რიგის სისტემების ჯიშები | |||||||||||
| შემომავალი მოთხოვნის ნაკადი | შეზღუდული მოთხოვნები | დახურულია | გახსნა | |||||||||
| განაწილების კანონი | სისტემები შემომავალი ნაკადის განაწილების სპეციფიკური კანონით: ექსპონენციალური, ერლანგი კშეკვეთა, პალმა, ნორმალური და ა.შ. | |||||||||||
| Მობრუნება | რიგის დისციპლინა | შეკვეთილი რიგით | მოუწესრიგებელი რიგით | სერვისის პრიორიტეტი | ||||||||
| მოლოდინის სერვისის ლიმიტები | უარყოფით | შეუზღუდავი მოლოდინით | შეზღუდული (შერეული) | |||||||||
| რიგის სიგრძის მიხედვით | ლოდინის დრო რიგში | SMO-ში ყოფნის დროით | კომბინირებული | |||||||||
| სამსახურის დისციპლინა | მომსახურების ეტაპები | ერთფაზა | პოლიფაზა | |||||||||
| მომსახურების არხების რაოდენობა | ერთი არხი | მრავალარხიანი | ||||||||||
| თანაბარი არხებით | უთანასწორო არხებით | |||||||||||
| მომსახურების არხების საიმედოობა | აბსოლუტურად სანდო არხებით | არასანდო არხებით | ||||||||||
| არანაირი აღდგენა | აღდგენით | |||||||||||
| ურთიერთდახმარების არხები | ურთიერთდახმარების გარეშე | ურთიერთდახმარებით | ||||||||||
| სერვისის საიმედოობა | შეცდომებით | შეცდომების გარეშე | ||||||||||
| მომსახურების დროის განაწილება | სისტემები კონკრეტული მომსახურების დროის განაწილების კანონით: დეტერმინისტული, ექსპონენციალური, ნორმალური და ა.შ. | |||||||||||
თუ სერვისი ეტაპობრივად ხორციელდება არხების გარკვეული თანმიმდევრობით, მაშინ ასეთი QS ეწოდება მრავალფაზიანი.
AT CMO "ურთიერთდახმარებით"არხებს შორის ერთი და იგივე მოთხოვნა შეიძლება ერთდროულად მოემსახუროს ორ ან მეტ არხს. მაგალითად, ერთი და იგივე ჩავარდნილი მანქანა შეიძლება მოემსახუროს ორ მუშას ერთდროულად. არხებს შორის ასეთი „ურთიერთდახმარება“ შეიძლება მოხდეს როგორც ღია, ასევე დახურულ QS-ში.
AT CMO შეცდომებითსისტემაში მომსახურებისთვის მიღებულ განცხადებას ემსახურება არა სრული ალბათობით, არამედ გარკვეული ალბათობით; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება იყოს შეცდომები სერვისში, რის შედეგადაც არის ის, რომ ზოგიერთი აპლიკაცია, რომელიც მივიდა QS-ში და სავარაუდოდ "მომსახურა", რეალურად რჩება უმომსახურო QS-ის მუშაობაში "ქორწინების" გამო.
ასეთი სისტემების მაგალითებია: საინფორმაციო მაგიდები, ზოგჯერ არასწორი ინფორმაციისა და მითითებების მიცემა; კორექტორი, რომელსაც შეუძლია გამოტოვოს შეცდომა ან შეასწოროს ის არასწორად; სატელეფონო სადგური, ზოგჯერ აკავშირებს აბონენტს არასწორ ნომერზე; სავაჭრო და შუამავალი ფირმები, რომლებიც ყოველთვის არ ასრულებენ თავიანთ ვალდებულებებს ხარისხიანად და დროულად და ა.შ.
QS-ში მიმდინარე პროცესის გასაანალიზებლად აუცილებელია იცოდეთ სისტემის ძირითადი პარამეტრები: არხების რაოდენობა, აპლიკაციების ნაკადის ინტენსივობა, თითოეული არხის შესრულება (აპლიკაციების საშუალო რაოდენობა არხის მიერ მოწოდებული დროის ერთეულზე), რიგის ფორმირების პირობები, აპლიკაციების გამგზავრების ინტენსივობა. რიგიდან ან სისტემიდან.
კავშირს ჰქვია სისტემის დატვირთვის ფაქტორი. ხშირად განიხილება მხოლოდ ისეთი სისტემები, რომლებშიც .
მომსახურების დრო QS-ში შეიძლება იყოს როგორც შემთხვევითი, ასევე არა შემთხვევითი. პრაქტიკაში, ეს დრო ყველაზე ხშირად მიიღება როგორც განაწილებული ექსპონენციალური კანონის მიხედვით, .
QS-ის ძირითადი მახასიათებლები შედარებით ცოტაა დამოკიდებული მომსახურების დროის განაწილების კანონზე, მაგრამ ძირითადად დამოკიდებულია საშუალო მნიშვნელობაზე. ამიტომ, ხშირად ვარაუდობენ, რომ მომსახურების დრო ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით.
დაშვებები მოთხოვნათა ნაკადის პუასონის ბუნებისა და მომსახურების დროის ექსპონენციალური განაწილების შესახებ (რასაც ამიერიდან ვივარაუდებთ) ღირებულია, რადგან ისინი საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ ეგრეთ წოდებული მარკოვის შემთხვევითი პროცესების აპარატი რიგის თეორიაში. .
მომსახურების სისტემების ეფექტურობა, ამოცანების პირობებიდან და კვლევის მიზნებიდან გამომდინარე, შეიძლება დახასიათდეს დიდი რიცხვისხვადასხვა რაოდენობრივი მაჩვენებლები.
ყველაზე ხშირად გამოიყენება შემდეგი ინდიკატორები:
1. ალბათობა იმისა, რომ არხები დატვირთულია სერვისით არის .
განსაკუთრებული შემთხვევაა იმის ალბათობა, რომ ყველა არხი თავისუფალია.
2. განაცხადზე უარის თქმის ალბათობა.
3. დატვირთული არხების საშუალო რაოდენობა ახასიათებს სისტემის დატვირთვის ხარისხს.
4. სერვისის უფასო არხების საშუალო რაოდენობა:
5. უმოქმედო არხების კოეფიციენტი (ალბათობა).
6. აღჭურვილობის დატვირთვის ფაქტორი (დატვირთული არხების ალბათობა)
7. ფარდობითი გამტარუნარიანობა - სისტემის მიერ მოწოდებული შემოსული მოთხოვნების საშუალო წილი, ე.ი. სისტემის მიერ მოწოდებული მოთხოვნების საშუალო რაოდენობის თანაფარდობა დროის ერთეულზე ამ დროის განმავლობაში მიღებული მოთხოვნების საშუალო რაოდენობასთან.
8. აბსოლუტური გამტარუნარიანობა, ე.ი. განაცხადების (მოთხოვნების) რაოდენობა, რომელსაც სისტემა შეუძლია დროის ერთეულზე:
9. არხის საშუალო უმოქმედობის დრო
სისტემებისთვის მოლოდინითგამოიყენება დამატებითი ფუნქციები:
10. რიგში მოთხოვნის ლოდინის საშუალო დრო.
11. განაცხადის საშუალო ბინადრობის დრო CMO-ში.
12. რიგის საშუალო სიგრძე.
13. განაცხადების საშუალო რაოდენობა მომსახურების სექტორში (CMO-ებში)
14. ალბათობა იმისა, რომ განაცხადის რიგში დგომა არ გაგრძელდება გარკვეულ დროზე მეტი.
15. ალბათობა იმისა, რომ რიგზე მოთხოვნის რაოდენობა, რომელიც ელოდება სერვისის დაწყებას, უფრო მეტია, ვიდრე ზოგიერთი ნომერი.
გარდა ჩამოთვლილი კრიტერიუმებისა, სისტემების ეფექტურობის შეფასებისას, ხარჯების ინდიკატორები:
– სისტემაში თითოეული მოთხოვნის მომსახურების ღირებულება;
– ზარალის ღირებულება, რომელიც დაკავშირებულია ლოდინი დროის ერთეულზე;
– დანაკარგების ღირებულება, რომელიც დაკავშირებულია სისტემიდან მოთხოვნების გატანასთან;
არის სისტემის არხის ექსპლუატაციის ღირებულება დროის ერთეულზე;
არის არხისთვის თითო ერთეული შესვენების ღირებულება.
ეკონომიკური ინდიკატორების სისტემის ოპტიმალური პარამეტრების არჩევისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ზარალის ღირებულების ფუნქცია:
ა) შეუზღუდავი ლოდინის მქონე სისტემებისთვის
სად არის დროის ინტერვალი;
ბ) გაუმართავი სისტემებისთვის;
გ) შერეული სისტემებისთვის.
ოფციები, რომლებიც ითვალისწინებს სისტემის ახალი ელემენტების (მაგალითად, სერვისის არხების) მშენებლობას (გაშვებას) ჩვეულებრივ ადარებენ შემცირებულ ხარჯებს.
შემცირებული ხარჯები თითოეული ვარიანტისთვის არის მიმდინარე ხარჯების (ღირებულების) და კაპიტალის ინვესტიციების ჯამი, შემცირებული იმავე განზომილებაში ეფექტურობის სტანდარტის შესაბამისად, მაგალითად:
(წელიწადში მოცემული ხარჯები);
(მოცემულია ხარჯები ანაზღაურების პერიოდისთვის),
სადაც - მიმდინარე ხარჯები (ღირებულება) თითოეული ვარიანტისთვის, გვ.
– ინდუსტრიის ნორმატიული კოეფიციენტი ეკონომიკური ეფექტურობაკაპიტალის ინვესტიციები (ჩვეულებრივ = 0,15 - 0,25);
– კაპიტალური ინვესტიციები თითოეული ვარიანტისთვის, გვ.
არის სტანდარტული ანაზღაურებადი პერიოდი კაპიტალის ინვესტიციებისთვის, წლები.
გამოხატულება არის მიმდინარე და კაპიტალური ხარჯების ჯამი გარკვეული პერიოდისთვის. მათ ეძახიან მოცემული, რადგან ისინი ეხება დროის ფიქსირებულ პერიოდს (ამ შემთხვევაში, სტანდარტული ანაზღაურების პერიოდს).
ინდიკატორები და შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც კაპიტალური ინვესტიციების ჯამის სახით და მზა პროდუქციის ღირებულების სახით, ასევე სახით კონკრეტული კაპიტალის ინვესტიციებიწარმოების ერთეულზე და წარმოების ერთეულის ღირებულებაზე.
დისკრეტული მდგომარეობების მქონე სისტემაში წარმოქმნილი შემთხვევითი პროცესის აღსაწერად ხშირად გამოიყენება მდგომარეობების ალბათობები, სადაც არის ალბათობა იმისა, რომ ამ მომენტში სისტემა მდგომარეობაში იქნება.
აშკარაა რომ.
თუ სისტემაში მიმდინარე პროცესი დისკრეტული მდგომარეობებით და უწყვეტი დროით არის მარკოვიანი, მაშინ მდგომარეობათა ალბათობებისთვის შესაძლებელია კოლმოგოროვის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემის შედგენა.
თუ არსებობს მდგომარეობების ეტიკეტირებული გრაფიკი (ნახ. 4.3) (აქ, ყოველი ისრის ზემოთ, რომელიც მდგომარეობიდან მდგომარეობს, მითითებულია მოვლენების ნაკადის ინტენსივობა, რომელიც სისტემას გადააქვს მდგომარეობიდან შტატში ამ ისრის გასწვრივ), მაშინ სისტემა ალბათობების დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება დაუყოვნებლივ დაიწეროს შემდეგი მარტივის გამოყენებით წესი.
თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს არის წარმოებული, ხოლო მარჯვენა მხარეს არის იმდენი ტერმინი, რამდენიც ისრები პირდაპირ კავშირშია ამ მდგომარეობასთან; თუ ისარი მიუთითებს in
თუ მოვლენათა ყველა ნაკადი, რომელიც სისტემას გადასცემს მდგომარეობიდან მდგომარეობას, სტაციონარულია, მდგომარეობების საერთო რაოდენობა სასრულია და არ არსებობს მდგომარეობა გასასვლელის გარეშე, მაშინ არსებობს ლიმიტის რეჟიმი და ხასიათდება ზღვრული ალბათობები .
