vstupní proud. Typické matematické modely

24. Tok příchozí poptávky

24.1 Struktura QS

Studium QS začíná analýzou příchozího toku požadavků. Tok příchozí poptávky je soubor požadavků, které vstupují do systému a je třeba je obsluhovat. Vstupní tok požadavků je studován s cílem stanovit vzorce tohoto toku a dále zlepšovat kvalitu služeb.

Ve většině případů je příchozí tok nekontrolovatelný a závisí na řadě náhodných faktorů. Počet požadavků přicházejících za jednotku času, náhodná veličina. Náhodná veličina je také časový interval mezi sousedními příchozími požadavky. Předpokládá se však, že průměrný počet požadavků přijatých za jednotku času a průměrný časový interval mezi sousedními příchozími požadavky jsou uvedeny.

Vyvolá se průměrný počet zákazníků vstupujících do systému front za jednotku času intenzita poptávky a je určeno následujícím vztahem:

kde T - průměrná hodnota intervalu mezi příchody po sobě jdoucích požadavků.

Pro mnoho reálných procesů je tok požadavků poměrně dobře popsán Poissonovým distribučním zákonem. Takovému toku se říká nejjednodušší.

Nejjednodušší tok má následující důležité vlastnosti:

Stacionární vlastnost, který vyjadřuje neměnnost režimu pravděpodobnosti toku v čase. To znamená, že počet zákazníků vstupujících do systému v pravidelných intervalech musí být v průměru konstantní. Například počet vagónů přijíždějících k nakládce v průměru za den by měl být stejný v různých časových obdobích, například na začátku a na konci desetiletí.

žádný následný efekt, který určuje vzájemnou nezávislost příjmu jednoho nebo druhého počtu požadavků na službu v nepřekrývajících se časových intervalech. To znamená, že počet požadavků přicházejících v daném časovém intervalu nezávisí na počtu požadavků obsluhovaných v předchozím časovém intervalu. Například počet vozů, které si přijely pro materiály desátý den v měsíci, nezávisí na počtu vozů servisovaných čtvrtý nebo jakýkoli jiný předchozí den daného měsíce.

vlastnost obyčejnosti, který vyjadřuje praktickou nemožnost současného příjmu dvou nebo více požadavků (pravděpodobnost takové události je neměřitelně malá ve vztahu k uvažovanému časovému období, kdy se blíží nule).

Protože účelem provozu jakéhokoli servisního systému je uspokojovat aplikace (požadavky) na obsluhu, je tok aplikací (požadavek) jedním ze základních a nejdůležitějších pojmů teorie ve frontě. Musíte se naučit, jak kvantifikovat příchozí tok požadavků, ale k tomu musíte zjistit jeho povahu a strukturu.

Téměř jakýkoli tok požadavků vstupujících do systému služeb je náhodný proces. Opravdu, když vezmeme t=0 za počáteční okamžik, pak v mnoha tocích (kromě případu, kdy požadavky přicházejí striktně podle plánu) je buď nemožné nebo spíše obtížné přesně předvídat okamžik příchodu dalšího požadavku, stejně jako okamžiky příchodu následujících požadavků. Například nelze přesně označit okamžiky příchodu klientů do studia, pacientů do nemocnice, příchodu hovorů na ústřednu, vybavení v opravně atd.

V důsledku toho jsou okamžiky příjmu žádostí, jakož i intervaly mezi nimi, obecně řečeno nezávislými náhodnými veličinami. Pak by měl být proces příjmu požadavků do systému řazení považován za pravděpodobnostní nebo náhodný proces. Označme tento proces jako X(t). Tato funkce určuje počet požadavků přijatých systémem za určité časové období . Pro každé pevné t funkce X(t) je náhodná veličina. Pokud totiž zvolíme časové intervaly dokonce stejně dlouhé, pak si v tomto případě nemůžeme být jisti, že v každém z těchto intervalů přijde stejný počet požadavků.

Po určitou dobu nemusí existovat jedna aplikace, nebo mohou existovat 1, 2, ... aplikace. Ale bez ohledu na to, jak dlouhé časové intervaly zvolíme, počet aplikací bude pouze celé číslo.

Tok požadavků lze znázornit jako graf jedné z implementací náhodné veličiny funkce X(t), brát pouze nezáporné celočíselné hodnoty. V tomto případě je graf (obr. 24.2) stupňovitá čára se skoky rovnými jedné nebo několika jednotkám v závislosti na tom, zda požadavky přicházejí po jednom nebo ve skupinách. Takže náhodný proces X(t), má následující vlastnosti.

1. Za každou pevnou t funkce X(t), nabývá nezáporných celočíselných hodnot 0, 1, 2,...,R,... a s rostoucím se nesnižuje.

2. Počet žádostí obdržených během daného časového období , závisí na délce tohoto intervalu, tedy na hodnotě t.

3. Implementace procesů jsou stupňovité linie, které se od sebe poněkud liší. Z teorie náhodných procesů je známo, že proces bude z pravděpodobnostního hlediska zcela určen, pokud jsou známy všechny jeho vícerozměrné distribuční zákony:

Najít takovou funkci v obecném případě je však velmi obtížný a někdy neřešitelný problém. Proto se v praxi snaží využívat procesy, které mají vlastnosti umožňující najít jednodušší způsoby jejich popisu. Mezi tyto vlastnosti patří:

Stacionarita (lepší rovnoměrnost v čase);

Nedostatek aftereffectu (Markovian), někdy říkají o absenci paměti;

Obyčejnost.

Uvedené vlastnosti byly uvažovány výše při studiu stacionárních a Markovových procesů, proto zde pouze připomínáme podstatu těchto vlastností z hlediska teorie front.

Tok požadavků se nazývá stacionární nebo homogenní v čase, pokud pravděpodobnost přijetí určitého počtu požadavků během určitého časového období závisí pouze na délce intervalu, nikoli na jeho časové poloze (jinými slovy záleží na původu). Tedy pro stacionární tok pravděpodobnost, že přes interval udělá přesně R požadavky se rovná pravděpodobnosti přijetí R požadavky na interval [a, a +t] , kde a>0, tj.

To znamená, že pravděpodobnostní charakteristiky toku (parametry distribučního zákona) by se neměly v čase měnit.

Mnoho skutečných toků poptávky má při pohledu během krátkých období vlastnost stacionárnosti. Mezi takové toky patří: tok hovorů do ústředny v určitých intervalech, tok zákazníků do prodejny, tok rádiových zařízení vyžadujících opravu, intenzita osobní dopravy atd. Některé z uvedených toků se však v průběhu mění. den (pravděpodobnost hovorů v noci méně než ve dne, špičky v MHD).

V některých tocích počet požadavků, které vstoupily do systému po libovolném časovém okamžiku, nezávisí na počtu dříve přijatých požadavků a okamžicích jejich příchodu, tj. intervaly mezi příchody požadavků jsou považovány za nezávislé hodnoty. a není mezi nimi žádné spojení. Budoucí stav systému nezávisí na jeho minulém stavu. Tok s touto vlastností se nazývá tok bez následného účinku nebo Markov tok. Vlastnost no aftereffect (nedostatek paměti) je vlastní mnoha skutečným vláknům. Například tok hovorů do ústředny je tok bez následných efektů, protože další hovor zpravidla přichází bez ohledu na to, kdy a kolik hovorů bylo do tohoto okamžiku uskutečněno.

V řadě případů je charakter toku požadavků takový, že současný výskyt dvou resp více požadavky jsou nemožné nebo téměř nemožné. Proud s touto vlastností se nazývá obyčejný proud.

Pokud R R >2 (h) -pravděpodobnost výskytu pro interval h více než jeden požadavek, pak pro běžný tok by to mělo být:

,

tj. běžnost toku vyžaduje, aby pravděpodobnost výskytu více než jednoho požadavku v krátkém časovém období h by bylo nekonečně malé množství vyššího řádu než h. V některých reálných tocích je tato vlastnost zřejmá, zatímco v jiných ji přijímáme s poměrně dobrou aproximací skutečnosti. Klasickými příklady takového toku jsou tok hovorů do ústředny a tok zákazníků ve studiu.

Tok požadavků, který má tyto tři vlastnosti, se nazývá nejjednodušší. Lze ukázat, že jakýkoli jednoduchý tok je popsán Poissonovým procesem. Za tímto účelem si připomeneme definici Poissonova procesu přijatou v teorii náhodných funkcí.

náhodný proces X(t) (0≤ t<∞) celočíselné hodnoty se nazývají Poissonův proces, pokud se jedná o proces s nezávislými přírůstky nebo pokud je jakýkoli přírůstek procesu za časový interval h rozdělen podle Poissonova zákona s parametrem λ h, kde λ>0 těch.

Zejména pokud t=0, X(0)=0, pak se (3) přepíše takto:

(4)

Tady PROTI r (h) znamená pravděpodobnost, že událost, která nás zajímá, přesně nastane R jednou za určité období h(z hlediska teorie front PROTI r (h) určuje pravděpodobnost, že za určité časové období h vstoupí přesně do servisního systému R požadavky).

Význam parametru X je snadné zjistit, zda najdete matematické očekávání Poissonova procesu: M [X(t)]=M. V t = 1 dostaneme M[X(1)]=1. Proto existuje průměrný počet aplikací za jednotku času. Proto hodnota λ často označované jako intenzita nebo hustota toku.

Z definice Poissonova procesu bezprostředně vyplývají tři vlastnosti, totožné s těmi výše:

1) Nezávislost přírůstků. V nezávislosti přírůstků pro Poissonův proces neexistuje žádný následný efekt - Markovův proces.

2) Jednotnost v čase. To znamená, že pravděpodobnosti PROTI r (h) nezávisí na počátečním okamžiku t uvažovaný interval , ale závisí pouze na délce intervalu h:

3) Obyčejnost. Obyčejnost Poissonova procesu znamená, že je prakticky nemožné, aby skupina požadavků přišla ve stejný okamžik.

Současné přijetí dvou nebo více nároků v krátkém časovém intervalu h je tedy nepravděpodobné

což ukazuje na obyčejnost Poissonova procesu.

Zjistili jsme tedy, že tok popsaný Poissonovým procesem je nejjednodušší. Platí však i opačný předpoklad, že nejjednodušší tok je popsán Poissonovým procesem. V důsledku toho se nejjednodušší proudění často nazývá také Poissonovo proudění. Poissonův proces v teorii front zaujímá zvláštní místo, podobné tomu v teorii pravděpodobnosti, mezi jinými zákony rozdělení, normální zákon. A nejde o to, že je to popsáno matematicky nejjednodušeji, ale že je to nejčastější. Poissonův tok je limitní tok (asymptotický tok, když se kombinuje velké množství jiných toků).

Definice 6.1. Vstupní proud se nazývá nejjednodušší, pokud:

1) pravděpodobnost výskytu toho či onoho počtu aplikací v časovém intervalu závisí pouze na jeho trvání a nezávisí na jeho umístění na časové ose (stacionarita vstupního proudu), navíc aplikace přicházejí jednotlivě (běžnost vstupní tok) a nezávisle na sobě (žádný následný efekt ve vstupním toku);

2) pravděpodobnost realizace samostatné náhodné události (objevení se aplikace) v časovém intervalu krátkého trvání je úměrná nekonečně vyššímu řádu malosti ve srovnání s tzn. je kde

3) pravděpodobnost realizace dvou nebo více náhodných událostí (vznik dvou nebo více aplikací) v krátkém časovém intervalu je hodnota

Absence následného efektu v definici nejjednoduššího vstupního toku znamená, že pro jakékoli nepřekrývající se časové intervaly počet požadavků přicházejících v jednom z těchto intervalů nezávisí na počtu požadavků přicházejících v jiných intervalech.

Nehledě na to, že vstupní a výstupní proudy mnoha skutečné systémy služby plně nesplňují definici nejjednoduššího toku, koncept nejjednoduššího toku je široce používán v teorii front. Tato okolnost souvisí nejen s tím, že se v praxi poměrně často setkáváme s nejjednoduššími toky, ale také s tím, že součet neomezeného počtu stacionárních běžných toků s téměř jakýmkoliv dozvukem je to nejjednodušší toky. V tomto ohledu uvažujme hlavní vlastnosti nejjednoduššího toku.

Věta 6.1. Diskrétní náhodná veličina, která nabývá hodnot a charakterizuje pro nejjednodušší vstupní tok počet zákazníků vstupujících do systému fronty v časovém intervalu trvání t, je rozdělena podle Poissonova zákona s parametrem

Uvažujme skalární náhodný proces s diskrétními stavy (tj. pro jakýkoli pevný časový okamžik, jeho průřez ) je diskrétní náhodná veličina s množinou možných hodnot. Nechť je ve stavu, že ve službě je k žádostí Systém.

V souladu s podmínkami věty a definicí nejjednoduššího toku, náhodného procesu, je Markovův homogenní proces s diskrétními stavy a pro všechna nezáporná celá čísla i a j je hustota pravděpodobnosti přechodu systému řazení ze státu, do státu kdykoliv je určena rovnost

Proto má v tomto případě Kolmogorovův systém rovnic následující tvar:

kde je pravděpodobnost, že v časovém intervalu trvání t obdrží zkoumaný systém služeb řadu požadavků. A protože z definice 6.1 vyplývá nejjednodušší tok požadavků, že

pak dojdeme k Cauchyho problémům s ohledem na funkci

a funkcí

Postupným řešením Cauchyho problémů (6.3), (6.4) v případě nejjednoduššího vstupního toku zjistíme pravděpodobnost, že počet zákazníků v časovém intervalu trvání t bude roven

Relace (6.5) znamenají, že náhodná veličina je distribuována podle Poissonova zákona s parametrem

Důsledek 6.1. Pokud je vstupní tok nejjednodušší, pak se průměrný počet zákazníků vstupujících do systému fronty v časovém intervalu trvání t rovná

Chcete-li určit průměrný počet aplikací, musíte najít matematické očekávání náhodné veličiny. A jelikož se podle (6.5) rozděluje podle Poissonova zákona s parametrem then

Podle prokázaného důsledku je parametr Λ průměrný počet aplikací přicházejících za jednotku času. Proto se nazývá intenzita, neboli hustota nejjednoduššího proudění.

Důsledek 6.2. Je-li vstupní proud požadavků nejjednodušší, pak je rozptyl skalární náhodné veličiny charakterizující rozptyl počtu požadavků vstupujících do systému řazení v časovém intervalu trvání t, vzhledem k jejich průměrné hodnotě, roven

M Pokud je vstupní proud nejjednodušší, pak je podle (6.5) náhodná veličina distribuována podle Poissonova zákona s parametrem Proto,

Věnujme pozornost tomu, že podle (6.6) a (6.7) má náhodná veličina rozdělená podle Poissonova zákona stejné očekávání a rozptyl.

Příklad 6.1. Servisní kancelář obdrží průměrně 12 objednávek za hodinu. Vzhledem k tomu, že tok objednávek je nejjednodušší, určíme pravděpodobnost, že: a) nebudou do 1 minuty přijaty žádné objednávky; b) během 10 minut nebudou přijaty více než tři objednávky.

Protože tok objednávek je nejjednodušší a intenzita, pak podle (6.5) máme:

V souladu s definicí 6.1 nejjednoduššího toku je doba trvání časového intervalu mezi dvěma po sobě přicházejícími požadavky náhodná veličina Pro sestavení matematických modelů systémů hromadné obsluhy je nutné znát distribuční funkci náhodné veličiny nebo její rozdělení hustota (pravděpodobnosti)

Věta 6.2. V případě nejjednoduššího vstupního toku s intenzitou A má trvání časového intervalu mezi dvěma po sobě jdoucími požadavky exponenciální rozdělení s parametrem A.

Vstupní proud informací

Vstupním tokem informací je sled dokumentů a dat přicházejících do informačního systému.

Viz také: Informační obsah

• - zařízení na vstupu systému, které převádí vstupní signály pro koordinaci provozu systému s externím zdrojem. dopad...

  Velký encyklopedický polytechnický slovník

• - směrový signál chránící cestu samostatného bodu. Jako V. s. mohou být použity semafory nebo semafory. Vstupní semafor je instalován ne blíže než 50 m, semafor není blíže než 15 m od šipky vstupu ...

  Technický železniční slovník

• - "... Kontrola výrobků dodavatele přijatých spotřebitelem nebo zákazníkem a určených k použití při výrobě, opravě nebo provozu výrobků..." Zdroj: Objednávka Roskartografii ze dne 29.06 ...

  Oficiální terminologie

• - kontrola dodržování pasových údajů průmyslových výrobků dodávaných pro stavebnictví...

  Stavební slovník

• - materiálový tok vstupující do logistického systému zvenčí ...

  Slovníček obchodních podmínek

• - dokument vyhotovený ve zvláštní formě obsahující údaje určené pro vstup do informačního systému. Viz také: Obsah  ...

  Finanční slovní zásoba

• - soubor zpráv kolujících v systému, nezbytných pro implementaci řídících procesů ...

  Velký ekonomický slovník

• - externí materiálový tok vstupující do tohoto logistického systému z vnějšího prostředí ...

  Velký ekonomický slovník

• - zařízení na vstupu systému nebo zařízení, které převádí vstupní akce na signály vhodné pro další zpracování, přenos a registraci nebo pro koordinaci provozu systémů s různými vstupy - ...

  Velká sovětská encyklopedie

• - ...

  Antonymský slovník

• - INPUT, viz enter a...

  Vysvětlující slovník Ozhegov

• - INPUT, vstup, vstup. adj. ke vchodu. Vstupní dveře. Vstupenka. Vstup...

  Vysvětlující slovník Ushakova

• - vstup I adj. počáteční, počáteční, počáteční. II adj. 1. Poskytnutí práva vstoupit 1. někam. 2. Slouží jako vchod...

  Výkladový slovník Efremova

• - vstupní adj., užití. komp. často 1. Když mluvíte o dveřích, máte na mysli venkovní dveře vedoucí do vašeho domu z ulice. Někdo vstoupil do chodby a otevřel hlavní dveře. 2...

  Slovník Dmitrijeva

• - vstup "...

  Ruský pravopisný slovník

• - ...

  Slovní tvary

"Vstupní proud informací" v knihách

Tok informací v přírodě

autor

Tok informací v přírodě

Z knihy Antropologie a koncepty biologie autor Kurčanov Nikolaj Anatolijevič

Tok informací v přírodě Jak se genetická informace přepisuje v buňce DNA? RNA? protein určuje tok informací ve volné přírodě. Tento tok informací je realizován v naprosté většině živých systémů. Dostal definici centrálního dogmatu

"Vstupní" DPH

Z knihy Jak používat „zjednodušené“ autor Kurbangaleeva Oksana Alekseevna

"Vstupní" DPH Při nákupu dlouhodobého majetku hradí nakupující organizace jeho náklady včetně daně z přidané hodnoty. Podnik, který uplatňuje zjednodušený daňový systém, však nemůže částku DPH na vstupu vrátit z rozpočtu. Toto množství

Zastavte tok škodlivých informací

Z knihy Proč princezny koušou. Jak chápat a vzdělávat dívky autor Biddulph Steve

Zastavte tok škodlivých informací I když to neradi přiznáváme, my lidé jsme v podstatě stádní zvířata. Neustále hledáme uznání od ostatních a neustále napodobujeme své okolí, snažíme se přizpůsobit nějaké obecně přijímané normě; v naší době

Tok informací přicházejících z Afriky o různých formách fosilního člověka nás nutí znovu se podívat na proces izolace nejstarších lidských předků ze světa zvířat a na hlavní fáze formování lidstva.

Z knihy Starověké civilizace autor Bongard-Levin Grigorij Maksimovič

Tok informací z Afriky o různé formy Fosilní člověk nás nutí znovu se podívat na proces izolace nejstarších lidských předků ze světa zvířat a na hlavní fáze formování lidstva. K objasnění mnoha problémů přispívá

Vstupní konvertor

Z knihy Velká sovětská encyklopedie (VX) autora TSB

Informační tok pro getint()

Z knihy Jazyk C – průvodce pro začátečníky autor Prata Stephen

Informační tok pro getint() Jaký výstup by měla mít naše funkce? Za prvé, není pochyb o tom, že by musel vrátit hodnotu přečteného čísla. Funkce scanf() to samozřejmě již dělá. Za druhé, a to je velmi důležité, vytvoříme funkci, která

Vědomí je tok energie a informací

Z knihy Mindsight. Nová věda o osobní transformaci od Siegel Daniel

Vědomí je tok energie a informací Energie je schopnost vykonávat činnost, jako je pohyb končetin nebo utváření myšlenek. Fyzika to zkoumá různé druhy. Cítíme zářivou energii při sezení na slunci, kinetickou energii při procházce po pláži nebo koupání,

Informační tok

Z knihy Sbírka povídek a románů autor Lukin Evgeny

Tok informací Okamžitě, jakmile se Valerij Michajlovič Akhlomov objevil na prahu redakčního sektoru, bylo jasné, že na plánovací schůzce byl těžce zasažen tou hlavní.- Využijte laskavosti mé postavy! řekl v tichém vzteku. - Mysl je nepochopitelná: in

Kapitola 2 DIPLOMACIE KULTURNÍHO IMPERIALISMU A VOLNÝ TOK INFORMACÍ

Z autorovy knihy

KAPITOLA 2 DIPLOMACIE KULTURNÍHO IMPERIALISMU A VOLNÝ TOK INFORMACÍ Již čtvrt století dominuje mezinárodnímu myšlení o komunikacích jedna doktrína – myšlenka, že žádné překážky by neměly bránit toku informací mezi zeměmi.

Tok informací a vaše osobní filozofie

Z knihy Mysli a dělej! autor Baranovský Sergej Valerijevič

Tok informací a vaše osobní filozofie Náš věk je dobrý už jen proto, že obsahuje spoustu informací. Jen internet nám otevírá stovky nových dveří. Neposlouchejte ty, kteří označují Síť za smetí! Internet není smetiště, ale špatně uklizená knihovna. Desítky tisíc různorodých

autor Gosstandart Ruska

Z knihy SOFTWARE EMBEDDED SYSTEMS. Obecné požadavky k vývoji a dokumentaci autor Gosstandart Ruska

5.1 Tok informací mezi procesy životního cyklu systému a softwaru

Z knihy SOFTWARE EMBEDDED SYSTEMS. Obecné požadavky na vývoj a dokumentaci autor Gosstandart Ruska

5.1 Informační tok mezi procesy životní cyklus systémy a software 5.1.1 Tok informací ze systémových procesů do softwarových procesů Proces hodnocení bezpečnosti systému by měl identifikovat možné poruchové situace systému a stanovit jejich kategorie,

12.37 Průvodce informacemi o vstupu/výstupu softwaru

Z knihy SOFTWARE EMBEDDED SYSTEMS. Obecné požadavky na vývoj a dokumentaci autor Gosstandart Ruska

12.37 Softwarové vstupní/výstupní informace vstupní/výstupní informační příručka Software vysvětluje uživateli, jak prezentovat, zadávat vstupní informace a jak interpretovat výstupní informace, v jakém režimu (dávkovém nebo interaktivním) systém pracuje

Základy teorie front

§ 1. Úvod

Teorie front je jinak známá jako Teorie front. Teorie front se skutečně z velké části věnuje studiu front, které vznikají v různých systémech.

Hlavními charakteristikami frontových systémů jsou následující náhodné proměnné:

průměrný čas, který zákazník stráví ve frontě;

procento času, kdy je systém nečinný (kvůli nedostatku klientů).

Funkčnost systémů řazení do fronty je určena následujícími faktory:

distribuce distribučních momentů zákazníků;

distribuce trvání služby;

konfigurace servisního systému (sériová, paralelní nebo paralelně-sériová služba);

disciplína ve frontě (obsluha v pořadí příchodu, obsluha v opačném pořadí, náhodný výběr zákazníků);

kapacita čekacího bloku (omezená nebo neomezená);

kapacita nebo výkon zdroje poptávky (omezený a neomezený);

některé další vlastnosti systému (schopnost klientů přecházet z jedné fronty do druhé, nenulová pravděpodobnost selhání atd.).

Hlavními faktory jsou první dva.

Jakýkoli systém řazení do front se skládá z následujících hlavních prvků:

tok příchozích zákazníků;

servisní zařízení;

disciplína v řadě.

§ 2 . Vstupní proud zákazníka

Uvažujme posloupnosti náhodných proměnných

Pojďme to předstírat t o = 0 je počáteční okamžik činnosti systému; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k-1+ τ k , …., kde τ k jsou nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením s parametrem λ.

W tady t 1 - okamžik příchodu prvního klienta, τ 1 - časový interval mezi spuštěním systému a příchodem prvního klienta, τ 2 - časový interval mezi příchodem prvního a druhého klienta atd.

Subsekvence
, definovaný výše uvedeným způsobem se nazývá nejjednodušší (jed) tok. Konstanta se nazývá parametr nejjednoduššího toku.

Vlastnosti jednoduchého proudu

1. Posun toku o T

Nechť je jednoduchý tok
s parametrem λ.

Posunutím toku o T, dostaneme proud
, což bude také nejjednodušší tok se stejným parametrem λ. Například pokud T je mezi a , pak nový stream vypadá takto:

, ….

2. Sloučení dvou vláken

P
Nechť existují dva nezávislé elementární toky

S
parametry λ (1) , λ (2), resp. Řekneme, že tok vznikl jako výsledek sloučení dvou toků, pokud množina ( t k) je spojení množin ( t k (1) }, {t k ( 2) ) a prvky sady ( t k) jsou seřazeny vzestupně.

P
odtok vyplývající ze sloučení dvou nezávislých elementárních toků je zároveň elementárním tokem s parametrem λ = λ(1) + λ(2), kde λ(j)– průtokový parametr

3. Rozdělení nejjednoduššího proudu

Nechť existuje jednoduchý tok s parametrem λ,

a posloupnost nezávislých náhodných proměnných
, přičemž dvě hodnoty:

P(ξ i = 1) = p, P(ξ i = 0) = q, p  0, q  0, p + q = 1.

Takové náhodné proměnné se nazývají Bernoulli(s parametrem p). Postup dělení toku ( t k) je následující: číslo t i odkazují na první tok, pokud ξ i= 1; pokud ξ i= 0, pak číslo t i odkazovat na druhý proud. Takovou operaci nazýváme rozdělením proudu na dva Bernoulli(s parametrem p).

Toky získané jako výsledek Bernoulliho separace nejjednoduššího toku jsou nezávislé nejjednodušší toky s parametry λ (1) = λp, λ (2) = λq.

Všimněte si, že důkazy těchto vlastností nejjednoduššího toku lze nalézt v .

H
herez X(t) V následujícím budeme označovat počet klientů v daném okamžiku v systému t, tj.

Vlastnosti Poissonových procesů

Přírůstek Poissonova procesu je homogenní.

Označit podle X((A,b])= X(b) – X(A) procesní přírůstek, který lze interpretovat jako počet klientů vstupujících do systému v intervalu ( A,b]. Homogenitou se rozumí splnění podmínky:

P( X((A,b]) = k) = P( X((0,b-A]) = k) = P( X(b-A) = k),

těch. rozdělení pravděpodobnosti počtu klientů vstupujících do systému v intervalu ( A,b], závisí pouze na délce tohoto intervalu.

Přírůstky Poissonova procesu jsou nezávislé.

Zvažte interval (0, b] a předpokládejme, že je rozdělena do neprotínajících se intervalů (0, b 1 ], (b 1 , b 2], , ( b N-1, b N]. Nechat b 0 = 0. Pak X((b 0 , b 1 ]), X((b 1 , b 2]), , X((b N-1, b N ]) je počet klientů vstupujících do systému v odpovídajících časových obdobích. Tyto veličiny jsou nezávislé, tzn.

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1, , X((b N-1, b N]) = i N) =

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1)  P( X((b N-1, b N]) = i N).

Důkazy o těchto vlastnostech lze nalézt v .

Úkoly pro § 2.

2.1. Existují dvě náhodné proměnné  1 a  2. Jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení s parametry  1 a  2 resp. Zavedeme následující náhodnou veličinu:  = min(  1 ,  2). Dokažte, že tato veličina má exponenciální rozdělení s parametrem = 1 + 2 .

2.2. Jsou dány dvě nezávislé náhodné proměnné  1 a  2 mající Poissonovo rozdělení s parametrem  1 a  2 resp. Nechť náhodnou veličinu  = 1 + 2. Dokažte, že tato veličina má Poissonovo rozdělení s parametrem  = 1 + 2 .

2.3. Nechat  je počet zákazníků v prodejnách a má Poissonovo rozdělení s parametrem  . Nechte každého klienta s pravděpodobností p provede nákup v tomto obchodě. Je nutné prokázat, že počet zákazníků, kteří v tomto obchodě nakoupili, má Poissonovo rozdělení s parametrem p.

2.4. Zákazníci přicházejí do restaurace podle Poissonova proudu s průměrnou frekvencí 20 zákazníků za hodinu. Restaurace se otevírá v 11:00.

a) pravděpodobnost, že v 11:12 bude v restauraci 20 zákazníků, vzhledem k tomu, že v 11:07 bylo v restauraci 18 zákazníků;

b) pravděpodobnost, že nový návštěvník dorazí do restaurace mezi 11.28 a 11.30, je-li známo, že předchozí návštěvník dorazil do restaurace v 11.25.

2.5. Produkty jsou odebírány ze skladu s kapacitou 80 položek na skladě v souladu s Poissonovým tokem rychlostí 5 položek za den.

a) pravděpodobnost, že během prvních dvou dnů bude ze skladu odebráno 10 jednotek produktů;

b) pravděpodobnost, že do konce čtvrtého dne nezůstane na skladě jediná jednotka produktu.

§

3. Proces smrti a rozmnožování

Postavme proces smrti a rozmnožování X(t) „konstruktivně“.

Uvažujme dvě sekvence a. První je zodpovědný za vstup klientů do systému (reprodukce) a druhý je za obsluhu klientů (smrt):

Kromě toho nechť jsou uvedeny dvě nezávislé sekvence
nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením s parametrem =1.

Proces X(t) je konstruován následovně. Nechat
, kde
. Pak na intervalu
proces X(t) si zachová svou hodnotu , kde
,

.

V tuto chvíli t 1 procesní hodnota X(t) se buď zvýší nebo sníží o jeden podle toho, který z těchto dvou momentů
přichází před:

Tím jsme dali smysl procesu X t) v bodě t 1 rovný ; pak vývoj procesu X(t) na intervalu
, kde
a
, dodržuje stejný zákon: X(t) se na tomto intervalu momentálně nemění t 2

zvýšen o jeden if
a v opačném případě se sníží o jednu.

Li
, pak hodnotu procesu X(t) se v náhodném okamžiku zvýší o jednu
.

Proces postavený tímto způsobem
, se nazývá časově jednotný proces smrti a reprodukce; jeho distribuce jsou zcela určeny sadou parametrů a počáteční distribucí X(0):

Je vhodné použít následující diagram reprezentovat vývoj procesu X(t):

Šipky nahoře odpovídají dynamice reprodukčního procesu: od i stavu, proces jde do ( i+1)-tý stav s intenzitou ; šipky níže odpovídají dynamice procesu smrti: s intenzitou proces od i stát jde do ( i-1)-tý stát.

Sada funkcí

popisuje distribuci procesu X(t); níže uvádíme soustavu rovnic, které tyto funkce splňují.

Všimněte si, že ne každá sada parametrů
reaguje na "nedegenerovaný" proces X(t); faktem je, že pokud čísla rostou velmi rychle
, pak proces X(t) v poslední chvíli t může "vybuchnout", tzn. s kladnou pravděpodobností překročí jakoukoli úroveň a zvýší se na
. Takto například populace bakterií v příznivé prostředí. Podobně jsou uspořádány procesy popisující chemické reakce vedoucí k výbuchu.

Procesy X(t), pro které všechny
, patří mezi tzv čisté šlechtitelské procesy. Procesy, pro které
, volala procesy čisté smrti.

Následující lemma dává nezbytné a postačující podmínky pro parametry
, které zaručují konečnost procesu čisté reprodukce
s parametry.

Lemma. Nechte proces čisté reprodukce s parametry. Pak pro konečnost procesu je nutné a postačující, aby řada divergovala

Nechat X(t) proces smrti a rozmnožování se stejnými parametry proces , stejně jako parametry
. To je zřejmé

P( X(t)  )  P( X + (t)  ) .

Z lemmatu tedy získáme důsledek.

Následek. Je-li pro svévolný proces smrti reprodukce X(t) podmínkou
, pak pro jakékoli
veletrh P( X(t)  ) = 1, tj. proces je dokončen.

Důkaz lemmatu lze nalézt v .

Úkoly pro § 3

3.1. Zvažte proces smrti a rozmnožování, pro který

Je nutné nakreslit diagram odpovídající tomuto procesu.

3.2. Nechte zákazníky, kteří chtějí získat pomoc po telefonu, vytvořit nejjednodušší tok s parametrem. Ať každý rozhovor trvá - orientační čas. Nechat X(t) je počet klientů v systému v čase t. Nakreslete diagram odpovídající procesu X(t).

3.3. Nechte za podmínek problému 3.2

telefon má paměť pro jednoho klienta: pokud klient volá a telefon je obsazený, ale paměť telefonu je volná, pak stroj nabídne zavěšení a čekání na hovor. Když je telefon volný, zazvoní zvonek;

je zde automatická ústředna a dva telefony, každý telefon má svého operátora: pokud je v době volání klienta volný telefon, ústředna automaticky osloví klienta na tento telefon;

přepínač (viz bod 2)) má paměť pro jednoho klienta;

každý telefon (viz bod 2)) má paměť pro jednoho klienta.

Pro všechny výše uvedené případy nakreslete diagram odpovídající procesu X(t).

3.4. Určete, zda jsou konečné procesy čisté reprodukce s následujícími reprodukčními rychlostmi:

A)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

v)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Diferenciální rovnice odpovídající procesu smrti a rozmnožování

Pojďme to předstírat X(t) je proces smrti a rozmnožování s charakteristikami a. Nechť pro nějaká konečná čísla A a B existují nerovnosti  i  A + Bi, i= 0, 1, ...Tato podmínka zaručuje ukončení procesu X(t). V tomto případě se dohodneme, že horní šipka vlevo odpovídá každému stavu (i ke stavu 0), přičemž porodnost λ může být rovna nule (například λ –1 = = 0); z každého stavu je spodní šipka doleva a intenzita smrti μ může být také nula (například λ –1 = 0). Rozšíření definice diagramu tímto způsobem nemění podstatu věci, nicméně bude užitečné v dalším uvažování. Zvažte diagram odpovídající našemu procesu X(t):

Označte jako dříve tím

P k (t) = P(X(t) = k), k = 0,1,…,

pravděpodobnost, že v daném okamžiku t počet klientů X(t) se bude rovnat k.

Věta 1.CharakteristikaprocesX(t), definovaný výše, splňuje následující systém diferenciálních rovnic

kde k = 0,1,…, a počáteční podmínky

Není od věci vysvětlit, že první řádek (když k= 0) soustava rovnic (1) má tvar

Důkaz. Označit podle P k ( t +Δ) = P(X(t+ Δ) = k).

Použijme definici derivace funkce jedné proměnné:

.

Zvažte tyto události:

A 0 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces X(t) neudělal jediný skok);

A 1 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces X(t) udělal přesně jeden skok);

A 2 (t, Δ) = (na segmentu [ t, t+Δ] proces X(t) provedl dva nebo více skoků).

Pak je zřejmé, že

Označte dále podle

; přes
tři exponenciální náhodné proměnné s parametry
. Nechť jsou všechny tyto veličiny nezávislé. Pak true Pak je zřejmé, že stacionární (ustálený) režim. P k (t) = P(momentálně v systému t nachází se k klienti).

Najděte řešení soustavy diferenciálních rovnic a také stacionární pravděpodobnosti.

4.2. Pro procesy smrti a reprodukce z úlohy 3.3 vypište diferenciální rovnice týkající se pravděpodobností P k (t) = P(momentálně v systému t nachází se k klienti).

Najděte stacionární pravděpodobnosti.

Hlavním úkolem TSMO je stanovit vztah mezi povahou toku aplikací na vstupu do QS, výkonem jednoho kanálu, počtem kanálů a efektivitou služby.

Jako kritérium účinnosti lze použít různé funkce a veličiny:

• průměrné prostoje systému;
• průměrná doba čekání ve frontě;
• zákon rozdělení délky čekání na požadavek ve frontě;
• průměrné % zamítnutých žádostí; atd.

Volba kritéria závisí na typu systému. Například, pro systémy s poruchami hlavní charakteristikou je absolutní propustnost CMO; méně důležitými kritérii jsou počet obsazených kanálů, průměrná relativní doba nečinnosti jednoho kanálu a systém jako celek. Pro bezztrátové systémy(s neomezeným čekáním) nejdůležitější jsou průměrná doba nečinnosti ve frontě, průměrný počet požadavků ve frontě, průměrná doba setrvání požadavků v systému, faktor nečinnosti a faktor vytížení obslužného systému.

Moderní TSMO je soubor analytických metod pro studium uvedených typů QS. V následujícím textu budou představeny ze všech poměrně složitých a zajímavých metod řešení problémů s řazením do fronty metody popsané ve třídě Markovových procesů typu „smrt a reprodukce“. Je to dáno tím, že tyto metody se nejčastěji používají v praxi inženýrských výpočtů.

2. Matematické modely toků událostí.

2.1. Pravidelné a náhodné streamy.

Jednou z ústředních otázek organizace QS je objasnění zákonitostí, které řídí okamžiky, kdy do systému vstupují požadavky na služby. Zvažte nejpoužívanější matematické modely vstupní proudy.

Definice: Tok požadavků se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínky:

1. všechny aplikace toku jsou stejné, pokud jde o služby;

místo požadavků (událostí) toku, které svou povahou mohou být různé, pouze v době jejich příjezdu.

Definice: Stream se nazývá pravidelný, pokud události ve streamu následují jedna po druhé v přesně stanovených časových intervalech.

Funkce f (x) hustoty rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny T - časový interval mezi událostmi má tvar:

Kde - delta funkce, M t - matematické očekávání a M t \u003d T, rozptyl Dm = 0 a intenzitu výskytu dějů v toku \u003d 1 / M t \u003d 1 / T.

Definice: Tok se nazývá náhodný pokud se jeho události vyskytují v náhodných časech.

Náhodný tok lze popsat jako náhodný vektor, který, jak je známo, může být jednoznačně definován distribučním zákonem dvěma způsoby:

Kde, zi- hodnoty Ti(i=1,n),V tomto případě lze okamžiky výskytu událostí vypočítat následovně

t 1 \u003d t 0 +z1

t 2 \u003d t 1 +z2

………,

kde, t 0 - okamžik začátku toku.

2.2. Nejjednodušší Poissonův tok.

K řešení velkého množství aplikovaných problémů stačí aplikovat matematické modely homogenních toků, které splňují požadavky stacionarity, bez následků a obyčejnosti.

Definice: Tok se považuje za stacionární, pokud pravděpodobnost výskytu nudálosti na časovém intervalu (t,t + T) závisí na jeho umístění na časové ose t.

Definice: Proud událostí se nazývá obyčejný, pokud je pravděpodobnost výskytu dvou nebo více událostí během elementárního časového intervalu D tje nekonečně malá hodnota ve srovnání s pravděpodobností výskytu jedné události v tomto intervalu, tzn. v n=2,3,…

Definice: Proud událostí se nazývá tok bez následků, pokud pro žádné nepřekrývající se časové intervaly počet událostí připadajících na jeden z nich nezávisí na počtu událostí připadajících na druhý.

Definice: Splňuje-li proudění požadavky stacionárnosti, všednosti a bez následků, nazývá se nejjednodušší Poissonův tok.

Je dokázáno, že pro nejjednodušší tok je číslo nudálosti spadající do libovolného intervalu zdistribuováno podle Poissonova zákona:

(1)

Pravděpodobnost, že se v časovém intervalu z neobjeví žádná událost, se rovná:

(2)

pak pravděpodobnost opačné události je:

kde podle definice P(T je funkce rozdělení pravděpodobnosti T.Odtud dostáváme, že náhodná veličina T je rozdělena podle exponenciálního zákona:

(3)

parametr se nazývá hustota toku. Navíc,

Poprvé se popis nejjednoduššího modelu proudění objevil v dílech vynikajících fyziků počátku století - A. Einsteina a Yu. Smolukhovského, věnujících se Brownovu pohybu.

2.3. Vlastnosti nejjednoduššího Poissonova proudění.

Existují dvě vlastnosti nejjednoduššího proudění, které lze využít při řešení praktických problémů.

2.3.1. Představujeme množství a= X. V souladu s vlastnostmi Poissonova rozdělení probývá to normální. Proto pro velké a, pro výpočet P(X(a) je menší nebo rovno n), kde X(a) je Poissonova náhodná proměnná s očekáváním a, můžete použít následující přibližnou rovnost:

2.3.2. Další vlastnost nejjednoduššího toku souvisí s následující větou:

Teorém: Při exponenciálním rozdělení časového intervalu mezi požadavky T, bez ohledu na to, jak dlouho to trvalo, má jeho zbývající část stejný distribuční zákon.

Důkaz: nechť je T rozděleno podle exponenciálního zákona: Předpokládejme, že interval a již nějakou dobu trvá a< T. Najděte podmíněný zákon rozdělení zbývající části intervalu T 1 = T-a

Fa(x)=P(T-a X)

Podle věty o násobení pravděpodobnosti:

P((T>a)(T-a z) P(T-a a)=P(T>a) Fa (z).

Odtud,

je ekvivalentní události a , pro které P(a ; na druhou stranu

P(T>a)=l-F(a), tedy

Fa (x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))

Proto s ohledem na (3):

Tato vlastnost má pouze jeden typ proudění - nejjednodušší Poisson.