Lassen a(x) und b(x) – b.m. Funktionen bei x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0 , …). Betrachten Sie die Grenze ihres Verhältnisses bei x® a.

1. Wenn = b und b- Endnummer b¹ 0, dann die Funktionen a(x), b(x) heißen infinitesimal eine Größenordnung bei x® a.

2. Wenn = 0, dann a(x) heißt infinitesimal Auftrag von oben , wie b(x) bei x® a. Offensichtlich ist in diesem Fall = ¥.

3. Wenn a(x) – b.m. höherer Ordnung als b(x) und = b¹ 0 ( b- Endnummer kÎ N ), dann a(x) heißt infinitesimal k-te Ordnung im Vergleich zu b(x) bei x® a.

4. Wenn nicht existiert (weder endlich noch unendlich), dann a(x), b(x) werden genannt unvergleichlich bm bei x® a.

5. Wenn = 1, dann a(x), b(x) werden genannt gleichwertig bm bei x® a, die wie folgt bezeichnet wird: a(x) ~ b(x) bei x® a.

Beispiel 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Es ist offensichtlich, dass bei x® 1 Funktionen a(x), b(x) sind b.m. Um sie zu vergleichen, finden wir die Grenze ihres Verhältnisses bei x® 1:

Fazit: a(x b(x) bei x® 1.

Es ist leicht zu überprüfen, dass = (stellen Sie sicher!), woraus folgt a(x) – b.m. 3. Ordnung der Kleinheit, im Vergleich zu b(x) bei x® 1.

Beispiel 2. Funktionen a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = Sünde x, a 4 (x) = tg x sind infinitesimal für x® 0. Vergleichen Sie sie:

0, , = 1, = ¥.

Daher schließen wir das a 2 (x) = x 2 - b.m. höherer Ordnung als a 1 (x) und a 3 (x) (bei x® 0), a 1 (x) und a 3 (x) – b.m. eine bestellung, a 3 (x) und a 4 (x) sind äquivalent b.m., d.h. Sünde x~tg x bei x® 0.

Satz 1. Lassen a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) bei x® a. Wenn existiert , dann existiert und , und = .

Nachweisen. = 1, = 1,

= = .

Dieser Satz macht es einfacher, die Grenzen zu finden.

Beispiel 3.

Finden .

Kraft der ersten bemerkenswerten Grenze von sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x bei x® 0, also

Satz 2. Unendlich kleine Funktionen a(x) und b(x) sind gleichwertig (z x® a) dann und nur dann, wenn a(x) – b(x) ist b.m. höherer Ordnung als a(x) und b(x) (bei x® a).

Nachweisen

Lassen a(x) ~ b(x) bei x® a. Dann = = 0, d.h. Unterschied a(x) – b(x a(x) bei bei x® a(ähnlich zu b(x)).

Lassen a(x) – b(x) – b.m. höherer Ordnung als a(x) und b(x), das zeigen wir a(x) ~ b(x) bei x® a:

= = + = 1,

Unendlich kleine Funktionen.

Wir setzen den Trainingszyklus "Grenzen für Dummies" fort, der mit Artikeln eröffnet wurde Grenzen. Lösungsbeispiele und Bemerkenswerte Grenzen. Wenn Sie die Seite zum ersten Mal besuchen, empfehle ich Ihnen, auch die Lektion zu lesen Lösungsmethoden einschränken was Ihr Schülerkarma stark verbessern wird. Im dritten Handbuch haben wir nachgedacht unendliche Funktionen, ihr Vergleich, und jetzt ist es Zeit, sich mit einer Lupe zu bewaffnen, damit Sie nach dem Land der Riesen in das Land der Liliputaner blicken. Die Neujahrsferien habe ich in der Kulturhauptstadt verbracht und bin sehr zurückgekehrt gute Laune, die Lektüre verspricht also besonders spannend zu werden.

Dieser Artikel wird im Detail diskutieren infinitesimale Funktionen, denen Sie eigentlich schon oft begegnet sind, und deren Vergleich. Viele Ereignisse sind eng mit unsichtbaren Ereignissen nahe Null verbunden. wunderbare Grenzen, wunderbare Äquivalenzen, und der praktische Teil der Lektion widmet sich hauptsächlich der Berechnung der Grenzen mit wunderbaren Äquivalenzen.

Unendlich kleine Funktionen. Vergleich von Infinitesimalen

Was soll ich sagen ... Wenn es eine Grenze gibt, dann wird die Funktion aufgerufen an einem Punkt unendlich klein.

Der wesentliche Punkt der Behauptung ist die Tatsache, dass Funktion kann infinitesimal sein nur an einem bestimmten Punkt .

Lassen Sie uns eine vertraute Linie ziehen:

Diese Funktion unendlich klein an einem einzigen Punkt:
Es sei darauf hingewiesen, dass an den Punkten "plus unendlich" und "minus unendlich" bereits dieselbe Funktion vorhanden sein wird unendlich groß: . Oder in einer kompakteren Schreibweise:

An allen anderen Punkten ist der Grenzwert der Funktion gleich einer endlichen Zahl ungleich Null.

Auf diese Weise, Es gibt keine solche Sache als "nur eine unendlich kleine Funktion" oder "nur eine unendlich große Funktion". Eine Funktion kann infinitesimal oder unendlich groß sein nur an einem bestimmten Punkt .

! Notiz : Der Kürze halber sage ich oft "Infinitesimalfunktion", was bedeutet, dass sie an der fraglichen Stelle unendlich klein ist.

Es kann mehrere oder sogar unendlich viele solcher Punkte geben. Lassen Sie uns eine Art furchtlose Parabel zeichnen:

Die dargestellte quadratische Funktion ist an zwei Stellen unendlich klein - bei "Eins" und bei "Zwei":

Wie im vorherigen Beispiel ist diese Funktion im Unendlichen unendlich groß:

Die Bedeutung von Doppelzeichen :

Die Notation bedeutet, dass at , und at .

Die Notation bedeutet, dass sowohl at , als auch at .
Das kommentierte Prinzip der "Entschlüsselung" von Doppelzeichen gilt nicht nur für Unendlichkeiten, sondern auch für beliebige Endpunkte, Funktionen und eine Reihe anderer mathematischer Objekte.

Und jetzt der Sinus. Dies ist ein Beispiel, bei dem die Funktion unendlich klein an unendlich vielen Punkten:

Tatsächlich "blitzt" die Sinuskurve die x-Achse durch jedes "pi":

Beachten Sie, dass die Funktion von oben/unten begrenzt ist und es keinen solchen Punkt gibt, an dem dies der Fall wäre unendlich groß, der Sinus kann seine Lippen nur im Unendlichen lecken.

Lassen Sie mich ein paar einfache Fragen beantworten:

Kann eine Funktion unendlich klein sein?

Na sicher. Solche Fälle eines Karrens und eines kleinen Karrens.
Elementares Beispiel: . Die geometrische Bedeutung dieser Grenze wird übrigens im Artikel illustriert Graphen und Eigenschaften von Funktionen.

Kann eine Funktion NICHT infinitesimal sein?
(an jedem Punkt Domänen)

Ja. Ein offensichtliches Beispiel ist eine quadratische Funktion, deren Graph (Parabel) die Achse nicht schneidet. Die umgekehrte Aussage trifft übrigens im Allgemeinen nicht zu – die Übertreibung aus der vorherigen Frage schneidet zwar nicht die x-Achse, aber unendlich klein bei unendlich.

Vergleich infinitesimaler Funktionen

Lassen Sie uns eine Folge aufbauen, die gegen Null tendiert, und mehrere Werte des Trinoms berechnen:

Es ist offensichtlich, dass bei einer Verringerung der x-Werte die Funktion schneller auf Null wegläuft als alle anderen (ihre Werte sind rot eingekreist). Sie sagen, dass eine Funktion als eine Funktion , und auch höhere Ordnung der Kleinheit, wie . Aber schnell laufen im Land der Liliputaner ist keine Tapferkeit, den „Ton gibt“ der langsamste Zwerg an, der, wie es sich für den Chef gehört, am langsamsten von allen auf Null geht. Es hängt von ihm ab wie schnell die Summe geht gegen Null:

Bildlich gesprochen „schluckt“ eine unendlich kleine Funktion alles andere, was besonders gut am Endergebnis der dritten Zeile zu sehen ist. Manchmal sagen sie das niedrigere Ordnung der Kleinheit, wie und ihre Summe.

In der betrachteten Grenze spielt das alles natürlich keine Rolle, weil das Ergebnis immer noch Null ist. Die „Schwergewichtszwerge“ beginnen jedoch aus Prinzip zu spielen wichtige Rolle innerhalb von Bruchteilen. Beginnen wir mit Beispielen, die zwar selten sind, aber im wirklichen Leben zu finden sind. praktische Arbeit:

Beispiel 1

Grenze berechnen

Hier herrscht Unsicherheit, und Einführungsstunde um Funktionen Wir erinnern uns an das allgemeine Prinzip der Offenlegung dieser Unsicherheit: Sie müssen Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen und dann etwas reduzieren:

Im ersten Schritt entfernen wir die Klammern im Zähler und "x" im Nenner. Im zweiten Schritt reduzieren wir Zähler und Nenner um „x“ und eliminieren damit die Unsicherheit. Wir geben an, dass die verbleibenden „X“ gegen Null tendieren, und wir erhalten die Antwort.

Im Limit entpuppte sich der Bagel also als Zählerfunktion höhere Ordnung der Kleinheit als die Nennerfunktion. Oder kürzer: . Was bedeutet das? Der Zähler geht gegen Null Schneller als der Nenner, weshalb das Ergebnis Null ist.

Wie im Fall mit unendliche Funktionen, kann die Antwort im Voraus bekannt sein. Die Rezeption ist ähnlich, unterscheidet sich jedoch darin, dass Sie im Zähler und im Nenner alle Terme GEISTIG verwerfen müssen SENIOR Grad, da, wie oben erwähnt, langsame Zwerge von entscheidender Bedeutung sind:

Beispiel 2

Grenze berechnen

Null zu Null…. Lassen Sie uns die Antwort gleich herausfinden: GEISTLICH alles verwerfen ältere Terme (schnelle Zwerge) von Zähler und Nenner:

Der Lösungsalgorithmus ist genau derselbe wie im vorherigen Beispiel:

In diesem Beispiel Nenner von einer höheren Ordnung der Kleinheit als der Zähler. Wenn die x-Werte sinken, wird der langsamste Zwerg des Zählers (und des gesamten Limits) im Verhältnis zu seinem schnelleren Gegner zu einem echten Monster. Zum Beispiel wenn, dann - schon 40 mal mehr .... natürlich noch kein Monster mit dem gegebenen Wert von "x", aber so ein Thema ist schon ein dicker Bierbauch.

Und ein ganz einfaches Demo-Limit:

Beispiel 3

Grenze berechnen

Wir werden die Antwort herausfinden, indem wir GEISTIG alles verwerfen ältere Zähler- und Nennerglieder:

Wir entscheiden:

Das Ergebnis ist eine endliche Zahl. Der Besitzer des Zählers ist genau doppelt so dick wie der Boss des Nenners. Dies ist die Situation, in der Zähler und Nenner eine Größenordnung.

Tatsächlich ist der Vergleich von infinitesimalen Funktionen schon lange in früheren Lektionen aufgetaucht:
(Beispiel Nummer 4 Lektion Grenzen. Lösungsbeispiele);
(Beispiel Nr. 17 Lektion Lösungsmethoden einschränken) usw.

Ich erinnere Sie gleichzeitig daran, dass „x“ nicht nur gegen Null, sondern auch gegen eine beliebige Zahl sowie gegen unendlich gehen kann.

Was ist bei allen betrachteten Beispielen grundsätzlich wichtig?

Erstens, die Grenze muss an einem bestimmten Punkt überhaupt existieren. Beispielsweise gibt es keine Begrenzung. Wenn , dann ist die Zählerfunktion nicht am Punkt "plus unendlich" definiert (unter der Wurzel erhalten wir unendlich groß eine negative Zahl). Ähnlich, so scheint es, prätentiöse Beispiele findet man in der Praxis: So unerwartet auch hier ein Vergleich von infinitesimalen Funktionen und der Unsicherheit „Null zu Null“. In der Tat, wenn , dann . …Lösung? Wir beseitigen die vierstöckige Fraktion, holen die Unsicherheit heraus und öffnen sie mit der Standardmethode.

Vielleicht werden Anfänger zum Ausloten der Grenzen von der Frage gedrillt: „Wie so? Es gibt eine Unsicherheit von 0:0, aber Sie können nicht durch Null teilen! Ganz richtig, das kannst du nicht. Betrachten wir dieselbe Grenze. Die Funktion ist am Punkt "Null" nicht definiert. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht erforderlich. wichtig damit die Funktion IN ANY existiert unendlich nahe bei null Punkt (oder genauer gesagt, an jedem unendlich kleine Nachbarschaft Null).

DAS WICHTIGSTE MERKMAL DES LIMIT ALS KONZEPT

ist das "x" unendlich nah nähert sich einem bestimmten Punkt, aber er ist „nicht verpflichtet, dorthin zu gehen“! Das heißt, für die Existenz einer Funktionsgrenze an einem Punkt spielt keine Rolle ob die Funktion selbst dort definiert ist oder nicht. Mehr dazu kannst du im Artikel lesen. Cauchy-Grenzen, aber jetzt zurück zum Thema der heutigen Lektion:

Zweitens, Die Zähler- und Nennerfunktionen müssen an einem bestimmten Punkt infinitesimal sein. Also das Limit ist zum Beispiel von einem ganz anderen Team, hier geht die Zählerfunktion nicht gegen Null: .

Wir systematisieren die Informationen zum Vergleich von infinitesimalen Funktionen:

Lassen - infinitesimale Funktionen an einem Punkt(dh bei ) und es gibt eine Grenze ihrer Verhältnisse . Dann:

1) Wenn , dann die Funktion höhere Ordnung der Kleinheit, wie .
Das einfachste Beispiel: , das heißt, eine kubische Funktion mit einer höheren Kleinheitsordnung als eine quadratische.

2) Wenn , dann die Funktion höhere Ordnung der Kleinheit, wie .
Das einfachste Beispiel: , das heißt, eine quadratische Funktion mit einer höheren Kleinheitsordnung als eine lineare.

3) Wenn , wobei eine Konstante ungleich Null ist, dann haben die Funktionen gleiche Größenordnung.
Einfachstes Beispiel: , das heißt, der Zwerg läuft streng genommen zweimal langsamer auf Null als , und der "Abstand" zwischen ihnen bleibt konstant.

Der interessanteste Fall ist wann . Solche Funktionen werden aufgerufen unendlich klein gleichwertig Funktionen.

Bevor wir ein elementares Beispiel geben, lassen Sie uns über den Begriff selbst sprechen. Gleichwertigkeit. Dieses Wort wurde bereits im Unterricht verwendet. Lösungsmethoden einschränken, in anderen Artikeln und werden sich mehr als einmal treffen. Was ist Äquivalenz? Es gibt eine mathematische Definition von Äquivalenz, logisch, physikalisch usw., aber versuchen wir, die Essenz selbst zu verstehen.

Äquivalenz ist in gewisser Hinsicht Äquivalenz (oder Äquivalenz).. Es ist an der Zeit, Ihre Muskeln zu dehnen und eine Pause von der höheren Mathematik einzulegen. Draußen ist jetzt ein guter Januarfrost, daher ist es sehr wichtig, sich gut aufzuwärmen. Gehen Sie bitte in den Flur und öffnen Sie den Schrank mit Kleidung. Stellen Sie sich vor, dort hängen zwei identische Schaffellmäntel, die sich nur in der Farbe unterscheiden. Einer ist orange, der andere lila. In Bezug auf ihre wärmenden Eigenschaften sind diese Schaffellmäntel gleichwertig. Sowohl im ersten als auch im zweiten Lammfellmantel werden Sie gleich warm sein, das heißt, die Wahl ist gleichbedeutend damit, was Sie orange, was lila tragen - ohne zu gewinnen: "Eins zu Eins ist gleich Eins." Aber aus Sicht der Sicherheit auf der Straße sind Schaffellmäntel nicht mehr gleichwertig - die orange Farbe ist für Fahrzeugführer besser sichtbar, ... und die Patrouille wird nicht aufhören, weil mit dem Besitzer solcher Kleidung alles klar ist . Insofern können wir davon ausgehen, dass Schaffellmäntel von „einer Größenordnung kleiner“, relativ gesehen „oranger Schaffellmantel“ doppelt so „sicherer“ sind als „lila Schaffellmäntel“ („was schlimmer ist, aber auch im Dunkeln auffällt “). Und wenn Sie in einer Jacke und Socken in die Kälte gehen, dann ist der Unterschied schon kolossal, so dass eine Jacke und ein Schaffellmantel „von einer anderen Größenordnung von Kleinheit“ sind.

… zashib, du musst einen Link zu dieser Lektion auf Wikipedia posten =) =) =)

Das offensichtliche Beispiel unendlich kleiner äquivalenter Funktionen ist Ihnen bekannt – das sind die Funktionen erste bemerkenswerte Grenze .

Lassen Sie uns eine geometrische Interpretation der ersten bemerkenswerten Grenze geben. Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Nun, die starke Männerfreundschaft der Graphen ist sogar mit bloßem Auge sichtbar. ABER ihre eigene Mutter wird sie nicht unterscheiden. Wenn also , dann sind die Funktionen infinitesimal und äquivalent. Was ist, wenn der Unterschied vernachlässigbar ist? Dann kann in der Grenze der Sinus oben sein ersetzen"x": , oder "x" unter dem Sinus: . Tatsächlich stellte sich heraus, dass es ein geometrischer Beweis für die erste bemerkenswerte Grenze war =)

Ähnlich kann man es übrigens veranschaulichen jede wunderbare Grenze, was gleich eins ist.

! Aufmerksamkeit! Objektäquivalenz impliziert nicht gleiche Objekte! Orange und lila Schaffellmäntel sind gleichbedeutend mit warm, aber sie sind unterschiedliche Schaffellmäntel. Die Funktionen sind praktisch nicht unterscheidbar nahe Null, aber es sind zwei verschiedene Funktionen.

Bezeichnung: Äquivalenz wird durch eine Tilde angezeigt.
Zum Beispiel: - "der Sinus von x ist äquivalent zu x", wenn .

Eine sehr wichtige Schlussfolgerung folgt aus dem oben Gesagten: Wenn zwei infinitesimale Funktionen äquivalent sind, kann die eine durch die andere ersetzt werden. Diese Technik ist in der Praxis weit verbreitet, und jetzt werden wir sehen, wie:

Bemerkenswerte Äquivalenzen innerhalb

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie bemerkenswerte Äquivalenztabelle. Der Student lebt nicht als einzelnes Polynom, daher wird das Feld der weiteren Tätigkeit sehr breit sein. Zunächst fassen wir unter Verwendung der Theorie der infinitesimalen Äquivalenzfunktionen die Beispiele des ersten Teils der Lektion zusammen Bemerkenswerte Grenzen. Lösungsbeispiele, bei dem folgende Grenzwerte gefunden wurden:

1) Lösen wir das Limit. Ersetzen wir die Infinitesimalfunktion des Zählers durch die äquivalente Infinitesimalfunktion:

Warum ist diese Substitution möglich? Weil unendlich nahe bei null der Graph der Funktion stimmt fast mit dem Graphen der Funktion überein.

In diesem Beispiel haben wir die Tabellenäquivalenz verwendet, wobei . Es ist praktisch, dass nicht nur „x“, sondern auch eine komplexe Funktion als „Alpha“-Parameter fungieren kann, die gegen Null tendiert.

2) Lassen Sie uns die Grenze finden. Im Nenner verwenden wir dieselbe Äquivalenz, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie, dass der Sinus ursprünglich unter dem Quadrat war, also muss er im ersten Schritt auch komplett unter dem Quadrat platziert werden.

Vergessen Sie die Theorie nicht: In den ersten beiden Beispielen werden endliche Zahlen erhalten, was bedeutet, dass Zähler und Nenner von gleicher Kleinheit.

3) Finden Sie die Grenze. Lassen Sie uns die infinitesimale Funktion des Zählers durch die äquivalente Funktion ersetzen , wo :

Hier Zähler von einer höheren Ordnung der Kleinheit als der Nenner. Lilliput (und sein äquivalenter Zwerg) erreicht Null schneller als .

4) Finden Sie die Grenze. Ersetzen wir die unendlich kleine Funktion des Zählers durch eine äquivalente Funktion, wobei gilt:

Und hier im Gegenteil der Nenner höhere Ordnung der Kleinheit als der Zähler, läuft der Zwerg schneller auf Null als der Zwerg (und sein äquivalenter Zwerg).

Sollten wunderbare Äquivalenzen in der Praxis verwendet werden? Es sollte, aber nicht immer. Daher ist es nicht wünschenswert, die Lösung von nicht sehr komplexen Grenzen (wie den gerade betrachteten) durch bemerkenswerte Äquivalenzen zu lösen. Man kann Hackerarbeit vorwerfen und gezwungen sein, sie mit trigonometrischen Formeln und der ersten wunderbaren Grenze auf eine Standardmethode zu lösen. Mit Hilfe des jeweiligen Tools ist es jedoch sehr vorteilhaft, die Lösung zu überprüfen oder sogar gleich die richtige Antwort herauszufinden. Charakteristisches Beispiel Nr. 14 der Lektion Lösungsmethoden einschränken:

Auf einer Reinschrift empfiehlt es sich, eine größere Gesamtlösung mit Variablenwechsel zu erstellen. Aber die fertige Antwort liegt an der Oberfläche – wir verwenden gedanklich die Äquivalenz: .

Noch einmal geometrische bedeutung: Warum darf im Zähler die Funktion durch die Funktion ersetzt werden? Unendlich nahe bei Null ihre Graphen können nur unter einem starken Mikroskop unterschieden werden.

Neben der Überprüfung der Lösung werden in zwei weiteren Fällen wunderbare Äquivalenzen verwendet:

– wenn das Beispiel ziemlich kompliziert oder auf die übliche Weise sogar unentscheidbar ist;
– wenn bemerkenswerte Äquivalenzen bedingt angewendet werden müssen.

Betrachten wir sinnvollere Aufgaben:

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Null-zu-Null-Unsicherheit ist an der Tagesordnung und die Situation ist grenzwertig: Eine Entscheidung kann auf herkömmliche Weise getroffen werden, aber es wird viele Transformationen geben. Aus meiner Sicht ist es durchaus angebracht, hier die wunderbaren Äquivalenzen zu verwenden:

Lassen Sie uns infinitesimale Funktionen durch äquivalente Funktionen ersetzen. Bei :

Das ist alles!

Einzige technische Nuance: Anfangs wurde der Tangens quadriert, also muss nach der Ersetzung auch das Argument quadriert werden.

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Diese Grenze kann durch trigonometrische Formeln und gelöst werden wunderbare Grenzen, aber die Lösung wird wieder nicht sehr angenehm sein. Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung, seien Sie besonders vorsichtig bei der Umrechnung des Zählers. Wenn es Verwechslungen mit Potenzen gibt, stellen Sie es als Produkt dar:

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Aber das ist schon ein schwieriger Fall, wenn es sehr schwierig ist, eine Lösung auf standardisierte Weise durchzuführen. Wir verwenden wunderbare Äquivalenzen:

Lassen Sie uns infinitesimale durch äquivalente ersetzen. Bei :

Man erhält Unendlich, was bedeutet, dass der Nenner kleiner ist als der Zähler.

Das Training verlief zügig ohne Oberbekleidung =)

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Denke darüber nach, wie man mit dem Logarithmus umgeht ;-)

Es ist nicht ungewöhnlich, bemerkenswerte Äquivalenzen in Kombination mit anderen Methoden zur Lösung von Grenzwerten zu sehen:

Beispiel 8

Finden Sie den Grenzwert einer Funktion, indem Sie äquivalente Infinitesimale und andere Transformationen verwenden

Beachten Sie, dass hier die bemerkenswerten bedingten Äquivalenzen angewendet werden müssen.

Wir entscheiden:

Im ersten Schritt verwenden wir bemerkenswerte Äquivalenzen. Bei :

Mit dem Sinus ist alles klar: . Was tun mit dem Logarithmus? Wir stellen den Logarithmus in der Form dar und wenden die Äquivalenz an. Wie Sie sehen können, in diesem Fall

Im zweiten Schritt wenden wir die in der Lektion besprochene Technik an

Was sind unendlich kleine funktionen

Eine Funktion kann jedoch nur an einer bestimmten Stelle unendlich klein sein. Wie in Abbildung 1 gezeigt, ist die Funktion nur am Punkt 0 infinitesimal.

Abbildung 1. Eine infinitesimale Funktion

Wenn die Quotientengrenze zweier Funktionen 1 ergibt, werden die Funktionen als äquivalent infinitesimal bezeichnet, wenn x sich a nähert.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definition

Sind die Funktionen f(x), g(x) für $x > a$ infinitesimal, dann gilt:

• Die Funktion f(x) heißt infinitesimal höhere Ordnung bzgl. g(x), wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Die Funktion f(x) heißt infinitesimal der Ordnung n bezüglich g(x), wenn sie von 0 verschieden und der Grenzwert endlich ist:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Beispiel 1

Die Funktion $y=x^3$ ist eine infinitesimal höhere Ordnung für x>0 im Vergleich zur Funktion y=5x, da die Grenze ihres Verhältnisses 0 ist, dies erklärt sich aus der Tatsache, dass die Funktion $y=x ^3$ neigt dazu, schneller auf Null zu gehen:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0). )x=0\]

Beispiel 2

Die Funktionen y=x2-4 und y=x2-5x+6 sind für x>2 infinitesimal von gleicher Ordnung, da die Grenze ihres Verhältnisses ungleich 0 ist:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ zu 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Eigenschaften äquivalenter Infinitesimalzahlen

1. Die Differenz zweier äquivalenter Infinitesimale ist in Bezug auf jedes von ihnen ein Infinitesimal höherer Ordnung.
2. Wenn wir infinitesimale höhere Ordnungen aus der Summe mehrerer infinitesimaler verschiedener Ordnungen herausnehmen, dann entspricht der verbleibende Teil, der als Hauptteil bezeichnet wird, der gesamten Summe.

Aus der ersten Eigenschaft folgt, dass äquivalente Infinitesimale mit einem beliebig kleinen relativen Fehler ungefähr gleich werden können. Daher wird das Zeichen ≈ verwendet, um sowohl die Äquivalenz von Infinitesimalen zu bezeichnen als auch die ungefähre Gleichheit ihrer ausreichend kleinen Werte zu schreiben.

Beim Auffinden von Grenzwerten ist es sehr oft notwendig, eine Änderung äquivalenter Funktionen für die Geschwindigkeit und Bequemlichkeit der Berechnungen zu verwenden. Die Tabelle der äquivalenten Infinitesimale ist unten dargestellt (Tabelle 1).

Die Äquivalenz der in der Tabelle angegebenen Infinitesimalzahlen kann anhand der Gleichheit bewiesen werden:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabelle 1

Beispiel 3

Beweisen wir die Äquivalenz von infinitesimalen ln(1+x) und x.

Nachweisen:

1. Finden Sie die Grenze des Mengenverhältnisses
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Dazu nutzen wir die Eigenschaft des Logarithmus:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Da Sie wissen, dass die logarithmische Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, können Sie das Vorzeichen des Grenzwerts und der logarithmischen Funktion vertauschen:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ Rechts)\]
4. Da x ein infinitesimaler Wert ist, geht die Grenze gegen 0. Also:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ rechts)=\ln e=1\]

(angewandt die zweite bemerkenswerte Grenze)

Prüfung

Disziplin: Höhere Mathematik

Thema: Grenzen. Vergleich von Infinitesimalen

1. Begrenzung der Zahlenfolge

2. Funktionsbegrenzung

3. Zweite bemerkenswerte Grenze

4. Vergleich infinitesimaler Größen

Literatur

1. Begrenzung der Zahlenfolge

Die Lösung vieler mathematischer und angewandter Probleme führt zu einer bestimmten Zahlenfolge. Lassen Sie uns einige ihrer Eigenschaften herausfinden.

Definition 1.1. Wenn jede natürliche Zahl

Nach einem Gesetz wird eine reelle Zahl in Übereinstimmung gebracht, dann wird die Zahlenmenge als Zahlenfolge bezeichnet.

Anhand von Definition 1 ist klar, dass eine Zahlenfolge immer unendlich viele Elemente enthält. Die Untersuchung verschiedener Zahlenfolgen zeigt, dass sich deren Mitglieder mit zunehmender Zahl unterschiedlich verhalten. Sie können unbegrenzt zunehmen oder abnehmen, sie können sich ständig einer bestimmten Zahl nähern oder überhaupt keine Regelmäßigkeit aufweisen.

Definition 1.2. Nummer

heißt Grenzwert einer Zahlenfolge, wenn es zu einer beliebigen Zahl eine solche Zahl einer Zahlenfolge gibt, die davon abhängt, dass die Bedingung für alle Zahlen der Zahlenfolge erfüllt ist.

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent. Schreiben Sie in diesem Fall

.

Um die Frage der Konvergenz einer Zahlenfolge zu klären, ist es offensichtlich notwendig, ein Kriterium zu haben, das nur auf den Eigenschaften ihrer Elemente basiert.

Satz 1.1.(Satz von Cauchy über die Konvergenz einer Zahlenfolge). Damit eine Zahlenfolge konvergiert, ist es notwendig und ausreichend, dass für jede Zahl

gäbe es eine solche Zahlenfolge je nachdem, dass für zwei beliebige Zahlen der Zahlenfolge und die die Bedingung und erfüllen, die Ungleichung wahr wäre.

Nachweisen. Brauchen. Es ist gegeben, dass die Zahlenfolge

konvergiert, was bedeutet, dass sie nach Definition 2 einen Grenzwert hat. Lassen Sie uns eine Zahl auswählen. Dann gibt es nach der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge eine solche Folgezahl , dass für alle Zahlen die Ungleichung erfüllt ist. Aber da es willkürlich ist, wird es erfüllt und . Nehmen wir zwei Sequenznummern und dann .

Daraus folgt das

, das heißt, die Notwendigkeit ist bewiesen.

Angemessenheit. Angesichts dessen

. Daher gibt es eine solche Zahl, dass für die gegebene Bedingung und . Insbesondere wenn , und , dann oder sofern . Das bedeutet, dass die Ziffernfolge für begrenzt ist. Daher muss mindestens eine seiner Teilfolgen konvergieren. Lassen . Beweisen wir, dass auch gegen konvergiert.

Nehmen wir eine beliebige

. Dann gibt es nach Definition des Grenzwertes eine Zahl, so dass die Ungleichung für alle gilt. Andererseits ist durch Bedingung gegeben, dass die Folge eine solche Zahl hat, dass für alle und die Bedingung erfüllt wird. und etwas reparieren. Dann erhalten wir für alles: .

Daraus folgt das