चैनलों के बीच आपसी सहायता से एसएमओ। कतार प्रणाली का वर्गीकरण

समस्या का निरूपण।प्रवेश पर एन-चैनल क्यूएस घनत्व के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है । प्रत्येक चैनल के सरलतम सेवा प्रवाह का घनत्व μ के बराबर होता है। यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध सभी चैनलों को निःशुल्क पाता है, तो इसे सेवा के लिए स्वीकार किया जाता है और एक साथ सेवित किया जाता है मैं चैनल ( मैं < एन) इस मामले में, एक अनुरोध के सेवा प्रवाह में तीव्रता होगी मैं.

यदि सर्विसिंग के लिए प्राप्त अनुरोध को सिस्टम में एक अनुरोध मिलता है, तो एन ≥ 2मैंनव आगमन आवेदन सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा और एक साथ सेवित किया जाएगा मैंचैनल।

यदि सर्विसिंग के लिए प्राप्त कोई आवेदन सिस्टम में मिलता है मैंअनुप्रयोग ( मैं= 0,1, ...), जबकि ( मैं+ 1)मैं≤ एन, तो प्राप्त अनुरोध की सेवा की जाएगी मैंकुल क्षमता वाले चैनल मैं. यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में मिलता है जेअनुरोध, और दो असमानताएँ एक साथ संतुष्ट हैं: ( जे + 1)मैं > एनतथा जे < एन, तो आवेदन सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा। इस मामले में, कुछ आवेदन प्रस्तुत किए जा सकते हैं मैंचैनल, दूसरा भाग . से छोटा मैं, चैनलों की संख्या, लेकिन सभी एनचैनल जो बेतरतीब ढंग से अनुप्रयोगों के बीच वितरित किए जाते हैं। यदि सिस्टम में एक नया प्राप्त आवेदन पाया जाता है एनआवेदन, इसे अस्वीकार कर दिया जाता है और सेवा नहीं दी जाएगी। एक एप्लिकेशन जिसे सेवित किया गया है उसे अंत तक सेवित किया जाता है (आवेदन "रोगी" हैं)।

ऐसी प्रणाली का राज्य ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.8.

चावल। 3.8. क्यूएस राज्य ग्राफ विफलताओं और आंशिक . के साथ

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता

ध्यान दें कि राज्य तक प्रणाली का राज्य ग्राफ एक्स एचप्रवाह मापदंडों के संकेतन तक, चित्र 2 में दिखाए गए विफलताओं के साथ शास्त्रीय कतार प्रणाली के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है। 3.6.

फलस्वरूप,

(मैं = 0, 1, ..., एच).

सिस्टम स्टेट्स का ग्राफ, राज्य से शुरू होता है एक्स एचऔर राज्य के साथ समाप्त होता है एक्स एन, अंजीर में दिखाए गए पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस के राज्य ग्राफ के साथ संकेतन तक मेल खाता है। 3.7. इस तरह,

.

हम अंकन का परिचय देते हैं / मैंμ = ρ मैं ; λ / एनμ = , तब

सामान्यीकृत स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आगे के अंकन को छोटा करने के लिए, हम संकेतन का परिचय देते हैं

प्रणाली की विशेषताओं का पता लगाएं।

आवेदन सेवा संभावना

सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या,

औसत व्यस्त चैनल

.

किसी विशेष चैनल के व्यस्त होने की प्रायिकता

.

सिस्टम के सभी चैनलों के अधिभोग की संभावना

3.4.4. विफलताओं और अमानवीय प्रवाह वाली कतारबद्ध प्रणालियाँ

समस्या का निरूपण।प्रवेश पर एन-चैनल क्यूएस कुल तीव्रता , और . के साथ एक अमानवीय प्राथमिक प्रवाह प्राप्त करता है

λ Σ = ,

जहां मैं- में अनुप्रयोगों की तीव्रता मैं-एम स्रोत।

चूंकि अनुरोधों के प्रवाह को विभिन्न स्रोतों से आवश्यकताओं की एक सुपरपोजिशन के रूप में माना जाता है, अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ संयुक्त प्रवाह को पॉइसन माना जा सकता है एन = 5...20 और मैं ≈ λ मैं +1 (मैं1,एन) एक उपकरण की सेवा तीव्रता घातांकीय नियम के अनुसार वितरित की जाती है और μ = 1/ के बराबर होती है टी. किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग के लिए सर्विसिंग डिवाइस श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जो सर्विसिंग के लिए सेवा समय को कई गुना बढ़ाने के बराबर है:

टीअवलोकन = के.टी., μ ऑब्स = 1 / के.टी. = μ/ क,

कहाँ पे टी obs - अनुरोध सेवा समय; क- सेवा उपकरणों की संख्या; μ obs - आवेदन सेवा की तीव्रता।

अध्याय 2 में की गई धारणाओं के ढांचे के भीतर, हम क्यूएस राज्य को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जहां क एमसिस्टम में अनुरोधों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक सेवित है एमउपकरण; ली = क्यूअधिकतम- क्यून्यूनतम +1 इनपुट स्ट्रीम की संख्या है।

फिर कब्जे वाले और मुफ्त उपकरणों की संख्या ( एनज़ान ( ),एनएसवी ( )) काबिल निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

राज्य से बाहर सिस्टम किसी अन्य राज्य में जा सकता है . चूंकि सिस्टम है लीइनपुट स्ट्रीम, फिर प्रत्येक राज्य से यह संभावित रूप से संभव है लीप्रत्यक्ष संक्रमण। हालांकि, सिस्टम के सीमित संसाधनों के कारण, ये सभी बदलाव संभव नहीं हैं। QS को राज्य में रहने दें और एक आवेदन आता है जिसकी आवश्यकता होती है एमउपकरण। यदि एक एम≤ एनएसवी ( ), फिर सेवा के लिए अनुरोध स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता के साथ एक अवस्था में चला जाता है एम. यदि एप्लिकेशन को मुफ्त उपकरणों की तुलना में अधिक उपकरणों की आवश्यकता होती है, तो उसे सेवा से वंचित कर दिया जाएगा, और QS राज्य में बना रहेगा। . यदि सक्षम हो आवश्यक आवेदन हैं एमउपकरणों, फिर उनमें से प्रत्येक को तीव्रता के साथ सेवित किया जाता है एम, और ऐसे अनुरोधों को पूरा करने की कुल तीव्रता (μ .) एम) को μ . के रूप में परिभाषित किया गया है एम = क एम μ / एम. जब अनुरोधों में से किसी एक की सेवा पूरी हो जाती है, तो सिस्टम उस स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान राज्य की तुलना में एक कम होता है ,=, यानी रिवर्स ट्रांजिशन होगा। अंजीर पर। 3.9 क्यूएस वेक्टर मॉडल का एक उदाहरण दिखाता है एन = 3, ली = 3, क्यून्यूनतम = 1, क्यूअधिकतम = 3, पी(एम) = 1/3, = , साधन रखरखाव की तीव्रता μ है।

चावल। 3.9. सेवा से इनकार के साथ क्यूएस वेक्टर मॉडल ग्राफ का एक उदाहरण

तो हर राज्य एक निश्चित प्रकार के सेवित अनुरोधों की संख्या द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, एक राज्य में
एक दावा एक डिवाइस द्वारा और एक दावे को दो उपकरणों द्वारा सेवित किया जाता है। इस स्थिति में, सभी उपकरण व्यस्त हैं, इसलिए, केवल रिवर्स ट्रांज़िशन संभव है (इस स्थिति में किसी भी ग्राहक के आने से सेवा से वंचित हो जाता है)। यदि पहले प्रकार के अनुरोध की सेवा पहले समाप्त हो गई है, तो सिस्टम राज्य में बदल जाएगा (0,1,0) तीव्रता के साथ μ, लेकिन यदि दूसरे प्रकार के अनुरोध की सेवा पहले समाप्त हो जाती है, तो सिस्टम राज्य में जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ/2 के साथ।

लागू संक्रमण तीव्रता वाले राज्यों के ग्राफ से रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से प्रायिकताएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS विशेषता निर्धारित की जाती है।

खोजने पर विचार करें आर otk (सेवा से वंचित होने की संभावना)।

,

कहाँ पे एसक्यूएस वेक्टर मॉडल के ग्राफ राज्यों की संख्या है; आर() सिस्टम के राज्य में होने की प्रायिकता है .

के अनुसार राज्यों की संख्या निम्नानुसार परिभाषित की गई है:

, (3.22)

;

आइए हम अंजीर में दिखाए गए उदाहरण के लिए (3.22) के अनुसार क्यूएस वेक्टर मॉडल के राज्यों की संख्या निर्धारित करें। 3.9.

.

फलस्वरूप, एस = 1 + 5 + 1 = 7.

सेवा उपकरणों के लिए वास्तविक आवश्यकताओं को लागू करने के लिए, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में एन (40, ..., 50), और व्यवहार में आवेदन के सेवा उपकरणों की संख्या के लिए अनुरोध 8-16 की सीमा में हैं। उपकरणों और अनुरोधों के इस तरह के अनुपात के साथ, संभावनाओं को खोजने का प्रस्तावित तरीका बेहद बोझिल हो जाता है, क्योंकि क्यूएस वेक्टर मॉडल में बड़ी संख्या में राज्य हैं एस(50) = 1790, एस(60) = 4676, एस(70) = 11075, और बीजीय समीकरणों की प्रणाली के गुणांकों के मैट्रिक्स का आकार वर्ग के समानुपाती होता है एस, जिसके लिए बड़ी मात्रा में कंप्यूटर मेमोरी और महत्वपूर्ण मात्रा में कंप्यूटर समय की आवश्यकता होती है। गणना की मात्रा को कम करने की इच्छा ने आवर्तक कम्प्यूटेशनल संभावनाओं की खोज को प्रेरित किया आर() राज्य की संभावनाओं के प्रतिनिधित्व के गुणक रूपों पर आधारित है। पेपर गणना के लिए एक दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है आर():

(3.23)

कागज में प्रस्तावित मार्कोव श्रृंखलाओं के वैश्विक और विस्तृत संतुलन की तुल्यता की कसौटी का उपयोग समस्या के आयाम को कम करना और गणना की पुनरावृत्ति का उपयोग करके मध्यम शक्ति के कंप्यूटर पर गणना करना संभव बनाता है। इसके अलावा, संभावना है:

- किसी भी मान के लिए गणना करें एन;

- गणना में तेजी लाएं और मशीन के समय की लागत को कम करें।

प्रणाली की अन्य विशेषताओं को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।

अब तक, हमने केवल उन्हीं क्यूएस पर विचार किया है जिनमें प्रत्येक दावे को केवल एक चैनल द्वारा सेवित किया जा सकता है; निष्क्रिय चैनल सेवा में व्यस्त व्यक्ति की "मदद" नहीं कर सकते।

सामान्य तौर पर, यह हमेशा ऐसा नहीं होता है: सिस्टम होते हैं कतार, जहां एक ही अनुरोध को दो या अधिक चैनलों द्वारा एक साथ प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही विफल मशीन एक साथ दो श्रमिकों की सेवा कर सकती है। चैनलों के बीच इस तरह की "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद क्यूएस दोनों में हो सकती है।

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता से सीएमओ पर विचार करते समय, दो कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1. जब एक नहीं, बल्कि कई चैनल एक साथ काम करते हैं तो किसी एप्लिकेशन की सेवा कितनी तेज होती है?

2. "पारस्परिक सहायता का अनुशासन" क्या है, यानी कई चैनल कब और कैसे एक ही अनुरोध की सेवा लेते हैं?

आइए पहले पहले प्रश्न पर विचार करें। यह मान लेना स्वाभाविक है कि यदि एक से अधिक चैनल, लेकिन कई चैनल, एक अनुरोध की सेवा पर काम करते हैं, तो सेवा प्रवाह की तीव्रता k बढ़ने के साथ कम नहीं होगी, अर्थात, यह संख्या k का एक निश्चित गैर-घटता कार्य होगा। काम करने वाले चैनलों की। आइए इस फ़ंक्शन को निरूपित करें फ़ंक्शन का संभावित रूप अंजीर में दिखाया गया है। 5.11

जाहिर है, एक साथ संचालित चैनलों की संख्या में असीमित वृद्धि हमेशा सेवा दर में आनुपातिक वृद्धि की ओर नहीं ले जाती है; यह मान लेना अधिक स्वाभाविक है कि, एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य पर, व्यस्त चैनलों की संख्या में और वृद्धि से सेवा की तीव्रता में वृद्धि नहीं होती है।

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता से क्यूएस के संचालन का विश्लेषण करने के लिए, सबसे पहले, फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करना आवश्यक है

जांच के लिए सबसे सरल मामला वह मामला होगा जब फ़ंक्शन आनुपातिक रूप से k तक बढ़ जाता है जब a स्थिर रहता है और बराबर रहता है (चित्र 5.12 देखें)। यदि, इसके अलावा, एक-दूसरे की मदद करने वाले चैनलों की कुल संख्या से अधिक नहीं है

आइए अब हम दूसरे प्रश्न की ओर मुड़ें: पारस्परिक सहायता का अनुशासन। इस अनुशासन का सबसे सरल मामला हम सशर्त रूप से "सभी को एक के रूप में" नामित करेंगे। इसका मतलब यह है कि जब एक अनुरोध प्रकट होता है, तो सभी चैनल एक ही बार में इसे प्रस्तुत करना शुरू कर देते हैं और इस अनुरोध की सेवा समाप्त होने तक व्यस्त रहते हैं; फिर सभी चैनल दूसरे अनुरोध की सर्विसिंग के लिए स्विच करते हैं (यदि यह मौजूद है) या इसके प्रकट होने की प्रतीक्षा करें यदि यह मौजूद नहीं है, आदि। जाहिर है, इस मामले में, सभी चैनल एक के रूप में काम करते हैं, क्यूएस एकल-चैनल बन जाता है, लेकिन उच्च के साथ सेवा तीव्रता।

सवाल उठता है: क्या चैनलों के बीच इस तरह की पारस्परिक सहायता शुरू करना फायदेमंद या नुकसानदेह है? इस प्रश्न का उत्तर अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता पर निर्भर करता है कि किस प्रकार का कार्य, किस प्रकार का क्यूएस (विफलताओं के साथ, एक कतार के साथ), सेवा दक्षता की विशेषता के रूप में किस मूल्य को चुना जाता है।

उदाहरण 1. विफलताओं के साथ एक तीन-चैनल क्यूएस है: अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन), एक चैनल (मिनट) द्वारा एक आवेदन का औसत सेवा समय, फ़ंक्शन "? क्या यह सिस्टम में किसी एप्लिकेशन के औसत निवास समय को कम करने की दृष्टि से फायदेमंद है?

समाधान ए. आपसी मदद के बिना

एरलांग सूत्रों द्वारा (§ 4 देखें) हमारे पास है:

रिश्तेदार throughputसीएमओ;

पूर्ण बैंडविड्थ:

क्यूएस में एक आवेदन का औसत निवास समय इस संभावना के रूप में पाया जाता है कि आवेदन सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा, औसत सेवा समय से गुणा किया जाएगा:

सार (मिनट)।

यह नहीं भूलना चाहिए कि यह औसत समय सभी अनुरोधों पर लागू होता है - सेवित और असेवित दोनों। हमें उस औसत समय में दिलचस्पी हो सकती है जब एक सेवित अनुरोध सिस्टम में रहेगा। यह समय है:

6. आपसी सहायता से।

सीएमओ में आवेदन का औसत निवास समय:

क्यूएस में एक सेवित अनुरोध का औसत निवास समय:

इस प्रकार, पारस्परिक सहायता "सभी एक के रूप में" की उपस्थिति में, एसएमओ के थ्रूपुट में काफी कमी आई है। यह विफलता की संभावना में वृद्धि द्वारा समझाया गया है: जबकि सभी चैनल एक आवेदन की सेवा में व्यस्त हैं, अन्य आवेदन आ सकते हैं और स्वाभाविक रूप से अस्वीकार कर दिया जा सकता है। सीएमओ में एक आवेदन के औसत निवास समय के लिए, जैसा कि अपेक्षित था, घट गया। अगर, किसी कारण से, हम हर संभव तरीके से क्यूएस में आवेदन के समय को कम करने का प्रयास कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, यदि क्यूएस में रहना आवेदन के लिए खतरनाक है), तो यह पता चल सकता है कि कमी के बावजूद थ्रूपुट, तीन चैनलों को एक में मिलाना अभी भी फायदेमंद होगा।

आइए अब उम्मीद के साथ सीएमओ के काम पर "सभी के रूप में एक" पारस्परिक सहायता के प्रभाव पर विचार करें। सादगी के लिए, हम केवल एक असीमित कतार का मामला लेते हैं। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में क्यूएस के थ्रूपुट पर पारस्परिक सहायता का कोई प्रभाव नहीं होगा, क्योंकि किसी भी परिस्थिति में आने वाले सभी आवेदनों को प्रस्तुत किया जाएगा। प्रश्न प्रतीक्षा की विशेषताओं पर पारस्परिक सहायता के प्रभाव के बारे में उठता है: कतार की औसत लंबाई, औसत प्रतीक्षा समय, क्यूएस में बिताया गया औसत समय।

आपसी सहायता के बिना सेवा के लिए सूत्रों (6.13), (6.14) 6 के आधार पर, कतार में ग्राहकों की औसत संख्या होगी

औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में बिताया गया औसत समय:

यदि "सभी के रूप में एक" प्रकार की पारस्परिक सहायता का उपयोग किया जाता है, तो सिस्टम पैरामीटर के साथ एकल-चैनल सिस्टम के रूप में काम करेगा

और इसकी विशेषताओं को सूत्र (5.14), (5.15) 5: द्वारा निर्धारित किया जाता है:

उदाहरण 2. असीमित कतार के साथ तीन-चैनल QS है; अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन।), औसत सेवा समय कार्य को देखते हुए लाभकारी:

औसत कतार लंबाई

सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय,

सीएमओ में एक आवेदन का औसत निवास समय

"सभी एक के रूप में" जैसे चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता शुरू करें?

समाधान ए. कोई आपसी मदद नहीं।

सूत्रों से (9.1) - (9.4) हमारे पास है

(3-2)

बी। आपसी सहयोग से

सूत्रों (9.5) - (9.7) से हम पाते हैं;

इस प्रकार, पारस्परिक सहायता के मामले में कतार की औसत लंबाई और कतार में औसत प्रतीक्षा समय अधिक होता है, लेकिन सिस्टम में आवेदन का औसत समय कम होता है।

विचार किए गए उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि k के बीच पारस्परिक सहायता? "सभी के रूप में एक" प्रकार की नकदी, एक नियम के रूप में, सेवा की दक्षता में सुधार करने में योगदान नहीं करती है: क्यूएस में एक आवेदन द्वारा बिताया गया समय कम हो जाता है, लेकिन सेवा की अन्य विशेषताएं खराब हो जाती हैं।

इसलिए, सेवा अनुशासन को बदलना वांछनीय है ताकि चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता सेवा के लिए नए अनुरोधों को स्वीकार करने में हस्तक्षेप न करे यदि वे उस समय के दौरान प्रकट होते हैं जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं।

आइए हम सशर्त रूप से "समान पारस्परिक सहायता" को निम्न प्रकार की पारस्परिक सहायता कहते हैं। यदि अनुरोध उस समय आता है जब सभी चैनल मुफ्त हैं, तो सभी चैनल इसकी सेवा के लिए स्वीकार किए जाते हैं; यदि, अनुरोध की सेवा के समय, कोई दूसरा आता है, तो कुछ चैनल इसे सेवा देने के लिए स्विच करते हैं; यदि, जब इन दो अनुरोधों की सेवा की जा रही है, तो दूसरा आता है, कुछ चैनलों को इसे परोसने के लिए स्विच किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा नहीं हो जाता; यदि हां, तो नया दावा खारिज कर दिया जाता है (अस्वीकार के साथ क्यूएस में) या कतार में रखा जाता है (प्रतीक्षा के साथ क्यूएस में)।

पारस्परिक सहायता के इस अनुशासन के साथ, आवेदन को अस्वीकार या कतारबद्ध किया जाता है, जब इसकी सेवा करना संभव नहीं होता है। चैनलों के "डाउनटाइम" के लिए, यह इन शर्तों के तहत न्यूनतम है: यदि सिस्टम में कम से कम एक एप्लिकेशन है, तो सभी चैनल काम करते हैं।

हमने ऊपर उल्लेख किया है कि जब कोई नया अनुरोध प्रकट होता है, तो कुछ व्यस्त चैनल रिलीज़ हो जाते हैं और नए आने वाले अनुरोध की सर्विसिंग के लिए स्विच कर दिए जाते हैं। कौन सा हिस्सा? यह फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है यदि इसमें एक रैखिक संबंध का रूप है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 5.12, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि नए प्राप्त अनुरोध की सेवा के लिए चैनलों का कौन सा हिस्सा आवंटित किया जाए, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया जाता है (तब अनुरोधों द्वारा चैनलों के किसी भी वितरण के लिए सेवाओं की कुल तीव्रता बराबर होगी)। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि वक्र ऊपर की ओर उत्तल है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 5.11, तो आपको अनुप्रयोगों के बीच चैनलों को यथासंभव समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता है।

आइए चैनलों के बीच "समान" पारस्परिक सहायता के साथ -चैनल क्यूएस के काम पर विचार करें।

आइए हम एक मल्टी-चैनल क्यूइंग सिस्टम (कुल n चैनल हैं) पर विचार करें, जिसमें अनुरोध की दर से आते हैं और μ की दर से सेवित होते हैं। सिस्टम में आया एक अनुरोध सर्विस किया जाता है यदि कम से कम एक चैनल मुफ़्त है। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो सिस्टम में प्रवेश करने वाला अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है और QS छोड़ देता है। हम व्यस्त चैनलों की संख्या के आधार पर सिस्टम की स्थिति बताते हैं:

• एस 0 - सभी चैनल मुफ्त हैं;
• एस 1 - एक चैनल पर कब्जा है;
• एस 2 - दो चैनलों का कब्जा है;
• एसक- व्यस्त कचैनल;
• एसएन- सभी चैनल व्यस्त हैं।

यह स्पष्ट है कि यह प्रणाली के प्रभाव में एक राज्य से दूसरे राज्य में गुजरती है आगत प्रवाहअनुप्रयोग। आइए इस कतार प्रणाली के लिए एक राज्य ग्राफ बनाएं।

चावल। 7.24
चित्र 6.24 एक राज्य ग्राफ दिखाता है जिसमें एसमैं- चैनल संख्या; λ आवेदनों की प्राप्ति की तीव्रता है; μ - क्रमशः, सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता। अनुप्रयोग निरंतर तीव्रता के साथ कतार प्रणाली में प्रवेश करते हैं और धीरे-धीरे एक के बाद एक चैनलों पर कब्जा कर लेते हैं; जब सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया जाता है, तो QS पर आने वाला अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाएगा और सिस्टम को छोड़ दिया जाएगा।
आइए हम घटना प्रवाह की तीव्रता का निर्धारण करते हैं जो सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं जब राज्य ग्राफ के साथ बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों को स्थानांतरित करते हैं।
उदाहरण के लिए, सिस्टम को राज्य में रहने दें एस 1, यानी, एक चैनल व्यस्त है, क्योंकि इसके इनपुट पर एक अनुरोध है। जैसे ही अनुरोध संसाधित होता है, सिस्टम राज्य में स्विच हो जाएगा एस 0 .
उदाहरण के लिए, यदि दो चैनल व्यस्त हैं, तो सेवा प्रवाह जो सिस्टम को राज्य से स्थानांतरित करता है एस 2 प्रति राज्य एस 1 दोगुना तीव्र होगा: 2-μ; क्रमशः, यदि व्यस्त कचैनल, तीव्रता k-μ के बराबर है।

सेवा प्रक्रिया मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया है। इस विशेष मामले के लिए कोलमोगोरोव समीकरणों का निम्न रूप होगा:

(7.25)
समीकरण (7.25) कहलाते हैं एरलांग समीकरण .
राज्यों की संभावनाओं के मूल्यों को खोजने के लिए आर 0 , आर 1 , …, आरएन, प्रारंभिक शर्तों को निर्धारित करना आवश्यक है:
– आर 0 (0) = 1, यानी सिस्टम इनपुट पर एक अनुरोध है;
– आर 1 (0) = आर 2 (0) = … = आरएन(0) = 0, यानी, in प्रारंभिक क्षणसमय प्रणाली मुक्त है।
अंतर समीकरणों (7.25) की प्रणाली को एकीकृत करने के बाद, हम राज्य की संभावनाओं के मूल्य प्राप्त करते हैं आर 0 (टी), आर 1 (टी), … आरएन(टी).
लेकिन हम राज्यों की सीमित संभावनाओं में अधिक रुचि रखते हैं। टी → के रूप में और मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया पर विचार करते समय प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान प्राप्त करते हैं (7.25):

(7.26)
इन सूत्रों में, तीव्रता अनुपात λ / μ अनुप्रयोगों के प्रवाह के लिए इसे नामित करना सुविधाजनक है ρ .इस मान को कहा जाता है अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम तीव्रता,यानी, एक आवेदन के औसत सेवा समय के लिए क्यूएस में आने वाले आवेदनों की औसत संख्या।

उपरोक्त संकेतन को ध्यान में रखते हुए, समीकरणों की प्रणाली (7.26) निम्नलिखित रूप लेती है:

(7.27)
सीमांत संभावनाओं की गणना के लिए इन सूत्रों को कहा जाता है एरलांग सूत्र .
क्यूएस राज्यों की सभी संभावनाओं को जानने के बाद, हम क्यूएस दक्षता विशेषताओं, यानी पूर्ण थ्रूपुट पाते हैं लेकिन, सापेक्ष थ्रूपुट क्यूऔर विफलता की संभावना आरखोलना
सिस्टम में प्रवेश करने वाला एक अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाएगा यदि यह सभी चैनलों को व्यस्त पाता है:

.
सेवा के लिए आवेदन स्वीकार किए जाने की प्रायिकता:

क्यू = 1 – आरओटीके,
कहाँ पे क्यूसिस्टम द्वारा सेवित प्राप्त अनुरोधों का औसत हिस्सा है, या समय की प्रति यूनिट क्यूएस द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या, इस समय के दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या से विभाजित है:

ए = λ क्यू = λ (1-पी खुला)
इसके अलावा, में से एक सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएंविफलताओं के साथ QS है औसत व्यस्त चैनल. पर एन-चैनल क्यूएस विफलताओं के साथ, यह संख्या क्यूएस में आवेदनों की औसत संख्या के साथ मेल खाती है।
आवेदनों की औसत संख्या k की गणना सीधे 0 , 1 , … , n राज्यों की संभावनाओं के संदर्भ में की जा सकती है:

,
यानी हम एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा पाते हैं जो 0 से तक का मान लेता है एनसंभावनाओं के साथ आर 0 , आर 1 , …, आरएन.
QS के निरपेक्ष थ्रूपुट के संदर्भ में k के मान को व्यक्त करना और भी आसान है, अर्थात। A. A का मान उन अनुप्रयोगों की औसत संख्या है जो सिस्टम द्वारा प्रति यूनिट समय में सेवित होते हैं। एक व्यस्त चैनल प्रति समय इकाई μ अनुरोध करता है, फिर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या

वर्गीकरण सुविधाएँ

कतारबद्ध प्रणालियों की किस्में

आवक मांग प्रवाह

सीमित आवश्यकताएं

बंद किया हुआ

खोलना

वितरण कानून

आने वाले प्रवाह के वितरण के एक विशिष्ट कानून के साथ सिस्टम: घातीय, एरलांग कआदेश, हथेली, सामान्य, आदि।

मोड़

कतार अनुशासन

आदेशित कतार के साथ

एक अनियंत्रित कतार के साथ

सेवा प्राथमिकता

प्रतीक्षा सेवा सीमा

अस्वीकृति के साथ

असीमित प्रतीक्षा के साथ

प्रतिबंधित (मिश्रित)

कतार की लंबाई के अनुसार

कतार में प्रतीक्षा समय

एसएमओ में ठहरने के समय तक

संयुक्त

सेवा अनुशासन

सेवा चरण

एकल चरण

पॉलीफ़ेज़

सेवा चैनलों की संख्या

एक चैनल

मल्टी-चैनल

समान चैनलों के साथ

असमान चैनलों के साथ

सेवा चैनलों की विश्वसनीयता

बिल्कुल विश्वसनीय चैनलों के साथ

अविश्वसनीय चैनलों के साथ

कोई वसूली नहीं

वसूली के साथ

पारस्परिक सहायता चैनल

आपसी सहायता के बिना

आपसी सहयोग से

सेवा विश्वसनीयता

गलतियों के साथ

गलतियों के बिना

सेवा समय वितरण

एक विशिष्ट सेवा समय वितरण कानून के साथ सिस्टम: नियतात्मक, घातीय, सामान्य, आदि।

यदि सेवा चैनलों के कुछ अनुक्रमों द्वारा चरणों में की जाती है, तो ऐसे QS को कहा जाता है बहुत अवस्थायाँ का.

पर "आपसी सहायता" के साथ सीएमओचैनलों के बीच, एक ही अनुरोध को दो या दो से अधिक चैनलों द्वारा एक साथ परोसा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही विफल मशीन एक साथ दो श्रमिकों की सेवा कर सकती है। चैनलों के बीच इस तरह की "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद क्यूएस दोनों में हो सकती है।

पर त्रुटियों के साथ सीएमओसिस्टम में सेवा के लिए स्वीकार किया गया एक आवेदन पूरी संभावना के साथ नहीं, बल्कि कुछ संभावना के साथ सेवित किया जाता है; दूसरे शब्दों में, सेवा में त्रुटियां हो सकती हैं, जिसका परिणाम यह है कि कुछ आवेदन जो क्यूएस में गए और माना जाता है कि "सेवा" वास्तव में क्यूएस के काम में "विवाह" के कारण अप्रयुक्त रहते हैं।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं: सूचना डेस्क, कभी-कभी गलत जानकारी और निर्देश देना; एक सुधारक जो किसी त्रुटि को याद कर सकता है या उसे गलत तरीके से ठीक कर सकता है; टेलीफोन एक्सचेंज, कभी-कभी ग्राहक को गलत नंबर से जोड़ना; व्यापारिक और मध्यस्थ फर्में जो हमेशा उच्च गुणवत्ता और समय पर अपने दायित्वों को पूरा नहीं करती हैं, आदि।

QS में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, यह जानना आवश्यक है बुनियादी प्रणाली पैरामीटर: चैनलों की संख्या, अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (चैनल द्वारा प्रति यूनिट समय पर दिए गए अनुप्रयोगों की औसत संख्या), कतार के गठन की शर्तें, अनुप्रयोगों के प्रस्थान की तीव्रता कतार या प्रणाली से।

रिश्ता कहलाता है सिस्टम लोड फैक्टर. अक्सर केवल ऐसी प्रणालियों पर विचार किया जाता है जिनमें .

QS में सेवा समय यादृच्छिक और गैर-यादृच्छिक दोनों हो सकता है। व्यवहार में, इस समय को अक्सर घातीय कानून के अनुसार वितरित के रूप में लिया जाता है।

क्यूएस की मुख्य विशेषताएं सेवा समय वितरण कानून के प्रकार पर अपेक्षाकृत कम निर्भर करती हैं, लेकिन मुख्य रूप से औसत मूल्य पर निर्भर करती हैं। इसलिए, अक्सर यह माना जाता है कि सेवा समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

अनुरोधों के प्रवाह की पॉइसन प्रकृति और सेवा समय के घातीय वितरण (जिसे हम अब से मानेंगे) के बारे में धारणाएं मूल्यवान हैं क्योंकि वे हमें कतार के सिद्धांत में तथाकथित मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रियाओं के तंत्र को लागू करने की अनुमति देते हैं। .

कार्यों की शर्तों और अध्ययन के उद्देश्यों के आधार पर सेवा प्रणालियों की प्रभावशीलता की विशेषता हो सकती है एक बड़ी संख्या मेंविभिन्न मात्रात्मक संकेतक।

सबसे अधिक इस्तेमाल निम्नलिखित हैं: संकेतक:

1. चैनल के सेवा में व्यस्त होने की प्रायिकता है।

एक विशेष मामला यह संभावना है कि सभी चैनल मुक्त हैं।

2. सेवा में आवेदन के इनकार की संभावना।

3. व्यस्त चैनलों की औसत संख्या सिस्टम लोड की डिग्री को दर्शाती है।

4. सेवा से मुक्त चैनलों की औसत संख्या:

5. निष्क्रिय चैनलों का गुणांक (संभावना)।

6. उपकरण लोड फैक्टर (व्यस्त चैनलों की संभावना)

7. सापेक्ष थ्रूपुट - सिस्टम द्वारा प्रदान किए गए आने वाले अनुरोधों का औसत हिस्सा, यानी। समय की प्रति यूनिट सिस्टम द्वारा सेवित अनुरोधों की औसत संख्या और इस दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या का अनुपात।

8. निरपेक्ष थ्रूपुट, यानी। अनुप्रयोगों की संख्या (आवश्यकताएँ) जो सिस्टम समय की प्रति यूनिट सेवा कर सकता है:

9. औसत चैनल निष्क्रिय समय

सिस्टम के लिए उम्मीद के साथअतिरिक्त सुविधाओं का उपयोग किया जाता है:

10. कतार में अनुरोधों के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

11. सीएमओ में आवेदन का औसत निवास समय।

12. औसत कतार लंबाई।

13. सेवा क्षेत्र में आवेदनों की औसत संख्या (सीएमओ में)

14. संभावना है कि आवेदन के कतार में रहने का समय एक निश्चित समय से अधिक नहीं रहेगा।

15. सेवा शुरू करने की प्रतीक्षा में कतार में अनुरोधों की संख्या कुछ संख्या से अधिक होने की संभावना है।

सूचीबद्ध मानदंडों के अलावा, सिस्टम की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करते समय, लागत संकेतक:

- सिस्टम में प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करने की लागत;

- समय की प्रति यूनिट प्रतीक्षा से जुड़े नुकसान की लागत;

- सिस्टम से आवश्यकताओं के प्रस्थान से जुड़े नुकसान की लागत;

समय की प्रति यूनिट सिस्टम चैनल के संचालन की लागत है;

चैनल के लिए डाउनटाइम की प्रति यूनिट लागत है।

आर्थिक संकेतकों के लिए इष्टतम सिस्टम पैरामीटर चुनते समय, आप निम्न का उपयोग कर सकते हैं हानि लागत समारोह:

ए) असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम के लिए

समय अंतराल कहाँ है;

बी) विफलताओं वाले सिस्टम के लिए;

ग) मिश्रित प्रणालियों के लिए।

विकल्प जो सिस्टम के नए तत्वों (उदाहरण के लिए, सेवा चैनल) के निर्माण (कमीशनिंग) के लिए प्रदान करते हैं, आमतौर पर कम लागत पर तुलना की जाती है।

प्रत्येक विकल्प के लिए कम की गई लागत वर्तमान लागत (लागत) और पूंजी निवेश का योग है, जो दक्षता मानक के अनुसार समान आयाम तक कम हो जाती है, उदाहरण के लिए:

(प्रति वर्ष दी गई लागत);

(पेबैक अवधि के लिए दी गई लागत),

जहां - प्रत्येक विकल्प के लिए वर्तमान लागत (लागत), पी .;

- उद्योग मानक गुणांक आर्थिक दक्षतापूंजी निवेश (आमतौर पर = 0.15 - 0.25);

- प्रत्येक विकल्प के लिए पूंजी निवेश, पी.;

पूंजी निवेश, वर्षों के लिए मानक पेबैक अवधि है।

व्यंजक एक निश्चित अवधि के लिए चालू और पूंजीगत लागतों का योग है। वे कहते हैं दिया गया, चूंकि वे एक निश्चित अवधि (इस मामले में, मानक पेबैक अवधि के लिए) का उल्लेख करते हैं।

संकेतक और दोनों का उपयोग पूंजी निवेश के योग और तैयार उत्पादों की लागत के रूप में और रूप में किया जा सकता है विशिष्ट पूंजी निवेशउत्पादन की प्रति इकाई और उत्पादन की इकाई लागत।

असतत राज्यों के साथ एक प्रणाली में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, राज्य की संभावनाओं का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां संभावना है कि इस समय सिस्टम राज्य में होगा।

जाहिर सी बात है कि।

यदि असतत अवस्था और निरंतर समय वाली प्रणाली में होने वाली प्रक्रिया है मार्कोवियन, तो राज्यों की संभावनाओं के लिए रैखिक कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की एक प्रणाली बनाना संभव है।

यदि राज्यों का एक लेबल ग्राफ है (चित्र। 4.3) (यहां, प्रत्येक तीर के ऊपर एक राज्य से दूसरे राज्य की ओर, घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता का संकेत दिया जाता है, इस तीर के साथ सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित किया जाता है), तो सिस्टम प्रायिकताओं के अंतर समीकरणों को निम्नलिखित सरल का उपयोग करके तुरंत लिखा जा सकता है: नियम.

प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर एक व्युत्पन्न होता है, और दाईं ओर उतने ही शब्द होते हैं जितने कि तीर सीधे इस स्थिति से संबंधित होते हैं; अगर तीर इंगित करता है में

यदि घटनाओं के सभी प्रवाह जो सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं, स्थिर हैं, राज्यों की कुल संख्या सीमित है और बाहर निकलने के बिना कोई राज्य नहीं हैं, तो सीमा मोड मौजूद है और इसकी विशेषता है सीमांत संभावनाएं .