حتى الآن ، نظرنا فقط في QSs التي يمكن فيها خدمة كل مطالبة من خلال قناة واحدة فقط ؛ لا يمكن للقنوات الخاملة "مساعدة" شخص مشغول في الخدمة.
بشكل عام ، ليس هذا هو الحال دائمًا: هناك أنظمة انتظار حيث يمكن تقديم نفس الطلب في وقت واحد من خلال قناتين أو أكثر. على سبيل المثال ، يمكن أن تخدم نفس الآلة الفاشلة عاملين في وقت واحد. يمكن أن تتم هذه "المساعدة المتبادلة" بين القنوات في كل من QS المفتوحة والمغلقة.
عند التفكير في منظمات الإدارة الجماعية بمساعدة متبادلة بين القنوات ، يجب أخذ عاملين في الاعتبار:
1. ما مدى سرعة خدمة التطبيق عندما لا تعمل عليه قناة واحدة ، ولكن تعمل عليها عدة قنوات في وقت واحد؟
2. ما هو "نظام المساعدة المتبادلة" ، أي متى وكيف تتولى عدة قنوات خدمة نفس الطلب؟
لنفكر في السؤال الأول أولاً. من الطبيعي أن نفترض أنه إذا كانت هناك أكثر من قناة واحدة ، ولكن عدة قنوات ، تعمل على خدمة طلب ما ، فلن تنخفض شدة تدفق الخدمة مع زيادة k ، أي أنها ستكون دالة معينة غير متناقصة للرقم k من قنوات العمل. دعنا نشير إلى هذه الوظيفة ، والشكل المحتمل للدالة موضح في الشكل. 5.11.
من الواضح أن الزيادة غير المحدودة في عدد القنوات العاملة في وقت واحد لا تؤدي دائمًا إلى زيادة تناسبية في معدل الخدمة ؛ من الطبيعي أن نفترض أنه عند قيمة حرجة معينة ، لم تعد الزيادة الإضافية في عدد القنوات المشغولة تزيد من كثافة الخدمة.
لتحليل تشغيل QS بمساعدة متبادلة بين القنوات ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء تحديد نوع الوظيفة
ستكون أبسط حالة للتحقيق هي الحالة التي تزداد فيها الوظيفة بشكل متناسب مع k عندما تظل a ثابتة ومتساوية عند a (انظر الشكل 5.12). إذا ، بالإضافة إلى ذلك ، لا يتجاوز العدد الإجمالي للقنوات التي يمكن أن تساعد بعضها البعض
لننتقل الآن إلى السؤال الثاني: نظام المساعدة المتبادلة. أبسط حالة في هذا التخصص سنقوم بتعيينها بشكل مشروط على أنها "الكل كواحد". هذا يعني أنه عند ظهور طلب واحد ، تبدأ جميع القنوات في تقديمه مرة واحدة وتظل مشغولة حتى تنتهي خدمة هذا الطلب ؛ ثم تتحول جميع القنوات إلى خدمة طلب آخر (إذا كان موجودًا) أو تنتظر ظهوره إذا لم يكن موجودًا ، وما إلى ذلك. من الواضح ، في هذه الحالة ، أن جميع القنوات تعمل كواحدة واحدة ، وتصبح QS قناة واحدة ، ولكن مع أعلى كثافة الخدمة.
السؤال الذي يطرح نفسه: هل من المفيد أو غير المواتي تقديم مثل هذه المساعدة المتبادلة بين القنوات؟ تعتمد الإجابة على هذا السؤال على شدة تدفق التطبيقات ، ونوع الوظيفة ، ونوع QS (مع الإخفاقات ، مع قائمة الانتظار) ، وما القيمة التي يتم اختيارها كخاصية لكفاءة الخدمة.
مثال 1. هناك ثلاث قنوات QS مع حالات فشل: شدة تدفق التطبيقات (التطبيقات في الدقيقة) ، متوسط وقت الخدمة لتطبيق واحد بقناة واحدة (دقيقة) ، الوظيفة "؟ هل هو مفيد من وجهة نظر تخفيض متوسط مدة الإقامة لتطبيق في النظام؟
الحل أ. بدون مساعدة متبادلة
من خلال صيغ Erlang (انظر الفقرة 4) لدينا:
القدرة النسبية QS ؛
عرض النطاق الترددي المطلق:
تم العثور على متوسط وقت الإقامة للتطبيق في QS على أنه احتمال قبول الطلب للخدمة ، مضروبًا في متوسط وقت الخدمة:
الجست (دقيقة).
لا ينبغي أن ننسى أن متوسط الوقت هذا ينطبق على جميع الطلبات - سواء التي تمت خدمتها أو لم تتم خدمتها. قد نكون مهتمين بمتوسط الوقت الذي سيظل فيه الطلب الموفر الخدمة في النظام. هذه المرة:
6. مع المساعدة المتبادلة.
متوسط وقت إقامة الطلب في CMO:
متوسط وقت الإقامة لطلب مخدوم في QS:
وبالتالي ، في ظل وجود المساعدة المتبادلة "الكل كواحد" ، انخفض إنتاجية SMO بشكل ملحوظ. يفسر ذلك زيادة احتمالية الفشل: فبينما تكون جميع القنوات مشغولة بخدمة تطبيق واحد ، قد تأتي التطبيقات الأخرى ويتم رفضها بطبيعة الحال. أما بالنسبة لمتوسط مدة إقامة أحد الطلبات في CMO ، فقد انخفض كما هو متوقع. إذا كنا ، لسبب ما ، نسعى جاهدين لتقليل الوقت الذي يقضيه التطبيق في QS بكل طريقة ممكنة (على سبيل المثال ، إذا كان البقاء في QS يشكل خطورة على التطبيق) ، فقد يتضح ذلك ، على الرغم من الانخفاض في الإنتاجية ، سيظل من المفيد دمج ثلاث قنوات في قناة واحدة.
دعونا ننظر الآن في تأثير المساعدة المتبادلة "الكل كواحد" على عمل منظمات الإدارة الجماعية مع التوقع. من أجل التبسيط ، نأخذ فقط حالة قائمة انتظار غير محدودة. بطبيعة الحال ، فإن آثار المساعدة المتبادلة على الإنتاجيةلن يكون هناك CMO في هذه الحالة ، لأنه في ظل أي ظروف سيتم تقديم جميع الطلبات الواردة. السؤال الذي يطرح نفسه حول تأثير المساعدة المتبادلة على خصائص الانتظار: متوسط طول قائمة الانتظار ، ومتوسط وقت الانتظار ، ومتوسط الوقت الذي يقضيه في QS.
بموجب الصيغ (6.13) ، (6.14) § 6 للخدمة دون مساعدة متبادلة ، سيكون متوسط عدد العملاء في قائمة الانتظار
متوسط وقت الانتظار:
ومتوسط الوقت الذي يقضيه النظام:
إذا تم استخدام المساعدة المتبادلة من النوع "الكل كواحد" ، فسيعمل النظام كنظام أحادي القناة مع معلمات
ويتم تحديد خصائصها بواسطة الصيغ (5.14) ، (5.15) § 5:
مثال 2. هناك ثلاث قنوات QS مع قائمة انتظار غير محدودة ؛ شدة تدفق التطبيقات (التطبيقات في الدقيقة) ، متوسط وقت الخدمة الوظيفة مفيدة في ضوء:
متوسط طول قائمة الانتظار
متوسط وقت انتظار الخدمة ،
متوسط وقت إقامة الطلب في CMO
تقديم المساعدة المتبادلة بين القنوات مثل "الكل كواحد"؟
الحل أ. لا توجد مساعدة متبادلة.
حسب الصيغ (9.1) - (9.4) لدينا
(3-2)
ب. مع المساعدة المتبادلة
بالصيغ (9.5) - (9.7) نجد ؛
وبالتالي ، يكون متوسط طول قائمة الانتظار ومتوسط وقت الانتظار في قائمة الانتظار في حالة المساعدة المتبادلة أكبر ، ولكن متوسط الوقت الذي يقضيه التطبيق في النظام أقل.
من الأمثلة المدروسة يتضح أن المساعدة المتبادلة بين ك؟ لا يساهم نوع "الكل كواحد" من النقد ، كقاعدة عامة ، في تحسين كفاءة الخدمة: الوقت الذي يقضيه تطبيق في QS يتناقص ، لكن الخصائص الأخرى للخدمة تزداد سوءًا.
لذلك ، من المستحسن تغيير نظام الخدمة بحيث لا تتداخل المساعدة المتبادلة بين القنوات مع قبول الطلبات الجديدة للخدمة إذا ظهرت خلال الوقت الذي تكون فيه جميع القنوات مشغولة.
دعونا نسمي "المساعدة المتبادلة الموحدة" النوع التالي من المساعدة المتبادلة. إذا وصل الطلب في الوقت الذي تكون فيه جميع القنوات مجانية ، فسيتم قبول جميع القنوات لخدمتها ؛ إذا ، في وقت تقديم الطلب ، وصل آخر ، فإن بعض القنوات تتحول إلى خدمته ؛ إذا ، أثناء تقديم هذين الطلبين ، وصل طلب آخر ، وتحولت بعض القنوات لخدمته ، وهكذا ، حتى يتم شغل جميع القنوات ؛ إذا كان الأمر كذلك ، يتم رفض المطالبة التي وصلت حديثًا (في QS مع حالات الرفض) أو وضعها في قائمة الانتظار (في QS مع الانتظار).
من خلال نظام المساعدة المتبادلة هذا ، يتم رفض الطلب أو وضعه في قائمة الانتظار فقط عندما لا يكون من الممكن تقديمه. أما بالنسبة إلى "فترة تعطل" القنوات ، فهي في حدها الأدنى في ظل هذه الظروف: إذا كان هناك تطبيق واحد على الأقل في النظام ، فإن جميع القنوات تعمل.
ذكرنا أعلاه أنه عند ظهور طلب جديد ، يتم تحرير بعض القنوات المشغولة وتحويلها إلى خدمة الطلب الجديد. اي جزء؟ يعتمد على نوع الوظيفة ، إذا كان لها شكل علاقة خطية كما هو مبين في الشكل. 5.12 ، ولا يهم أي جزء من القنوات يتم تخصيصه لخدمة طلب تم استلامه حديثًا ، طالما أن جميع القنوات مشغولة (عندئذٍ ستساوي الكثافة الإجمالية للخدمات لأي توزيع للقنوات حسب الطلبات). يمكن إثبات أنه إذا كان المنحنى محدبًا لأعلى كما هو موضح في الشكل. 5.11 ، فأنت بحاجة إلى توزيع القنوات بين التطبيقات بالتساوي قدر الإمكان.
دعونا نفكر في عمل قناة QS بمساعدة متبادلة "موحدة" بين القنوات.
نظام المعادلات
QS مع الإخفاقات لعدد عشوائي من تدفقات الخدمة هو نموذج متجه لتدفقات بواسون. الرسم البياني ، نظام المعادلات.
دعونا نمثل QS كمتجه ، أين كمهو عدد الطلبات في النظام ، تتم خدمة كل منها مالأجهزة؛ إل= فالأعلى- ف min +1 هو عدد تدفقات الإدخال.
إذا تم قبول الطلب للخدمة ودخل النظام في حالة كثافة λ م.
عند الانتهاء من خدمة أحد الطلبات ، سينتقل النظام إلى حالة يكون فيها الإحداثي المقابل لها قيمة أقل بمقدار واحد مما هو عليه في الحالة ، = ، أي سيحدث الانتقال العكسي.
مثال على نموذج متجه QS لـ ن = 3, إل = 3, فدقيقة = 1 ، فماكس = 3 ، ص(م) = 1/3 ، λ Σ = λ ، كثافة صيانة الجهاز هي μ.
يتم تجميع نظام المعادلات الجبرية الخطية من الرسم البياني للحالات ذات شدة الانتقال المطبقة. من حل هذه المعادلات ، تم إيجاد الاحتمالات ر() ، والتي يتم من خلالها تحديد خصائص QS.
QS مع قائمة انتظار لانهائية لتدفقات بواسون. الرسم البياني ونظام المعادلات نسب التصميم.
الرسم البياني للنظام
نظام المعادلات
أين ن- عدد قنوات الخدمة ، ل- عدد قنوات المساعدة المتبادلة
QS مع قائمة انتظار لانهائية ومساعدة متبادلة جزئية للتدفقات التعسفية. الرسم البياني ، نظام المعادلات ، النسب المحسوبة.
الرسم البياني للنظام
نظام المعادلات
–λ ر 0 + نμ ر 1 =0,
.………………
–(λ + نμ) ك+ λ ك –1 + نμ ك +1 =0 (ك = 1,2, ... , ن–1),
……………....
-(λ+ نμ) ص ن+ λ ص ن –1 + نμ ف ن + 1=0,
……………….
-(λ+ نμ) Pn + j+ λ Р n + j –1 + نμ Р n + j + 1= 0 ، ي = (1،2 ،…. ، ∞)
QS مع قائمة انتظار لانهائية ومساعدة متبادلة كاملة للتدفقات التعسفية. الرسم البياني ، نظام المعادلات ، النسب المحسوبة.
الرسم البياني للنظام
|
نظام المعادلات
QS مع قائمة انتظار محدودة لتدفقات بواسون. الرسم البياني ، نظام المعادلات ، النسب المحسوبة.
الرسم البياني للنظام
نظام المعادلات
نسب التصميم:
,
دعونا نفكر في نظام الاصطفاف متعدد القنوات (هناك عدد n من القنوات في المجموع) ، حيث تصل الطلبات بمعدل λ ويتم خدمتها بمعدل μ. تتم خدمة الطلب الذي وصل إلى النظام إذا كانت قناة واحدة على الأقل مجانية. إذا كانت جميع القنوات مشغولة ، فسيتم رفض الطلب التالي الذي يدخل النظام ويترك QS. نقوم بترقيم حالات النظام بعدد القنوات المشغولة:
- س 0 - جميع القنوات مجانية ؛
- س 1 - قناة واحدة مشغولة ؛
- س 2 - قناتان مشغولتان ؛
- سك- مشغول كالقنوات.
- سن- جميع القنوات مشغولة.
أرز. 7.24
يوضح الشكل 6.24 رسمًا بيانيًا للحالة فيه سأنا- رقم القناة؛ λ هي كثافة استلام الطلبات ؛ μ
- على التوالي ، شدة طلبات الخدمة. تدخل التطبيقات إلى نظام قائمة الانتظار بكثافة ثابتة وتحتل القنوات تدريجيًا واحدة تلو الأخرى ؛ عندما تكون جميع القنوات مشغولة ، سيتم رفض الطلب التالي الذي يصل إلى QS ومغادرة النظام.
دعونا نحدد شدة تدفقات الحدث التي تنقل النظام من حالة إلى أخرى عند التحرك من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار على طول الرسم البياني للحالة.
على سبيل المثال ، دع النظام يكون في الحالة س 1 ، أي قناة واحدة مشغولة ، نظرًا لوجود طلب عند إدخالها. بمجرد معالجة الطلب ، سيتحول النظام إلى الحالة س 0 .
على سبيل المثال ، إذا كانت قناتان مشغولتان ، فإن تدفق الخدمة الذي ينقل النظام من الحالة س 2 لكل ولاية س 1 ستكون شدته مرتين: 2-μ ؛ على التوالي ، إذا كان مشغولاً كالقنوات ، الشدة تساوي k-μ.
عملية الخدمة هي عملية موت وتكاثر. سيكون لمعادلات Kolmogorov لهذه الحالة بالذات الشكل التالي:
(7.25)
تسمى المعادلات (7.25) معادلات إرلانج
.
من أجل إيجاد قيم احتمالات الحالات ر 0 , ر 1 , …, رن، من الضروري تحديد الشروط الأولية:
– ر 0 (0) = 1 ، أي أن هناك طلبًا عند إدخال النظام ؛
– ر 1 (0) = ر 2 (0) = … = رن(0) = 0 ، أي في لحظة أوليةالوقت الذي يكون فيه النظام مجانيًا.
بعد دمج نظام المعادلات التفاضلية (7.25) ، نحصل على قيم احتمالات الحالة ر 0 (ر), ر 1 (ر), … رن(ر).
لكننا مهتمون أكثر بكثير باحتمالات الحد من الدول. نظرًا لأن t → ∞ وباستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها عند النظر في عملية الموت والتكاثر ، نحصل على حل نظام المعادلات (7.25):
(7.26)
في هذه الصيغ ، نسبة الشدة λ / μ
لتدفق التطبيقات من الملائم تعيينها ρ
. هذه القيمة تسمى انخفاض كثافة تدفق التطبيقات ،أي متوسط عدد الطلبات التي تصل إلى QS لمتوسط وقت الخدمة لتطبيق واحد.
مع الأخذ في الاعتبار الترميز أعلاه ، يأخذ نظام المعادلات (7.26) الشكل التالي:
(7.27)
تسمى هذه الصيغ لحساب الاحتمالات الهامشية صيغ إرلانغ
.
بمعرفة جميع احتمالات حالات QS ، نجد خصائص كفاءة QS ، أي الإنتاجية المطلقة لكن، الإنتاجية النسبية سواحتمال الفشل رافتح
سيتم رفض الطلب الذي يدخل النظام إذا وجد أن جميع القنوات مشغولة:
.
احتمال قبول الطلب للخدمة:
س = 1 – ر otk
أين سهو متوسط حصة الطلبات المستلمة التي يخدمها النظام ، أو متوسط عدد الطلبات التي يتم تقديمها بواسطة QS لكل وحدة زمنية ، مقسومًا على متوسط عدد الطلبات المستلمة خلال هذا الوقت:
A = λ Q = λ (1-P مفتوح)
بالإضافة إلى ذلك ، أحد أهم الخصائص QS مع الفشل هو متوسط القنوات المشغولة. في ن-قناة QS مع الإخفاقات ، يتزامن هذا الرقم مع متوسط عدد التطبيقات في QS.
يمكن حساب متوسط عدد التطبيقات k مباشرة من حيث احتمالات الحالات Р 0 ، Р 1 ، ... ، Р n:
,
أي نجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة من 0 إلى نمع الاحتمالات ر 0 , ر 1 , …, رن.
من الأسهل التعبير عن قيمة k من حيث الإنتاجية المطلقة لـ QS ، أي ج. قيمة A هي متوسط عدد التطبيقات التي يخدمها النظام لكل وحدة زمنية. تخدم قناة واحدة مشغولة طلبات μ لكل وحدة زمنية ، ثم متوسط عدد القنوات المشغولة
صياغة المشكلة.في المدخل ن-تستقبل القناة QS أبسط تدفق للطلبات بكثافة λ. كثافة أبسط تدفق خدمة لكل قناة تساوي μ. إذا وجد طلب الخدمة المستلم أن جميع القنوات مجانية ، فسيتم قبولها للخدمة وصيانتها في وقت واحد ل قنوات ( ل < ن). في هذه الحالة ، سيكون لتدفق الخدمة لطلب واحد كثافة ل.
إذا وجد طلب الخدمة المتلقاة طلبًا واحدًا في النظام ، فحينئذٍ ن ≥ 2لسيتم قبول الطلب الذي وصل حديثًا للخدمة وسيتم تقديمه في وقت واحد لالقنوات.
إذا تم استلام طلب للصيانة يجد في النظام أناتطبيقات ( أنا= 0،1 ، ...) ، بينما ( أنا+ 1)ل≤ ن، ثم ستتم معالجة الطلب المستلم لقنوات بسعة إجمالية ل. إذا وجد تطبيق تم استلامه حديثًا في النظام يالطلبات ، ويتم استيفاء اثنين من عدم المساواة في وقت واحد: ( ي + 1)ل > نو ي < نثم يتم قبول الطلب للخدمة. في هذه الحالة ، يمكن تقديم بعض التطبيقات لالقنوات ، والجزء الآخر أصغر من ل, عدد القنوات ، ولكن جميعها نالقنوات التي يتم توزيعها بشكل عشوائي بين التطبيقات. إذا تم العثور على تطبيق تم استلامه حديثًا في النظام نالطلبات ، تم رفضها ولن يتم تقديمها. التطبيق الذي تمت خدمته يتم خدمته حتى النهاية (التطبيقات هي "المريض").
يظهر الرسم البياني لحالة مثل هذا النظام في الشكل. 3.8
أرز. 3.8 QS حالة الرسم البياني مع الفشل والجزئية
المساعدة المتبادلة بين القنوات
لاحظ أن الرسم البياني لحالة النظام يصل إلى الحالة x حيتزامن مع الرسم البياني للحالة لنظام الاصطفاف الكلاسيكي مع حالات الفشل الموضحة في الشكل 2 ، حتى تدوين معلمات التدفق. 3.6
بالتالي،
(أنا
= 0, 1, ..., ح).
رسم بياني لحالات النظام ، بدءًا من الحالة x حوتنتهي بالدولة x ن، حتى التدوين مع الرسم البياني لحالة QS مع المساعدة المتبادلة الكاملة ، كما هو موضح في الشكل. 3.7 في هذا الطريق،
.
نقدم الترميز λ / لμ = ρ ل ; λ / نμ = χ ، إذن
مع الأخذ بعين الاعتبار الحالة الطبيعية ، نحصل عليها
لاختصار التدوين الإضافي ، نقدم الترميز
ابحث عن خصائص النظام.
احتمالية خدمة التطبيق
متوسط عدد التطبيقات في النظام ،
متوسط القنوات المشغولة
.
احتمالية أن تكون قناة معينة مشغولة
.
احتمال شغل جميع قنوات النظام
3.4.4. أنظمة قائمة الانتظار مع الفشل والتدفقات غير المتجانسة
صياغة المشكلة.في المدخل ن- تستقبل القناة QS تدفقًا أوليًا غير متجانس بكثافة إجمالية λ Σ و
λ Σ
=
,
أين λ أنا- كثافة التطبيقات في أنا-م المصدر.
نظرًا لأن تدفق الطلبات يعتبر تراكبًا للمتطلبات من مصادر مختلفة ، يمكن اعتبار التدفق المشترك بدقة كافية للممارسة Poisson لـ ن = 5 ... 20 و λ أنا ≈ λ أنا +1 (أنا1,ن). يتم توزيع كثافة الخدمة لجهاز واحد وفقًا للقانون الأسي وتساوي μ = 1 / ر. يتم توصيل أجهزة الخدمة لخدمة تطبيق ما في سلسلة ، وهو ما يعادل زيادة وقت الخدمة بمقدار أضعاف عدد الأجهزة التي يتم دمجها للخدمة:
ر Obs = كيلوطن، μ obs = 1 / كيلوطن = μ/ ك,
أين ر Obs - طلب وقت الخدمة ؛ ك- عدد أجهزة الخدمة ؛ μ obs - كثافة خدمة التطبيق.
في إطار الافتراضات الواردة في الفصل 2 ، نمثل حالة QS كمتجه ، حيث ك مهو عدد الطلبات في النظام ، تتم خدمة كل منها مالأجهزة؛ إل = فالأعلى- ف min +1 هو عدد تدفقات الإدخال.
ثم عدد الأجهزة المشغولة والمجانية ( نزان ( 
),نسيفرت ( 
)) قادر 
يعرف على النحو التالي:
خارج الدولة 
يمكن للنظام أن يذهب إلى أي دولة أخرى 
. منذ النظام إلتدفقات الإدخال ، فمن المحتمل أن يكون ذلك ممكنًا من كل حالة إلانتقالات مباشرة. ومع ذلك ، نظرًا لمحدودية موارد النظام ، ليست كل هذه التحولات ممكنة. دع QS يكون في الدولة 
ويصل طلب يتطلب مالأجهزة. اذا كان م≤ نسيفرت ( 
) ، ثم يتم قبول الطلب للخدمة ويدخل النظام في حالة كثافة λ م. إذا كان التطبيق يتطلب أجهزة أكثر من الأجهزة المجانية ، فسيتم رفض الخدمة ، وستبقى QS في الحالة 
. إذا كان قادرا 
هناك تطبيقات تتطلب مالأجهزة ، ثم تتم صيانة كل منها بكثافة م، والكثافة الإجمالية لخدمة مثل هذه الطلبات (μ م) على أنها μ م
= ك م μ
/ م. عند اكتمال خدمة أحد الطلبات ، سينتقل النظام إلى حالة يكون فيها الإحداثي المقابل لها قيمة أقل بمقدار واحد مما هو عليه في الحالة 
,
= ، أي سيحدث الانتقال العكسي. على التين. يوضح الشكل 3.9 مثالاً لنموذج متجه QS لـ ن
= 3, إل
= 3, فدقيقة = 1 ، فماكس = 3 ، ص(م) = 1/3 ، λ Σ = λ ، كثافة صيانة الجهاز هي μ.
أرز. 3.9 مثال على رسم بياني لنموذج متجه QS مع رفض الخدمة
لذلك كل دولة 
تتميز بعدد الطلبات المخدومة من نوع معين. على سبيل المثال ، في الدولة 
يتم تقديم مطالبة واحدة بجهاز واحد ومطالبة واحدة بواسطة جهازين. في هذه الحالة ، تكون جميع الأجهزة مشغولة ، وبالتالي ، لا يمكن إلا إجراء انتقالات عكسية (يؤدي وصول أي عميل في هذه الحالة إلى رفض الخدمة). إذا انتهت خدمة الطلب من النوع الأول في وقت سابق ، فسيقوم النظام بالتبديل إلى الحالة 
(0،1،0) بكثافة μ ، ولكن إذا انتهت خدمة النوع الثاني من الطلب في وقت سابق ، فسينتقل النظام إلى الحالة 
(0،1،0) بكثافة μ / 2.
يتم تجميع نظام المعادلات الجبرية الخطية من الرسم البياني للحالات ذات شدة الانتقال المطبقة. من حل هذه المعادلات ، تم إيجاد الاحتمالات ر(
) ، والتي يتم من خلالها تحديد خاصية QS.
ضع في اعتبارك البحث ر otk (احتمال رفض الخدمة).
,
أين سهو عدد حالات الرسم البياني لنموذج متجه QS ؛ ر(
) هو احتمال وجود النظام في الحالة 
.
يتم تحديد عدد الولايات وفقًا لما يلي:
,
(3.22)
;
دعونا نحدد عدد حالات نموذج متجه QS وفقًا لـ (3.22) للمثال الموضح في الشكل. 3.9
.
بالتالي، س = 1 + 5 + 1 = 7.
لتنفيذ المتطلبات الحقيقية لأجهزة الخدمة ، عدد كبير بما فيه الكفاية من ن
(40 ، ... ، 50) ، وطلبات عدد أجهزة الخدمة للتطبيق العملي تقع في نطاق 8-16. مع هذه النسبة من الأدوات والطلبات ، تصبح الطريقة المقترحة لإيجاد الاحتمالات مرهقة للغاية ، منذ ذلك الحين يحتوي نموذج ناقل QS على عدد كبير من الحالات س(50)
= 1790, س(60)
= 4676, س(70) = 11075 ، وحجم مصفوفة معاملات نظام المعادلات الجبرية يتناسب مع المربع س، والتي تتطلب قدرًا كبيرًا من ذاكرة الكمبيوتر وقدرًا كبيرًا من وقت الكمبيوتر. حفزت الرغبة في تقليل مقدار الحساب البحث عن الاحتمالات الحسابية المتكررة ر(
) على أساس الأشكال المضاعفة لتمثيل احتمالات الدولة. تقدم الورقة مقاربة للحساب ر(
):
(3.23)
إن استخدام معيار التكافؤ بين الأرصدة العالمية والمفصلة لسلاسل ماركوف المقترحة في الورقة يجعل من الممكن تقليل أبعاد المشكلة وإجراء العمليات الحسابية على جهاز كمبيوتر ذي طاقة متوسطة باستخدام تكرار الحسابات. بالإضافة إلى ذلك ، هناك إمكانية:
- احسب لأي قيم ن;
- تسريع الحساب وتقليل تكلفة وقت الآلة.
يمكن تعريف الخصائص الأخرى للنظام بالمثل.
