Kryqëzimi dhe bashkimi i bashkësive.
Kundeleva Oksana Evgenievna
Mësues Shkolla fillore MBOU NOSH Nr. 279, Gadzhiyevo, rajoni Murmansk,
Objektivat e mësimit
- formojnë një ide për bashkimin dhe kryqëzimin e dy grupeve
- mësoni të gjeni në "hartën e grupeve" zonën e grupit, e cila është kryqëzimi ose bashkimi i dy grupeve.
- mësojnë të përcaktojnë përkatësinë e elementeve në një grup, që është kryqëzimi dhe bashkimi i dy grupeve
- mësoni të përcaktoni natyrën e marrëdhënies midis dy grupeve të dhëna (prerje, mos kryqëzoni, bashkim)
- "Muaj të vitit"
- "Stinët"
- "Kontinentet"
- "Hippos fluturues"
- Shumëkëndëshat
Lakuriq nate pinguin sorrë
Flutura struci
Lexoni emrat e zogjve. Rrethojeni këtë grup. Bëni një mbishkrim në fund: "Zogjtë".
Lexoni emrat e kafshëve që mund të fluturojnë. Rrethojeni këtë grup, bëni një mbishkrim në krye: "Ata dinë të fluturojnë".
mund te fluturoj
Sa elementë janë në kryqëzimi i dy grupeve, d.m.th. njëkohësisht në dy grupe? Pse?
Kryqëzimi i shumë pjesë e përbashkët e grupeve"DHE",
atëherë secili element i tij duhet të jetë i ndezur KALIM dy grupe -
jetojnë në dy shtete në të njëjtën kohë.
Bashkimi i kompleteveNëse emri i grupit përmban fjalën "OSE",
atëherë elementi mund të jetë kudo në territorin e dy vendeve - SHOQATA -
jetojnë të paktën në njërën prej tyre.
Çfarë është një nëngrup? Nëngrupi- kjo është një pjesë e një grupi që është pjesë e një grupi të caktuar. Edukimi fizik Minuta Një - përkulem, zhvishu, Dy - përkulem, shtrihu, Tre - tre duartrokitje në duar, Tri tundje me kokë. Katër krahë më të gjerë, Pesë, gjashtë - uluni të qetë, Shtatë, tetë - le të hedhim poshtë dembelizmin. Vizatoni grupe:Shumë krijesa detare
Shumë gjitarë
Vizatoni grupe:
Shumë zogj
Shumë peshq
Numrat çift jetojnë në një katror. Numrat dyshifrorë jetojnë në një trekëndësh. Shkruani saktë çdo numër. Ngjyrosni në figurë zonën ku jetojnë numrat dyshifrorë.
2, 47, 16, 8, 17, 32, 6, 53
Gjeni përcaktimin e secilit grup në tabelë dhe plotësoni rrathët në figurë.
Sa grupe janë rrethuar? Cili është grupi më i madh? Me çfarë ngjyre duhet të mbushet rrethi më i madh? Cili është më i madhi nga të tjerët?
Kompletet:
kafshët
bimët
Gjeni dhe renditni elementet e bashkësive në figurat në figurë: shkruani shkronjën e parë të secilës fjalë nga lista
Mbani mend!
- Kompletet nuk kryqëzohen
Kompletet nuk kryqëzohen:
- Një grup është një nëngrup i një tjetri
Një grup është një nëngrup i një tjetri:
Kompletet kryqëzohen:
Shumëfishat janë bashkuar:
Shihemi në
mësimi i radhës!!!
A.V. Goryachev, K.I. Gorina dhe të tjerë.Informatika në lojëra dhe detyra, klasa 3, Udhëzimet për mësuesin M., “Ballas”, 2004
- A.V. Goryachev, K.I. Gorina dhe të tjerë.Informatika në lojëra dhe detyra, Klasa 3, Udhëzime për mësuesit, M., "Ballas", 2004
- A.V. Goryachev, K.I. Gorina e të tjerë.Libër mësuesi "Informatika në lojëra dhe detyra", klasa 3, pjesa 2, M., "Ballas", 2004.
- http://festival.1september.ru/articles/505635/ Mësimi i informatikës me temën "Set. Nënbashkësi. Kryqëzimi i bashkësive" Shchepina Zinaida Nikolaevna, mësues i shkollës fillore
Libra të përdorur
- Bashkësia e numrave natyrorë është...
- Shumë nxënës të klasës së 8-të janë…
- Bashkësia e numrave jo pozitivë dhe jonegativë është...
1. Kryqëzimi i grupeve
A=(1,2,3,4,6,8,12,24),
B=(1,2,3,6,9,18),
C është bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 24 dhe 18,
Themi se bashkësia C është kryqëzimi i bashkësive A dhe B.
- Bashkësia që përbën pjesën e përbashkët të bashkësive A dhe B quhet prerje e këtyre bashkësive dhe shënohet si më poshtë: A∩B=C.
- Raporti ndërmjet grupet A, B dhe C mund të ilustrohet duke përdorur diagrame speciale të quajtura rrathë Euler.
Figura e formuar në kryqëzimin e rrathëve, e hijezuar në figurë, përshkruan grupin C.
Koment.
Disa grupe X dhe Y nuk kanë elementë të përbashkët. Atëherë themi se kryqëzimi i bashkësive X dhe Y është bashkësia boshe.
Ø është përcaktimi i grupit bosh.
Dhe pastaj ata shkruajnë kështu: X ∩ Y = Ø
Për shembull:
2. Bashkimi i kompleteve
A është bashkësia e pjesëtuesve natyrorë të numrit 24,
B është bashkësia e pjesëtuesve natyrorë prej 18.
A=(1,2,3,4,6,8,12,24),
B=(1,2,3,6,9,18),
D është bashkësia së cilës i përkasin të gjithë elementët e grupit A dhe të gjithë elementët e grupit B.
ato. D =(1,2,3,4,6,8,9,12,18,24).
Ata thonë se shumë D është bashkimi i bashkësive A dhe B.
Grupet A dhe B janë paraqitur në rrathë në figurë.
Shifra e hijezuar në figurë është bashkimi i bashkësive A dhe B.
Për shembull:
X është bashkësia e numrave të thjeshtë që nuk i kalon 25;
Y është bashkësia e numrave dyshifrorë që nuk e kalojnë 19.
Gjeni kryqëzimin dhe bashkimin e bashkësive X dhe Y.
X=(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23);
Y=(10,11,12,13,14,15,16,17,18);
Elementet e përbashkëta: 11,13,17, pra
X∩ Y =(11,13,17);
X UY =(2, 3, 5, 7,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,23).
- Zgjidheni në klasë
- № 799
- Zgjidheni në shtëpi
- № 800
Senina G.N., Senin V.G., MBOU "Shkolla e mesme nr. 4", Korsakov
SHUMFISHTA. KOMBINATORIKE.
PRERJA DHE BASHKIMI I KOMPLETEVE.
Metalënda - Dituria
Qëllimi i mësimit tonë
Në tregimin e Conan Doyle "Five Orange Pips", detektivi i famshëm Sherlock Holmes duhej të vendoste emrin e një varke me vela. Ai e dinte vetëm për këtë anije që në janar 1883 ishte në Pondichshire, në janar 1885 - në Dundee, dhe tani ishte në Londër. Duke krahasuar listat e anijeve me vela që ishin në vendet e treguara në kohën e treguar, Sherlock Holmes konstatoi se në secilën prej tyre përfshihej vetëm anija amerikane Lone Star. Si rezultat, krimi u zbardh. Detektivi, duke pasur tre grupe, ndërtoi një të ri që përmbante elementët e tyre të përbashkët. Doli se grupi i ri përbëhet nga vetëm një element
vendosje qellimi
Le të kontrollojmë detyrat e shtëpisë
LIBËR MËSIMOR
№ 747
LIBËR MËSIMOR
№ 749
P ⊂ N ⊂ Z ; C ⊂ B ⊂ A; K ⊂ P ⊂ R
Hyrja në temën e mësimit dhe krijimi i kushteve për perceptimin e ndërgjegjshëm të materialit të ri.
Kryqëzimi dhe bashkimi i grupeve
Organizimi dhe vetëorganizimi i studentëve. Organizimi reagime
Puna me tekst
APPARAT TRAJNIMI
№ 319
për secilin prej këtyre grupeve
Punëtori
Puna me tekst
APPARAT TRAJNIMI
№ 320
Punëtori
Puna me modele
APPARAT TRAJNIMI
№ 323
Punëtori
Puna me modele
APPARAT TRAJNIMI
№ 324
Punëtori
Operacionet në grupe
PROBLEM
№ 638
PROBLEM
№ 639
Punëtori
Operacionet në grupe
PROBLEM
№ 641
{-1,0,1}; {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
{-1,0}; {-4,-3,-2,-1,0,1}
{1}; {-2,-1,0,1,2,3,4}
{-1,0,1}; {-2,-1,0,1,2}
Punëtori
Operacionet në grupe
LIBËR MËSIMOR
№ 757
Vetitë e zeros gjatë shumëzimit dhe mbledhjes së numrave: A ⋅ 0 = 0; A + 0 = A.
Punëtori
Operacionet në grupe
LIBËR MËSIMOR
№ 758
Operacionet në grupe
№ 760
LIBËR MËSIMOR
Kontrollimi i rezultateve. Korrigjim
Turmat dhe Jeta
Një grup është një koncept themelor jo vetëm i matematikës, por i gjithë botës përreth.
Merrni çdo send në dorë tani. Këtu keni një grup të përbërë nga një element.
Merrni një çantë të madhe dhe filloni të vendosni rastësisht sende të ndryshme në të.
Nuk ka rregullsi në këtë, por, megjithatë, ne po flasim për një sërë temash.
Detyre shtepie U: fq 228 - 229, fragment 1 - lexuar;
№ 751, 752, 756, 759.
Përmbledhje, reflektim, detyra shtëpie.
Komplete. Operacionet në grupe
SHUME NGA
GJENI BASHKIMIN E KOMPLESIVE
ELEMENTI I SETIT
LLOJET E SETIT
GJENI PËRGJIMIN E KOMPLETEVE
MARRËDHËNIET MIDIS
SHUMFISHTA
VIZATIMI ME NDIHMËN E RRETHIT TË EULERIT
"Shumë janë shumë, mendohet nga ne si një"
themelues i teorisë së grupeve
Georg Kantor
Konceptet e teorisë së grupeve
Koncepti i një grupi është një nga konceptet më të përgjithshme dhe më të rëndësishme matematikore. Ajo u fut në matematikë nga shkencëtari gjerman Georg Cantor (1845-1918) Pas Cantor, koncepti i "bashkësisë" mund të përkufizohet si më poshtë:
- Një grup është një koleksion objektesh që kanë një veti të caktuar, të bashkuara në një tërësi të vetme.
SET ME LAPS
MBLEDHJA E POLISËVE
TOPË E ZOGJVE
TUFJA E LOPËVE
SET CAJI
BUQETË ME LULE
Një grup është një koleksion objektesh të bashkuara sipas një atributi.
Kompletet shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D, etj.
Objektet që përbëjnë një grup quhen elementë të grupit.
shume nga
element
Trapez, paralelogram, romb, katror, drejtkëndësh
Topi, kuboidi, prizmi, piramida, oktaedri
Numrat e plotë
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Numrat çift dyshifrorë
Shumë katërkëndësha
Trupat hapësinorë
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
katrorët e numrave
Shifrat dhjetore
10, 12, 14, 16 … 96, 98
shumë njerëz në diell
bashkësia e këndeve të drejta të një trekëndëshi barabrinjës
grup pikash kryqëzimi të dy drejtëzave paralele
Një grup bosh është një grup që nuk përmban asnjë element.
Emërtimet e disa grupeve numerike:
N është bashkësia e numrave natyrorë;
Z është bashkësia e numrave të plotë;
Q është bashkësia e numrave racionalë;
I - grup numrash irracionalë;
R është bashkësia e numrave realë.
LLOJET E SETIT
Shkruani shkronjat e fjalëve
KUALËT DHE KINO
{ K, O, N, I }
{ FILM }
Komplete të barabarta
LLOJET E SETIT
A \u003d (2; 3; 5; 7; 11; 13);
grupe të fundme
LLOJET E SETIT
{1; 4; 9; 16; 25; …};
{10; 20; 30; 40; 50; …};
Komplete të pafundme
Ndër grupet e listuara më poshtë, tregoni grupet e fundme dhe të pafundme:
a) bashkësinë e numrave që janë shumëfish të 13;
b) bashkësinë e pjesëtuesve të numrit 15;
c) shumë pemë në pyll;
d) bashkësinë e numrave natyrorë;
e) shumë lumenj të rajonit të Rostovit;
f) bashkësinë e rrënjëve të ekuacionit x + 3 = 11;
g) bashkësinë e zgjidhjeve të pabarazisë x + 1 
Përcaktoni grupin e shifrave me të cilat është shkruar numri:
a) 3254; b) 8797; c) 11000; d) 555555.
Përshkruani grupin A:
a) A = (1, 3, 5, 7, 9);
b) A \u003d (- 2, - 1, 0, 1, 2);
c) A = (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99);
Jepet një grup:
M = (5, 4, 6),
P = (4, 5, 6),
T = (5, 6, 7),
S = {4, 6}.
Cili nga pohimet është i pasaktë?
a) M = R b) R ≠ S c) M ≠ T d) P = T
Le PORështë bashkësia e numrave të thjeshtë të formës
7n + 2, ku n ∈ N.
A është i saktë shënimi -5 ∈ A?
1. Në komplet (luan; dhelpër; hienë; elefant; rrëqebull) të gjitha elementet përveç njërit kanë disa veti. a) përshkruani këtë pronë; b) gjeni një element që nuk e ka këtë veti; c) Emërtoni edhe dy elementë që kanë këtë veti. 2. Emri 5 nënbashkësi në grupin e të gjitha ngjyrave të ylberit. 3. Çfarë pasurie në grup rombesh, bie në sy një nëngrup katrorësh?
Shembull: 8 dhe 32
SONDAZH BLITZ
- amfibët, gjitarët, kafshët gjakftohtë etj.
Cilët emra përdoren për t'iu referuar shumë kafshëve?
SONDAZH BLITZ
- kompania, toga, regjimenti, divizioni etj.
Cilët emra përdoren për t'iu referuar grupeve të personelit ushtarak?
SONDAZH BLITZ
- buqetë
Cili është emri i luleve të shumta në një vazo?
SONDAZH BLITZ
- ekuator
Si quhet grupi i pikave në sipërfaqen e tokës që janë në distancë të barabartë nga të dy polet?
SONDAZH BLITZ
- fshat, fshat, qytet, qytet
Cili është emri i shumë vendeve të banuara nga njerëzit?
SONDAZH BLITZ
- ekspozitë, galeri
Cili është emri i grupit të fotografive?
SONDAZH BLITZ
- Arkivi
Cili është emri i grupit të dokumenteve?
SONDAZH BLITZ
- flotilje, skuadrilje
Cilët emra përdoren për të përcaktuar grupet e anijeve?
A - numra natyrorë çift B - numra dyshifrorë
Gjeni bashkimin e këtyre bashkësive.
A B - të jetë një numër çift natyror ose dyshifror
Shembull: 8 dhe 32
A - numra natyrorë çift B - numra dyshifrorë
Gjeni kryqëzimin e këtyre grupeve.
A B - të jetë një numër natyral çift dhe dyshifror
Shembull: 32
Jepet një grup:
A \u003d (2; 3; 8),
B = (2; 3; 8; 11),
C = (5; 11).
Gjeni: 1) AUB; 2) AUC; 3) KUB.
Jepet një grup:
A = ( a , b , c , d },
B = { c , d , e , f },
C = { c , e , g , k }.
Gjeni: (AUB)UC.
Jepet një grup:
A është bashkësia e të gjithë numrave natyrorë të pjesëtueshëm me 10,
B \u003d (1; 2; 3; ..., 41).
Gjeni A∩B.
Zgjidhja e problemit
duke përdorur rrathët e Euler-it
Leonard Euler- Matematikan zviceran, gjerman dhe rus, i cili dha një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e matematikës, si dhe të mekanikës, fizikës, astronomisë dhe një sërë shkencash të aplikuara.
Ka 30 veta në klasë, secili prej të cilëve këndon ose kërcen. Dihet që këndojnë 17 veta, e dinë të kërcejnë 19. Sa njerëz këndojnë dhe kërcejnë në të njëjtën kohë?
valle 19
17+19=36, gjithsej 30
Zgjidhje
Le të jetë A grupi i nxënësve që mund të këndojnë. Numri i elementeve në të, sipas kushteve, është i barabartë me n = 17. Le të jetë B grupi i nxënësve që mund të kërcejnë. Numri i elementeve në të është m = 18. Bashkësia përkon me të gjithë klasën, sepse çdo nxënës në klasë këndon ose kërcen. - ky është grupi i atyre nxënësve të klasës që këndojnë dhe kërcejnë në të njëjtën kohë. Le të jetë numri i tyre i barabartë me k.
Sipas formulës së provuar më sipër
n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.
Përgjigje: 6 nxënës në klasë këndojnë dhe kërcejnë në të njëjtën kohë.
Kompania punëson 67 persona. Prej tyre, 47 dinë anglisht, 35 - gjermane, dhe 23 janë të dyja gjuhët. Sa njerëz në kompani nuk dinë as anglisht, as gjermanisht?
gjermanisht 35
Anglisht 47
Çdo nxënës në klasë mëson anglisht ose frëngjisht. gjuhe angleze Frëngjisht studiojnë 25 studentë, dy gjuhë studiojnë 27 studentë dhe 18 studentë. Sa nxënës janë në klasë?
gjermanisht 27
Anglisht 25
vetëm gjermanisht
vetem anglisht
Përgjigje: ka 34 nxënës në klasë
Bashkësitë A dhe B përmbajnë përkatësisht 5 dhe 6 elemente, dhe bashkësia A ∩ B përmban 2 elemente. Sa elementë janë në grupin A U AT?
Bashkimi përmban 9 elemente
Çdo familje që jeton në shtëpinë tonë përshkruan ose
gazetë, revistë, ose të dyja. 75 familje
abonohen në gazetë, dhe 27 familje abonohen në revistë, dhe vetëm 13 familje abonohen si në revistë ashtu edhe në gazetë. Sa familje jetojnë në shtëpinë tonë?
Gjithsej: 14 + 13 + 62 = 89
Në ditën e sportit shkollor, secili nga 25 nxënësit në datën 9
klasa plotësonte standardin ose në vrapim ose në kërcim së larti. Të dyja standardet janë plotësuar nga 7 persona dhe 11 nxënës kanë plotësuar standardin për vrapim, por nuk kanë plotësuar standardin për kërcime së larti. Sa nxënës e plotësuan standardin: a) në vrapim; b) kërcim së larti; c) për kërcimet, me kusht që standardi për vrapim të mos plotësohet?
Të dielën vizituan 19 nxënës nga klasa jonë
planetarë, 10 në cirk dhe 6 në stadium. Planetariumin dhe cirkun e vizituan 5 nxënës; planetar dhe stadium - 3; cirku dhe stadiumi - 1. Sa nxënës janë në klasën tonë nëse askush nuk ka arritur t'i vizitojë të tre vendet, dhe tre nxënës nuk kanë vizituar asnjë vend?
SHUME NGA
GJENI BASHKIMIN E KOMPLESIVE
ELEMENTI I SETIT
LLOJET E SETIT
GJENI PËRGJIMIN E KOMPLETEVE
MARRËDHËNIET MIDIS
SHUMFISHTA
DIZAJNIMI ME RRETHOJ ELE-VENN
ZGJIDHJA E PROBLEMEVE ME PËRDORIM TË NJOHURIVE EKZISTUESE
Prezantim me temën "Kryqëzimi dhe bashkimi i bashkësive" (opsionale "Gjeometria vizuale" (klasa 3).
Përdorimi teknologjitë e informacionit jo vetëm që ringjalli procesin arsimor (i cili është veçanërisht i rëndësishëm duke pasur parasysh karakteristikat psikologjike të të rinjve mosha shkollore, në veçanti, mbizotërimi afatgjatë i të menduarit vizual-figurativ ndaj abstrakt-logjik), por edhe rriti motivimin për të mësuar në klasë.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjeve:
Kryqëzimi dhe bashkimi i bashkësive. Kundeleva Oksana Evgenievna Mësuesja e shkollës fillore MBOU NOSH nr. 279, Gadzhiyevo, rajoni Murmansk, 2012
Objektivat e mësimit janë të formojnë një ide për bashkimin dhe kryqëzimin e dy grupeve, të mësojnë të gjejnë në "hartën e vendosur" zonën e grupit, që është kryqëzimi ose bashkimi i dy grupeve, për të mësuar të përcaktojë përkatësinë e elementeve në bashkësinë, që është kryqëzimi dhe bashkimi i dy grupeve, për të mësuar të përcaktojë natyrën e marrëdhënies midis dy grupeve të dhëna (prerje, shkëputje, bashkim)
Çfarë është një grup? Një grup është një grup sendesh, objektesh ose qeniesh.
Emërtoni elementet e grupit: “Muajt e vitit” “Stinët” “Kontinentet” “Hipopotamët fluturues” Poligone.
Grerëzën Sorrë Penguin Flutur Tit Struci Sparrow Lexoni emrat e zogjve. Rrethojeni këtë grup. Bëni një mbishkrim në fund: "Zogjtë". ZOGJT Lexoni emrat e kafshëve që mund të fluturojnë. Rrethojeni këtë grup, bëni një mbishkrim në krye: "Ata dinë të fluturojnë". mund të fluturojë Sa elementë janë në kryqëzimin e dy grupeve, d.m.th. njëkohësisht në dy grupe? Pse?
Kryqëzimi i grupeve - pjesë e përbashkët e grupeve Nëse emri i grupit përmban fjalën "AND", atëherë secili nga elementët e tij duhet të jetë në KRYQËZIMIN e dy grupeve - për të jetuar njëkohësisht në dy vende. !
Bashkimi i grupeve Nëse emri i grupit përmban fjalën "OR", atëherë elementi mund të jetë kudo në territorin e dy vendeve - UNION - të jetojnë në të paktën njërin prej tyre. ! ! ! !
Çfarë është një nëngrup? Një nëngrup është një pjesë e një grupi që është pjesë e një grupi të caktuar.
Edukimi fizik Minuta Një - përkulem, zhvishu, Dy - përkulem, shtrihu, Tre - tre duartrokitje në duar, Tri tundje me kokë. Katër krahë më të gjerë, Pesë, gjashtë - uluni të qetë, Shtatë, tetë - le të hedhim poshtë dembelizmin.
Shumë banorë të detit Shumë gjitarë Vizatoni një grup:
Komplete vizatimi: Shumë zogj Shumë peshq
Numrat çift jetojnë në një katror. Numrat dyshifrorë jetojnë në një trekëndësh. Shkruani saktë çdo numër. Ngjyrosni në figurë zonën ku jetojnë numrat dyshifrorë. 2, 47, 16, 8, 17, 32, 6, 53 2 47 16 8 17 32 53 6
Gjeni përcaktimin e secilit grup në tabelë dhe plotësoni rrathët në figurë. Bashkësitë: drejtkëndësha katërkëndësha shumëkëndësha katrorë Sa bashkësi janë rrethuar? Cili është grupi më i madh? Me çfarë ngjyre duhet të mbushet rrethi më i madh? Cili është më i madhi nga të tjerët?
Komplete: Kafshët Kafshët Peshku Zogj Bimë Pulëbardhë Dhelpra Ajsberg Gjirafë Pishë Lumi Tulipan Milingonë Fleuder Gjeni dhe rregulloni elementet e grupeve në figurat në figurë: shkruani shkronjën e parë të secilës fjalë nga lista
C K M T R S J A L
Mbani mend! Grupet nuk ndërpriten Bashkësitë nuk kryqëzohen: Një grup është një nëngrup i një tjetri Një grup është një nëngrup i një tjetri: Kompletet kryqëzohen: Kombinohen bashkësitë:
Shihemi në mësimin tjetër!!!
A.V. Goryachev, K.I. Gorina dhe të tjerë.Informatika në lojëra dhe detyra, Klasa 3, Udhëzime për mësuesit, M., "Ballas", 2004 A.V. Goryachev, K.I. Gorina dhe të tjerë.Libër mësuesi "Informatika në lojëra dhe detyra", klasa 3, pjesa 2, M., "Ballas", 2004 http://festival.1september.ru/articles/505635/ Mësim informatikë me temën "Set. Nëngrup. Kryqëzimi i grupeve" Shchepina Zinaida Nikolaevna, mësuese e shkollës fillore
