चैनलों के बीच आपसी सहयोग से एसएमओ। विफलताओं के साथ क्यूएस और मनमाने प्रवाह के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता

अब तक, हमने केवल ऐसे QS पर विचार किया है जिनमें प्रत्येक अनुरोध को केवल एक चैनल द्वारा पूरा किया जा सकता है; खाली चैनल सर्विसिंग में व्यस्त चैनलों की "मदद" नहीं कर सकते।

सामान्य तौर पर, यह हमेशा मामला नहीं होता है: सिस्टम हैं कतार, जहां एक ही अनुरोध को दो या दो से अधिक चैनलों द्वारा एक साथ पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही टूटी हुई मशीन की सर्विस एक साथ दो कर्मचारी कर सकते हैं। चैनलों के बीच ऐसी "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद दोनों क्यूएस में हो सकती है।

क्रॉस-चैनल पारस्परिक सहायता वाले क्यूएस पर विचार करते समय, विचार करने के लिए दो कारक हैं:

1. जब एक नहीं, बल्कि कई चैनल एक साथ काम कर रहे हों तो किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग कितनी तेजी से होती है?

2. "पारस्परिक सहायता अनुशासन" क्या है, यानी एक ही अनुरोध पर कई चैनल कब और कैसे सेवा लेते हैं?

आइए पहले पहले प्रश्न पर नजर डालें। यह मानना ​​स्वाभाविक है कि यदि एक चैनल नहीं, बल्कि कई चैनल किसी एप्लिकेशन को सेवा देने के लिए काम कर रहे हैं, तो सेवा प्रवाह की तीव्रता k बढ़ने के साथ कम नहीं होगी, यानी, यह काम करने की संख्या k के कुछ गैर-घटते कार्य का प्रतिनिधित्व करेगी चैनल. आइए इस फ़ंक्शन को निरूपित करें। फ़ंक्शन का एक संभावित रूप चित्र में दिखाया गया है। 5.11.

जाहिर है, एक साथ संचालित होने वाले चैनलों की संख्या में असीमित वृद्धि से हमेशा सेवा की गति में आनुपातिक वृद्धि नहीं होती है; यह मान लेना अधिक स्वाभाविक है कि एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य पर, व्यस्त चैनलों की संख्या में और वृद्धि से सेवा की तीव्रता नहीं बढ़ती है।

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता से क्यूएस के संचालन का विश्लेषण करने के लिए, सबसे पहले, फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करना आवश्यक है

अध्ययन के लिए सबसे सरल मामला वह होगा जब फ़ंक्शन k के अनुपात में बढ़ता है जबकि स्थिर और बराबर रहता है (चित्र 5.12 देखें)। यदि एक दूसरे की मदद करने वाले चैनलों की कुल संख्या अधिक नहीं है

आइए अब हम दूसरे प्रश्न पर ध्यान दें: पारस्परिक सहायता का अनुशासन। हम इस अनुशासन के सबसे सरल मामले को "सभी को एक" कहेंगे। इसका मतलब यह है कि जब एक अनुरोध सामने आता है, तो सभी चैनल तुरंत उसकी सेवा देना शुरू कर देते हैं और तब तक व्यस्त रहते हैं जब तक इस अनुरोध की सेवा समाप्त नहीं हो जाती; फिर सभी चैनल किसी अन्य अनुरोध (यदि कोई है) की सर्विसिंग पर स्विच कर देते हैं या यदि ऐसा नहीं होता है तो उसके प्रकट होने की प्रतीक्षा करते हैं, आदि। जाहिर है, इस मामले में, सभी चैनल एक के रूप में काम करते हैं, क्यूएस एकल-चैनल बन जाता है, लेकिन उच्च सेवा के साथ तीव्रता।

सवाल उठता है: क्या चैनलों के बीच ऐसी पारस्परिक सहायता शुरू करना लाभदायक है या लाभहीन? इस प्रश्न का उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता क्या है, किस प्रकार का कार्य है, किस प्रकार का क्यूएस (विफलताओं के साथ, एक कतार के साथ), सेवा दक्षता की विशेषता के रूप में किस मूल्य को चुना जाता है।

उदाहरण 1. विफलताओं के साथ एक तीन-चैनल क्यूएस है: अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन), एक चैनल द्वारा एक अनुरोध को पूरा करने का औसत समय (मिनट), फ़ंक्शन सवाल यह है कि क्या यह फायदेमंद है "सभी एक" प्रकार के चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता शुरू करने के लिए क्यूएस के थ्रूपुट का दृष्टिकोण क्या है? क्या यह किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने के औसत समय को कम करने के संदर्भ में फायदेमंद है?

समाधान ए. आपसी सहयोग के बिना

एर्लांग फ़ार्मुलों का उपयोग करना (§ 4 देखें) हमारे पास है:

क्यूएस की सापेक्ष क्षमता;

पूर्ण थ्रूपुट:

किसी एप्लिकेशन के QS में रहने के औसत समय को औसत सेवा समय से गुणा करके सेवा के लिए आवेदन स्वीकार किए जाने की संभावना के रूप में पाया जाता है:

जीसिस्ट (मिनट)।

हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह औसत समय सभी अनुप्रयोगों पर लागू होता है - सेवित और असेवित दोनों। हमें उस औसत समय में भी रुचि हो सकती है जब एक सेवित एप्लिकेशन सिस्टम में रहेगा। यह समय इसके बराबर है:

6. आपसी सहयोग से.

किसी एप्लिकेशन के सीएमओ में रहने का औसत समय:

सीएमओ में एक सेवित एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय:

इस प्रकार, "सभी एक के रूप में" पारस्परिक सहायता की उपस्थिति में, क्यूएस के थ्रूपुट में उल्लेखनीय रूप से कमी आई है। इसे इनकार की संभावना में वृद्धि से समझाया गया है: जबकि सभी चैनल एक अनुरोध को पूरा करने में व्यस्त हैं, अन्य अनुरोध आ सकते हैं और, स्वाभाविक रूप से, अस्वीकार कर दिए जा सकते हैं। जहां तक ​​किसी एप्लिकेशन द्वारा सीएमओ में बिताए जाने वाले औसत समय की बात है, तो जैसी की उम्मीद थी, इसमें कमी आई है। यदि, किसी कारण से, हम उस समय को पूरी तरह से कम करने का प्रयास करते हैं जो कोई एप्लिकेशन QS में बिताता है (उदाहरण के लिए, यदि QS में रहना एप्लिकेशन के लिए खतरनाक है), तो यह पता चल सकता है कि, थ्रूपुट में कमी के बावजूद, यह होगा तीन चैनलों को एक में जोड़ना अभी भी फायदेमंद होगा।

आइए अब उम्मीद के साथ क्यूएस के काम पर "सभी एक" प्रकार की पारस्परिक सहायता के प्रभाव पर विचार करें। सरलता के लिए, हम केवल असीमित कतार का मामला लेते हैं। स्वाभाविक रूप से, पारस्परिक सहायता का प्रभाव THROUGHPUTइस मामले में, कोई क्यूएस नहीं होगा, क्योंकि किसी भी परिस्थिति में आने वाले सभी आवेदनों की सेवा ली जाएगी। प्रतीक्षा की विशेषताओं पर पारस्परिक सहायता के प्रभाव के बारे में प्रश्न उठता है: कतार की औसत लंबाई, औसत प्रतीक्षा समय, सेवा में बिताया गया औसत समय।

आपसी सहायता के बिना सेवा के लिए सूत्र (6.13), (6.14) 6 के आधार पर, कतार में अनुरोधों की औसत संख्या होगी

औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में औसत निवास समय:

यदि "सभी एक के रूप में" प्रकार की पारस्परिक सहायता का उपयोग किया जाता है, तो सिस्टम मापदंडों के साथ एकल-चैनल के रूप में काम करेगा

और इसकी विशेषताएँ सूत्र (5.14), (5.15) 5 द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

उदाहरण 2. असीमित कतार वाला तीन-चैनल क्यूएस है; अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन), औसत सेवा समय फ़ंक्शन लाभकारी अर्थ:

औसत कतार की लंबाई,

सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय,

किसी एप्लिकेशन के सीएमओ में रहने का औसत समय

"सभी एक जैसे" जैसे चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता का परिचय दें?

समाधान ए. कोई पारस्परिक सहायता नहीं.

सूत्र (9.1) - (9.4) के अनुसार हमारे पास है

(3-2)

बी। आपसी सहयोग से

सूत्र (9.5) - (9.7) का उपयोग करके हम पाते हैं;

इस प्रकार, आपसी सहायता के मामले में कतार की औसत लंबाई और कतार में औसत प्रतीक्षा समय अधिक होता है, लेकिन किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय कम होता है।

विचार किए गए उदाहरणों से, यह स्पष्ट है कि आपसी सहायता "सभी एक" प्रकार की नकदी, एक नियम के रूप में, सेवा की दक्षता बढ़ाने में योगदान नहीं देती है: सेवा प्रणाली में अनुरोध के रहने का समय कम हो जाता है, लेकिन अन्य सेवा विशेषताएं खराब हो जाती हैं।

इसलिए, सेवा अनुशासन को बदलना वांछनीय है ताकि चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता सेवा के लिए नए अनुरोधों को स्वीकार करने में हस्तक्षेप न करे यदि वे सभी चैनलों के व्यस्त होने पर सामने आते हैं।

आइए हम निम्नलिखित प्रकार की पारस्परिक सहायता को "समान पारस्परिक सहायता" कहें। यदि कोई अनुरोध ऐसे समय में आता है जब सभी चैनल मुफ़्त हैं, तो सभी चैनलों को उसकी सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है; यदि, किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग के समय, कोई अन्य एप्लिकेशन आ जाता है, तो कुछ चैनल उसकी सर्विसिंग पर स्विच कर देते हैं; यदि, जब इन दो अनुरोधों की सेवा की जा रही हो, एक और अनुरोध आ जाता है, कुछ चैनल इसकी सेवा करना शुरू कर देते हैं, आदि, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा नहीं हो जाता; यदि ऐसा है, तो नया आया हुआ आवेदन अस्वीकार कर दिया जाता है (अस्वीकार के साथ क्यूएस में) या कतार में डाल दिया जाता है (प्रतीक्षा के साथ क्यूएस में)।

पारस्परिक सहायता के इस अनुशासन के साथ, किसी आवेदन को केवल तभी अस्वीकार कर दिया जाता है या कतार में रखा जाता है जब उसकी सेवा देना संभव नहीं होता है। जहां तक ​​चैनलों के "डाउनटाइम" का सवाल है, इन शर्तों के तहत यह न्यूनतम है: यदि सिस्टम में कम से कम एक अनुरोध है, तो सभी चैनल काम कर रहे हैं।

हमने ऊपर उल्लेख किया है कि जब कोई नया अनुरोध सामने आता है, तो कुछ व्यस्त चैनल जारी कर दिए जाते हैं और नए आए अनुरोध की सेवा करने के लिए स्विच कर दिए जाते हैं। कौन सा हिस्सा? यह फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है। यदि इसमें एक रैखिक संबंध का रूप है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.12, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि नए प्राप्त अनुरोध को पूरा करने के लिए चैनलों का कौन सा हिस्सा आवंटित किया गया है, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया जाता है (तब अनुरोधों के बीच चैनलों के किसी भी वितरण के लिए सेवाओं की कुल तीव्रता बराबर होगी)। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि वक्र ऊपर की ओर उत्तल है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.11, तो आपको अनुरोधों के बीच चैनलों को यथासंभव समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता है।

आइए चैनलों के बीच "समान" पारस्परिक सहायता के साथ एक -चैनल क्यूएस के संचालन पर विचार करें।

समीकरणों की प्रणाली

सर्विसिंग प्रवाह की यादृच्छिक संख्या के लिए विफलताओं के साथ क्यूएस; पॉइसन प्रवाह के लिए वेक्टर मॉडल। ग्राफ, समीकरणों की प्रणाली.

आइए क्यूएस को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करें, जहां के एम- सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल= क्यूअधिकतम - क्यून्यूनतम +1 - इनपुट स्ट्रीम की संख्या।

यदि सेवा के लिए अनुरोध स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में प्रवेश करता है एम.

जब अनुरोधों में से किसी एक की सर्विसिंग पूरी हो जाती है, तो सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान उस स्थिति से एक कम है, =, यानी। विपरीत संक्रमण घटित होगा.

के लिए वेक्टर QS मॉडल का एक उदाहरण एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम = 3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, डिवाइस रखरखाव तीव्रता - μ।

प्लॉट किए गए संक्रमण तीव्रता के साथ राज्य ग्राफ का उपयोग करके, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS की विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं।

पॉइसन के लिए अनंत कतार वाला एक QS प्रवाहित होता है। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

कहाँ एन- सेवा चैनलों की संख्या, एल- परस्पर सहायक चैनलों की संख्या

अनंत कतार वाला एक क्यूएस और मनमाने प्रवाह के लिए आंशिक पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

–λ आर 0 + एनμ आर 1 =0,

.………………

–(λ + एनμ) पी के+ λ पी के –1 + एनμ पी के +1 =0 (क = 1,2, ... , एन–1),

……………....

-(λ+ एनμ) पीएन+ λ पी एन –1 + एनμ Р एन+1=0,

……………….

-(λ+ एनμ) पन्+ज+ λ Р एन+जे –1 + एनμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

अनंत कतार के साथ क्यूएस और मनमाने धागों के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

…

समीकरणों की प्रणाली

पॉइसन के लिए एक सीमित कतार वाला QS प्रवाहित होता है। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित रिश्ते।

सिस्टम ग्राफ

समीकरणों की प्रणाली

गणना अनुपात:

,

आइए एक मल्टी-चैनल कतार प्रणाली (कुल एन चैनल) पर विचार करें, जो तीव्रता λ के साथ अनुरोध प्राप्त करती है और तीव्रता μ के साथ सेवा प्रदान करती है। यदि कम से कम एक चैनल मुफ़्त है तो सिस्टम में आने वाले अनुरोध की सेवा की जाती है। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो सिस्टम में प्राप्त अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है और क्यूएस छोड़ देता है। आइए सिस्टम की स्थिति को कब्जे वाले चैनलों की संख्या के आधार पर क्रमांकित करें:

• एस 0 - सभी चैनल निःशुल्क हैं;
• एस 1 - एक चैनल व्यस्त है;
• एस 2 - दो चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है;
• एसक- व्यस्त कचैनल;
• एसएन- सभी चैनल व्यस्त हैं।

यह स्पष्ट है कि व्यवस्था एक राज्य से दूसरे राज्य के प्रभाव में चलती रहती है आगत प्रवाहअनुप्रयोग। आइए इस कतार प्रणाली के लिए एक राज्य ग्राफ़ बनाएं।

चावल। 7.24
चित्र 6.24 एक राज्य ग्राफ दिखाता है जिसमें एसमैं- चैनल संख्या; λ - प्राप्त अनुरोधों की तीव्रता; μ - तदनुसार, सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता। अनुरोध निरंतर तीव्रता के साथ कतार प्रणाली में प्रवेश करते हैं और धीरे-धीरे एक के बाद एक चैनलों पर कब्जा कर लेते हैं; जब सभी चैनल व्यस्त होंगे, तो QS पर आने वाला अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाएगा और सिस्टम छोड़ दिया जाएगा।
आइए हम घटना प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करें जो सिस्टम को राज्य ग्राफ के साथ बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों ओर ले जाने पर एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करता है।
उदाहरण के लिए, राज्य में व्यवस्था बनी रहे एस 1, यानी एक चैनल व्यस्त है, क्योंकि इसके इनपुट पर एक अनुरोध है। जैसे ही अनुरोध की सर्विसिंग पूरी हो जाएगी, सिस्टम राज्य में चला जाएगा एस 0 .
उदाहरण के लिए, यदि दो चैनल व्यस्त हैं, तो सेवा प्रवाह जो सिस्टम को राज्य से स्थानांतरित करता है एसराज्य में 2 एस 1 दोगुना तीव्र होगा: 2-μ; तदनुसार, यदि व्यस्त हो कचैनल, तीव्रता k-μ है।

भरण-पोषण की प्रक्रिया मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया है। इस विशेष मामले के लिए कोलमोगोरोव समीकरणों का निम्नलिखित रूप होगा:

(7.25)
समीकरण (7.25) कहलाते हैं एर्लांग समीकरण .
राज्यों की संभाव्यता मान ज्ञात करने के लिए आर 0 , आर 1 , …, आरएन, प्रारंभिक शर्तें निर्धारित करना आवश्यक है:
– आर 0 (0) = 1, यानी सिस्टम के इनपुट पर एक अनुरोध है;
– आर 1 (0) = आर 2 (0) = … = आरएन(0) = 0, अर्थात में आरंभिक क्षणसमय प्रणाली मुफ़्त है.
विभेदक समीकरणों (7.25) की प्रणाली को एकीकृत करके, हम राज्य संभावनाओं के मान प्राप्त करते हैं आर 0 (टी), आर 1 (टी), … आरएन(टी).
लेकिन हम राज्यों की सीमित संभावनाओं में अधिक रुचि रखते हैं। जैसा कि t → ∞ और मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया पर विचार करते समय प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान प्राप्त करते हैं (7.25):

(7.26)
इन सूत्रों में, तीव्रता अनुपात λ / μ अनुप्रयोगों के प्रवाह को नामित करना सुविधाजनक है ρ .यह मात्रा कहलाती है अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता को देखते हुए,अर्थात्, एक आवेदन की सर्विसिंग के औसत समय के दौरान क्यूएस पर आने वाले आवेदनों की औसत संख्या।

किए गए अंकन को ध्यान में रखते हुए, समीकरणों की प्रणाली (7.26) निम्नलिखित रूप लेगी:

(7.27)
सीमांत संभावनाओं की गणना के लिए इन सूत्रों को कहा जाता है एर्लांग सूत्र .
क्यूएस राज्यों की सभी संभावनाओं को जानने के बाद, हम क्यूएस दक्षता की विशेषताओं का पता लगाएंगे, यानी पूर्ण थ्रूपुट ए, सापेक्ष थ्रूपुट क्यूऔर विफलता की संभावना आरखुला
सिस्टम द्वारा प्राप्त आवेदन को अस्वीकार कर दिया जाएगा यदि उसे सभी चैनल व्यस्त मिलेंगे:

.
संभावना है कि आवेदन सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा:

क्यू = 1 – आरखुला,
कहाँ क्यू- सिस्टम द्वारा सेवित प्राप्त आवेदनों का औसत हिस्सा, या समय की प्रति इकाई क्यूएस द्वारा सेवित आवेदनों की औसत संख्या, इस दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या से विभाजित:

A=λ·Q=λ·(1-पी खुला)
इसके अलावा, एक सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँ QS विफलताओं के साथ है व्यस्त चैनलों की औसत संख्या. में एन-चैनल क्यूएस विफलताओं के साथ, यह संख्या क्यूएस में अनुप्रयोगों की औसत संख्या के साथ मेल खाती है।
अनुरोधों की औसत संख्या k की गणना सीधे राज्यों P 0, P 1, ..., P n की संभावनाओं के माध्यम से की जा सकती है:

,
यानी हम एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा पाते हैं जो 0 से मान लेता है एनसंभावनाओं के साथ आर 0 , आर 1 , …, आरएन.
QS की पूर्ण क्षमता के माध्यम से k का मान व्यक्त करना और भी आसान है, अर्थात। A. मान A उन अनुप्रयोगों की औसत संख्या है जो सिस्टम द्वारा प्रति यूनिट समय में सेवित किए जाते हैं। एक व्यस्त चैनल समय की प्रति इकाई μ अनुरोधों को पूरा करता है, फिर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल QS को घनत्व λ के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त होता है। प्रत्येक चैनल के लिए सरलतम सेवा प्रवाह का घनत्व μ है। यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध में सभी चैनल निःशुल्क पाए जाते हैं, तो इसे सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और एक साथ सेवा प्रदान की जाती है एल चैनल ( एल < एन). इस मामले में, एक एप्लिकेशन के लिए सेवाओं के प्रवाह में तीव्रता होगी एल.

यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध को सिस्टम में एक अनुरोध मिलता है, तो कब एन ≥ 2एलनए आए आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा और साथ ही उसकी सेवा भी कर दी जाएगी एलचैनल.

यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध सिस्टम में पकड़ा जाता है मैंअनुप्रयोग ( मैं= 0.1, ...), जबकि ( मैं+ 1)एल≤ एन, तो प्राप्त आवेदन की सेवा कर दी जाएगी एलसमग्र प्रदर्शन वाले चैनल एल. यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में पकड़ा जाता है जेअनुप्रयोग और एक ही समय में दो असमानताएँ संयुक्त रूप से संतुष्ट होती हैं: ( जे + 1)एल > एनऔर जे < एन, तो आवेदन सेवा हेतु स्वीकार कर लिया जायेगा। इस स्थिति में, कुछ अनुप्रयोगों की सेवा की जा सकती है एलचैनल, अन्य भाग से छोटा है एल, चैनलों की संख्या, लेकिन सभी सर्विसिंग में व्यस्त रहेंगे एनचैनल जो अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किए जाते हैं। यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में पकड़ा जाता है एनआवेदन, तो इसे अस्वीकार कर दिया जाएगा और सेवा नहीं दी जाएगी। सर्विसिंग के लिए प्राप्त आवेदन को पूरा करने के लिए सेवा प्रदान की जाती है ("रोगी" आवेदन)।

ऐसी प्रणाली का राज्य ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 3.8.

चावल। 3.8. क्यूएस का ग्राफ विफलताओं और आंशिक के साथ बताता है

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता

ध्यान दें कि सिस्टम का राज्य ग्राफ़ राज्य तक है एक्स एचप्रवाह मापदंडों के अंकन तक, यह विफलताओं के साथ शास्त्रीय कतार प्रणाली के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3.6.

इस तरह,

(मैं = 0, 1, ..., एच).

राज्य से शुरू होने वाला सिस्टम स्थिति ग्राफ़ एक्स एचऔर राज्य के साथ समाप्त होता है एक्स एन, अंकन तक, चित्र में दिखाए गए पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है। 3.7. इस प्रकार,

.

आइए हम संकेतन का परिचय दें λ / एलμ = ρ एल ; λ / एनμ = χ, फिर

सामान्यीकृत स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आगे के अंकन को छोटा करने के लिए, हम अंकन का परिचय देते हैं

आइए सिस्टम की विशेषताओं का पता लगाएं।

अनुरोध सेवा की संभावना

सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या है

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या

.

संभावना है कि कोई विशेष चैनल व्यस्त रहेगा

.

सभी सिस्टम चैनलों के अधिभोग की संभावना

3.4.4. विफलताओं और विषम प्रवाह वाली कतारबद्ध प्रणालियाँ

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल क्यूएस प्रणाली को कुल तीव्रता λ Σ, और के साथ एक विषम सरलतम प्रवाह प्राप्त होता है

λ Σ = ,

कहाँ λ मैं– अनुप्रयोगों की तीव्रता मैंवें स्रोत.

चूंकि अनुरोधों के प्रवाह को विभिन्न स्रोतों से आवश्यकताओं का सुपरपोजिशन माना जाता है, अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ संयुक्त प्रवाह को पॉइसन माना जा सकता है एन = 5...20 और λ मैं ≈ λ मैं +1 (मैं1,एन). एक उपकरण की सेवा तीव्रता एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित की जाती है और μ = 1/ के बराबर होती है टी. किसी अनुरोध को पूरा करने के लिए सर्विसिंग उपकरणों को श्रृंखला में जोड़ा जाता है, जो सर्विसिंग के लिए उपकरणों की संख्या को संयुक्त करने पर सेवा समय को कई गुना बढ़ाने के बराबर है:

टीओब्स = के.टी., μ ओब्स = 1 / के.टी. = μ/ क,

कहाँ टीअवलोकन - सर्विसिंग समय का अनुरोध करें; क- सेवा उपकरणों की संख्या; μ अवलोकन - अनुरोध सर्विसिंग तीव्रता।

अध्याय 2 में अपनाई गई मान्यताओं के ढांचे के भीतर, हम क्यूएस की स्थिति को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जहां क एम- सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल = क्यूअधिकतम - क्यून्यूनतम +1 - इनपुट स्ट्रीम की संख्या।

फिर अधिग्रहीत और मुक्त उपकरणों की संख्या ( एनज़ैन ( ),एनएसवी ( )) योग्य इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

राज्य से सिस्टम किसी अन्य राज्य में जा सकता है . चूँकि सिस्टम चालू है एलइनपुट स्ट्रीम, तो प्रत्येक राज्य से यह संभावित रूप से संभव है एलप्रत्यक्ष परिवर्तन. हालाँकि, सीमित सिस्टम संसाधनों के कारण, ये सभी परिवर्तन संभव नहीं हैं। एसएमओ को एक स्थिति में रहने दें और एक अनुरोध माँगता हुआ आता है एमउपकरण। अगर एम≤ एनएसवी ( ), फिर अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में चला जाता है एम. यदि एप्लिकेशन को उपलब्ध उपकरणों से अधिक उपकरणों की आवश्यकता है, तो उसे सेवा देने से इनकार कर दिया जाएगा, और क्यूएस स्थिति में ही रहेगा . यदि आप कर सकते हैं ऐसे एप्लिकेशन हैं जिनकी आवश्यकता है एमउपकरण, फिर उनमें से प्रत्येक को तीव्रता  के साथ सेवित किया जाता है एम, और ऐसे अनुरोधों को पूरा करने की कुल तीव्रता (μ एम) को μ के रूप में परिभाषित किया गया है एम = क एम μ / एम. जब किसी एक अनुरोध की सर्विसिंग पूरी हो जाती है, तो सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान उस स्थिति से एक कम है ,=, यानी विपरीत संक्रमण घटित होगा. चित्र में. 3.9 क्यूएस के वेक्टर मॉडल का एक उदाहरण दिखाता है एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम = 3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, डिवाइस रखरखाव तीव्रता - μ।

चावल। 3.9. सेवा विफलताओं वाले QS के वेक्टर मॉडल के ग्राफ़ का एक उदाहरण

तो हर राज्य एक निश्चित प्रकार के सेवित अनुप्रयोगों की संख्या द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, किसी राज्य में
एक अनुरोध को एक डिवाइस द्वारा और एक अनुरोध को दो डिवाइसों द्वारा पूरा किया जाता है। इस स्थिति में, सभी डिवाइस व्यस्त हैं, इसलिए, केवल रिवर्स ट्रांज़िशन संभव है (इस स्थिति में किसी भी अनुरोध के आने से सेवा से इनकार हो जाता है)। यदि पहले प्रकार के अनुरोध की सर्विसिंग पहले समाप्त हो गई है, तो सिस्टम राज्य में चला जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ के साथ, लेकिन यदि दूसरे प्रकार के अनुरोध की सर्विसिंग पहले समाप्त हो गई है, तो सिस्टम राज्य में चला जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ/2 के साथ।

प्लॉट किए गए संक्रमण तीव्रता के साथ राज्य ग्राफ का उपयोग करके, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS की विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं।

खोजने पर विचार करें आरओटीके (सेवा से इनकार की संभावना)।

,

कहाँ एस– वेक्टर QS मॉडल के ग्राफ़ की अवस्थाओं की संख्या; आर() सिस्टम के राज्य में होने की संभावना है .

के अनुसार राज्यों की संख्या इस प्रकार निर्धारित की जाती है:

, (3.22)

;

आइए चित्र में दिखाए गए उदाहरण के लिए (3.22) के अनुसार वेक्टर क्यूएस मॉडल की स्थितियों की संख्या निर्धारित करें। 3.9.

.

इस तरह, एस = 1 + 5 + 1 = 7.

सेवा उपकरणों के लिए वास्तविक आवश्यकताओं को लागू करने के लिए, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में एन (40, ..., 50), और व्यवहार में किसी एप्लिकेशन में सेवारत उपकरणों की संख्या के लिए अनुरोध 8-16 की सीमा में हैं। उपकरणों और अनुरोधों के ऐसे अनुपात के साथ, संभावनाओं को खोजने का प्रस्तावित तरीका बेहद बोझिल हो जाता है, क्योंकि QS के वेक्टर मॉडल में बड़ी संख्या में स्थितियाँ हैं एस(50) = 1790, एस(60) = 4676, एस(70) = = 11075, और बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स का आकार वर्ग के समानुपाती होता है एस, जिसके लिए बड़ी मात्रा में कंप्यूटर मेमोरी और महत्वपूर्ण मात्रा में कंप्यूटर समय की आवश्यकता होती है। गणनाओं की मात्रा कम करने की इच्छा ने आवर्ती गणना क्षमताओं की खोज को प्रेरित किया आर() राज्य संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करने के गुणात्मक रूपों के आधार पर। यह पेपर गणना करने का एक दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है आर():

(3.23)

कार्य में प्रस्तावित मार्कोव श्रृंखलाओं के वैश्विक और विस्तृत संतुलन की समतुल्यता के लिए मानदंड का उपयोग करने से हमें समस्या के आयाम को कम करने और गणना की पुनरावृत्ति का उपयोग करके मध्यम-शक्ति कंप्यूटर पर गणना करने की अनुमति मिलती है। इसके अलावा, यह संभव है:

- किसी भी मान के लिए गणना करें एन;

- गणना में तेजी लाएं और मशीन समय की लागत कम करें।

सिस्टम की अन्य विशेषताओं को इसी तरह से निर्धारित किया जा सकता है।