होने देना ए(एक्स) और बी(एक्स) – बी.एम. पर कार्य करता है एक्स® ए (एक्स® + ¥, एक्स® –¥, एक्स® एक्स 0 ,…). आइए हम उनके अनुपात की सीमा पर विचार करें एक्स® ए.

1. यदि = बीऔर बी-अंतिम संख्या, बी¹ 0, फिर फ़ंक्शन ए(एक्स), बी(एक्स) को अनन्तसूक्ष्म कहा जाता है छोटेपन का एक क्रम पर एक्स® ए.

2. यदि = 0, तो ए(एक्स) को अनन्तसूक्ष्म कहा जाता है उच्च क्रम , कैसे बी(एक्स) पर एक्स® ए. जाहिर है, इस मामले में = ¥.

3. यदि ए(एक्स) – बी.एम. की तुलना में उच्च आदेश बी(एक्स), और = बी¹ 0 ( बी-अंतिम संख्या, कÎ एन ), वह ए(एक्स) को अनन्तसूक्ष्म कहा जाता है क-वें क्रम की तुलना में बी(एक्स) पर एक्स® ए.

4. यदि अस्तित्व नहीं है (न तो सीमित और न ही अनंत), तो ए(एक्स), बी(एक्स) कहा जाता है बेमिसाल बी.एम. पर एक्स® ए.

5. यदि = 1, तो ए(एक्स), बी(एक्स) कहा जाता है समकक्ष बी.एम. पर एक्स® ए, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है: ए(एक्स) ~ बी(एक्स) पर एक्स® ए.

उदाहरण 1. ए(एक्स) = (1 – एक्स) 3 , बी (एक्स) = 1 – एक्स 3 .

जाहिर सी बात है कि जब एक्स® 1 कार्य ए(एक्स), बी(एक्स) बी.एम. हैं उनकी तुलना करने के लिए, आइए उनके अनुपात की सीमा ज्ञात करें एक्स® 1:

निष्कर्ष: ए(एक्स बी(एक्स) पर एक्स® 1.

यह सत्यापित करना आसान है कि = (सुनिश्चित करें!), जहां से यह उसका अनुसरण करता है ए(एक्स) – बी.एम. तुलना में छोटेपन का तीसरा क्रम बी(एक्स) पर एक्स® 1.

उदाहरण 2. कार्य ए 1 (एक्स) = 4एक्स, ए 2 (एक्स) = एक्स 2 , ए 3 (एक्स) = पाप एक्स, ए 4 (एक्स) = टीजी एक्सपर अतिसूक्ष्म हैं एक्स® 0. आइए उनकी तुलना करें:

0, , = 1, = ¥.

यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं ए 2 (एक्स) = एक्स 2 - बी.एम. की तुलना में उच्चतर क्रम ए 1 (एक्स) और ए 3 (एक्स) (पर एक्स® 0), ए 1 (एक्स) और ए 3 (एक्स) – बी.एम. एक ही क्रम ए 3 (एक्स) और ए 4 (एक्स) - समतुल्य बी.एम., अर्थात्। पाप एक्स~टीजी एक्सपर एक्स® 0.

प्रमेय 1. होने देना ए(एक्स) ~ ए 1 (एक्स), बी(एक्स) ~ बी 1 (एक्स) पर एक्स® ए. यदि मौजूद है, तो दोनों और = मौजूद हैं।

सबूत। = 1, = 1,

= = .

यह प्रमेय सीमाएँ खोजना आसान बनाता है।

उदाहरण 3.

खोजो ।

प्रथम उल्लेखनीय सीमा पाप4 के कारण एक्स~ 4एक्स, टीजी3 एक्स~ 3एक्सपर एक्स® 0, इसलिए

प्रमेय 2. अनन्तिमल कार्य ए(एक्स) और बी(एक्स) समतुल्य हैं (साथ)। एक्स® ए) अगर और केवल अगर ए(एक्स) – बी(एक्स) बी.एम. है की तुलना में उच्चतर क्रम ए(एक्स) और बी(एक्स) (पर एक्स® ए).

सबूत

होने देना ए(एक्स) ~ बी(एक्स) पर एक्स® ए. तब = = 0, यानी अंतर ए(एक्स) – बी(एक्स ए(एक्स) पर एक्स® ए(के समान बी(एक्स)).

होने देना ए(एक्स) – बी(एक्स) – बी.एम. की तुलना में उच्चतर क्रम ए(एक्स) और बी(एक्स), हम वो दिखाएंगे ए(एक्स) ~ बी(एक्स) पर एक्स® ए:

= = + = 1,

अनन्तिमल कार्य.

हम शैक्षणिक शृंखला "लिमिट्स फॉर डमीज़" जारी रखते हैं, जो लेखों के साथ शुरू हुई सीमाएँ. समाधान के उदाहरणऔर अद्भुत सीमाएँ. यदि आप साइट पर पहली बार आए हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप भी पाठ पढ़ें सीमाएँ हल करने की विधियाँ, जो आपके छात्र कर्म में उल्लेखनीय सुधार करेगा। तीसरे मैनुअल में हमने देखा असीम रूप से बड़े कार्य, उनकी तुलना, और अब अपने आप को एक आवर्धक कांच से लैस करने का समय आ गया है ताकि दिग्गजों की भूमि के बाद आप लिलिपुटियन की भूमि को देख सकें। मैंने नए साल की छुट्टियाँ सांस्कृतिक राजधानी में बिताईं और वापस लौट आया अच्छा मूड, इसलिए पढ़ना विशेष रूप से दिलचस्प होने का वादा करता है।

इस लेख में विस्तार से चर्चा की जाएगी अतिसूक्ष्म कार्य, जिसका आप वास्तव में पहले ही कई बार सामना कर चुके हैं, और उनकी तुलना। कई घटनाओं का शून्य के निकट अदृश्य घटनाओं से गहरा संबंध है। अद्भुत सीमाएँ, अद्भुत समानताएँ, और पाठ का व्यावहारिक भाग मुख्य रूप से उल्लेखनीय तुल्यताओं का उपयोग करके सीमाओं की गणना करने के लिए समर्पित है।

अनन्तिमल कार्य. अति सूक्ष्म जीवों की तुलना

मैं क्या कह सकता हूं... यदि कोई सीमा है, तो फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एक बिंदु पर अतिसूक्ष्म.

कथन का मुख्य बिंदु यह तथ्य है कि फ़ंक्शन अत्यंत लघु हो सकता है केवल एक विशिष्ट बिंदु पर .

आइए एक परिचित रेखा खींचें:

यह फ़ंक्शन असीम रूप से छोटाएक ही बिंदु पर:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "प्लस इनफिनिटी" और "माइनस इनफिनिटी" बिंदुओं पर यही फ़ंक्शन संकीर्ण होगा असीम रूप से बड़ा: . या अधिक संक्षिप्त संकेतन में:

अन्य सभी बिंदुओं पर, फ़ंक्शन की सीमा शून्य से भिन्न एक परिमित संख्या के बराबर होगी।

इस प्रकार, ऐसी कोई चीज नहीं है"सिर्फ एक अतिसूक्ष्म फलन" या "सिर्फ एक अपरिमित रूप से बड़ा फलन" के रूप में। एक फलन अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ा हो सकता है केवल एक विशिष्ट बिंदु पर .

! टिप्पणी : संक्षिप्तता के लिए, मैं अक्सर "इनफिनिटेसिमल फ़ंक्शन" कहूंगा, जिसका अर्थ है कि प्रश्न के बिंदु पर यह इनफिनिटेसिमल फ़ंक्शन है।

ऐसे कई और यहां तक ​​कि अनंत रूप से कई बिंदु हो सकते हैं। आइए किसी प्रकार का गैर-भयानक परवलय बनाएं:

प्रस्तुत द्विघात फलन दो बिंदुओं पर अतिसूक्ष्म है - "एक" पर और "दो" पर:

पिछले उदाहरण की तरह, अनंत पर यह फ़ंक्शन अनंत रूप से बड़ा है:

दोहरे चिन्ह का अर्थ :

अंकन का अर्थ है कि कब , और कब ।

अंकन का अर्थ है कि at और at दोनों।
दोहरे संकेतों को "समझने" का टिप्पणी किया गया सिद्धांत न केवल अनंत के लिए मान्य है, बल्कि किसी भी अंतिम बिंदु, फ़ंक्शन और कई अन्य गणितीय वस्तुओं के लिए भी मान्य है।

और अब साइन. यह एक उदाहरण है जहां function असीम रूप से छोटाअनंत बिंदुओं पर:

दरअसल, साइनसॉइड प्रत्येक "पाई" के माध्यम से एक्स-अक्ष को "टांके" देता है:

ध्यान दें कि फ़ंक्शन ऊपर/नीचे घिरा हुआ है और ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिस पर यह होगा असीम रूप से बड़ा, साइन हमेशा के लिए केवल अपने होंठ चाट सकता है।

मैं कुछ और सरल प्रश्नों का उत्तर दूंगा:

क्या कोई फलन अनंत पर अतिसूक्ष्म हो सकता है?

निश्चित रूप से। ऐसे नमूनों से भरी एक गाड़ी और एक छोटी गाड़ी है।
एक प्रारंभिक उदाहरण: . वैसे, इस सीमा का ज्यामितीय अर्थ लेख में दर्शाया गया है कार्यों के रेखांकन और गुण.

क्या कोई फलन अतिसूक्ष्म नहीं हो सकता?
(किसी भी बिंदु पर परिभाषा का क्षेत्र)

हाँ। एक स्पष्ट उदाहरण एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ़ (परवलय) अक्ष को नहीं काटता है। वैसे, विपरीत कथन आम तौर पर गलत है - पिछले प्रश्न से हाइपरबोला, हालांकि यह एक्स-अक्ष को नहीं काटता है, लेकिन असीम रूप से छोटाअनंत पर.

अतिसूक्ष्म फलनों की तुलना

आइए एक अनुक्रम बनाएं जो शून्य की ओर जाता है और त्रिपद के कई मानों की गणना करता है:

जाहिर है, जैसे ही "x" मान घटता है, फ़ंक्शन अन्य सभी की तुलना में तेजी से शून्य पर चला जाता है (इसके मान लाल रंग में घेरे जाते हैं)। वे कहते हैं कार्य से अधिक कार्य , और छोटेपन का उच्च क्रम, कैसे । लेकिन लिलिपुटियंस की भूमि में तेजी से दौड़ना वीरता नहीं है; "टोन सेट" सबसे धीमे बौने द्वारा किया जाता है, जो एक बॉस के लिए सबसे धीमी गति से शून्य पर जाता है। यह उस पर निर्भर करता है कितना तेजराशि शून्य के करीब पहुंच जाएगी:

आलंकारिक रूप से बोलते हुए, इनफिनिटिमल फ़ंक्शन बाकी सब कुछ "अवशोषित" करता है, जो विशेष रूप से तीसरी पंक्ति के अंतिम परिणाम में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। कभी-कभी वे ऐसा कहते हैं छोटेपन का निचला क्रम, कैसे और उनकी राशि.

विचारित सीमा में, यह सब, निश्चित रूप से, ज्यादा मायने नहीं रखता, क्योंकि परिणाम अभी भी शून्य है। हालाँकि, "हैवीवेट बौने" सैद्धांतिक रूप से खेलना शुरू कर रहे हैं महत्वपूर्ण भूमिकाअंशों के भीतर. आइए ऐसे उदाहरणों से शुरू करें, जो वास्तविक जीवन में कम ही पाए जाते हैं। व्यावहारिक कार्य:

उदाहरण 1

सीमा की गणना करें

यहाँ अनिश्चितता है, और से परिचयात्मक पाठहे कार्यों की सीमा के भीतरआइए इस अनिश्चितता को प्रकट करने के सामान्य सिद्धांत को याद रखें: आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा, और फिर कुछ घटाना होगा:

पहले चरण में, हम अंश में , और हर में "x" निकालते हैं। दूसरे चरण में, हम अंश और हर को "X" से कम करते हैं, जिससे अनिश्चितता समाप्त हो जाती है। हम इंगित करते हैं कि शेष "X" शून्य हो जाता है, और हमें उत्तर मिल जाता है।

सीमा में, परिणाम एक स्टीयरिंग व्हील है, इसलिए, अंश फ़ंक्शन छोटेपन का उच्च क्रमहर फ़ंक्शन की तुलना में। या संक्षेप में: . इसका मतलब क्या है? अंश शून्य की ओर प्रवृत्त होता है और तेज, हर की तुलना में, यही कारण है कि यह शून्य हो गया।

जैसा कि मामले में है असीम रूप से बड़े कार्य, उत्तर पहले से ही पता लगाया जा सकता है। तकनीक समान है, लेकिन इसमें भिन्नता है कि अंश और हर में आपको सभी पदों को मानसिक रूप से त्यागने की आवश्यकता है ज्येष्ठडिग्री, चूँकि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, धीमे बौने निर्णायक महत्व के हैं:

उदाहरण 2

सीमा की गणना करें

शून्य से शून्य... आइए तुरंत उत्तर खोजें: मानसिक रूप से आइए सब कुछ त्याग दें ज्येष्ठअंश और हर के पद (तेज़ बौने):

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण जैसा ही है:

इस उदाहरण में अंश की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का हर. जैसे ही "x" मान घटता है, अंश का सबसे धीमा बौना (और पूरी सीमा का) अपने तेज प्रतिद्वंद्वी के संबंध में एक वास्तविक राक्षस बन जाता है। उदाहरण के लिए, यदि, तो - पहले से ही 40 गुना अधिक... बेशक, "एक्स" के अर्थ को देखते हुए, यह अभी तक एक राक्षस नहीं है, लेकिन पहले से ही एक बड़े बियर पेट वाला ऐसा विषय है।

और एक बहुत ही सरल प्रदर्शन सीमा:

उदाहरण 3

सीमा की गणना करें

आइए मानसिक रूप से सब कुछ फेंककर इसका उत्तर खोजें ज्येष्ठअंश और हर पद:

हमने निर्णय किया:

परिणाम एक सीमित संख्या है. अंश का बॉस हर के बॉस से ठीक दोगुना मोटा है। यह एक ऐसी स्थिति है जहां अंश और हर छोटेपन का एक क्रम.

वास्तव में, अतिसूक्ष्म कार्यों की तुलना पिछले पाठों में लंबे समय से दिखाई देती रही है:
(पाठ का उदाहरण संख्या 4 सीमाएँ. समाधान के उदाहरण);
(पाठ का उदाहरण क्रमांक 17 सीमाएँ हल करने की विधियाँ) वगैरह।

मैं आपको उसी समय याद दिलाता हूं कि "x" न केवल शून्य की ओर, बल्कि एक मनमानी संख्या के साथ-साथ अनंत की ओर भी प्रवृत्त हो सकता है।

विचार किए गए सभी उदाहरणों में मौलिक रूप से क्या महत्वपूर्ण है?

पहले तो, किसी दिए गए बिंदु पर सीमा बिल्कुल मौजूद होनी चाहिए. उदाहरण के लिए, कोई सीमा नहीं है. यदि , तो अंश फ़ंक्शन को "प्लस इनफिनिटी" बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है (रूट के तहत यह पता चला है) असीम रूप से बड़ाएक ऋणात्मक संख्या). इसी तरह के, प्रतीत होने वाले काल्पनिक उदाहरण व्यवहार में पाए जाते हैं: अप्रत्याशित रूप से, अतिसूक्ष्म कार्यों और "शून्य से शून्य" अनिश्चितता की तुलना भी होती है। वास्तव में, यदि, तो। …समाधान? हम चार मंजिला अंश से छुटकारा पाते हैं, अनिश्चितता प्राप्त करते हैं और मानक विधि का उपयोग करके इसे प्रकट करते हैं।

शायद जो लोग सीमाओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं वे इस प्रश्न से परेशान हो जाते हैं: “यह कैसे संभव है? 0:0 की अनिश्चितता है, लेकिन आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" बिल्कुल सही, यह असंभव है। आइए उसी सीमा पर विचार करें। फ़ंक्शन को बिंदु शून्य पर परिभाषित नहीं किया गया है। लेकिन आम तौर पर इसकी आवश्यकता नहीं है। महत्वपूर्णताकि फ़ंक्शन कहीं भी मौजूद हो शून्य के असीम करीबबिंदु (या अधिक सख्ती से - किसी पर अनन्तिम पड़ोस शून्य)।

एक अवधारणा के रूप में सीमा की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता

क्या वह "x" है असीम रूप से करीबएक निश्चित बिंदु के करीब पहुंच रहा है, लेकिन वह "वहां जाने" के लिए "बाध्य" नहीं है! अर्थात्, किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता, चाहे फ़ंक्शन स्वयं वहां परिभाषित हो या नहीं। आप इसके बारे में लेख में अधिक पढ़ सकते हैं कॉची सीमाएँ, लेकिन अभी के लिए आइए आज के पाठ के विषय पर वापस आते हैं:

दूसरे, किसी दिए गए बिंदु पर अंश और हर के कार्य अत्यंत छोटे होने चाहिए. इसलिए, उदाहरण के लिए, सीमा पूरी तरह से अलग कमांड से है, यहां अंश फ़ंक्शन शून्य की ओर नहीं जाता है:।

आइए अतिसूक्ष्म कार्यों की तुलना के बारे में जानकारी को व्यवस्थित करें:

होने देना - एक बिंदु पर अतिसूक्ष्म कार्य(यानी पर) और उनके रिश्ते की एक सीमा है। तब:

1) यदि , तो फ़ंक्शन छोटेपन का उच्च क्रम, कैसे ।
सबसे सरल उदाहरण: , अर्थात्, द्विघात की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का एक घन फलन।

2) यदि , तो फ़ंक्शन छोटेपन का उच्च क्रम, कैसे ।
सबसे सरल उदाहरण: , अर्थात्, रैखिक फलन की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का एक द्विघात फलन।

3) यदि , एक गैर-शून्य स्थिरांक है, तो फलन है छोटेपन का वही क्रम.
सबसे सरल उदाहरण:, दूसरे शब्दों में, बौना शून्य की ओर ठीक दोगुनी धीमी गति से चलता है, और उनके बीच की "दूरी" स्थिर रहती है।

सबसे दिलचस्प विशेष मामला है जब . ऐसे कार्यों को कहा जाता है बहुत छोता समकक्षकार्य.

बुनियादी उदाहरण देने से पहले, आइए शब्द के बारे में ही बात करें। समतुल्यता. यह शब्द कक्षा में पहले ही मिल चुका है। सीमाएँ हल करने की विधियाँ, अन्य लेखों में और एक से अधिक बार दिखाई देगा। समतुल्यता क्या है? समतुल्यता, तार्किक, भौतिक आदि की गणितीय परिभाषा है, लेकिन आइए सार को स्वयं समझने का प्रयास करें।

समतुल्यता कुछ मामलों में समतुल्यता (या तुल्यता) है।. यह अपनी मांसपेशियों को फैलाने और उच्च गणित से थोड़ा ब्रेक लेने का समय है। अभी बाहर जनवरी में अच्छी ठंड पड़ रही है, इसलिए अच्छी तरह से इंसुलेट करना बहुत महत्वपूर्ण है। कृपया दालान में जाएँ और कपड़ों वाली अलमारी खोलें। कल्पना कीजिए कि वहाँ दो समान चर्मपत्र कोट लटके हुए हैं, जो केवल रंग में भिन्न हैं। एक नारंगी है, दूसरा बैंगनी है। उनके गर्म करने के गुणों के दृष्टिकोण से, ये भेड़ की खाल के कोट समकक्ष हैं। पहले और दूसरे चर्मपत्र कोट दोनों में आप समान रूप से गर्म रहेंगे, अर्थात, विकल्प बराबर है, चाहे नारंगी पहनना हो या बैंगनी - बिना जीत के: "एक से एक के बराबर होता है।" लेकिन सड़क पर सुरक्षा के दृष्टिकोण से, चर्मपत्र कोट अब समकक्ष नहीं हैं - नारंगी रंग वाहन चालकों को अधिक दिखाई देता है, ... और गश्त नहीं रुकेगी, क्योंकि ऐसे कपड़ों के मालिक के साथ सब कुछ स्पष्ट है। इस संबंध में, हम मान सकते हैं कि चर्मपत्र कोट "परिमाण के समान क्रम के" हैं, अपेक्षाकृत रूप से कहें तो, एक "नारंगी चर्मपत्र कोट" "बैंगनी चर्मपत्र कोट" की तुलना में दोगुना "सुरक्षित" है ("जो बदतर है, लेकिन यह भी अंधेरे में ध्यान देने योग्य")। और यदि आप केवल जैकेट और मोज़े पहनकर ठंड में बाहर जाते हैं, तो अंतर बहुत बड़ा होगा, इसलिए जैकेट और चर्मपत्र कोट "परिमाण के विभिन्न क्रम के" हैं।

...आप मुसीबत में हैं, आपको इसे इस पाठ के लिंक के साथ विकिपीडिया पर पोस्ट करना होगा =) =) =)

अतिसूक्ष्म समतुल्य फलनों का स्पष्ट उदाहरण आप जानते हैं - ये फलन हैं पहली उल्लेखनीय सीमा .

आइए हम पहली उल्लेखनीय सीमा की ज्यामितीय व्याख्या दें। आइए चित्र बनाएं:

खैर, चार्ट की मजबूत पुरुष मित्रता नग्न आंखों से भी दिखाई देती है। ए यहाँ तक कि मेरी अपनी माँ भी उन्हें अलग नहीं बता सकती थी। इस प्रकार, यदि, तो फलन अतिसूक्ष्म और समतुल्य हैं। यदि अंतर नगण्य हो तो क्या होगा? फिर सीमा में साइन आपके ऊपर है प्रतिस्थापित करें"एक्स": , या साइन के साथ नीचे "x": . वास्तव में, यह पहली उल्लेखनीय सीमा का ज्यामितीय प्रमाण निकला =)

इसी तरह, वैसे, कोई भी उदाहरण दे सकता है कोई अद्भुत सीमा, जो एक के बराबर है।

! ध्यान! वस्तुओं की समतुल्यता का अर्थ वस्तुओं का संयोग नहीं है! नारंगी और बैंगनी चर्मपत्र कोट समान रूप से गर्म होते हैं, लेकिन वे अलग-अलग चर्मपत्र कोट होते हैं। फ़ंक्शन व्यावहारिक रूप से शून्य के निकट अप्रभेद्य हैं, लेकिन ये दो अलग-अलग फ़ंक्शन हैं।

पद का नाम: समतुल्यता एक टिल्ड द्वारा इंगित की जाती है।
उदाहरण के लिए: - "x की ज्या x के बराबर है" यदि।

उपरोक्त से एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है: यदि दो अतिसूक्ष्म फलन समतुल्य हैं, तो एक को दूसरे से प्रतिस्थापित किया जा सकता है. यह तकनीक व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है, और अभी हम देखेंगे कि कैसे:

भीतर उल्लेखनीय समानताएँ

हल करने के लिए आपको व्यावहारिक उदाहरणों की आवश्यकता होगी उल्लेखनीय तुल्यताओं की तालिका. एक विद्यार्थी एक बहुपद के आधार पर नहीं रह सकता, इसलिए आगे की गतिविधि का क्षेत्र बहुत व्यापक होगा। सबसे पहले, अतिसूक्ष्म समतुल्य फलनों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, आइए पाठ के पहले भाग के उदाहरणों पर क्लिक करें उल्लेखनीय सीमाएँ. समाधान के उदाहरण, जिसमें निम्नलिखित सीमाएँ पाई गईं:

1) आइए सीमा को हल करें। आइए हम इनफ़ाइन्टिसिमल अंश फ़ंक्शन को समतुल्य इनफ़ाइटसिमल फ़ंक्शन से बदलें:

ऐसा प्रतिस्थापन क्यों संभव है? क्योंकि शून्य के असीम करीबफ़ंक्शन का ग्राफ़ व्यावहारिक रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ़ से मेल खाता है।

इस उदाहरण में हमने तालिका तुल्यता का उपयोग किया है जहां। यह सुविधाजनक है कि "अल्फा" पैरामीटर न केवल "x" हो सकता है, बल्कि एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है, जो शून्य हो जाता है.

2) आइए सीमा ज्ञात करें। इस मामले में, हर में हम समान तुल्यता का उपयोग करते हैं:

कृपया ध्यान दें कि साइन प्रारंभ में वर्ग के नीचे स्थित थी, इसलिए पहले चरण में इसे पूरी तरह से वर्ग के नीचे रखना भी आवश्यक है।

आइए सिद्धांत के बारे में न भूलें: पहले दो उदाहरणों में, परिमित संख्याएँ प्राप्त की गईं, जिसका अर्थ है लघुता के समान क्रम के अंश और हर.

3) आइए सीमा ज्ञात करें। आइए हम इनफिनिटिमल अंश फ़ंक्शन को समतुल्य फ़ंक्शन से बदलें , कहाँ :

यहाँ हर की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का अंश. लिलिपुट (और समतुल्य लिलिपुटियन) की तुलना में तेजी से शून्य तक पहुंचता है।

4) आइए सीमा ज्ञात करें। आइए हम इनफिनिटिमल अंश फ़ंक्शन को समकक्ष फ़ंक्शन से प्रतिस्थापित करें, जहां:

और यहाँ, इसके विपरीत, हर छोटेपन का उच्च क्रम, अंश की तुलना में, बौना बौना (और उसके समकक्ष बौना) की तुलना में तेजी से शून्य तक भाग जाता है।

क्या उल्लेखनीय तुल्यताओं का प्रयोग व्यवहार में किया जाना चाहिए?ऐसा होना चाहिए, लेकिन हमेशा नहीं। इस प्रकार, उल्लेखनीय तुल्यताओं के माध्यम से बहुत जटिल सीमाओं (जैसे कि अभी जिन पर विचार किया गया है) को हल करना उचित नहीं है। आप पर हैकवर्क का आरोप लगाया जा सकता है और त्रिकोणमितीय सूत्रों और पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करके उन्हें मानक तरीके से हल करने के लिए मजबूर किया जा सकता है। हालाँकि, प्रश्न में टूल का उपयोग करके समाधान की जाँच करना या तुरंत सही उत्तर का पता लगाना बहुत फायदेमंद है। पाठ का उदाहरण क्रमांक 14 विशिष्ट है सीमाएँ हल करने की विधियाँ:

अंतिम संस्करण में, चर में परिवर्तन के साथ एक बड़ा संपूर्ण समाधान तैयार करने की सलाह दी जाती है। लेकिन तैयार उत्तर सतह पर है - हम मानसिक रूप से तुल्यता का उपयोग करते हैं: .

फिर एक बार ज्यामितीय अर्थ: अंश में फ़ंक्शन को फ़ंक्शन से बदलने की अनुमति क्यों है? शून्य के निकट अनंत रूप से बंदउनके ग्राफ़ को केवल एक शक्तिशाली माइक्रोस्कोप के तहत ही पहचाना जा सकता है।

समाधान की जाँच के अलावा, दो और मामलों में उल्लेखनीय तुल्यताएँ उपयोग की जाती हैं:

- जब उदाहरण काफी जटिल हो या आम तौर पर सामान्य तरीके से हल न किया जा सके;
- जब उल्लेखनीय समकक्षों को शर्त के अनुसार लागू करने की आवश्यकता होती है।

आइए अधिक सार्थक कार्यों पर विचार करें:

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

एजेंडा शून्य से शून्य अनिश्चितता है और स्थिति सीमा रेखा है: समाधान मानक तरीके से किया जा सकता है, लेकिन बहुत सारे परिवर्तन होंगे। मेरे दृष्टिकोण से, यहां अद्भुत तुल्यताओं का उपयोग करना काफी उपयुक्त है:

आइए हम अतिसूक्ष्म फलनों को समतुल्य फलनों से प्रतिस्थापित करें। पर :

बस इतना ही!

एकमात्र तकनीकी बारीकियों: प्रारंभ में स्पर्शरेखा का वर्ग किया गया था, इसलिए प्रतिस्थापन के बाद तर्क का भी वर्ग किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

यह सीमा त्रिकोणमितीय सूत्रों के माध्यम से हल करने योग्य है अद्भुत सीमाएँ, लेकिन समाधान फिर से बहुत सुखद नहीं होगा. यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, अंश को परिवर्तित करते समय विशेष रूप से सावधान रहें। यदि डिग्री के बारे में कोई भ्रम है, तो इसे एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करें:

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

लेकिन यह एक कठिन मामला है जब किसी समाधान को मानक तरीके से पूरा करना बहुत कठिन होता है। आइए कुछ अद्भुत तुल्यताओं का उपयोग करें:

आइए हम अनंतसूक्ष्मों को समकक्षों से प्रतिस्थापित करें। पर :

परिणाम अनंत है, जिसका अर्थ है कि हर अंश की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का है।

बाहरी वस्त्रों के बिना अभ्यास तेजी से चला =)

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इस बारे में सोचें कि लघुगणक से कैसे निपटें ;-)

सीमाओं को हल करने के लिए अन्य तरीकों के साथ संयोजन में उल्लेखनीय समकक्षों का उपयोग करना असामान्य नहीं है:

उदाहरण 8

समतुल्य इनफिनिटिमल्स और अन्य परिवर्तनों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें

ध्यान दें कि यहां कुछ उल्लेखनीय समकक्षताएं आवश्यक हैं।

हमने निर्णय किया:

पहले चरण में हम उल्लेखनीय तुल्यताओं का उपयोग करते हैं। पर :

साइन से सब कुछ स्पष्ट है: . लघुगणक के साथ क्या करें? आइए लघुगणक को प्रपत्र में निरूपित करें और समतुल्यता लागू करें। जैसा कि आप समझते हैं, इस मामले में और

दूसरे चरण में, हम पाठ में चर्चा की गई तकनीक को लागू करेंगे।

अनंत छोटे कार्य क्या हैं

हालाँकि, एक फ़ंक्शन केवल एक विशिष्ट बिंदु पर अतिसूक्ष्म हो सकता है। जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है, फ़ंक्शन केवल बिंदु 0 पर अतिसूक्ष्म है।

चित्र 1. अनंतिमल कार्य

यदि दो फलनों के भागफल की सीमा का परिणाम 1 आता है, तो फलनों को समतुल्य अपरिमेय कहा जाता है क्योंकि x की प्रवृत्ति a को इंगित करने की होती है।

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

परिभाषा

यदि फलन f(x), g(x) $x > a$ के लिए अतिसूक्ष्म हैं, तो:

• यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है तो एक फ़ंक्शन f(x) को g(x) के संबंध में उच्च क्रम का इनफिनिटिमल कहा जाता है:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• एक फलन f(x) को g(x) के संबंध में क्रम n का अपरिमेय कहा जाता है यदि यह 0 से भिन्न है और सीमा परिमित है:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

उदाहरण 1

फ़ंक्शन $y=x^3$, फ़ंक्शन y=5x की तुलना में x>0 के लिए उच्च क्रम का अत्यंत छोटा है, क्योंकि उनके अनुपात की सीमा 0 है, यह इस तथ्य से समझाया गया है कि फ़ंक्शन $y=x ^3$ तेजी से शून्य मूल्य की ओर जाता है:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

उदाहरण 2

फलन y=x2-4 और y=x2-5x+6 x>2 के लिए समान क्रम के अतिसूक्ष्म हैं, क्योंकि उनके अनुपात की सीमा 0 के बराबर नहीं है:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ से 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

समतुल्य अनन्तिमों के गुण

1. दो समतुल्य अतिसूक्ष्मों के बीच का अंतर उनमें से प्रत्येक के सापेक्ष उच्च क्रम का एक अतिसूक्ष्म है।
2. यदि विभिन्न कोटि के अनेक अतिसूक्ष्मों के योग में से हम उच्च कोटि के अतिसूक्ष्मों को हटा दें, तो शेष भाग, जिसे मुख्य भाग कहा जाता है, संपूर्ण योग के बराबर होता है।

पहली संपत्ति से यह पता चलता है कि समतुल्य अतिसूक्ष्म एक मनमाने ढंग से छोटी सापेक्ष त्रुटि के साथ लगभग बराबर हो सकते हैं। इसलिए, चिह्न ≈ का उपयोग अनंतिमों की समतुल्यता को दर्शाने और उनके पर्याप्त रूप से छोटे मानों की अनुमानित समानता लिखने के लिए किया जाता है।

सीमाएँ खोजते समय, गणना की गति और सुविधा के लिए समकक्ष कार्यों के प्रतिस्थापन का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है। समतुल्य अतिसूक्ष्मों की तालिका नीचे प्रस्तुत की गई है (तालिका 1)।

तालिका में दिए गए अतिसूक्ष्मों की तुल्यता समानता के आधार पर सिद्ध की जा सकती है:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

तालिका नंबर एक

उदाहरण 3

आइए हम अतिसूक्ष्म ln(1+x) और x की तुल्यता सिद्ध करें।

सबूत:

1. आइए मात्राओं के अनुपात की सीमा ज्ञात करें
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. ऐसा करने के लिए, हम लघुगणक की संपत्ति लागू करते हैं:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. यह जानते हुए कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर है, हम सीमा के चिह्न और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को स्वैप कर सकते हैं:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ सही)\]
4. चूँकि x एक अतिसूक्ष्म मात्रा है, इसलिए सीमा 0 हो जाती है। इसका मतलब है:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ दाएँ)=\ln e=1\]

(दूसरी अद्भुत सीमा लागू की)

परीक्षा

अनुशासन: उच्च गणित

विषय: सीमाएँ। अति सूक्ष्म जीवों की तुलना

1. संख्या क्रम की सीमा

2. कार्य सीमा

3. दूसरी अद्भुत सीमा

4. अतिसूक्ष्म मात्राओं की तुलना

साहित्य

1. संख्या क्रम की सीमा

कई गणितीय और व्यावहारिक समस्याओं का समाधान एक निश्चित तरीके से निर्दिष्ट संख्याओं के अनुक्रम की ओर ले जाता है। आइए जानें उनकी कुछ संपत्तियां।

परिभाषा 1.1.यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए

कुछ कानून के अनुसार, एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट की जाती है, तो संख्याओं के समूह को संख्या अनुक्रम कहा जाता है।

परिभाषा 1 के आधार पर, यह स्पष्ट है कि एक संख्या अनुक्रम में हमेशा अनंत संख्या में तत्व होते हैं। विभिन्न संख्या अनुक्रमों के अध्ययन से पता चलता है कि जैसे-जैसे संख्या बढ़ती है, उनके सदस्य अलग-अलग व्यवहार करते हैं। वे अनिश्चित काल तक बढ़ या घट सकते हैं, लगातार एक निश्चित संख्या तक पहुंच सकते हैं, या बिल्कुल भी कोई पैटर्न नहीं दिखा सकते हैं।

परिभाषा 1.2.संख्या

किसी संख्या अनुक्रम की सीमा कहलाती है यदि किसी संख्या के लिए संख्या अनुक्रम की एक संख्या होती है जो संख्या अनुक्रम की सभी संख्याओं के लिए संतुष्ट होने की स्थिति पर निर्भर करती है।

जिस अनुक्रम की एक सीमा होती है उसे अभिसारी कहते हैं। इस मामले में वे लिखते हैं

.

जाहिर है, किसी संख्यात्मक अनुक्रम के अभिसरण के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए एक मानदंड का होना आवश्यक है जो केवल उसके तत्वों के गुणों पर आधारित होगा।

प्रमेय 1.1.(संख्या अनुक्रम के अभिसरण पर कॉची का प्रमेय)। किसी संख्या अनुक्रम के अभिसारी होने के लिए, किसी भी संख्या के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है

के आधार पर संख्यात्मक अनुक्रम की एक संख्या मौजूद थी, जैसे कि संख्यात्मक अनुक्रम की किन्हीं दो संख्याओं के लिए और जो शर्त को पूरा करती हैं और, असमानता सत्य होगी।

सबूत। आवश्यकता. यह देखते हुए कि संख्या क्रम

अभिसरण, जिसका अर्थ है, परिभाषा 2 के अनुसार, इसकी एक सीमा है। आइए कुछ संख्या चुनें. फिर, संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की परिभाषा के अनुसार, एक संख्या ऐसी होती है जिसमें सभी संख्याओं के लिए असमानता होती है। लेकिन चूंकि यह मनमाना है, इसलिए इसे पूरा किया जाएगा। आइए दो अनुक्रम संख्याएँ लें और, फिर।

यह इस प्रकार है कि

अर्थात् आवश्यकता सिद्ध हो गयी है।

पर्याप्तता. यह दिया गया है

. इसका मतलब यह है कि एक संख्या ऐसी होती है जो किसी दी गई स्थिति के लिए होती है। विशेष रूप से, यदि , और , तब या प्रदान किया गया हो . इसका मतलब यह है कि संख्या क्रम सीमित है। इसलिए, इसके कम से कम एक परिणाम का अभिसरण अवश्य होना चाहिए। होने देना । आइए हम साबित करें कि यह भी अभिसरण करता है।

चलो एक मनमाना ले लो

. फिर, एक सीमा की परिभाषा के अनुसार, एक संख्या ऐसी होती है जो सभी के लिए असमानता रखती है। दूसरी ओर, शर्त के अनुसार यह दिया गया है कि अनुक्रम में ऐसी संख्या है कि शर्त सभी के लिए संतुष्ट होगी। और कुछ ठीक करें. फिर सभी के लिए हमें मिलता है: .

यह इस प्रकार है कि