يترك أ(س) و ب(س) - بي ام. وظائف في س® أ (س® + ¥, س® –¥, س® س 0،…). دعونا نفكر في الحد الأقصى لنسبتهم عند س® أ.

1. إذا = بو ب– الرقم النهائي ب¹ 0، ثم الوظائف أ(س), ب(س) تسمى متناهية الصغر أمر واحد من الصغر في س® أ.

2. إذا كان = 0، إذن أ(س) يسمى متناهية الصغر أعلى ترتيب ، كيف ب(س) في س® أ. ومن الواضح، في هذه الحالة = ¥.

3. إذا أ(س) - بي ام. ترتيب أعلى من ب(س) ، و = ب¹ 0 ( ب– الرقم النهائي كÎ ن )، الذي - التي أ(س) يسمى متناهية الصغر ك-الترتيب، مقارنة ب ب(س) في س® أ.

4. إذا لم يكن موجودا (لا محدود ولا لانهائي)، ثم أ(س), ب(س) وتسمى لا تضاهى بي ام. في س® أ.

5. إذا كان = 1، إذن أ(س), ب(س) وتسمى مقابل بي ام. في س® أ، والذي يُشار إليه على النحو التالي: أ(س) ~ ب(س) في س® أ.

مثال 1. أ(س) = (1 – س) 3 , ب (س) = 1 – س 3 .

فمن الواضح أنه عندما س® 1 وظائف أ(س), ب(س) هي ب.م. للمقارنة بينهما، دعونا نجد نهاية النسبة بينهما عند س® 1:

خاتمة: أ(س ب(س) في س® 1.

ومن السهل التحقق من أن = (تأكد!)، ومن ثم يتبع ذلك أ(س) - بي ام. الترتيب الثالث من الصغر مقارنة ب ب(س) في س® 1.

مثال 2. المهام أ 1 (س) = 4س, أ 2 (س) = س 2 , أ 3 (س) = خطيئة س, أ 4 (س) = تيراغرام سمتناهية الصغر في س® 0. دعونا نقارن بينهما:

0, ، = 1، = ¥.

ومن هنا نستنتج ذلك أ 2 (س) = س 2 – ب.م. ترتيب أعلى، مقارنة ب أ 1 (س) و أ 3 (س) (في س® 0), أ 1 (س) و أ 3 (س) - بي ام. نفس الترتيب أ 3 (س) و أ 4 (س) - ما يعادل b.m، أي. خطيئة س~تغ سفي س® 0.

النظرية 1. يترك أ(س) ~ أ 1 (س), ب(س) ~ ب 1 (س) في س® أ. إذا كان موجودًا، فكلاهما و = موجودان.

دليل. = 1, = 1,

= = .

هذه النظرية تجعل من السهل العثور على الحدود.

مثال 3.

يجد .

بسبب أول حد ملحوظ sin4 س~ 4س، tg3 س~ 3سفي س® 0، لذلك

النظرية 2. وظائف متناهية الصغر أ(س) و ب(س) مكافئة (مع س® أ) إذا وفقط إذا أ(س) – ب(س) هو ب.م. ترتيب أعلى، مقارنة ب أ(س) و ب(س) (في س® أ).

دليل

يترك أ(س) ~ ب(س) في س® أ. ثم = = 0، أي اختلاف أ(س) – ب(س أ(س) في عند س® أ(مشابه ل ب(س)).

يترك أ(س) – ب(س) - بي ام. ترتيب أعلى، مقارنة ب أ(س) و ب(س)، سوف نبين ذلك أ(س) ~ ب(س) في س® أ:

= = + = 1,

وظائف متناهية الصغر.

نواصل السلسلة التعليمية "حدود الدمى" التي افتتحت بالمقالات حدود. أمثلة على الحلولو حدود رائعة. إذا كانت هذه هي المرة الأولى لك في الموقع، أنصحك بقراءة الدرس أيضًا طرق حل الحدود، مما سيؤدي إلى تحسين كارما الطالب بشكل كبير. في الدليل الثالث نظرنا إليه وظائف كبيرة بلا حدود، مقارنتها، والآن حان الوقت لتسليح نفسك بعدسة مكبرة حتى تنظر بعد أرض العمالقة إلى أرض Lilliputians. قضيت عطلة رأس السنة الجديدة في العاصمة الثقافية وعدت إلى غاية مزاج جيد، لذا فإن القراءة تعد بأن تكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص.

هذه المقالة سوف تناقش بالتفصيل وظائف متناهية الصغر، والتي سبق لك أن واجهتها عدة مرات، ومقارنتها. ترتبط العديد من الأحداث ارتباطًا وثيقًا بأحداث غير مرئية قريبة من الصفر. حدود رائعة, معادلات رائعة، والجزء العملي من الدرس مخصص بشكل أساسي لحساب النهايات باستخدام معادلات ملحوظة.

وظائف متناهية الصغر. مقارنة بين متناهية الصغر

ماذا يمكنني أن أقول... إذا كان هناك حد، فسيتم استدعاء الوظيفة متناهية الصغر عند نقطة ما.

النقطة الأساسية في البيان هي حقيقة ذلك يمكن أن تكون الوظيفة متناهية الصغر فقط عند نقطة محددة .

لنرسم خطًا مألوفًا:

هذه الوظيفة صغيرة بلا حدودعند نقطة واحدة:
تجدر الإشارة إلى أنه عند نقطتي "زائد ما لا نهاية" و"ناقص ما لا نهاية" ستكون هذه الوظيفة نفسها أضيق كبيرة بلا حدود: . أو في تدوين أكثر إحكاما:

وفي جميع النقاط الأخرى، ستكون نهاية الدالة مساوية لعدد منتهٍ يختلف عن الصفر.

هكذا، لا يوجد شيء من هذا القبيلباعتبارها "مجرد وظيفة متناهية الصغر" أو "مجرد وظيفة كبيرة بلا حدود". يمكن أن تكون الدالة متناهية الصغر أو كبيرة بلا حدود فقط عند نقطة محددة .

! ملحوظة : للإيجاز، سأقول غالبًا "وظيفة متناهية الصغر"، مما يعني أنها متناهية الصغر عند النقطة المعنية.

يمكن أن يكون هناك العديد من هذه النقاط وحتى عدد لا نهائي منها. لنرسم نوعًا من القطع المكافئ غير المخيف:

الدالة التربيعية المقدمة تكون متناهية الصغر عند نقطتين - عند "واحد" وعند "اثنين":

كما في المثال السابق، عند اللانهاية تكون هذه الدالة كبيرة بلا حدود:

معنى العلامات المزدوجة :

التدوين يعني متى ومتى .

التدوين يعني أن كلا من في و في .
إن مبدأ "فك رموز" العلامات المزدوجة الذي تم التعليق عليه لا ينطبق فقط على اللانهاية، ولكن أيضًا على أي نقاط نهاية ووظائف وعدد من الكائنات الرياضية الأخرى.

والآن جيب. وهذا مثال حيث الدالة صغيرة بلا حدودفي عدد لا نهائي من النقاط:

في الواقع، يقوم الشكل الجيبي "بغرز" المحور السيني من خلال كل "باي":

لاحظ أن الدالة محدودة من أعلى/أسفل ولا توجد نقطة يمكن أن تكون عندها كبيرة بلا حدود، لا يمكن للجيب إلا أن يلعق شفتيه إلى الأبد.

سأجيب على بضعة أسئلة بسيطة:

هل يمكن أن تكون الدالة متناهية الصغر عند اللانهاية؟

بالتأكيد. هناك عربة محملة بهذه العينات وعربة صغيرة.
مثال أولي: . وبالمناسبة، فإن المعنى الهندسي لهذا الحد موضح في المقالة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف.

هل يمكن أن لا تكون الوظيفة متناهية الصغر؟
(في أي مرحلة مجال التعريف)

نعم. من الأمثلة الواضحة على ذلك الدالة التربيعية التي لا يتقاطع رسمها البياني (القطع المكافئ) مع المحور. العبارة المعاكسة، بالمناسبة، غير صحيحة بشكل عام - القطع الزائد من السؤال السابق، على الرغم من أنه لا يتقاطع مع المحور السيني، ولكن صغيرة بلا حدودفي اللانهاية.

مقارنة الوظائف متناهية الصغر

لنقم ببناء تسلسل يميل إلى الصفر ونحسب عدة قيم ثلاثية الحدود:

من الواضح أنه مع انخفاض قيم "x"، تعمل الدالة على الصفر بشكل أسرع من جميع الدالات الأخرى (قيمها محاطة بدائرة باللون الأحمر). يقولون وظيفة من وظيفة ، و ترتيب أعلى من الصغر، كيف . لكن الركض بسرعة في أرض Lilliputians ليس شجاعة؛ "يتم تحديد النغمة" بواسطة أبطأ قزم، والذي، كما يليق برئيسه، يذهب إلى الصفر الأبطأ على الإطلاق. ذلك يعتمد عليه مدى السرعةسيقترب المبلغ من الصفر:

من الناحية المجازية، فإن الوظيفة المتناهية الصغر "تمتص" كل شيء آخر، وهو ما يظهر بوضوح بشكل خاص في النتيجة النهائية للسطر الثالث. في بعض الأحيان يقولون ذلك الترتيب الأدنى من الصغر، كيف ومقدارها.

في الحد المدروس، كل هذا، بالطبع، لا يهم كثيرا، لأن النتيجة لا تزال صفر. ومع ذلك، فإن "أقزام الوزن الثقيل" بدأوا يلعبون بشكل مبدئي دور مهمضمن الكسور. لنبدأ بالأمثلة التي نادرًا ما توجد في الحياة الواقعية. العمل التطبيقي:

مثال 1

حساب الحد

هناك عدم يقين هنا ومن الدرس التمهيدييا في حدود الوظائفدعونا نتذكر المبدأ العام للكشف عن عدم اليقين هذا: تحتاج إلى تحليل البسط والمقام، ثم تقليل شيء ما:

في الخطوة الأولى، نحذف البسط و"x" في المقام. في الخطوة الثانية، نقوم بتبسيط البسط والمقام بمقدار "X"، وبالتالي إزالة عدم اليقين. ونشير إلى أن علامات "X" المتبقية تميل إلى الصفر، ونحصل على الإجابة.

في الحد، والنتيجة هي عجلة القيادة، وبالتالي، وظيفة البسط ترتيب أعلى من الصغرمن وظيفة المقام. أو باختصار: . ماذا يعني ذلك؟ البسط يميل إلى الصفر أسرع، من المقام، وهذا هو السبب في أنه أصبح في النهاية صفرًا.

كما هو الحال مع وظائف كبيرة بلا حدود، يمكن معرفة الجواب مقدما. التقنية متشابهة، ولكنها تختلف في أنه في البسط والمقام تحتاج إلى التخلص عقليًا من جميع الحدود المسنيندرجات، نظرًا لأن الأقزام البطيئة، كما ذكرنا أعلاه، لها أهمية حاسمة:

مثال 2

حساب الحد

صفر إلى صفر... دعنا نكتشف الإجابة على الفور: دعونا نتخلص من كل شيء عقليًا المسنينمصطلحات (الأقزام السريعة) للبسط والمقام:

خوارزمية الحل هي نفسها تمامًا كما في المثال السابق:

في هذا المثال المقام ذو مرتبة أصغر من البسط. مع انخفاض قيم "x"، يصبح القزم الأبطأ في البسط (والحد بأكمله) وحشًا حقيقيًا بالنسبة لخصمه الأسرع. على سبيل المثال، إذا، ثم - بالفعل 40 مرة أكثر ... ليس وحشًا بعد، بالطبع، بالنظر إلى معنى "X"، ولكنه بالفعل موضوع كهذا ذو بطن كبير من البيرة.

وحد توضيحي بسيط جدًا:

مثال 3

حساب الحد

دعونا نكتشف الإجابة عن طريق التخلص من كل شيء عقليًا المسنينمصطلحات البسط والمقام:

نحن نقرر:

والنتيجة هي عدد محدود. سمك رأس البسط هو بالضبط ضعف سمك رأس المقام. هذه هي الحالة التي يكون فيها البسط والمقام أمر واحد من الصغر.

في الواقع، لقد ظهرت مقارنة الدوال متناهية الصغر منذ فترة طويلة في الدروس السابقة:
(المثال رقم 4 من الدرس حدود. أمثلة على الحلول);
(المثال رقم 17 من الدرس طرق حل الحدود) إلخ.

أذكرك في نفس الوقت أن "x" لا يمكن أن تميل إلى الصفر فحسب، بل أيضًا إلى رقم تعسفي، وكذلك إلى ما لا نهاية.

ما هو المهم بشكل أساسي في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها؟

أولاً, يجب أن يكون الحد موجودًا على الإطلاق عند نقطة معينة. على سبيل المثال، ليس هناك حد. إذا لم يتم تعريف وظيفة البسط عند النقطة "زائد اللانهاية" (تحت الجذر اتضح كبيرة بلا حدودرقم سلبي). تم العثور على أمثلة مماثلة تبدو خيالية في الممارسة العملية: بشكل غير متوقع، هناك أيضًا مقارنة بين الدوال المتناهية الصغر وعدم اليقين "من صفر إلى صفر". في الواقع، إذا . …حل؟ نتخلص من الكسر المكون من أربعة طوابق ونحصل على عدم اليقين ونكشفه بالطريقة القياسية.

ربما أولئك الذين بدأوا في دراسة الحدود ينشغلون بالسؤال: “كيف يكون هذا ممكنًا؟ هناك حالة عدم يقين تبلغ 0:0، لكن لا يمكنك القسمة على صفر! صحيح تماما، فإنه من المستحيل. دعونا نفكر في نفس الحد. لم يتم تعريف الدالة عند النقطة صفر. ولكن هذا، بشكل عام، ليس مطلوبا. مهمبحيث تكون الوظيفة موجودة في أي مكان قريبة بلا حدود من الصفرنقطة (أو بشكل أكثر صرامة - على أي حال حي متناهية الصغر صفر).

الميزة الأكثر أهمية للحدود كمفهوم

هل هذا "x" قريبة بلا حدوديقترب من نقطة معينة، لكنه ليس «ملزماً» بـ«الذهاب إلى هناك»! أي لوجود نهاية للدالة عند نقطة ما لا يهم، سواء تم تعريف الوظيفة نفسها هناك أم لا. يمكنك قراءة المزيد عن هذا في المقال حدود كوشيولكن لنعد الآن إلى موضوع درس اليوم:

ثانيًا, يجب أن تكون وظائف البسط والمقام متناهية الصغر عند نقطة معينة. لذلك، على سبيل المثال، الحد هو من أمر مختلف تماما، هنا وظيفة البسط لا تميل إلى الصفر: .

دعونا ننظم المعلومات حول مقارنة الدوال المتناهية الصغر:

يترك - وظائف متناهية الصغر عند نقطة ما(أي في) وهناك حد لعلاقتهم. ثم:

1) إذا كانت الوظيفة ترتيب أعلى من الصغر، كيف .
أبسط مثال: ، أي دالة تكعيبية ذات ترتيب أصغر من الدالة التربيعية.

2) إذا كانت الوظيفة ترتيب أعلى من الصغر، كيف .
أبسط مثال: ، أي دالة تربيعية ذات ترتيب أصغر من الدالة الخطية.

3) إذا كان هناك ثابت غير الصفر، فإن الوظائف لها نفس الترتيب من الصغر.
أبسط مثال: بمعنى آخر، يركض القزم نحو الصفر بسرعة أبطأ بمرتين بالضبط، وتبقى "المسافة" بينهما ثابتة.

الحالة الخاصة الأكثر إثارة للاهتمام هي متى . تسمى هذه الوظائف متناهي الصغر مقابلالمهام.

قبل إعطاء مثال أساسي، دعونا نتحدث عن المصطلح نفسه. التكافؤ. لقد تمت مواجهة هذه الكلمة بالفعل في الفصل. طرق حل الحدود، في مقالات أخرى وسيظهر أكثر من مرة. ما هو التكافؤ؟ هناك تعريف رياضي للتكافؤ، منطقي، مادي، وما إلى ذلك، ولكن دعونا نحاول فهم الجوهر نفسه.

التكافؤ هو التكافؤ (أو التكافؤ) في بعض النواحي.. حان الوقت لتمديد عضلاتك وأخذ استراحة قصيرة من الرياضيات العليا. الآن هناك صقيع جيد في شهر يناير بالخارج، لذلك من المهم جدًا العزل جيدًا. يرجى الدخول إلى الردهة وفتح خزانة الملابس. تخيل أن هناك معطفين متطابقين من جلد الغنم معلقين هناك، ويختلفان فقط في اللون. أحدهما برتقالي والآخر أرجواني. من وجهة نظر صفاتها الدافئة، فإن معاطف جلد الغنم هذه متكافئة. وفي المعطف الأول والثاني من جلد الغنم، ستكون دافئًا بنفس القدر، أي أن الاختيار متساوٍ، سواء كنت ترتدي اللون البرتقالي أو الأرجواني - دون الفوز: "واحد لواحد يساوي واحدًا". لكن من وجهة نظر السلامة على الطريق، لم تعد معاطف جلد الغنم متكافئة - فاللون البرتقالي أكثر وضوحًا لسائقي المركبات، ... ولن تتوقف الدورية، لأن كل شيء واضح مع صاحب هذه الملابس. في هذا الصدد، يمكننا أن نعتبر أن معاطف جلد الغنم "من نفس الحجم"، نسبيًا، فإن "معطف جلد الغنم البرتقالي" هو ضعف "آمن" مثل "معطف جلد الغنم الأرجواني" ("وهو أسوأ، ولكن أيضًا ملحوظة في الظلام"). وإذا خرجت إلى البرد مرتديًا سترة وجوارب فقط، فسيكون الفرق هائلاً، لذا فإن السترة ومعطف جلد الغنم "من رتب مختلفة من حيث الحجم".

...أنت في مشكلة، تحتاج إلى نشره على ويكيبيديا مع رابط لهذا الدرس =) =) =)

المثال الواضح للوظائف المتكافئة المتناهية الصغر مألوف بالنسبة لك - هذه هي الوظائف أول حد ملحوظ .

دعونا نعطي تفسيرًا هندسيًا للحد الملحوظ الأول. لنقم بالرسم:

حسنًا، إن الصداقة القوية بين الذكور في الرسوم البيانية مرئية حتى بالعين المجردة. أ حتى والدتي لم تستطع التمييز بينهما. وبالتالي، إذا كانت الوظائف متناهية الصغر ومكافئة. وماذا لو كان الفرق ضئيلا؟ ثم في جيب الحد فوق ما تستطيع يستبدل"X": أو "x" أدناه مع جيب الجيب: . وفي الحقيقة اتضح أنه برهان هندسي للحد الملحوظ الأول =)

وبالمثل، بالمناسبة، يمكن للمرء أن يوضح أي حد رائع، وهو يساوي واحد.

! انتباه! تكافؤ الأشياء لا يعني مصادفة الأشياء! معاطف جلد الغنم البرتقالية والأرجوانية دافئة بشكل متساوٍ، لكنها معاطف مختلفة من جلد الغنم. لا يمكن تمييز الدالتين عمليا بالقرب من الصفر، لكن هاتين الدالتين مختلفتان.

تعيين: تتم الإشارة إلى التكافؤ بواسطة التلدة.
على سبيل المثال: - "جيب x يساوي x" إذا .

ويترتب على ما سبق استنتاج مهم للغاية: إذا كانت وظيفتان متناهي الصغر متكافئتين، فيمكن استبدال إحداهما بالأخرى. يتم استخدام هذه التقنية على نطاق واسع في الممارسة العملية، والآن سنرى كيف:

معادلات ملحوظة داخل

لحل الأمثلة العملية سوف تحتاج جدول المعادلات الرائعة. لا يمكن للطالب أن يعيش من خلال كثير الحدود واحد، وبالتالي فإن مجال النشاط الإضافي سيكون واسعا جدا. أولاً، باستخدام نظرية الدوال المتكافئة المتناهية الصغر، دعونا ننقر على أمثلة الجزء الأول من الدرس حدود ملحوظة. أمثلة على الحلول، حيث وجدت الحدود التالية:

1) دعونا نحل النهاية. دعونا نستبدل دالة البسط المتناهية الصغر بالدالة المتناهية الصغر المكافئة:

لماذا هذا الاستبدال ممكن؟ لأن قريبة بلا حدود من الصفريتطابق الرسم البياني للوظيفة عمليا مع الرسم البياني للوظيفة.

في هذا المثال استخدمنا معادلة الجدول حيث . من الملائم أن المعلمة "alpha" لا يمكن أن تكون "x" فحسب، بل أيضًا وظيفة معقدة، الذي يميل إلى الصفر.

2) دعونا نجد الحد. في المقام نستخدم نفس التكافؤ، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الجيب كان موجودًا في البداية أسفل المربع، لذا في الخطوة الأولى من الضروري أيضًا وضعه بالكامل أسفل المربع.

دعونا لا ننسى النظرية: في المثالين الأولين، تم الحصول على أعداد محدودة، وهو ما يعني البسط والمقامات بنفس الترتيب من الصغر.

3) دعونا نجد الحد. دعونا نستبدل دالة البسط المتناهية الصغر بالدالة المكافئة ، أين :

هنا البسط ذو ترتيب أصغر من المقام. يصل Lilliput (وما يعادله من Lilliputian) إلى الصفر بشكل أسرع من .

4) دعونا نجد الحد. دعونا نستبدل دالة البسط المتناهية الصغر بدالة مكافئة، حيث:

وهنا، على العكس من ذلك، القاسم ترتيب أعلى من الصغر، من البسط، يهرب القزم إلى الصفر بشكل أسرع من القزم (والقزم المكافئ له).

هل ينبغي استخدام معادلات ملحوظة في الممارسة العملية؟ينبغي، ولكن ليس دائما. وبالتالي، ليس من المستحسن حل الحدود غير المعقدة (مثل تلك التي تناولناها للتو) من خلال معادلات ملحوظة. قد يتم اتهامك بالاختراق وإجبارك على حلها بطريقة قياسية باستخدام الصيغ المثلثية والحد الرائع الأول. ومع ذلك، باستخدام الأداة المعنية، من المفيد جدًا التحقق من الحل أو حتى معرفة الإجابة الصحيحة على الفور. المثال رقم 14 من الدرس نموذجي طرق حل الحدود:

في النسخة النهائية، من المستحسن وضع حل كامل كبير إلى حد ما مع تغيير المتغير. لكن الإجابة الجاهزة تكمن على السطح - فنحن نستخدم التكافؤ عقليًا: .

مرة اخرى معنى هندسي: لماذا يجوز استبدال الدالة في البسط بالدالة؟ قريب بلا حدود بالقرب من الصفرولا يمكن تمييز الرسوم البيانية الخاصة بهم إلا تحت مجهر قوي.

بالإضافة إلى التحقق من الحل، يتم استخدام معادلات ملحوظة في حالتين أخريين:

- عندما يكون المثال معقدًا جدًا أو غير قابل للحل بشكل عام بالطريقة المعتادة؛
- عندما يلزم تطبيق معادلات ملحوظة حسب الشرط.

دعونا نفكر في مهام أكثر أهمية:

مثال 4

العثور على الحد

إن جدول الأعمال يتسم بعدم اليقين بنسبة صفر إلى صفر والوضع على الحدود: يمكن تنفيذ الحل بطريقة قياسية، ولكن سيكون هناك الكثير من التحولات. ومن وجهة نظري فمن المناسب تماما استخدام المعادلات الرائعة هنا:

دعونا نستبدل الدوال المتناهية الصغر بوظائف مكافئة. في :

هذا كل شئ!

الفارق التقني الوحيد: في البداية تم تربيع الظل، لذا بعد الاستبدال، يجب أيضًا تربيع الوسيطة.

مثال 5

العثور على الحد

هذا الحد قابل للحل من خلال الصيغ المثلثية و حدود رائعةلكن الحل مرة أخرى لن يكون ممتعًا للغاية. هذا مثال يمكنك حله بنفسك، كن حذرًا بشكل خاص عند تحويل البسط. إذا كان هناك أي التباس حول الدرجات، قم بتمثيلها كمنتج:

مثال 6

العثور على الحد

لكن هذه حالة صعبة عندما يكون من الصعب جدًا تنفيذ الحل بطريقة قياسية. دعونا نستخدم بعض المعادلات الرائعة:

دعونا نستبدل المتناهية الصغر بما يعادلها. في :

والنتيجة هي ما لا نهاية، مما يعني أن المقام أصغر من البسط.

سارت التدريبات بسرعة دون ارتداء ملابس خارجية =)

مثال 7

العثور على الحد

هذا مثال لك لحله بنفسك. فكر في كيفية التعامل مع اللوغاريتم ;-)

ليس من غير المألوف أن يتم استخدام معادلات ملحوظة مع طرق أخرى لحل النهايات:

مثال 8

أوجد نهاية الدالة باستخدام القيم المتناهية الصغر المكافئة والتحويلات الأخرى

لاحظ أن هناك بعض المعادلات الرائعة المطلوبة هنا.

نحن نقرر:

في الخطوة الأولى نستخدم معادلات ملحوظة. في :

كل شيء واضح مع الجيب : . ماذا تفعل مع اللوغاريتم؟ دعونا نمثل اللوغاريتم في النموذج ونطبق التكافؤ. كما تفهم، في هذه الحالة و

في الخطوة الثانية، سوف نقوم بتطبيق التقنية التي تمت مناقشتها في الدرس.

ما هي الوظائف الصغيرة اللانهائية

ومع ذلك، يمكن أن تكون الدالة متناهية الصغر فقط عند نقطة محددة. كما هو مبين في الشكل 1، تكون الدالة متناهية الصغر فقط عند النقطة 0.

الشكل 1. وظيفة متناهية الصغر

إذا كانت نهاية حاصل دالتين تؤدي إلى 1، يقال إن الدوال متكافئة متناهية الصغر حيث تميل x إلى النقطة a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

تعريف

إذا كانت الوظائف f(x) وg(x) متناهية الصغر لـ $x > a$، إذن:

• تسمى الدالة f(x) متناهية الصغر ذات رتبة أعلى بالنسبة إلى g(x) إذا تم استيفاء الشرط التالي:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• تسمى الدالة f(x) متناهية الصغر من الرتبة n بالنسبة إلى g(x) إذا كانت مختلفة عن 0 وكان الحد محدودًا:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

مثال 1

الدالة $y=x^3$ هي متناهية الصغر ذات ترتيب أعلى لـ x>0، مقارنة بالدالة y=5x، نظرًا لأن حد النسبة بينهما هو 0، ويفسر ذلك حقيقة أن الدالة $y=x ^3$ يميل إلى القيمة الصفرية بشكل أسرع:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) ) س=0\]

مثال 2

الدالتان y=x2-4 و y=x2-5x+6 هي أعداد متناهية الصغر بنفس الترتيب لـ x>2، نظرًا لأن حد النسبة بينهما لا يساوي 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ إلى 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

خصائص متناهية الصغر المكافئة

1. الفرق بين اثنين من المتناهيات المتناهية الصغر هو متناهية الصغر من مرتبة أعلى بالنسبة لكل منهما.
2. إذا قمنا بتجاهل المتناهيات الصغر من الرتب الأعلى من مجموع عدة متناهية الصغر من أوامر مختلفة، فإن الجزء المتبقي، الذي يسمى الجزء الرئيسي، يعادل المجموع بأكمله.

ويترتب على الخاصية الأولى أن المتناهية الصغر المكافئة يمكن أن تصبح متساوية تقريبًا مع وجود خطأ نسبي صغير بشكل تعسفي. لذلك، يتم استخدام العلامة ≈ للإشارة إلى تكافؤ المتناهيات في الصغر ولكتابة المساواة التقريبية لقيمها الصغيرة بما فيه الكفاية.

عند العثور على الحدود، غالبًا ما يكون من الضروري استخدام استبدال الوظائف المكافئة لسرعة العمليات الحسابية وملاءمتها. ويرد أدناه جدول متناهية الصغر المكافئة (الجدول 1).

يمكن إثبات تكافؤ المتناهيات في الصغر الواردة في الجدول بناءً على المساواة:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

الجدول 1

مثال 3

دعونا نثبت معادلة متناهية الصغر ln(1+x) وx.

دليل:

1. دعونا نجد نهاية نسبة الكميات
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. للقيام بذلك، نطبق خاصية اللوغاريتم:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. بمعرفة أن الدالة اللوغاريتمية متصلة في مجال تعريفها، يمكننا تبديل إشارة النهاية والدالة اللوغاريتمية:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ يمين)\]
4. بما أن x كمية متناهية الصغر، فإن الحد يميل إلى 0. وهذا يعني:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ يمين)=\ln e=1\]

(يطبق الحد الثاني الرائع)

امتحان

الانضباط: الرياضيات العليا

الموضوع: الحدود. مقارنة بين متناهية الصغر

1. حد التسلسل الرقمي

2. حد الوظيفة

3. الحد الثاني الرائع

4. مقارنة الكميات المتناهية الصغر

الأدب

1. حد التسلسل الرقمي

يؤدي حل العديد من المسائل الرياضية والتطبيقية إلى الحصول على سلسلة من الأرقام محددة بطريقة معينة. دعونا نتعرف على بعض خصائصها.

التعريف 1.1.إذا كان لكل عدد طبيعي

وفقًا لبعض القوانين، يتم تعيين رقم حقيقي، ثم تسمى مجموعة الأرقام تسلسلًا رقميًا.

استنادا إلى التعريف 1، فمن الواضح أن التسلسل الرقمي يحتوي دائما على عدد لا حصر له من العناصر. تظهر دراسة التسلسلات العددية المختلفة أنه مع زيادة العدد، يتصرف أعضاؤها بشكل مختلف. وقد تزيد أو تنقص إلى أجل غير مسمى، وقد تقترب باستمرار من رقم معين، أو قد لا تظهر أي نمط على الإطلاق.

التعريف 1.2.رقم

يسمى حد التسلسل الرقمي إذا كان لأي رقم عدد من التسلسل الرقمي اعتمادًا على الشرط الذي يتم استيفاؤه لجميع أرقام التسلسل الرقمي.

تسمى المتتابعة التي لها نهاية متقاربة. في هذه الحالة يكتبون

.

من الواضح، لتوضيح مسألة تقارب التسلسل العددي، من الضروري أن يكون هناك معيار يعتمد فقط على خصائص عناصره.

نظرية 1.1.(نظرية كوشي حول تقارب التسلسل الرقمي). لكي يكون التسلسل الرقمي متقاربًا، من الضروري والكافي أن يكون ذلك لأي رقم

يوجد عدد من التسلسل العددي اعتمادًا على، بحيث يكون أي رقمين من التسلسل الرقمي يستوفيان الشرط و، فإن عدم المساواة سيكون صحيحًا.

دليل. ضروري. بالنظر إلى أن التسلسل الرقمي

يتقارب، وهو ما يعني، وفقًا للتعريف 2، أن له حدًا. دعونا نختار بعض الأرقام. ومن ثم، من خلال تعريف نهاية التسلسل الرقمي، هناك رقم ينطبق عليه عدم المساواة لجميع الأرقام. ولكن بما أنه أمر تعسفي، وسوف يتم الوفاء به. لنأخذ رقمين متسلسلين ثم .

إنه يتبع هذا

أي: ثبتت الضرورة.

قدرة. يعطى ذلك

. وهذا يعني أن هناك رقمًا لشرط معين و . على وجه الخصوص، إذا و و، ثم أو بشرط أن . وهذا يعني أن التسلسل الرقمي محدود. ولذلك، يجب أن تتقارب واحدة على الأقل من نتائجها. يترك . دعونا نثبت أنه يتقارب أيضا.

دعونا نلقي نظرة تعسفية

. إذن، وفقًا لتعريف النهاية، هناك عدد بحيث تنطبق المتباينة على الجميع. من ناحية أخرى، من خلال الشرط، يُعطى أن التسلسل يحتوي على رقم بحيث يكون الشرط مستوفيًا للجميع. واصلاح بعض . ثم للجميع نحصل على: .

إنه يتبع هذا