आगत प्रवाह। विशिष्ट गणितीय मॉडल

24. आने वाली मांग प्रवाह

24.1 क्यूएस संरचना

क्यूएस का अध्ययन आवश्यकताओं के आने वाले प्रवाह के विश्लेषण से शुरू होता है। आवक मांग प्रवाहआवश्यकताओं का एक समूह है जो सिस्टम में प्रवेश करता है और जिसे सेवित करने की आवश्यकता होती है। इस प्रवाह के पैटर्न को स्थापित करने और सेवा की गुणवत्ता में और सुधार करने के लिए आवश्यकताओं के आने वाले प्रवाह का अध्ययन किया जाता है।

ज्यादातर मामलों में, आने वाला प्रवाह बेकाबू होता है और कई यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है। समय की प्रति इकाई आने वाले अनुरोधों की संख्या, एक यादृच्छिक चर। एक यादृच्छिक चर आसन्न आने वाले अनुरोधों के बीच का समय अंतराल भी है। हालांकि, समय की प्रति यूनिट प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या और आसन्न आने वाले अनुरोधों के बीच औसत समय अंतराल को माना जाता है।

समय की प्रति इकाई कतार प्रणाली में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की औसत संख्या कहलाती है मांग तीव्रताऔर निम्नलिखित संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ पे टी - लगातार अनुरोधों के आने के बीच के अंतराल का औसत मूल्य।

कई वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए, आवश्यकताओं के प्रवाह को पॉइसन वितरण कानून द्वारा काफी अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। इस तरह के प्रवाह को कहा जाता है सबसे साधारण.

सबसे सरल प्रवाह में निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं:

स्थिरता संपत्ति, जो समय के साथ संभाव्य प्रवाह व्यवस्था के परिवर्तन को व्यक्त करता है। इसका मतलब है कि नियमित अंतराल पर सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या औसतन स्थिर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, प्रति दिन औसतन लदान के लिए पहुंचने वाले वैगनों की संख्या अलग-अलग समयावधियों के लिए समान होनी चाहिए, उदाहरण के लिए, एक दशक की शुरुआत और अंत में।

कोई परिणाम नहीं,जो गैर-अतिव्यापी समय अंतराल में सेवा के लिए अनुरोधों की एक या दूसरी संख्या की प्राप्ति की पारस्परिक स्वतंत्रता को निर्धारित करता है। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए समय अंतराल में आने वाले अनुरोधों की संख्या पिछले समय अंतराल में दिए गए अनुरोधों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है। उदाहरण के लिए, महीने के दसवें दिन सामग्री के लिए आने वाली कारों की संख्या उस महीने के चौथे या किसी अन्य पिछले दिन सर्विस की गई कारों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

सामान्यता की संपत्ति,जो दो या दो से अधिक आवश्यकताओं की एक साथ प्राप्ति की व्यावहारिक असंभवता को व्यक्त करता है (ऐसी घटना की संभावना उस समय की अवधि के संबंध में बहुत कम है, जब बाद वाला शून्य हो जाता है)।

चूंकि किसी भी सेवा प्रणाली के संचालन का उद्देश्य सेवा के लिए अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) को पूरा करना है, अनुप्रयोगों का प्रवाह (आवश्यकताएं) सिद्धांत की बुनियादी और सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। कतार. आपको आवश्यकताओं के आने वाले प्रवाह को मापने का तरीका सीखना होगा, लेकिन इसके लिए आपको इसकी प्रकृति और संरचना का पता लगाना होगा।

सेवा प्रणाली में प्रवेश करने वाली आवश्यकताओं का लगभग कोई भी प्रवाह एक यादृच्छिक प्रक्रिया है। दरअसल, अगर हम लेते हैं टी=0 प्रति प्रारंभिक क्षण, तो कई प्रवाहों में (मामले को छोड़कर जब आवश्यकताएं समय पर सख्ती से आती हैं) अगली आवश्यकता के आगमन के क्षण के साथ-साथ बाद की आवश्यकताओं के आगमन के क्षणों की सटीक भविष्यवाणी करना या तो असंभव या मुश्किल है। उदाहरण के लिए, उन क्षणों को सटीक रूप से इंगित करना असंभव है जब ग्राहक स्टूडियो में आते हैं, अस्पताल में मरीज, पीबीएक्स पर कॉल आते हैं, मरम्मत की दुकान पर उपकरण आदि।

नतीजतन, आवेदन प्राप्त करने के क्षण, साथ ही उनके बीच के अंतराल, आम तौर पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। फिर कतार प्रणाली में आवश्यकताओं की प्राप्ति की प्रक्रिया को एक संभाव्य या यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में माना जाना चाहिए। आइए इस प्रक्रिया को निरूपित करें एक्स(टी). यह फ़ंक्शन समय की अवधि के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त अनुरोधों की संख्या निर्धारित करता है . प्रत्येक निश्चित t के लिए, फलन एक्स(टी) एक यादृच्छिक चर है। वास्तव में, यदि हम समान अवधि का भी समय अंतराल चुनते हैं, तो इस मामले में कोई यह सुनिश्चित नहीं कर सकता है कि इनमें से प्रत्येक अंतराल में समान संख्या में आवश्यकताएं आ जाएंगी।

कुछ समय के लिए एक भी आवेदन नहीं हो सकता है, या 1, 2, ... आवेदन हो सकते हैं। लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितने समय के अंतराल को चुनते हैं, आवेदनों की संख्या केवल एक पूर्णांक होगी।

आवश्यकताओं के प्रवाह को फ़ंक्शन के यादृच्छिक चर के कार्यान्वयन में से एक के ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स(टी), केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लें। इस मामले में, ग्राफ (चित्र। 24.2) एक या कई इकाइयों के बराबर छलांग के साथ एक चरणबद्ध रेखा है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आवश्यकताएं एक समय में या समूहों में आती हैं या नहीं। तो यादृच्छिक प्रक्रिया एक्स(टी), निम्नलिखित विशेषताएं हैं।

1. हर निश्चित . के लिए टी समारोह एक्स(टी), गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान 0, 1, 2,...,R,... लेता है और बढ़ने के साथ घटता नहीं है।

2. अवधि के दौरान प्राप्त दावों की संख्या , इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है, अर्थात t के मान पर।

3. प्रक्रिया कार्यान्वयन चरणबद्ध रेखाएं हैं, जो एक दूसरे से कुछ भिन्न हैं। यह यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत से जाना जाता है कि एक प्रक्रिया पूरी तरह से एक संभाव्य दृष्टिकोण से निर्धारित की जाएगी यदि इसके सभी बहुआयामी वितरण कानून ज्ञात हैं:

हालांकि, सामान्य मामले में इस तरह के एक समारोह को खोजना एक बहुत ही कठिन और कभी-कभी असफल समस्या है। इसलिए, व्यवहार में, वे उन प्रक्रियाओं का उपयोग करने का प्रयास करते हैं जिनमें गुण होते हैं जो उनका वर्णन करने के लिए सरल तरीके खोजना संभव बनाते हैं। इन गुणों में शामिल हैं:

स्थिरता (समय में बेहतर एकरूपता);

प्रभाव की कमी (मार्कोवियन), कभी-कभी वे स्मृति की अनुपस्थिति के बारे में कहते हैं;

साधारणता।

सूचीबद्ध गुणों को ऊपर स्थिर और मार्कोव प्रक्रियाओं के अध्ययन में माना गया था, इसलिए यहां हम केवल कतार सिद्धांत के संदर्भ में इन गुणों के सार को याद करते हैं।

आवश्यकताओं के प्रवाह को समय में स्थिर या सजातीय कहा जाता है यदि एक निश्चित अवधि के दौरान एक निश्चित संख्या में आवश्यकताओं को प्राप्त करने की संभावना केवल अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है, न कि इसकी समय स्थिति पर (दूसरे शब्दों में, निर्भर नहीं करती है) मूल पर)। इस प्रकार, एक स्थिर प्रवाह के लिए, संभावना है कि अंतराल पर बिल्कुल करेंगे आर आवश्यकताएं प्राप्ति की संभावना के बराबर हैं आर अंतराल के लिए आवश्यकताएँ [ए, ए +टी] , कहाँ पे ए>0, अर्थात।

इसका मतलब है कि प्रवाह की संभाव्य विशेषताएं (वितरण कानून के पैरामीटर) समय के साथ नहीं बदलनी चाहिए।

छोटी अवधि में देखे जाने पर कई वास्तविक मांग प्रवाह में स्थिरता संपत्ति होती है। इस तरह के प्रवाह में शामिल हैं: निश्चित अंतराल पर पीबीएक्स को कॉल का प्रवाह, स्टोर में ग्राहकों का प्रवाह, मरम्मत की आवश्यकता वाले रेडियो उपकरण का प्रवाह, यात्री यातायात की तीव्रता, आदि। हालांकि, कुछ सूचीबद्ध प्रवाह के दौरान बदल जाते हैं दिन (रात में कॉल की संभावना दिन की तुलना में कम, सार्वजनिक परिवहन में पीक आवर्स)।

कुछ प्रवाहों में, समय में एक मनमाना बिंदु के बाद सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की संख्या पहले प्राप्त अनुरोधों की संख्या और उनके आगमन के क्षणों पर निर्भर नहीं करती है, अर्थात, अनुरोधों के आगमन के बीच के अंतराल को स्वतंत्र मान माना जाता है। और उनके बीच कोई संबंध नहीं है। प्रणाली की भविष्य की स्थिति इसकी पिछली स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। इस संपत्ति के साथ एक प्रवाह को प्रभाव के बिना प्रवाह या मार्कोव प्रवाह कहा जाता है। बिना किसी प्रभाव (स्मृति की कमी) की संपत्ति कई वास्तविक धागों में निहित है। उदाहरण के लिए, पीबीएक्स को कॉल का प्रवाह बिना किसी प्रभाव के एक प्रवाह है, क्योंकि, एक नियम के रूप में, अगली कॉल इस बात की परवाह किए बिना आती है कि इस क्षण तक कब और कितनी कॉल की गई हैं।

कई मामलों में, आवश्यकताओं के प्रवाह की प्रकृति ऐसी होती है कि दो या का एक साथ प्रकट होना अधिकआवश्यकताएँ असंभव या लगभग असंभव हैं। इस गुण वाली धारा को सामान्य धारा कहते हैं।

यदि एक आर आर >2 (एच) -अंतराल के लिए घटना की संभावना एचएक से अधिक आवश्यकता है, तो सामान्य प्रवाह के लिए यह होना चाहिए:

,

यानी, प्रवाह की सामान्यता के लिए आवश्यक है कि कम समय में एक से अधिक आवश्यकता होने की संभावना हो एचकी तुलना में उच्च क्रम की एक अतिसूक्ष्म मात्रा होगी एच. कुछ वास्तविक प्रवाहों में यह गुण स्पष्ट होता है, जबकि अन्य में हम इसे वास्तविकता के काफी अच्छे सन्निकटन के साथ स्वीकार करते हैं। इस तरह के प्रवाह के शास्त्रीय उदाहरण पीबीएक्स को कॉल का प्रवाह और स्टूडियो में ग्राहकों का प्रवाह हैं।

एक अनुरोध प्रवाह जिसमें इन तीन गुणों को सबसे सरल कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी सरल प्रवाह का वर्णन पॉइसन प्रक्रिया द्वारा किया जाता है। इसके लिए, हम यादृच्छिक कार्यों के सिद्धांत में अपनाई गई पॉइसन प्रक्रिया की परिभाषा को याद करते हैं।

यादृच्छिक प्रक्रिया एक्स(टी) (0≤ टी<∞) पूर्णांक मानों को पॉइसन प्रक्रिया कहा जाता है यदि यह स्वतंत्र वृद्धि के साथ एक प्रक्रिया है या यदि एक समय अंतराल पर प्रक्रिया का कोई वेतन वृद्धि पैरामीटर के साथ पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है λ एच, कहाँ पे λ>0 वे।

विशेष रूप से, यदि टी=0, एक्स(0)=0, फिर (3) निम्नानुसार फिर से लिखा गया है:

(4)

यहां वी आर (एच)इसका मतलब है कि संभावना है कि हमारे लिए ब्याज की घटना बिल्कुल घटित होगी आरसमय की अवधि में एक बार एच(क्यूइंग थ्योरी के संदर्भ में वी आर (एच)संभावना निर्धारित करता है कि समय की अवधि में एचसेवा प्रणाली में बिल्कुल प्रवेश करेगा आरआवश्यकताएं)।

पैरामीटर का अर्थ एक्सयह पता लगाना आसान है कि क्या आप पॉइसन प्रक्रिया की गणितीय अपेक्षा पाते हैं: एम [एक्स (टी)] = एम।पर टी = 1हम पाते हैं एम [एक्स (1)] = 1।इसलिए, प्रति यूनिट समय में आवेदनों की औसत संख्या होती है। इसलिए, मान λ अक्सर तीव्रता या प्रवाह घनत्व के रूप में जाना जाता है।

पोइसन प्रक्रिया की परिभाषा से, तीन गुण तुरंत अनुसरण करते हैं, जो उपरोक्त के समान हैं:

1) वेतन वृद्धि की स्वतंत्रता। पोइसन प्रक्रिया के लिए वेतन वृद्धि की स्वतंत्रता में, कोई परिणाम नहीं है - प्रक्रिया मार्कोवियन है।

2) समय में एकरूपता। इसका मतलब है कि संभावनाएं वी आर (एच) प्रारंभिक क्षण पर निर्भर न हों टी माना अंतराल , लेकिन केवल अंतराल की लंबाई पर निर्भर करते हैं एच:

3) सामान्यता। पॉइसन प्रक्रिया की सामान्यता का अर्थ है कि आवश्यकताओं के समूह के लिए एक ही क्षण में पहुंचना व्यावहारिक रूप से असंभव है।

इसलिए, कम समय अंतराल में दो या दो से अधिक दावों की एक साथ प्राप्ति की संभावना नहीं है, इसलिए

जो पॉइसन प्रक्रिया की सामान्यता को इंगित करता है।

इस प्रकार, हमने स्थापित किया है कि पॉइसन प्रक्रिया द्वारा वर्णित प्रवाह सबसे सरल है। हालांकि, विपरीत धारणा भी सच है, कि पॉसों प्रक्रिया द्वारा सबसे सरल प्रवाह का वर्णन किया गया है। नतीजतन, सबसे सरल प्रवाह को अक्सर पॉइसन प्रवाह भी कहा जाता है। कतार के सिद्धांत में पॉइसन प्रक्रिया एक विशेष स्थान रखती है, जो कि संभाव्यता के सिद्धांत के समान है, अन्य वितरण कानूनों के बीच, सामान्य कानून का कब्जा है। और बात यह नहीं है कि इसे गणितीय रूप से सबसे सरल रूप में वर्णित किया गया है, बल्कि यह कि यह सबसे आम है। पॉइसन प्रवाह एक सीमा प्रवाह है (एक स्पर्शोन्मुख प्रवाह जब बड़ी संख्या में अन्य प्रवाह संयुक्त होते हैं)।

परिभाषा 6.1. इनपुट स्ट्रीम को सबसे सरल कहा जाता है यदि:

1) समय अंतराल में एक या किसी अन्य संख्या में अनुप्रयोगों की उपस्थिति की संभावना केवल इसकी अवधि पर निर्भर करती है और समय अक्ष (इनपुट प्रवाह की स्थिरता) पर इसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है, इसके अलावा, आवेदन अकेले आते हैं (साधारण इनपुट प्रवाह) और एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से (इनपुट स्ट्रीम में कोई परिणाम नहीं);

2) छोटी अवधि के समय अंतराल पर एक अलग यादृच्छिक घटना (एक आवेदन की उपस्थिति) की प्राप्ति की संभावना, यानी की तुलना में छोटेपन के एक छोटे से उच्च क्रम के समानुपाती होती है। कहां है

3) कम समय अंतराल पर दो या दो से अधिक यादृच्छिक घटनाओं (दो या अधिक अनुप्रयोगों की उपस्थिति) की प्राप्ति की संभावना मूल्य है

सरलतम इनपुट स्ट्रीम की परिभाषा में परिणाम की अनुपस्थिति का अर्थ है कि किसी भी गैर-अतिव्यापी समय अंतराल के लिए, इन अंतरालों में से किसी एक में आने वाले दावों की संख्या अन्य अंतरालों में आने वाले दावों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

इस तथ्य के बावजूद कि कई के इनपुट और आउटपुट स्ट्रीम वास्तविक प्रणालीसेवाएं सरलतम प्रवाह की परिभाषा को पूरी तरह से संतुष्ट नहीं करती हैं, सरलतम प्रवाह की अवधारणा का व्यापक रूप से कतार के सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। यह परिस्थिति न केवल इस तथ्य से जुड़ी है कि सबसे सरल प्रवाह अक्सर व्यवहार में सामने आते हैं, बल्कि इस तथ्य से भी कि लगभग किसी भी परिणाम के साथ असीमित संख्या में स्थिर सामान्य प्रवाह का योग सबसे सरल प्रवाह है। इस संबंध में, आइए हम सरलतम प्रवाह के मुख्य गुणों पर विचार करें।

प्रमेय 6.1. एक असतत यादृच्छिक चर जो मूल्यों को लेता है और सबसे सरल इनपुट प्रवाह के लिए, अवधि t के समय अंतराल पर कतार प्रणाली में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या को पैरामीटर के साथ पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है

असतत राज्यों के साथ एक अदिश यादृच्छिक प्रक्रिया पर विचार करें (अर्थात, किसी भी निश्चित समय के लिए, इसका क्रॉस सेक्शन) संभावित मानों के एक सेट के साथ एक असतत यादृच्छिक चर है। इसके राज्य में होने का मतलब है कि सेवा प्रणाली में k अनुरोध हैं .

प्रमेय की शर्तों और सबसे सरल प्रवाह की परिभाषा के अनुसार, एक यादृच्छिक प्रक्रिया, असतत राज्यों के साथ एक मार्कोव सजातीय प्रक्रिया है, और किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक i और j के लिए, कतार प्रणाली के संक्रमण की संभावना घनत्व राज्य से, राज्य को किसी भी समय समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

इसलिए, इस मामले में, समीकरणों की कोलमोगोरोव प्रणाली का निम्न रूप है:

जहां संभावना है कि अवधि t के समय अंतराल पर, अध्ययन के तहत सेवा प्रणाली को बहुत सारे अनुरोध प्राप्त होंगे। और चूंकि यह अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह की परिभाषा 6.1 से अनुसरण करता है कि

तब हम फ़ंक्शन के संबंध में कॉची समस्याओं पर पहुंचते हैं

और कार्य

कॉची समस्याओं (6.3), (6.4) को क्रमबद्ध रूप से हल करते हुए, सबसे सरल इनपुट प्रवाह के मामले में, हम संभावना पाते हैं कि अवधि टी के समय अंतराल पर ग्राहकों की संख्या बराबर होगी

संबंध (6.5) का मतलब है कि यादृच्छिक चर को पॉइसन कानून के अनुसार पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है

कोरोलरी 6.1. यदि इनपुट स्ट्रीम सबसे सरल है, तो अवधि t के समय अंतराल पर कतार प्रणाली में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की औसत संख्या के बराबर है

अनुप्रयोगों की औसत संख्या निर्धारित करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को खोजने की आवश्यकता है। और चूंकि, (6.5) के अनुसार, इसे पॉइसन कानून के अनुसार पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है

सिद्ध परिणाम के अनुसार, पैरामीटर समय की प्रति इकाई आने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या है। इसलिए, इसे तीव्रता, या सरलतम प्रवाह का घनत्व कहा जाता है।

कोरोलरी 6.2। यदि अनुरोधों का इनपुट प्रवाह सबसे सरल है, तो उनके औसत मूल्य के सापेक्ष, अवधि t के समय अंतराल पर कतार प्रणाली में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की संख्या के फैलाव की विशेषता वाले एक अदिश यादृच्छिक चर का विचरण बराबर है

एम यदि इनपुट स्ट्रीम सबसे सरल है, तो, (6.5) के अनुसार, यादृच्छिक चर को पॉइसन कानून के अनुसार पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है, इसलिए,

आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि, (6.6) और (6.7) के अनुसार, पॉइसन कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा और भिन्नता समान है।

उदाहरण 6.1. सर्विस ब्यूरो को प्रति घंटे औसतन 12 ऑर्डर मिलते हैं। आदेशों के प्रवाह को सबसे सरल मानते हुए, हम इस संभावना को निर्धारित करते हैं कि: क) 1 मिनट में कोई आदेश प्राप्त नहीं होगा; बी) 10 मिनट में तीन से अधिक आदेश प्राप्त नहीं होंगे।

चूंकि आदेशों का प्रवाह सबसे सरल और तीव्रता है, तो, (6.5) के अनुसार, हमारे पास है:

सबसे सरल प्रवाह की परिभाषा 6.1 के अनुसार, दो लगातार आने वाले अनुरोधों के बीच समय अंतराल की अवधि एक यादृच्छिक चर है। क्यूइंग सिस्टम के गणितीय मॉडल बनाने के लिए, एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन या इसके वितरण घनत्व को जानना आवश्यक है (संभावनाएं)

प्रमेय 6.2। तीव्रता ए के साथ सबसे सरल इनपुट प्रवाह के मामले में, लगातार दो अनुरोधों के बीच समय अंतराल की अवधि में पैरामीटर ए के साथ एक घातीय वितरण होता है।

सूचना की इनपुट धारा

सूचना की इनपुट धारा सूचना प्रणाली में दर्ज किए जाने वाले दस्तावेजों और डेटा का एक क्रम है।

यह सभी देखें:विषय

• - सिस्टम के इनपुट पर एक उपकरण जो बाहरी स्रोत के साथ सिस्टम के संचालन को समन्वयित करने के लिए इनपुट सिग्नल को परिवर्तित करता है। प्रभाव...

  बड़ा विश्वकोश पॉलिटेक्निक शब्दकोश

• - एक अलग बिंदु के रास्ते की रक्षा करने वाला एक रास्ता संकेत। के रूप में वी. के साथ. ट्रैफिक लाइट या सेमाफोर का उपयोग किया जा सकता है। प्रवेश द्वार सेमाफोर 50 मीटर के करीब स्थापित नहीं है, ट्रैफिक लाइट इनपुट तीर की बुद्धि से 15 मीटर के करीब नहीं है ...

  तकनीकी रेलवे शब्दकोश

• - "... उपभोक्ता या ग्राहक द्वारा प्राप्त आपूर्तिकर्ता के उत्पादों का नियंत्रण और उत्पादों के निर्माण, मरम्मत या संचालन में उपयोग के लिए ..." स्रोत: रोसकार्टोग्राफी का आदेश दिनांक 29.06 ...

  आधिकारिक शब्दावली

• - निर्माण के लिए आपूर्ति किए गए औद्योगिक उत्पादों के पासपोर्ट डेटा के अनुपालन का नियंत्रण...

  निर्माण शब्दकोश

• - बाहर से रसद प्रणाली में प्रवेश करने वाली सामग्री का प्रवाह ...

  व्यापार शर्तों की शब्दावली

• - एक विशिष्ट रूप में तैयार किया गया एक दस्तावेज और सूचना प्रणाली में प्रवेश के लिए इरादा डेटा युक्त। यह भी देखें: सामग्री  ...

  वित्तीय शब्दावली

• - प्रबंधन प्रक्रियाओं के कार्यान्वयन के लिए आवश्यक सिस्टम में प्रसारित संदेशों का एक सेट ...

  बड़ा आर्थिक शब्दकोश

• - बाहरी सामग्री प्रवाह बाहरी वातावरण से इस रसद प्रणाली में प्रवेश कर रहा है ...

  बड़ा आर्थिक शब्दकोश

• - एक सिस्टम या डिवाइस के इनपुट पर एक उपकरण जो इनपुट क्रियाओं को सिग्नल में परिवर्तित करता है जो आगे की प्रक्रिया, ट्रांसमिशन और पंजीकरण के लिए सुविधाजनक है या विभिन्न इनपुट के साथ सिस्टम के संचालन के समन्वय के लिए -...

  महान सोवियत विश्वकोश

• - ...

  एंटोनिम डिक्शनरी

• - इनपुट, एंटर देखें और...

  Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - इनपुट, इनपुट, इनपुट। विशेषण प्रवेश द्वार तक। प्रवेश द्वार। प्रवेश टिकट। प्रवेश...

  Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - इनपुट मैं adj. प्रारंभिक, प्रारंभिक, प्रारंभिक। द्वितीय adj. 1. प्रवेश करने का अधिकार देना 1. कहीं । 2. प्रवेश द्वार के रूप में कार्य करना...

  Efremova . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - इनपुट adj।, उपयोग करें। कॉम्प. अक्सर 1. जब आप एक दरवाजे के बारे में बात करते हैं, तो आपका मतलब सड़क से आपके घर में जाने वाले बाहरी दरवाजे से होता है। किसी ने दालान में कदम रखा और सामने का दरवाजा खोला। 2...

  दिमित्रीव का शब्दकोश

• - इनपुट "...

  रूसी वर्तनी शब्दकोश

• - ...

  शब्द रूप

किताबों में "सूचना का इनपुट स्ट्रीम"

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5.1 सिस्टम और सॉफ्टवेयर जीवन चक्र प्रक्रियाओं के बीच सूचना का प्रवाह

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5.1 प्रक्रियाओं के बीच सूचना प्रवाह जीवन चक्रसिस्टम और सॉफ्टवेयर 5.1.1 सिस्टम प्रक्रियाओं से सॉफ्टवेयर प्रक्रियाओं तक सूचना प्रवाह सिस्टम सुरक्षा मूल्यांकन प्रक्रिया को सिस्टम के लिए संभावित विफलता स्थितियों की पहचान करनी चाहिए और उनकी श्रेणियां स्थापित करनी चाहिए,

12.37 सॉफ्टवेयर इनपुट/आउटपुट सूचना गाइड

सॉफ्टवेयर ऑफ एंबेडेड सिस्टम्स पुस्तक से। विकास और प्रलेखन के लिए सामान्य आवश्यकताएं लेखक रूस का गोस्स्टैंडर्ट

12.37 सॉफ्टवेयर इनपुट/आउटपुट सूचना इनपुट/आउटपुट सूचना मैनुअल सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ता को बताता है कि कैसे प्रस्तुत करना है, इनपुट जानकारी दर्ज करना है और आउटपुट जानकारी की व्याख्या कैसे करना है, सिस्टम किस मोड (बैच या इंटरैक्टिव) में संचालित होता है

कतार सिद्धांत के तत्व

§ 1 परिचय

क्यूइंग थ्योरी को अन्यथा क्यूइंग थ्योरी के रूप में जाना जाता है। दरअसल, कतार सिद्धांत काफी हद तक विभिन्न प्रणालियों में उत्पन्न होने वाली कतारों के अध्ययन के लिए समर्पित है।

क्यूइंग सिस्टम की मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित यादृच्छिक चर हैं:

एक ग्राहक द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय;

सिस्टम के निष्क्रिय रहने का प्रतिशत (ग्राहकों की कमी के कारण)।

क्यूइंग सिस्टम की कार्यक्षमता निम्नलिखित कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है:

ग्राहक वितरण क्षणों का वितरण;

सेवा अवधि वितरण;

सेवा प्रणाली विन्यास (धारावाहिक, समानांतर या समानांतर-धारावाहिक सेवा);

कतार में अनुशासन (आगमन के क्रम में सेवा, उल्टे क्रम में सेवा, ग्राहकों का यादृच्छिक चयन);

प्रतीक्षा ब्लॉक क्षमता (सीमित या असीमित);

मांग स्रोत की क्षमता या शक्ति (सीमित और असीमित);

सिस्टम की कुछ अन्य विशेषताएं (ग्राहकों की एक कतार से दूसरी कतार में जाने की क्षमता, विफलता की गैर-शून्य संभावना, आदि)।

मुख्य कारक पहले दो हैं।

किसी भी कतार प्रणाली में निम्नलिखित मुख्य तत्व होते हैं:

आने वाले ग्राहक प्रवाह;

सेवा उपकरण;

लाइन में अनुशासन।

§ 2 . ग्राहक इनपुट स्ट्रीम

यादृच्छिक चर के अनुक्रमों पर विचार करें

चलो दिखावा करते हैं कि टीओ = 0 सिस्टम ऑपरेशन का प्रारंभिक क्षण है; टी 1 = टीओ + τ 1 , टी 2 = टी 1 + τ 2 , …, टीकश्मीर = टीकश्मीर -1 + τ कश्मीर,…., जहां τ k पैरामीटर के साथ घातीय वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

वू यहां टी 1 - पहले ग्राहक के आगमन का क्षण, τ 1 - सिस्टम की शुरुआत और पहले क्लाइंट के आने के बीच का समय अंतराल, τ 2 - पहले और दूसरे क्लाइंट के आने आदि के बीच का समय अंतराल।

परिणाम को
, उपरोक्त तरीके से परिभाषित कहा जाता है सबसे साधारण (प्वासों) बहे. निरंतर सरलतम प्रवाह का पैरामीटर कहा जाता है।

एक साधारण धारा के गुण

1. T . द्वारा प्रवाह शिफ्ट

एक सरल प्रवाह होने दें
पैरामीटर के साथ।

द्वारा प्रवाह को स्थानांतरित करके टी, हमें धारा मिलती है
, जो समान पैरामीटर के साथ सबसे सरल प्रवाह भी होगा। उदाहरण के लिए, यदि टीके बीच है तथा , तो नई स्ट्रीम इस तरह दिखती है:

, ….

2. दो धागों को मिलाना

पी
दो स्वतंत्र प्राथमिक प्रवाह होने दें

साथ
मापदंडों λ (1) , λ (2) क्रमशः। हम कहेंगे कि प्रवाह का निर्माण दो प्रवाहों के विलय के परिणामस्वरूप हुआ था, यदि समुच्चय ( टी को) सेटों का संघ है ( टी को (1) }, {टी के ( 2)) और सेट के तत्व ( टी को) आरोही क्रम में क्रमबद्ध हैं।

पी
दो स्वतंत्र सरल प्रवाहों के विलय से उत्पन्न बहिर्वाह भी पैरामीटर के साथ सबसे सरल प्रवाह है = (1) + (2) ,कहाँ पे (जे)- प्रवाह पैरामीटर

3. सरलतम धारा को विभाजित करना

एक पैरामीटर के साथ एक सरल प्रवाह होने दें λ,

और स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम
, दो मान लेते हुए:

पी(ξ मैं = 1) = पी, पी(ξ मैं = 0) = क्यू, पी  0, क्यू  0, पी + क्यू = 1.

ऐसे यादृच्छिक चर कहलाते हैं Bernoulli(पैरामीटर के साथ पी) प्रवाह विभाजन प्रक्रिया ( टी को) इस प्रकार है: संख्या मैंपहले प्रवाह का संदर्भ लें यदि मैं= 1; अगर मैं= 0, तो संख्या मैंदूसरी धारा का संदर्भ लें। हम एक धारा को दो में विभाजित करने के ऐसे ऑपरेशन को कहते हैं Bernoulli(पैरामीटर के साथ पी).

सरलतम प्रवाह के बर्नौली पृथक्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त प्रवाह क्रमशः पैरामीटर λ (1) = p, λ (2) = λq के साथ स्वतंत्र सरल प्रवाह हैं।

ध्यान दें कि सरलतम प्रवाह के इन गुणों के प्रमाण में पाया जा सकता है।

एच
यहाँ एक्स (टी)इस प्रकार, हम इस समय सिस्टम में ग्राहकों की संख्या को निरूपित करेंगे टी, अर्थात।

पॉइसन प्रक्रियाओं के गुण

पॉसों प्रक्रिया वृद्धि सजातीय है.

द्वारा निरूपित करें एक्स((एक,बी])= एक्स(बी) – एक्स(एक) प्रक्रिया वृद्धि, जिसे अंतराल में सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या के रूप में व्याख्या किया जा सकता है ( एक,बी]. समरूपता का अर्थ है शर्त की पूर्ति:

पी( एक्स((एक,बी]) = के) = पी( एक्स((0,बी-एक]) = के) = पी( एक्स(बी-एक) = कश्मीर),

वे। अंतराल में सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या का संभाव्यता वितरण ( एक,बी], केवल इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है।

पॉसों प्रक्रिया वृद्धि स्वतंत्र हैं.

अंतराल पर विचार करें (0, बी] और मान लीजिए कि इसे अप्रतिच्छेदी अंतरालों में विभाजित किया गया है (0, बी 1 ], (बी 1 , बी 2], , ( बीएन-1, बीएन]। होने देना बी 0 = 0. तब एक्स((बी 0 , बी 1 ]), एक्स((बी 1 , बी 2]), , एक्स((बीएन-1, बी N]) संबंधित समयावधि में सिस्टम में प्रवेश करने वाले क्लाइंट्स की संख्या है। ये मात्राएँ स्वतंत्र हैं, अर्थात्।

पी( एक्स((बी 0 , बी 1 ]) = मैं 1, , एक्स((बीएन-1, बीएन]) = मैंएन) =

पी( एक्स((बी 0 , बी 1 ]) = मैं 1) पी( एक्स((बीएन-1, बीएन]) = मैंएन)।

इन गुणों के प्रमाण में पाया जा सकता है।

2 के लिए कार्य।

2.1. दो यादृच्छिक चर हैं  1 और  2. वे स्वतंत्र हैं और मापदंडों के साथ एक घातीय वितरण है  1 और  2 क्रमशः। हम निम्नलिखित यादृच्छिक चर पेश करते हैं:  = मिनट (  1 ,  2)। साबित करें कि इस मात्रा में पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण है = 1 + 2 .

2.2. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर दिए गए हैं  1 तथा  2 पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण होना  1 तथा  2 क्रमशः। यादृच्छिक चर होने दें  = 1 + 2. साबित करें कि इस मात्रा में पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण है  = 1 + 2 .

2.3. होने देना  स्टोर में ग्राहकों की संख्या है और पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण है  . प्रत्येक ग्राहक को संभावना के साथ रहने दें पीइस स्टोर में खरीदारी करता है। यह साबित करना आवश्यक है कि इस स्टोर में खरीदारी करने वाले ग्राहकों की संख्या में पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण है p.

2.4. ग्राहक प्रति घंटे 20 ग्राहकों की औसत आवृत्ति के साथ पॉइसन प्रवाह के अनुसार रेस्तरां में आते हैं। रेस्तरां 11.00 बजे खुलता है।

ए) संभावना है कि 11.12 पर रेस्तरां में 20 ग्राहक होंगे, यह देखते हुए कि 11.07 पर रेस्तरां में 18 ग्राहक थे;

बी) संभावना है कि एक नया आगंतुक 11.28 और 11.30 के बीच रेस्तरां में आएगा, अगर यह ज्ञात हो कि पिछला आगंतुक 11.25 बजे रेस्तरां में आया था।

2.5. उत्पादों को स्टॉक में 80 वस्तुओं की क्षमता वाले गोदाम से लिया जाता है, पॉइसन प्रवाह के अनुसार प्रति दिन 5 वस्तुओं की दर से।

ए) संभावना है कि पहले दो दिनों के दौरान गोदाम से उत्पादों की 10 इकाइयां ली जाएंगी;

बी) संभावना है कि चौथे दिन के अंत तक गोदाम में उत्पाद की एक भी इकाई नहीं बचेगी।

§

3. मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया

आइए मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया का निर्माण करें एक्स(टी) "रचनात्मक"।

दो अनुक्रमों पर विचार करें और। पहला सिस्टम (प्रजनन) में ग्राहकों के प्रवेश के लिए जिम्मेदार है, और दूसरा सर्विसिंग क्लाइंट्स (मृत्यु) के लिए है:

इसके अलावा, दो स्वतंत्र अनुक्रम दिए गए हैं
पैरामीटर = 1 के साथ घातीय वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर।

प्रक्रिया एक्स(टी) निम्नानुसार बनाया गया है। होने देना
, कहाँ पे
. फिर अंतराल पर
प्रक्रिया एक्स(टी) अपना मूल्य रखेगा , कहाँ पे
,

.

में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 1 प्रक्रिया मूल्य एक्स(टी) दोनों में से किसके अनुसार एक से बढ़ेगा या घटेगा
पहले आता है:

हमने इस प्रकार प्रक्रिया का अर्थ रखा है एक्स(टी) बिंदु पर टी 1 बराबर ; फिर प्रक्रिया का विकास एक्स(टी) अंतराल पर
, कहाँ पे
तथा
, एक ही कानून का पालन करता है: एक्स(टी) इस समय इस अंतराल पर नहीं बदलता है टी 2

एक से बढ़ा हुआ अगर
, और अन्यथा एक से कम हो जाता है।

यदि
, फिर प्रक्रिया का मूल्य एक्स(टी) यादृच्छिक क्षण में एक से बढ़ जाता है
.

इस तरह से बनाई गई प्रक्रिया
, मृत्यु और प्रजनन की समय-समान प्रक्रिया कहलाती है; इसका वितरण पूरी तरह से मापदंडों के सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है, और प्रारंभिक वितरण X(0):

निम्नलिखित का उपयोग करना सुविधाजनक है चार्टप्रक्रिया विकास का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक्स(टी):

ऊपर दिए गए तीर प्रजनन प्रक्रिया की गतिशीलता के अनुरूप हैं: from मैंवें राज्य, प्रक्रिया में जाती है ( मैं+1) - तीव्रता के साथ वां राज्य ; नीचे दिए गए तीर मृत्यु प्रक्रिया की गतिशीलता के अनुरूप हैं: तीव्रता के साथ से प्रक्रिया मैंवां राज्य जाता है ( मैं-1)-वें राज्य।

विशेषता संग्रह

प्रक्रिया वितरण का वर्णन करता है एक्स(टी); नीचे हम समीकरणों की एक प्रणाली प्रस्तुत करते हैं जो ये कार्य संतुष्ट करते हैं।

ध्यान दें कि पैरामीटर का हर सेट नहीं
एक "गैर-पतित" प्रक्रिया का जवाब देता है एक्स(टी); तथ्य यह है कि यदि संख्या बहुत तेजी से बढ़ती है
, फिर प्रक्रिया एक्स(टी) अंतिम क्षण में टी"विस्फोट" कर सकते हैं, अर्थात। किसी भी स्तर से अधिक और बढ़ने की सकारात्मक संभावना के साथ
. इस प्रकार, उदाहरण के लिए, में बैक्टीरिया की आबादी अनुकूल वातावरण. विस्फोट की ओर ले जाने वाली रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करने वाली प्रक्रियाओं को इसी तरह व्यवस्थित किया जाता है।

प्रक्रियाओं एक्स(टी), जिसके लिए सभी
, तथाकथित . के हैं शुद्ध प्रजनन प्रक्रिया. प्रक्रियाएं जिसके लिए
, बुलाया शुद्ध मृत्यु की प्रक्रिया.

निम्नलिखित लेम्मा मापदंडों पर आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है
, जो शुद्ध प्रजनन की प्रक्रिया की सूक्ष्मता की गारंटी देता है
मापदंडों के साथ।

लेम्मा. चलो मापदंडों के साथ शुद्ध प्रजनन की प्रक्रिया। फिर प्रक्रिया की पूर्णता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि श्रृंखला अलग हो जाए

होने देना एक्स(टी) समान मापदंडों के साथ मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया प्रक्रिया , साथ ही साथ पैरामीटर
. जाहिर सी बात है

पी( एक्स(टी) ) पी( एक्स + (टी)  ) .

इसलिए, हम लेम्मा से एक उपफल प्राप्त करते हैं।

परिणाम. यदि प्रजनन की मृत्यु की एक मनमानी प्रक्रिया के लिए X(t) स्थिति
, फिर किसी के लिए
निष्पक्षपी( एक्स (टी)  ) = 1, अर्थात। प्रक्रिया समाप्त हो गई है।

लेम्मा का प्रमाण में पाया जा सकता है।

3 . के लिए कार्य

3.1. मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया पर विचार करें, जिसके लिए

इस प्रक्रिया के अनुरूप आरेख बनाना आवश्यक है।

3.2. जो ग्राहक फोन द्वारा सहायता प्राप्त करना चाहते हैं, उन्हें पैरामीटर के साथ सबसे सरल प्रवाह बनाने दें। हर बातचीत को चलने दें - सांकेतिक समय। होने देना एक्स(टी) समय t पर सिस्टम में क्लाइंट्स की संख्या है। प्रक्रिया के अनुरूप आरेख बनाएं एक्स(टी).

3.3. चलो समस्या की शर्तों के तहत 3.2

फोन में एक क्लाइंट के लिए एक मेमोरी है: यदि क्लाइंट कॉल करता है और फोन व्यस्त है, लेकिन फोन मेमोरी फ्री है, तो मशीन हैंग होने और कॉल की प्रतीक्षा करने की पेशकश करती है। जब फोन फ्री होगा, घंटी बजेगी;

एक स्वचालित स्विचबोर्ड और दो टेलीफोन हैं, प्रत्येक टेलीफोन का अपना ऑपरेटर होता है: यदि ग्राहक के कॉल के समय एक मुफ्त टेलीफोन होता है, तो स्विचबोर्ड स्वचालित रूप से ग्राहक को इस टेलीफोन पर संबोधित करता है;

स्विच (आइटम 2 देखें) में एक क्लाइंट के लिए मेमोरी है;

प्रत्येक फोन (आइटम 2 देखें) में एक क्लाइंट के लिए एक मेमोरी होती है।

उपरोक्त सभी मामलों के लिए, प्रक्रिया के अनुरूप एक आरेख बनाएं एक्स(टी).

3.4. निर्धारित करें कि क्या शुद्ध प्रजनन की अंतिम प्रक्रियाएं निम्नलिखित प्रजनन दरों के साथ हैं:

एक)  क = के +  ,  >0,  >0, क= 0, 1, ...

बी)  0 = 1,  क +1 = (क+1) क , क = 0, 1, ...

में)  क =  क , क = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया के अनुरूप विभेदक समीकरण

चलो दिखावा करते हैं कि एक्स(टी) विशेषताओं के साथ मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया है और। चलो कुछ परिमित संख्याओं के लिए एतथा बीअसमानताएं हैं  मैं  ए + द्वि, मैं= 0, 1, ...यह शर्त प्रक्रिया के अंत की गारंटी देती है एक्स(टी) इस मामले में, हम इस बात से सहमत होंगे कि बाईं ओर का ऊपरी तीर प्रत्येक राज्य (यहां तक ​​कि राज्य 0) पर आता है, जबकि जन्म दर λ शून्य के बराबर हो सकता है (उदाहरण के लिए, -1 = = 0); प्रत्येक राज्य से बाईं ओर एक निचला तीर है, और मृत्यु की तीव्रता μ शून्य भी हो सकता है (उदाहरण के लिए, -1 = 0)। इस तरह से आरेख की परिभाषा का विस्तार करने से मामले का सार नहीं बदलता है, हालांकि, यह आगे के तर्क में उपयोगी होगा। हमारी प्रक्रिया के अनुरूप आरेख पर विचार करें एक्स(टी):

निरूपित करें, पहले की तरह, द्वारा

पी क (टी) = पी(एक्स(टी) = क), क = 0,1,…,

संभावना है कि एक निश्चित क्षण में टीग्राहकों की संख्या एक्स(टी) के बराबर होगा क।

प्रमेय 1.विशेषताएंप्रक्रियाएक्स(टी), ऊपर परिभाषित, अवकल समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करता है

कहाँ पे क = 0,1,…, और प्रारंभिक शर्तें

यह समझाने के लिए जगह से बाहर नहीं है कि पहली पंक्ति (जब .) क= 0) समीकरणों की प्रणाली (1) का रूप है

सबूत।द्वारा निरूपित करें पीक ( टी +Δ) = पी(एक्स(टी+ Δ) = क).

आइए एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करें:

.

इन घटनाओं पर विचार करें:

ए 0 (टी, ) = (खंड पर [ टी, टी+Δ] प्रक्रिया एक्स(टी) एक भी छलांग नहीं लगाई);

ए 1 (टी, ) = (खंड पर [ टी, टी+Δ] प्रक्रिया एक्स(टी) बिल्कुल एक छलांग लगाई);

ए 2 (टी, ) = (खंड पर [ टी, टी+Δ] प्रक्रिया एक्स(टी) दो छलांग या अधिक)।

तब यह स्पष्ट है कि

इसके द्वारा आगे निरूपित करें

; के माध्यम से
मापदंडों के साथ तीन घातीय यादृच्छिक चर
. इन सभी राशियों को स्वतंत्र होने दें। तब सत्य तो यह स्पष्ट है कि स्थिर (स्थिर) मोड। पी क (टी) = पी(इस समय सिस्टम में टीस्थित कग्राहक)।

अवकल समीकरणों के निकाय के साथ-साथ स्थिर प्रायिकताओं का हल ज्ञात कीजिए।

4.2. समस्या से मृत्यु और पुनरुत्पादन की प्रक्रियाओं के लिए 3.3 प्रायिकताओं से संबंधित अवकल समीकरण लिखिए पी क (टी) = पी(इस समय सिस्टम में टीस्थित कग्राहक)।

स्थिर संभावनाओं का पता लगाएं।

TSMO का मुख्य कार्य QS के प्रवेश द्वार पर अनुप्रयोगों के प्रवाह की प्रकृति, एक चैनल के प्रदर्शन, चैनलों की संख्या और सेवा दक्षता के बीच संबंध स्थापित करना है।

दक्षता मानदंड के रूप में विभिन्न कार्यों और मात्राओं का उपयोग किया जा सकता है:

• औसत सिस्टम डाउनटाइम;
• कतार में औसत प्रतीक्षा समय;
• कतार में एक आवश्यकता की प्रतीक्षा की अवधि के वितरण का कानून;
• अस्वीकृत आवेदनों का औसत%; आदि।

मानदंड का चुनाव प्रणाली के प्रकार पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले सिस्टम के लिएमुख्य विशेषता निरपेक्ष है throughputसीएमओ; कम महत्वपूर्ण मानदंड व्यस्त चैनलों की संख्या, एक चैनल का औसत सापेक्ष निष्क्रिय समय और समग्र रूप से सिस्टम हैं। दोषरहित सिस्टम के लिए(असीमित प्रतीक्षा के साथ) सबसे महत्वपूर्ण हैं कतार में औसत निष्क्रिय समय, कतार में अनुरोधों की औसत संख्या, सिस्टम में अनुरोधों का औसत निवास समय, निष्क्रिय कारक और सेवा प्रणाली का लोड फैक्टर।

आधुनिक TSMO सूचीबद्ध प्रकार के QS के अध्ययन के लिए विश्लेषणात्मक विधियों का एक समूह है। कतारबद्ध समस्याओं को हल करने के लिए सभी जटिल और दिलचस्प तरीकों में से, मार्कोव की कक्षा में वर्णित विधियों को "मृत्यु और प्रजनन" प्रकार की प्रक्रियाओं में प्रस्तुत किया जाएगा। यह इस तथ्य के कारण है कि इंजीनियरिंग गणना के अभ्यास में इन विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

2. घटना प्रवाह के गणितीय मॉडल।

2.1. नियमित और यादृच्छिक धाराएँ।

क्यूएस संगठन के केंद्रीय प्रश्नों में से एक नियमितता की व्याख्या है जो उन क्षणों को नियंत्रित करती है जब सेवा आवश्यकताएं सिस्टम में प्रवेश करती हैं। सबसे अधिक इस्तेमाल पर विचार करें गणितीय मॉडलइनपुट स्ट्रीम।

परिभाषा: आवश्यकताओं के प्रवाह को सजातीय कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. सेवा की दृष्टि से प्रवाह के सभी अनुप्रयोग समान हैं;

प्रवाह की आवश्यकताओं (घटनाओं) के बजाय, जो उनकी प्रकृति से भिन्न हो सकते हैं, केवल उनके आगमन के समय।

परिभाषा: एक धारा को नियमित कहा जाता है यदि धारा में घटनाएँ एक के बाद एक सख्त समय अंतराल पर होती हैं।

समारोह f (x) यादृच्छिक चर T के संभाव्यता वितरण घनत्व का - घटनाओं के बीच के समय अंतराल का रूप है:

कहाँ पे - डेल्टा फ़ंक्शन, एम टी - गणितीय अपेक्षा, और एम टी \u003d टी, विचरण डीएम = 0 और प्रवाह में घटनाओं की घटना की तीव्रता \u003d 1 / एम टी \u003d 1 / टी।

परिभाषा: प्रवाह कहा जाता है यादृच्छिक रूप सेयदि इसकी घटनाएँ यादृच्छिक समय पर होती हैं।

एक यादृच्छिक प्रवाह को एक यादृच्छिक वेक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि ज्ञात है, वितरण कानून द्वारा विशिष्ट रूप से दो तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

कहाँ पे, जि- मान तिवारी(i=1,n),इस मामले में, घटनाओं के घटित होने के क्षणों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है

टी 1 \u003d टी 0 +z1

टी 2 \u003d टी 1 +z2

………,

कहाँ पे, टी 0 - प्रवाह की शुरुआत का क्षण।

2.2. सबसे सरल पॉइसन प्रवाह।

बड़ी संख्या में लागू समस्याओं को हल करने के लिए, सजातीय प्रवाह के गणितीय मॉडल लागू करने के लिए पर्याप्त है जो बिना किसी प्रभाव और सामान्यता के स्थिरता की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।

परिभाषा: एक प्रवाह को स्थिर कहा जाता है यदि घटना की संभावना nसमय अंतराल पर घटनाएँ (t,t + T) समय अक्ष पर इसके स्थान पर निर्भर करती हैंटी।

परिभाषा: घटनाओं की एक धारा को सामान्य कहा जाता है यदि प्राथमिक समय अंतराल के दौरान दो या दो से अधिक घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता D टीइस अंतराल में एक घटना के घटित होने की प्रायिकता की तुलना में एक अपरिमित मान है, अर्थात परएन = 2.3,…

परिभाषा: घटनाओं की धारा कहलाती है परिणाम के बिना प्रवाह, यदि किसी गैर-अतिव्यापी समय अंतराल के लिए उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या दूसरे पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

परिभाषा: यदि प्रवाह स्थिरता, सामान्यता और बिना किसी परिणाम की आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो इसे कहा जाता है सबसे सरल पॉइसन प्रवाह।

यह सिद्ध होता है कि सरलतम प्रवाह के लिए संख्या nकिसी भी अंतराल z . पर पड़ने वाली घटनाएँपॉइसन के नियम के अनुसार वितरित:

(1)

समय अंतराल z पर कोई घटना प्रकट नहीं होने की प्रायिकता है:

(2)

तो विपरीत घटना की प्रायिकता है:

जहाँ परिभाषा के अनुसार P(T .) प्रायिकता बंटन फलन T है।यहाँ से हम पाते हैं कि यादृच्छिक चर T को घातीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है:

(3)

पैरामीटर को फ्लक्स घनत्व कहा जाता है। इसके अतिरिक्त,

पहली बार, सबसे सरल प्रवाह मॉडल का वर्णन सदी की शुरुआत के उत्कृष्ट भौतिकविदों के कार्यों में दिखाई दिया - ए। आइंस्टीन और यू। स्मोलुखोवस्की, ब्राउनियन गति के लिए समर्पित।

2.3. सबसे सरल पॉइसन प्रवाह के गुण।

सरलतम प्रवाह के दो गुण हैं जिनका उपयोग व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।

2.3.1. हम मात्रा का परिचय देते हैंए = एक्स। पोइसन वितरण के गुणों के अनुसारयह सामान्य हो जाता है। इसलिए, बड़े ए के लिए, गणना करने के लिए पी (एक्स (ए) एन से कम या बराबर है), जहां एक्स (ए) उम्मीद के साथ एक पॉइसन यादृच्छिक चर है, आप निम्नलिखित अनुमानित समानता का उपयोग कर सकते हैं:

2.3.2. सरलतम प्रवाह का एक अन्य गुण निम्नलिखित प्रमेय से संबंधित है:

प्रमेय:आवश्यकताओं टी के बीच समय अंतराल के एक घातीय वितरण के साथ, चाहे वह कितने समय तक चले, इसके शेष भाग में समान वितरण कानून है।

प्रमाण: मान लीजिए कि T को घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: मान लीजिए कि अंतराल a पहले ही कुछ समय तक चला है< T. आइए हम अंतराल T . के शेष भाग के वितरण का सशर्त नियम ज्ञात करें 1 = टी-ए

एफ ए (एक्स) = पी (टी-ए एक्स)

प्रायिकता गुणन प्रमेय के अनुसार:

पी((टी>ए)(टी-ए जेड) पी(टी-ए ए) = पी (टी> ए) एफ ए (जेड)।

यहाँ से,

घटना के बराबर है a , जिसके लिए P(a ; वहीं दूसरी ओर

पी (टी> ए) = 1-एफ (ए), इस प्रकार

एफ ए (एक्स)=(एफ(जेड+ए)-एफ(ए))/(1-एफ(ए))

इसलिए, खाते में (3):

इस संपत्ति में केवल एक प्रकार का प्रवाह है - सबसे सरल पॉइसन।