Smo mit gegenseitiger Unterstützung zwischen den Kanälen. Klassifizierung von Warteschlangensystemen

Formulierung des Problems. Am Eingang n-Kanal QS empfängt den einfachsten Fluss von Anforderungen mit der Dichte λ. Die Dichte des einfachsten Serviceflusses jedes Kanals ist gleich μ. Wenn eine für den Dienst empfangene Anforderung alle Kanäle frei findet, dann wird sie für den Dienst angenommen und gleichzeitig bedient l Kanäle ( l < n). In diesem Fall hat der Servicefluss einer Anfrage eine Intensität l.

Wenn eine zur Wartung empfangene Anfrage eine Anfrage im System findet, dann n ≥ 2l Neu eingetroffene Anwendungen werden für den Service angenommen und gleichzeitig bedient l Kanäle.

Wenn ein Antrag auf Wartung im System gefunden wird ich Anwendungen ( ich= 0,1, ...), während ( ich+ 1)l≤ n, dann wird die empfangene Anfrage bearbeitet l Kanäle mit einer Gesamtkapazität l. Wenn eine neu eingegangene Bewerbung im System findet j Anforderungen, und zwei Ungleichungen werden gleichzeitig erfüllt: ( j + 1)l > n und j < n, dann wird die Anwendung zur Zustellung angenommen. In diesem Fall können einige Anwendungen bedient werden l Kanäle, der andere Teil kleiner als l, Anzahl der Kanäle, aber alle n Kanäle, die zufällig auf die Anwendungen verteilt werden. Wenn eine neu eingegangene Bewerbung im System gefunden wird n Anträge werden abgelehnt und nicht zugestellt. Eine Anwendung, die gewartet wurde, wird bis zum Ende gewartet (Anwendungen sind "geduldig").

Der Zustandsgraph eines solchen Systems ist in Abb. 3.8.

Reis. 3.8. QS-Zustandsgraph mit Ausfällen und teilweise

gegenseitige Unterstützung zwischen den Kanälen

Beachten Sie, dass der Zustandsgraph des Systems bis zum Zustand x h stimmt mit dem in Abb. 1 dargestellten Zustandsgraphen des klassischen Warteschlangensystems mit Ausfällen bis auf die Notation der Flussparameter überein. 3.6.

Folglich,

(ich = 0, 1, ..., h).

Diagramm der Systemzustände, ausgehend vom Zustand x h und endet mit dem Staat x n, stimmt bis zur Notation mit dem in Abb. 3.7. Auf diese Weise,

.

Wir führen die Notation λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, dann

Unter Berücksichtigung der normierten Bedingung erhalten wir

Um die weitere Notation abzukürzen, führen wir die Notation ein

Finden Sie die Eigenschaften des Systems.

Anwendungsdienstwahrscheinlichkeit

Die durchschnittliche Anzahl von Anwendungen im System,

Durchschnittlich ausgelastete Kanäle

.

Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Kanal belegt sein wird

.

Die Wahrscheinlichkeit der Belegung aller Kanäle des Systems

3.4.4. Warteschlangensysteme mit Ausfällen und inhomogenen Strömungen

Formulierung des Problems. Am Eingang n-Kanal QS erhält eine inhomogene Elementarströmung mit einer Gesamtintensität λ Σ , und

λ Σ = ,

wo λ ich- die Intensität der Anwendungen in ich-m Quelle.

Da der Anforderungsfluss als Überlagerung von Anforderungen aus verschiedenen Quellen betrachtet wird, kann der kombinierte Fluss mit ausreichender Genauigkeit für die Praxis als Poisson für betrachtet werden N = 5...20 und λ ich ≈ λ ich +1 (ich1,N). Die Serviceintensität eines Gerätes verteilt sich nach dem Exponentialgesetz und ist gleich μ = 1/ t. Wartungsgeräte zur Wartung einer Anwendung werden in Reihe geschaltet, was einer Erhöhung der Wartungszeit um das Vielfache entspricht, wie viele Geräte zur Wartung zusammengeschlossen werden:

t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

wo t obs – Dienstzeit anfordern; k- die Anzahl der Servicegeräte; μ obs - die Intensität des Anwendungsdienstes.

Im Rahmen der in Kapitel 2 getroffenen Annahmen stellen wir den QS-Zustand als Vektor dar, wobei k m ist die Anzahl der Anforderungen im System, von denen jede bedient wird m Haushaltsgeräte; L = q max- q min +1 ist die Anzahl der Eingabeströme.

Dann die Anzahl der belegten und freien Geräte ( n Zan ( ),n sv ( )) fähig ist wie folgt definiert:

Nicht im Land das System kann in jeden anderen Zustand gehen . Da hat das System L Eingangsströme, dann ist es potenziell aus jedem Zustand möglich L direkte Übergänge. Aufgrund der begrenzten Ressourcen des Systems sind jedoch nicht alle diese Übergänge durchführbar. Lassen Sie das QS im Zustand sein und ein Antrag kommt erforderlich m Haushaltsgeräte. Wenn ein m≤ n sv ( ), dann wird die Anfrage für den Dienst angenommen und das System geht in einen Zustand mit der Intensität λ m. Wenn die Anwendung mehr Geräte benötigt, als es freie gibt, erhält sie einen Denial-of-Service und der QS bleibt im Zustand . Wenn möglich Es gibt Anwendungen, die erforderlich sind m Geräte, dann wird jedes von ihnen intensiv gewartet  m, und die Gesamtintensität der Bearbeitung solcher Anfragen (μ m) ist als μ definiert m = k m μ / m. Wenn die Bedienung einer der Anforderungen abgeschlossen ist, geht das System in einen Zustand, in dem die entsprechende Koordinate einen Wert hat, der um eins kleiner ist als in dem Zustand ,=, d.h. Es findet ein umgekehrter Übergang statt. Auf Abb. 3.9 zeigt ein Beispiel eines QS-Vektormodells für n = 3, L = 3, q min = 1, q max=3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, die Intensität der Instrumentenpflege ist μ.

Reis. 3.9. Ein Beispiel für einen QS-Vektormodellgraphen mit Denial-of-Service

Also jedes Bundesland gekennzeichnet durch die Anzahl bedienter Anfragen eines bestimmten Typs. Zum Beispiel in einem Staat
Ein Anspruch wird von einem Gerät und ein Anspruch von zwei Geräten bedient. In diesem Zustand sind alle Geräte beschäftigt, daher sind nur umgekehrte Übergänge möglich (das Eintreffen eines beliebigen Kunden in diesem Zustand führt zu einer Dienstverweigerung). Wenn die Bedienung der Anforderung des ersten Typs früher endete, wechselt das System in den Zustand (0,1,0) mit der Intensität μ, aber wenn der Dienst des zweiten Anforderungstyps früher endete, geht das System in den Zustand über (0,1,0) mit Intensität μ/2.

Ein System linearer algebraischer Gleichungen wird aus dem Graphen von Zuständen mit angewandten Übergangsintensitäten zusammengestellt. Aus der Lösung dieser Gleichungen werden die Wahrscheinlichkeiten gefunden R(), durch die das QS-Merkmal bestimmt wird.

Überlege zu finden R otk (Denial-of-Service-Wahrscheinlichkeit).

,

wo S die Anzahl der Graphenzustände des QS-Vektormodells ist; R() ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in dem Zustand befindet .

Die Anzahl der Zustände gemäß ist wie folgt definiert:

, (3.22)

;

Bestimmen wir die Anzahl der Zustände des QS-Vektormodells nach (3.22) für das in Abb. 3.9.

.

Folglich, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Um reale Anforderungen an Servicegeräte umzusetzen, ist eine ausreichend große Anzahl von n (40, ..., 50), und die Anforderungen an die Anzahl der Servicegeräte der Anwendung liegen in der Praxis im Bereich von 8–16. Bei einem solchen Verhältnis von Instrumenten und Anforderungen wird der vorgeschlagene Weg zum Auffinden der Wahrscheinlichkeiten äußerst umständlich, da Das QS-Vektormodell hat eine große Anzahl von Zuständen S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = 11075, und die Größe der Koeffizientenmatrix des algebraischen Gleichungssystems ist proportional zum Quadrat S, was eine große Menge an Computerspeicher und eine beträchtliche Menge an Computerzeit erfordert. Der Wunsch, den Rechenaufwand zu reduzieren, regte die Suche nach wiederkehrenden Rechenmöglichkeiten an R() basierend auf multiplikativen Darstellungsformen von Zustandswahrscheinlichkeiten. Das Papier stellt einen Ansatz zur Berechnung vor R():

(3.23)

Die Verwendung des Äquivalenzkriteriums der globalen und detaillierten Bilanzen von Markov-Ketten, das in der Arbeit vorgeschlagen wird, ermöglicht es, die Dimension des Problems zu reduzieren und Berechnungen auf einem Computer mittlerer Leistung unter Verwendung der Wiederholung von Berechnungen durchzuführen. Außerdem besteht die Möglichkeit:

– für beliebige Werte rechnen n;

– Beschleunigen Sie die Berechnung und reduzieren Sie die Kosten der Maschinenzeit.

Andere Eigenschaften des Systems können ähnlich definiert werden.

Bisher haben wir nur solche QS betrachtet, bei denen jeder Anspruch nur von einem Kanal bedient werden kann; freie Kanäle können einem beschäftigten im Dienst nicht "helfen".

Im Allgemeinen ist dies nicht immer der Fall: Es gibt Systeme anstehen, wobei dieselbe Anforderung gleichzeitig von zwei oder mehr Kanälen bedient werden kann. Beispielsweise kann dieselbe ausgefallene Maschine zwei Arbeiter gleichzeitig bedienen. Eine solche „Gegenseitige Hilfeleistung“ zwischen Kanälen kann sowohl in offenen als auch in geschlossenen QS stattfinden.

Bei der Erwägung von CMOs mit gegenseitiger Unterstützung zwischen den Kanälen müssen zwei Faktoren berücksichtigt werden:

1. Wie viel schneller ist der Service einer Anwendung, wenn nicht einer, sondern mehrere Kanäle gleichzeitig daran arbeiten?

2. Was ist die „Disziplin der gegenseitigen Hilfe“, d. h. wann und wie übernehmen mehrere Kanäle die Zustellung derselben Anfrage?

Betrachten wir zuerst die erste Frage. Es ist natürlich anzunehmen, dass, wenn mehr als ein Kanal, aber mehrere Kanäle an der Bedienung einer Anfrage arbeiten, die Intensität des Serviceflusses nicht mit zunehmendem k abnimmt, d. h. es wird eine gewisse nicht abnehmende Funktion der Zahl k sein von Arbeitskanälen. Bezeichnen wir diese Funktion: Die mögliche Form der Funktion ist in Abb. 1 dargestellt. 5.11.

Offensichtlich führt eine unbegrenzte Erhöhung der Anzahl gleichzeitig arbeitender Kanäle nicht immer zu einer proportionalen Erhöhung der Dienstrate; es ist natürlicher anzunehmen, dass ab einem bestimmten kritischen Wert eine weitere Erhöhung der Anzahl belegter Kanäle die Dienstintensität nicht mehr erhöht.

Um den Betrieb eines QS mit gegenseitiger Unterstützung zwischen den Kanälen zu analysieren, muss zunächst die Art der Funktion eingestellt werden

Der einfachste Untersuchungsfall wird der Fall sein, wenn die Funktion proportional zu k ansteigt, wenn a konstant und gleich bleibt, wenn a (siehe Abb. 5.12). Wenn außerdem die Gesamtzahl der Kanäle, die sich gegenseitig helfen können, nicht überschritten wird

Wenden wir uns nun der zweiten Frage zu: der Disziplin der gegenseitigen Hilfeleistung. Den einfachsten Fall dieser Disziplin wollen wir bedingt als „alle als eins“ bezeichnen. Das bedeutet, dass wenn eine Anfrage erscheint, alle Kanäle sofort damit beginnen, sie zu bedienen und beschäftigt bleiben, bis die Bedienung dieser Anfrage endet; dann schalten alle Kanäle um, um eine andere Anfrage zu bedienen (falls vorhanden) oder warten auf ihr Erscheinen, wenn sie nicht vorhanden ist usw. Offensichtlich arbeiten in diesem Fall alle Kanäle als einer, der QS wird einkanalig, aber mit einem höheren Dienst Intensität.

Es stellt sich die Frage: Ist es vorteilhaft oder nachteilig, eine solche gegenseitige Unterstützung zwischen den Kanälen einzuführen? Die Antwort auf diese Frage hängt von der Intensität des Antragsflusses ab, welche Art von Funktion, welche Art von QS (mit Ausfällen, mit einer Warteschlange), welcher Wert als Merkmal der Diensteffizienz gewählt wird.

Beispiel 1. Es gibt einen dreikanaligen QS mit Fehlern: Die Intensität des Bewerbungsflusses (Anwendungen pro Minute), die durchschnittliche Bearbeitungszeit einer Anwendung durch einen Kanal (min), die Funktion "? Ist es im Hinblick auf die Verringerung der durchschnittlichen Verweildauer einer Anwendung im System von Vorteil?

Lösung a. Ohne gegenseitige Hilfe

Durch die Erlang-Formeln (siehe § 4) haben wir:

Relativ Durchsatz GMO;

Absolute Bandbreite:

Die durchschnittliche Verweildauer des Antrags in der QS ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass der Antrag zur Zustellung angenommen wird, multipliziert mit der durchschnittlichen Zustellungszeit:

Inhalt (Min.).

Es sollte nicht vergessen werden, dass diese durchschnittliche Zeit für alle Anfragen gilt – sowohl bediente als auch unbearbeitete. Wir könnten an der durchschnittlichen Zeit interessiert sein, die eine bediente Anfrage im System verbleibt. Diesmal ist:

6. Mit gegenseitiger Unterstützung.

Durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung in der CMO:

Durchschnittliche Verweildauer einer bedienten Anfrage im QS:

Somit ist bei gegenseitiger Hilfeleistung „alle aus einer Hand“ der Durchsatz des SMO merklich zurückgegangen. Dies liegt an einer erhöhten Ausfallwahrscheinlichkeit: Während alle Kanäle damit beschäftigt sind, eine Anwendung zu bedienen, können andere Anwendungen kommen und natürlich abgelehnt werden. Die durchschnittliche Verweildauer eines Antrags in der GMO ist erwartungsgemäß zurückgegangen. Wenn wir aus irgendeinem Grund bestrebt sind, die Verweildauer der Anwendung im QS auf jede mögliche Weise zu reduzieren (z. B. wenn der Aufenthalt im QS für die Anwendung gefährlich ist), kann sich herausstellen, dass trotz der Verringerung der Durchsatz, ist es dennoch vorteilhaft, die drei Kanäle zu einem zu kombinieren.

Betrachten wir nun erwartungsvoll die Auswirkungen der gegenseitigen Unterstützung „alle aus einer Hand“ auf die Arbeit der CMOs. Der Einfachheit halber nehmen wir nur den Fall einer unbegrenzten Warteschlange. Selbstverständlich hat die Amtshilfe in diesem Fall keinen Einfluss auf den Durchsatz der QS, da in jedem Fall alle eingehenden Anträge bedient werden. Es stellt sich die Frage nach dem Einfluss der gegenseitigen Hilfeleistung auf die Merkmale des Wartens: die durchschnittliche Länge der Warteschlange, die durchschnittliche Wartezeit, die durchschnittliche Verweildauer im QS.

Aufgrund der Formeln (6.13), (6.14) § 6 für Dienste ohne gegenseitige Unterstützung wird die durchschnittliche Anzahl von Kunden in der Warteschlange sein

durchschnittliche Wartezeit:

und die durchschnittliche Verweildauer im System:

Wird eine gegenseitige Hilfeleistung vom Typ „Alle auf einen“ verwendet, arbeitet das System als einkanaliges System mit Parametern

und seine Eigenschaften werden durch die Formeln (5.14), (5.15) § 5 bestimmt:

Beispiel 2. Es gibt einen dreikanaligen QS mit einer unbegrenzten Warteschlange; Intensität des Antragsflusses (Anträge pro Min.), durchschnittliche Servicezeit Funktion Vorteilhaft im Hinblick auf:

Durchschnittliche Warteschlangenlänge

Durchschnittliche Wartezeit für den Service,

Durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung in der CMO

eine gegenseitige Hilfestellung zwischen den Kanälen wie „alle aus einer Hand“ einführen?

Lösung a. Keine gegenseitige Hilfe.

Durch die Formeln (9.1) - (9.4) haben wir

(3-2)

b. Mit gegenseitiger Hilfestellung

Durch die Formeln (9.5) - (9.7) finden wir;

Somit ist die durchschnittliche Länge der Warteschlange und die durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange bei gegenseitiger Hilfeleistung größer, aber die durchschnittliche Verweildauer der Anwendung im System geringer.

Aus den betrachteten Beispielen ist klar, dass die gegenseitige Unterstützung zwischen k? „All as One“-Bargeld trägt in der Regel nicht zur Steigerung der Serviceeffizienz bei: Die Verweildauer einer Anwendung im QS sinkt, andere Servicemerkmale verschlechtern sich jedoch.

Daher ist es wünschenswert, die Dienstdisziplin so zu ändern, dass die gegenseitige Unterstützung zwischen Kanälen das Akzeptieren neuer Dienstanforderungen nicht stört, wenn sie während der Zeit auftreten, in der alle Kanäle belegt sind.

Nennen wir die folgende Art der gegenseitigen Hilfeleistung bedingt "einheitliche Amtshilfe". Wenn die Anfrage in dem Moment eintrifft, in dem alle Kanäle frei sind, werden alle Kanäle für ihren Dienst akzeptiert; wenn zum Zeitpunkt der Bearbeitung der Anfrage eine andere eintrifft, schalten einige der Kanäle auf die Bearbeitung um; wenn, während diese beiden Anfragen bedient werden, eine andere ankommt, werden einige der Kanäle umgeschaltet, um sie zu bedienen, und so weiter, bis alle Kanäle belegt sind; wenn ja, wird die neu eingetroffene Reklamation zurückgewiesen (bei QS mit Ablehnung) oder in eine Warteschlange gestellt (bei QS mit Warten).

Bei dieser Disziplin der Amtshilfe wird der Antrag nur abgelehnt oder in die Warteschlange gestellt, wenn eine Zustellung nicht möglich ist. Die „Ausfallzeit“ der Kanäle ist unter diesen Bedingungen minimal: Wenn mindestens eine Anwendung im System vorhanden ist, funktionieren alle Kanäle.

Wir haben oben erwähnt, dass, wenn eine neue Anfrage erscheint, einige der belegten Kanäle freigegeben und auf die Bedienung der neu angekommenen Anfrage umgeschaltet werden. Welcher Teil? Sie hängt von der Art der Funktion ab: Hat sie die Form eines linearen Zusammenhangs, wie in Abb. 5.12, und es spielt keine Rolle, welcher Teil der Kanäle zum Bedienen einer neu empfangenen Anforderung zugewiesen werden soll, solange alle Kanäle belegt sind (dann ist die Gesamtintensität der Dienste für jede Verteilung von Kanälen durch Anforderungen gleich). Es kann bewiesen werden, dass, wenn die Kurve nach oben konvex ist, wie in Abb. 5.11, dann müssen Sie die Kanäle möglichst gleichmäßig auf die Anwendungen verteilen.

Betrachten wir die Arbeit von -channel QS mit "einheitlicher" gegenseitiger Hilfeleistung zwischen Channels.

Betrachten wir ein Mehrkanal-Warteschlangensystem (es gibt insgesamt n Kanäle), in dem Anforderungen mit einer Rate von λ ankommen und mit einer Rate von μ bedient werden. Eine im System angekommene Anfrage wird bedient, wenn mindestens ein Kanal frei ist. Wenn alle Kanäle belegt sind, wird die nächste in das System eintretende Anfrage zurückgewiesen und verlässt das QS. Wir nummerieren die Systemzustände nach der Anzahl der belegten Kanäle:

• S 0 – alle Kanäle sind frei;
• S 1 – ein Kanal ist belegt;
• S 2 – zwei Kanäle belegt;
• Sk- belebt k Kanäle;
• Sn– alle Kanäle sind belegt.

Es ist offensichtlich, dass das System unter dem Einfluss von Staat zu Staat übergeht Eingabestrom Anwendungen. Lassen Sie uns einen Zustandsgraphen für dieses Warteschlangensystem erstellen.

Reis. 7.24
Abbildung 6.24 zeigt einen Zustandsgraphen, in dem Sich- Kanal Nummer; λ Intensität des Bewerbungseingangs; μ - bzw. die Intensität der Wartungsanwendungen. Anwendungen treten mit konstanter Intensität in das Warteschlangensystem ein und belegen nach und nach Kanäle; wenn alle Kanäle belegt sind, wird die nächste beim QS eintreffende Anfrage abgewiesen und verlässt das System.
Bestimmen wir die Intensitäten der Ereignisflüsse, die das System von Zustand zu Zustand überführen, wenn es sich entlang des Zustandsgraphen sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links bewegt.
Lassen Sie das System beispielsweise im Zustand sein S 1 , d. h. ein Kanal ist belegt, da an seinem Eingang eine Anforderung anliegt. Sobald die Anfrage bearbeitet ist, wechselt das System in den Zustand S 0 .
Wenn beispielsweise zwei Kanäle belegt sind, dann fließt der Dienst, der das System vom Zustand überträgt S 2 pro Bundesland S 1 ist doppelt so intensiv: 2-μ; bzw. wenn beschäftigt k Kanäle, die Intensität ist gleich k-μ.

Der Dienstprozess ist ein Prozess des Todes und der Reproduktion. Die Kolmogorov-Gleichungen für diesen speziellen Fall haben die folgende Form:

(7.25)
Gleichungen (7.25) werden aufgerufen Erlang-Gleichungen .
Um die Werte der Wahrscheinlichkeiten der Zustände zu finden R 0 , R 1 , …, Rn, ist es notwendig, die Anfangsbedingungen zu bestimmen:
– R 0 (0) = 1, d. h. es liegt eine Anforderung am Systemeingang vor;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, also ein Anfangsmoment Zeit, in der das System frei ist.
Nach Integration des Differentialgleichungssystems (7.25) erhält man die Werte der Zustandswahrscheinlichkeiten R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Uns interessieren aber viel mehr die Grenzwahrscheinlichkeiten von Zuständen. Für t → ∞ und unter Verwendung der Formel, die wir bei der Betrachtung des Todes- und Reproduktionsprozesses erhalten, erhalten wir die Lösung des Gleichungssystems (7.25):

(7.26)
In diesen Formeln das Intensitätsverhältnis λ / μ für den Fluss der Anwendungen ist es bequem zu benennen ρ .Dieser Wert wird aufgerufen die reduzierte Intensität des Bewerbungsflusses, also die durchschnittliche Anzahl der im QS eingehenden Anträge für die durchschnittliche Bearbeitungszeit eines Antrags.

Unter Berücksichtigung der obigen Notation nimmt das Gleichungssystem (7.26) folgende Form an:

(7.27)
Diese Formeln zur Berechnung von Randwahrscheinlichkeiten werden aufgerufen Erlang-Formeln .
Wenn wir alle Wahrscheinlichkeiten der QS-Zustände kennen, finden wir die QS-Effizienzeigenschaften, d. h. den absoluten Durchsatz ABER, relativer Durchsatz Q und Ausfallwahrscheinlichkeit R offen
Eine im System eingehende Anfrage wird abgelehnt, wenn alle Kanäle belegt sind:

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Antrag zur Zustellung angenommen wird:

Q = 1 – R otk,
wo Q ist der durchschnittliche Anteil der vom System bedienten eingehenden Anfragen bzw. die durchschnittliche Anzahl der vom QS bedienten Anfragen pro Zeiteinheit dividiert durch die durchschnittliche Anzahl der in dieser Zeit eingegangenen Anfragen:

A=λ Q=λ (1-P offen)
Außerdem eine von die wichtigsten Eigenschaften QS mit Ausfällen ist durchschnittlich ausgelastete Kanäle. BEI n-Kanal QS mit Ausfällen, diese Zahl deckt sich mit der durchschnittlichen Zahl der Bewerbungen im QS.
Aus den Wahrscheinlichkeiten der Zustände Ð 0 , Ð 1 , … , Ð n lässt sich die durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen k direkt berechnen:

,
d.h. wir finden den mathematischen Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen, die einen Wert von 0 bis annimmt n mit Wahrscheinlichkeiten R 0 , R 1 , …, Rn.
Noch einfacher ist es, den Wert von k als absoluten Durchsatz des QS auszudrücken, d.h. A. Der Wert von A ist die durchschnittliche Anzahl von Anwendungen, die vom System pro Zeiteinheit bedient werden. Ein belegter Kanal bedient μ-Anforderungen pro Zeiteinheit, dann die durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle

Klassifikationsmerkmale

Sorten von Warteschlangensystemen

Eingehender Bedarfsfluss

Begrenzte Anforderungen

Abgeschlossen

offen

Vertriebsrecht

Systeme mit einem bestimmten Verteilungsgesetz des ankommenden Flusses: Exponential, Erlang k Ordnung, Handfläche, normal usw.

Drehen

Warteschlangendisziplin

Mit bestellter Warteschlange

Mit einer ungeordneten Warteschlange

Dienstpriorität

Wartedienstlimits

Mit Absagen

Mit unbegrenztem Warten

Eingeschränkt (gemischt)

Nach Warteschlangenlänge

Wartezeit in der Warteschlange

Nach Aufenthaltsdauer in SMO

Kombiniert

Dienstdisziplin

Servicephasen

einzelphase

Polyphase

Anzahl der Servicekanäle

Ein-Kanal

Mehrkanal

Mit gleichen Kanälen

Mit ungleichen Kanälen

Zuverlässigkeit der Servicekanäle

Mit absolut zuverlässigen Kanälen

Mit unzuverlässigen Kanälen

Keine Erholung

Mit Genesung

Kanäle für gegenseitige Hilfe

ohne gegenseitige Hilfe

Mit gegenseitiger Hilfe

Service-Zuverlässigkeit

Mit Fehlern

Ohne Fehler

Dienstzeitverteilung

Systeme mit einem bestimmten Betriebszeitverteilungsgesetz: deterministisch, exponentiell, normal usw.

Wenn der Dienst stufenweise von einer Reihe von Kanälen ausgeführt wird, wird ein solcher QS aufgerufen mehrphasig.

BEI CMO mit "gegenseitiger Unterstützung" zwischen Kanälen kann dieselbe Anforderung gleichzeitig von zwei oder mehr Kanälen bedient werden. Beispielsweise kann dieselbe ausgefallene Maschine zwei Arbeiter gleichzeitig bedienen. Eine solche „Gegenseitige Hilfeleistung“ zwischen Kanälen kann sowohl in offenen als auch in geschlossenen QS stattfinden.

BEI CMO mit Fehlern eine zur Bedienung im System akzeptierte Anwendung wird nicht mit voller Wahrscheinlichkeit, aber mit einiger Wahrscheinlichkeit bedient; mit anderen Worten, es kann zu Servicefehlern kommen, die dazu führen, dass einige Bewerbungen, die an QS gegangen sind und vermeintlich „bedient“ wurden, durch „Einheirat“ in die Arbeit von QS tatsächlich unversorgt bleiben.

Beispiele für solche Systeme sind: Informationsschalter, die manchmal falsche Informationen und Anweisungen geben; ein Korrektor, der einen Fehler übersehen oder falsch korrigieren kann; Telefonzentrale, die den Teilnehmer manchmal mit der falschen Nummer verbindet; Handels- und Vermittlungsfirmen, die ihre Verpflichtungen nicht immer in hoher Qualität und termingerecht erfüllen usw.

Um den in einer QS ablaufenden Prozess zu analysieren, ist es wichtig zu wissen grundlegende Systemparameter: die Anzahl der Kanäle , die Intensität des Bewerbungsflusses , die Leistung jedes Kanals (die durchschnittliche Anzahl der Anwendungen, die pro Zeiteinheit vom Kanal bedient werden), die Bedingungen für die Bildung der Warteschlange, die Intensität des Abgangs von Anwendungen aus der Warteschlange oder dem System.

Die Relation heißt Systemlastfaktor. Oft werden nur solche Systeme betrachtet, bei denen .

Die Servicezeit in QS kann sowohl zufällig als auch nicht zufällig sein. In der Praxis wird diese Zeit am häufigsten als nach dem Exponentialgesetz verteilt angesehen.

Die Hauptmerkmale der QS hängen relativ wenig von der Art der Dienstzeitverteilung ab, sondern hängen hauptsächlich vom Durchschnittswert ab. Daher wird häufig angenommen, dass die Betriebszeit nach einem Exponentialgesetz verteilt ist.

Die Annahmen über die Poisson-Natur des Anforderungsflusses und die exponentielle Verteilung der Servicezeit (die wir von nun an annehmen werden) sind wertvoll, weil sie es uns ermöglichen, den Apparat der sogenannten Markov-Zufallsprozesse in der Theorie des Warteschlangens anzuwenden.

Die Wirksamkeit von Dienstleistungssystemen kann in Abhängigkeit von den Bedingungen der Aufgabenstellung und den Zielen der Studie charakterisiert werden eine große Anzahl verschiedene quantitative Indikatoren.

Die am häufigsten verwendeten sind die folgenden Indikatoren:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kanäle mit dem Dienst belegt sind, ist .

Ein Sonderfall ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanäle frei sind.

2. Die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung der Anmeldung im Dienst.

3. Die durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle charakterisiert den Grad der Systembelastung.

4. Durchschnittliche Anzahl empfangsfreier Kanäle:

5. Koeffizient (Wahrscheinlichkeit) von ungenutzten Kanälen.

6. Gerätelastfaktor (Wahrscheinlichkeit belegter Kanäle)

7. Relativer Durchsatz – der durchschnittliche Anteil eingehender Anfragen, die vom System bedient werden, d. h. das Verhältnis der durchschnittlichen Anzahl von Anfragen, die das System pro Zeiteinheit bedient, zu der durchschnittlichen Anzahl von Anfragen, die während dieser Zeit empfangen wurden.

8. Absoluter Durchsatz, d.h. die Anzahl der Anwendungen (Anforderungen), die das System pro Zeiteinheit bedienen kann:

9. Durchschnittliche Leerlaufzeit des Kanals

Für Systeme mit Erwartung zusätzliche Funktionen verwendet werden:

10. Durchschnittliche Wartezeit für Anfragen in der Warteschlange.

11. Durchschnittliche Verweildauer einer Anwendung in der CMO.

12. Durchschnittliche Warteschlangenlänge.

13. Durchschnittliche Zahl der Bewerbungen im Dienstleistungssektor (in CMOs)

14. Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit, in der die Anwendung in der Warteschlange verbleibt, nicht länger als eine bestimmte Zeit dauern wird.

15. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Anfragen in der Warteschlange, die darauf warten, den Dienst zu starten, größer als eine bestimmte Zahl ist.

Zusätzlich zu den aufgeführten Kriterien sind bei der Bewertung der Wirksamkeit von Systemen Kostenindikatoren:

– die Kosten für die Wartung jeder Anforderung im System;

– die mit dem Warten verbundenen Verlustkosten pro Zeiteinheit;

– die Kosten von Verlusten, die mit dem Wegfall von Anforderungen aus dem System verbunden sind;

sind die Kosten für den Betrieb des Systemkanals pro Zeiteinheit;

sind die Kosten pro Ausfallzeiteinheit für den Kanal.

Bei der Auswahl der optimalen Systemparameter für Wirtschaftsindikatoren können Sie Folgendes verwenden Verlustkostenfunktion:

a) für Systeme mit unbegrenztem Warten

Wo ist das Zeitintervall;

b) für Systeme mit Störungen;

c) für gemischte Systeme.

Optionen, die den Bau (Inbetriebnahme) neuer Elemente des Systems (z. B. Servicekanäle) vorsehen, werden in der Regel mit reduzierten Kosten verglichen.

Die reduzierten Kosten für jede Option sind die Summe aus laufenden Kosten (Kosten) und Kapitalinvestitionen, reduziert auf das gleiche Maß gemäß dem Effizienzstandard, zum Beispiel:

(bei gegebenen Kosten pro Jahr);

(bei gegebenen Kosten für die Amortisationszeit),

wo - laufende Kosten (Kosten) für jede Option, S.;

– normativer Koeffizient der Branche wirtschaftliche Effizienz Kapitalanlagen (normalerweise = 0,15 - 0,25);

– Kapitalanlagen für jede Option, S.;

ist die übliche Amortisationszeit für Kapitalanlagen, Jahre.

Der Ausdruck ist die Summe aus laufenden und Kapitalkosten für einen bestimmten Zeitraum. Sie heißen gegeben, da sie sich auf einen festen Zeitraum beziehen (in diesem Fall auf die übliche Amortisationszeit).

Indikatoren und können sowohl in Form der Summe der Kapitalinvestitionen und der Kosten für fertige Produkte als auch in Form verwendet werden bestimmte Kapitalanlagen pro Produktionseinheit und Produktionskosten pro Einheit.

Um einen in einem System ablaufenden Zufallsprozess mit diskreten Zuständen zu beschreiben, werden häufig Zustandswahrscheinlichkeiten verwendet, wobei die Wahrscheinlichkeit groß ist, dass sich das System im Moment im Zustand befindet.

Es ist klar, dass .

Wenn ein Prozess in einem System mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit abläuft Markovisch, dann lässt sich für die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen ein System linearer Kolmogorov-Differentialgleichungen aufstellen.

Wenn es einen beschrifteten Zustandsgraphen gibt (Abb. 4.3) (hier ist über jedem Pfeil, der von Zustand zu Zustand führt, die Intensität des Ereignisflusses angegeben, der das System entlang dieses Pfeils von Zustand zu Zustand überführt), dann das System von Differentialgleichungen für Wahrscheinlichkeiten können sofort mit dem folgenden einfachen geschrieben werden Regel.

Auf der linken Seite jeder Gleichung gibt es eine Ableitung, und auf der rechten Seite gibt es so viele Glieder, wie die Pfeile in direktem Zusammenhang mit diesem Zustand stehen; wenn der Pfeil zeigt in

Wenn alle Ereignisströme, die das System von Zustand zu Zustand überführen, stationär sind, die Gesamtzahl der Zustände endlich ist und es keine Zustände ohne Ausgang gibt, dann existiert der Grenzmodus und ist gekennzeichnet durch marginale Wahrscheinlichkeiten .