bemeneti adatfolyam. Tipikus matematikai modellek

24. Bejövő keresletáramlás

24.1 A QS felépítése

A QS tanulmányozása a bejövő követelmények áramlásának elemzésével kezdődik. Bejövő keresletáramlás egy olyan követelményrendszer, amely belép a rendszerbe, és szervizelni kell. A beérkező igényáramlást tanulmányozzák annak érdekében, hogy megállapítsák ennek az áramlásnak a mintáit, és tovább javítsák a szolgáltatás minőségét.

A legtöbb esetben a bejövő áramlás ellenőrizhetetlen, és számos véletlenszerű tényezőtől függ. Az időegység alatt érkező kérések száma, egy valószínűségi változó. Egy véletlen változó egyben a szomszédos bejövő kérések közötti időintervallum is. Feltételezzük azonban, hogy az időegységenként fogadott kérések átlagos száma és a szomszédos bejövő kérések közötti átlagos időintervallum adott.

A sorbanállási rendszerbe időegységenként átlagosan belépő ügyfelek számát hívják kereslet intenzitásaés a következő összefüggés határozza meg:

ahol T - az egymást követő kérések beérkezése közötti intervallum átlagos értéke.

Sok valós folyamat esetében a követelmények áramlását elég jól leírja a Poisson-eloszlási törvény. Az ilyen áramlást ún a legegyszerűbb.

A legegyszerűbb áramlás a következő fontos tulajdonságokkal rendelkezik:

Állandóság tulajdonság, amely a valószínűségi áramlási rezsim időbeli invarianciáját fejezi ki. Ez azt jelenti, hogy a rendszeres időközönként belépő ügyfelek számának átlagosan állandónak kell lennie. Például a rakodásra érkező kocsik számának átlagosan naponta azonosnak kell lennie különböző időszakokban, például egy évtized elején és végén.

nincs utóhatás, amely meghatározza egy-egy szolgáltatási kérés átfedés nélküli időintervallumban történő fogadásának kölcsönös függetlenségét. Ez azt jelenti, hogy az adott időintervallumban érkező kérések száma nem függ az előző időintervallumban kiszolgált kérések számától. Például a hónap tizedik napján anyagért érkezett járművek száma nem függ az adott hónap negyedik vagy bármely más előző napján szervizelt járművek számától.

a hétköznapiság tulajdonsága, amely két vagy több követelmény egyidejű fogadásának gyakorlati lehetetlenségét fejezi ki (egy ilyen esemény valószínűsége mérhetetlenül kicsi a vizsgált időtartamhoz képest, amikor az utóbbi nullára hajlik).

Mivel bármely szolgáltatási rendszer működésének célja a szolgáltatásra vonatkozó alkalmazások (követelmények) kielégítése, az alkalmazások (követelmények) áramlása az elmélet egyik alapvető és legfontosabb fogalma. sorban állás. Meg kell tanulnia számszerűsíteni a beérkező igényáramlást, de ehhez meg kell találnia annak természetét és szerkezetét.

Szinte minden igényfolyam, amely a szolgáltatási rendszerbe kerül, véletlenszerű folyamat. Valóban, ha vesszük t=0 per kezdeti pillanat, akkor sok áramlásban (kivéve azt az esetet, amikor a követelmények szigorúan menetrend szerint érkeznek) vagy lehetetlen, vagy meglehetősen nehéz pontosan megjósolni a következő igény érkezésének, valamint az azt követő követelmények beérkezésének pillanatait. Például nem lehet pontosan jelezni azokat a pillanatokat, amikor az ügyfelek megérkeznek a stúdióba, a betegek a kórházba, a hívások az alközpontba érkeznek, a berendezések a javítóműhelybe stb.

Következésképpen a kérések beérkezésének pillanatai, valamint a közöttük lévő időközök általában véve független valószínűségi változók. Ekkor a követelmények fogadásának folyamatát a sorban állási rendszerben valószínűségi vagy véletlenszerű folyamatnak kell tekinteni. Ezt a folyamatot jelöljük így X(t). Ez a funkció határozza meg a rendszer által egy adott időszak alatt beérkezett kérések számát . Minden rögzített t esetén a függvény X(t) egy valószínűségi változó. Valójában, ha akár azonos időtartamú időintervallumokat választunk, akkor ebben az esetben nem lehetünk biztosak abban, hogy minden egyes intervallumban ugyanannyi követelmény érkezik.

Egy ideig lehet, hogy nem egy pályázat, vagy lehet 1, 2, ... pályázat. De nem számít, milyen hosszú időintervallumot választunk, az alkalmazások száma csak egy egész szám lesz.

A követelményfolyamat a függvény valószínűségi változójának egyik megvalósításának grafikonjaként ábrázolható X(t), csak nem negatív egész értékeket vegyen fel. Ebben az esetben a grafikon (24.2. ábra) egy lépcsőzetes vonal, amelynek ugrásai egy vagy több egységnyiek, attól függően, hogy a követelmények egyenként vagy csoportosan érkeznek. Tehát a véletlenszerű folyamat X(t), a következő tulajdonságokkal rendelkezik.

1. Minden fix t funkció X(t), 0, 1, 2,...,R,... nem negatív egész értékeket vesz fel, és nem csökken a növekedéssel.

2. Az időszak alatt beérkezett igények száma , ennek az intervallumnak a hosszától, azaz t értékétől függ.

3. A folyamatmegvalósítások lépcsőzetes vonalak, amelyek némileg különböznek egymástól. A véletlenszerű folyamatok elméletéből ismert, hogy egy folyamat valószínűségi szempontból teljesen meghatározott lesz, ha ismerjük az összes többdimenziós eloszlási törvényét:

Azonban egy ilyen funkció megtalálása általános esetben nagyon nehéz és néha megoldhatatlan probléma. Ezért a gyakorlatban olyan folyamatokat próbálnak felhasználni, amelyek olyan tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek lehetővé teszik azok leírásának egyszerűbb módjait. Ezek a tulajdonságok a következők:

Stacionaritás (jobb egyenletesség időben);

Utóhatás hiánya (markovian), néha az emlékezet hiányáról mondják;

A hétköznapiság.

A felsorolt ​​tulajdonságokat fentebb figyelembe vettük a stacionárius és Markov-folyamatok vizsgálatánál, így itt csak ezeknek a tulajdonságoknak a sorelméleti lényegét idézzük fel.

A követelmények áramlását időben stacionáriusnak vagy homogénnek nevezzük, ha egy bizonyos számú követelmény beérkezésének valószínűsége egy bizonyos időtartam alatt csak az intervallum hosszától függ, és nem az időbeli helyzetétől (más szóval nem származástól függ). Így stacionárius áramlás esetén annak a valószínűsége, hogy az intervallumon át pontosan megteszi R követelmény megegyezik az átvétel valószínűségével R intervallum követelményei [a, a +t] , ahol a>0, azaz

Ez azt jelenti, hogy az áramlás valószínűségi jellemzői (az eloszlási törvény paraméterei) időben nem változhatnak.

Sok valós keresleti áramlás rendelkezik stacionaritási tulajdonsággal, ha rövid időszakon keresztül nézzük. Ilyen áramlások a következők: az alközpontba érkező hívások bizonyos időközönkénti áramlása, a vásárlók áramlása az üzletbe, a javításra szoruló rádióberendezések áramlása, az utasforgalom intenzitása stb. A felsorolt ​​áramlások egy része azonban módosul a nappal (az éjszakai hívások valószínűsége kisebb, mint nappal, a tömegközlekedési csúcsidőszak).

Egyes folyamokban a rendszerbe tetszőleges időn belül beérkező kérések száma nem függ a korábban beérkezett kérések számától és érkezésük pillanatától, azaz a kérések beérkezése közötti intervallumokat független értékeknek tekintik. és nincs kapcsolat közöttük. A rendszer jövőbeli állapota nem függ a múltbeli állapotától. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező áramlást utóhatás nélküli áramlásnak vagy Markov-áramlásnak nevezzük. Az utóhatás hiánya (memóriahiány) sok valódi szálban rejlik. Például az alközpont felé irányuló hívásfolyam utóhatás nélküli folyamat, mivel általában a következő hívás érkezik, függetlenül attól, hogy eddig és hány hívás történt.

A követelmények áramlásának jellege számos esetben olyan, hogy egyidejűleg két ill több követelmények teljesítése lehetetlen vagy szinte lehetetlen. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező folyamot közönséges folyamnak nevezzük.

Ha egy R R >2 (h) - az intervallum előfordulási valószínűsége h egynél több követelmény, akkor egy közönséges áramlás esetén ennek a következőnek kell lennie:

,

azaz az áramlás közönségessége megköveteli, hogy egynél több követelmény bekövetkezésének valószínűsége rövid időn belül h nagyobb rendű végtelenül kicsi mennyiség lenne, mint h. Egyes valós áramlásokban ez a tulajdonság nyilvánvaló, míg másokban a valósághoz meglehetősen jó közelítéssel fogadjuk el. Az ilyen áramlás klasszikus példái az alközpontba érkező hívások és az ügyfelek áramlása a stúdióban.

A három tulajdonsággal rendelkező kérésfolyamatot a legegyszerűbbnek nevezzük. Megmutatható, hogy bármely egyszerű áramlást Poisson-folyamat ír le. Ennek érdekében felidézzük a Poisson-folyamat véletlenfüggvények elméletében elfogadott definícióját.

véletlenszerű folyamat x(t) (0≤ t<∞) Az egész értékeket Poisson-folyamatnak nevezzük, ha ez egy független növekményes folyamat, vagy ha a folyamat bármely h időtartamon belüli növekménye a Poisson-törvény szerint van elosztva paraméterrel. λ h, ahol λ>0 azok.

Különösen, ha t=0, X(0)=0, akkor a (3) a következőképpen íródik át:

(4)

Itt V r (h) azt a valószínűséget jelenti, hogy a számunkra érdekes esemény pontosan megtörténik R időnként egyszer h(a sorbanállás elméletét tekintve V r (h) meghatározza annak valószínűségét, hogy egy bizonyos idő alatt h pontosan bekerül a szerviz rendszerbe R követelmények).

A paraméter jelentése x könnyű kideríteni, ha megtalálta a Poisson-folyamat matematikai elvárását: M [X(t)]=M. Nál nél t=1 kapunk M[X(1)]=1. Ezért van egy időegységenkénti alkalmazások átlagos száma. Ezért az érték λ gyakran intenzitásnak vagy fluxussűrűségnek nevezik.

A Poisson-folyamat definíciójából azonnal három tulajdonság következik, amelyek megegyeznek a fentiekkel:

1) A lépések függetlensége. A Poisson-folyamat növekményeinek függetlenségében nincs utóhatás - a Markov-folyamat.

2) Időbeli egységesség. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségek V r (h) ne függjenek a kezdeti pillanattól t figyelembe vett intervallum , de csak az intervallum hosszától függ h:

3) Hétköznapiság. A Poisson-folyamat közönségessége azt jelenti, hogy gyakorlatilag lehetetlen, hogy egy követelménycsoport ugyanabban a pillanatban érkezzen meg.

Tehát nem valószínű, hogy egy kis h időintervallumban két vagy több igény egyidejűleg érkezik be

ami a Poisson-folyamat közönséges voltát jelzi.

Így megállapítottuk, hogy a Poisson-folyamat által leírt áramlás a legegyszerűbb. Ugyanakkor igaz az a feltevés is, hogy a legegyszerűbb áramlást Poisson-folyamat írja le. Ennek eredményeként a legegyszerűbb áramlást gyakran Poisson-áramlásnak is nevezik. A Poisson-folyamat a sorban állás elméletében különleges helyet foglal el, hasonlóan a valószínűségelmélethez, az egyéb eloszlási törvények mellett a normál törvény. És nem az a lényeg, hogy matematikailag a legegyszerűbben van leírva, hanem az, hogy ez a leggyakoribb. A Poisson-áramlás egy határáram (aszimptotikus áramlás, amikor sok más áramlás kombinálódik).

Meghatározás 6.1. A bemeneti adatfolyamot a legegyszerűbbnek nevezzük, ha:

1) az időintervallumban egy vagy több alkalmazás megjelenésének valószínűsége csak annak időtartamától függ, és nem függ az időtengelyen való elhelyezkedésétől (a bemeneti áramlás stacionaritása), sőt az alkalmazások egyenként érkeznek (közönséges bemenet áramlás) és egymástól függetlenül (nincs utóhatás a bemeneti áramban);

2) egy különálló véletlenszerű esemény (alkalmazás megjelenése) valószínűsége egy rövid időtartamú időintervallumban arányos egy végtelenül nagyobb kicsinységi renddel, mint az i.e. hol van

3) két vagy több véletlenszerű esemény bekövetkezésének valószínűsége (két vagy több alkalmazás megjelenése) rövid időintervallumban az érték

Az utóhatás hiánya a legegyszerűbb bemeneti adatfolyam definíciójában azt jelenti, hogy bármely nem átfedő időintervallum esetén az egyik ilyen intervallumban érkező kérések száma nem függ a többi intervallumban érkező kérések számától.

Annak ellenére, hogy a bemeneti és kimeneti folyamok sok valódi rendszerek szolgáltatások nem elégítik ki teljesen a legegyszerűbb folyam definícióját, a legegyszerűbb folyam fogalmát széles körben használják a sorban állás elméletében. Ez a körülmény nemcsak azzal függ össze, hogy a gyakorlatban elég gyakran találkozunk a legegyszerűbb áramlásokkal, hanem azzal is, hogy korlátlan számú, szinte bármilyen utóhatással járó, álló közönséges áramlás összege a legegyszerűbb áramlás. Ebben a tekintetben vegyük figyelembe a legegyszerűbb áramlás főbb tulajdonságait.

6.1. Tétel. Egy diszkrét valószínűségi változó, amely értékeket vesz fel, és a legegyszerűbb bemeneti áramláshoz jellemzi a t időtartamú sorbanállási rendszerbe belépő ügyfelek számát, a Poisson-törvény szerint van elosztva a paraméterrel.

Tekintsünk egy diszkrét állapotú skaláris véletlenszerű folyamatot (azaz bármely fix időpillanatban a keresztmetszete ) egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékkészlettel. Legyen állapota azt jelenti, hogy k kérés van a szolgáltatásban rendszer.

A tétel feltételeinek és a legegyszerűbb folyam definíciójának megfelelően a véletlenszerű folyamat egy Markov-homogén folyamat diszkrét állapotokkal, és bármely nem negatív i és j egész szám esetén a sorrendszer átmenetének valószínűségi sűrűsége. az államtól az államig bármikor az egyenlőség határozza meg

Ezért ebben az esetben a Kolmogorov-egyenletrendszer a következő formájú:

ahol annak a valószínűsége, hogy egy t időtartamú időintervallumban a vizsgált szolgáltatási rendszer számos kérést kap. És mivel a kérések legegyszerűbb folyamatának 6.1 definíciójából az következik, hogy

akkor a függvény tekintetében Cauchy-problémákhoz jutunk

és funkciókat

A (6.3), (6.4) Cauchy-feladatokat szekvenciálisan megoldva a legegyszerűbb bemeneti áramlás esetén azt a valószínűséget kapjuk, hogy a vásárlók száma egy t időtartamú időintervallumban egyenlő lesz

A (6.5) relációk azt jelentik, hogy a valószínűségi változó a Poisson-törvény szerint eloszlik a paraméterrel

Következmény 6.1. Ha a bemeneti adatfolyam a legegyszerűbb, akkor a sorba állító rendszerbe érkező kérések átlagos száma egy t időtartamú időintervallumban egyenlő

Az alkalmazások átlagos számának meghatározásához meg kell találni egy valószínűségi változó matematikai elvárását. És mivel (6.5) szerint a Poisson-törvény szerint oszlik el az akkor paraméterrel

A bizonyított következmény szerint a Λ paraméter az időegység alatt érkező kérelmek átlagos száma. Ezért ezt intenzitásnak vagy a legegyszerűbb áramlás sűrűségének nevezik.

Következmény 6.2. Ha a kérelmek bemeneti áramlása a legegyszerűbb, akkor a sorozórendszerbe beérkező kérések számának t időtartam alatti szóródását jellemző skaláris valószínűségi változó átlagos értékükhöz viszonyított szórása egyenlő

M Ha a bemeneti adatfolyam a legegyszerűbb, akkor a (6.5) szerint a valószínűségi változót a Poisson-törvény szerint osztjuk el a Ezért paraméterrel,

Figyeljünk arra, hogy a (6.6) és (6.7) szerint a Poisson-törvény szerint eloszlású valószínűségi változó elvárása és szórása megegyezik.

6.1. példa. A szolgáltató iroda óránként átlagosan 12 rendelést kap. A megbízások áramlását a legegyszerűbbnek tekintve meghatározzuk annak valószínűségét, hogy: a) 1 percen belül nem érkezik megrendelés; b) 10 percen belül legfeljebb három megrendelés érkezik.

Mivel a megbízások áramlása a legegyszerűbb és intenzitású, ezért (6.5) szerint a következőket kapjuk:

A legegyszerűbb folyam 6.1-es definíciója szerint a két egymás után érkező kérés közötti időintervallum időtartama egy valószínűségi változó.A sorbanállási rendszerek matematikai modelljeinek felépítéséhez ismerni kell egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét vagy eloszlását sűrűség (valószínűség)

6.2. Tétel. A legegyszerűbb, A intenzitású bemeneti áramlás esetén a két egymást követő kérés közötti időintervallum exponenciális eloszlású A paraméterrel.

Bemeneti információfolyam

A bemeneti információáram az információs rendszerbe bevitt dokumentumok és adatok sorozata.

Lásd még: Információs tartalom

• - a rendszer bemenetén lévő eszköz, amely a bemeneti jeleket átalakítja, hogy a rendszer működését külső forrással koordinálja. hatás...

  Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

• - egy külön pont útját védő útjelző. Ahogy V.-val. közlekedési lámpák vagy szemaforok használhatók. A bejárati szemafor legfeljebb 50 m-re, a közlekedési lámpa legfeljebb 15 m-re van a bemeneti nyíl szellemétől ...

  Műszaki vasúti szótár

• - "... A fogyasztó vagy vásárló által átvett szállítói termékek ellenőrzése, amelyeket a termékek gyártásához, javításához vagy üzemeltetéséhez szánnak..." Forrás: A Roskartografii 06.29-i rendelete ...

  Hivatalos terminológia

• - az építéshez szállított ipari termékek útlevéladatainak betartásának ellenőrzése...

  Építőipari szótár

• - a logisztikai rendszerbe kívülről belépő anyagáramlás ...

  Üzleti kifejezések szószedete

• - meghatározott formában elkészített, információs rendszerbe történő bekerülésre szánt adatokat tartalmazó dokumentum. Lásd még: Tartalom  ...

  Pénzügyi szókincs

• - a rendszerben keringő üzenetek halmaza, amely az irányítási folyamatok megvalósításához szükséges ...

  Nagy gazdasági szótár

• - ebbe a logisztikai rendszerbe a külső környezetből belépő külső anyagáramlás ...

  Nagy gazdasági szótár

• - rendszer vagy eszköz bemenetén lévő eszköz, amely a bemeneti műveleteket olyan jelekké alakítja, amelyek alkalmasak további feldolgozásra, átvitelre és regisztrációra, vagy különböző bemenetű rendszerek működésének koordinálására -...

  Nagy szovjet enciklopédia

• - ...

  Antoníma szótár

• - BEMENET, lásd: Enter és...

  Ozhegov magyarázó szótára

• - BEMENET, bemenet, bemenet. adj. a bejárathoz. Bejárati ajtó. Belépőjegy. Bemenet...

  Usakov magyarázó szótára

• - bemenet I adj. kezdő, kezdő, kezdő. II adj. 1. Belépés jogának megadása 1. valahova. 2. Bejáratként szolgál...

  Efremova magyarázó szótára

• - bemeneti adj., használat. comp. gyakran 1. Amikor egy ajtóról beszélünk, az utcáról a házunkba vezető külső ajtóra gondolunk. Valaki kilépett a folyosóra, és kinyitotta a bejárati ajtót. 2...

  Dmitriev szótára

• - bevitel "...

  Orosz helyesírási szótár

• - ...

  Szóalakok

"Input stream of information" a könyvekben

Az információáramlás a természetben

szerző

Az információáramlás a természetben

Az Antropológia és a biológia fogalmai című könyvből szerző Kurcsanov Nyikolaj Anatoljevics

Az információáramlás a természetben Hogyan íródnak át a genetikai információk egy DNS-sejtben? RNS? fehérje határozza meg az információáramlást a vadon élő állatokban. Ez az információáramlás az élő rendszerek túlnyomó többségében megvalósul. Megkapta a központi dogma meghatározását

"Input" ÁFA

A Hogyan használjuk az "egyszerűsítve" című könyvből szerző Kurbangaleeva Oksana Alekseevna

„Input” ÁFA Tárgyi eszköz vásárlásakor a vásárló szervezet fizeti annak hozzáadottérték-adóval együtt járó költségét. Az egyszerűsített adózási rendszert alkalmazó vállalkozás azonban nem térítheti vissza az „előzetesen felszámított” áfát a költségvetésből. Ez az összeg

Állítsa le a káros információk áramlását

A Miért harapnak a hercegnők című könyvből. Hogyan lehet megérteni és nevelni a lányokat szerző Biddulph Steve

Állítsuk meg a káros információk áramlását Bár utáljuk beismerni, mi, emberek alapvetően csordaállatok vagyunk. Folyamatosan keressük mások elismerését, és folyamatosan utánozzuk a körülöttünk lévőket, igyekszünk megfelelni valamilyen általánosan elfogadott normának; a mi időnkben

Az Afrikából érkező információáramlás a fosszilis ember különféle formáiról új pillantásra késztet a legősibb emberi ősök állatvilágtól való elkülönítésének folyamatát és az emberiség kialakulásának fő szakaszait.

Az ókori civilizációk című könyvből szerző Bongard-Levin Grigorij Maksimovics

Az információáramlás Afrikából kb különféle formák A fosszilis ember új pillantásra késztet bennünket a legősibb emberi ősök állatvilágtól való elkülönítésének folyamatára és az emberiség kialakulásának fő szakaszaira. Számos probléma tisztázása hozzájárul ahhoz

Bemeneti konverter

A szerző Great Soviet Encyclopedia (VX) című könyvéből TSB

Információáramlás a getint() számára

A The C Language - A Beginner's Guide című könyvből szerző Prata Stephen

Információáramlás a getint() számára Milyen kimenettel kell rendelkeznie a függvényünknek? Először is, nem kétséges, hogy vissza kell adnia a beolvasott szám értékét. Természetesen ezt már a scanf() függvény is megteszi. Másodszor, és ez nagyon fontos, olyan funkciót fogunk létrehozni, amely

A tudat energia és információ áramlása

A Mindsight című könyvből. A személyes átalakulás új tudománya írta Siegel Daniel

A tudat az energia és az információ áramlása Az energia egy cselekvés végrehajtásának képessége, például végtagok mozgatása vagy gondolatok formálása. A fizika feltárja különböző fajták. Sugárzó energiát érzünk a napon ülve, mozgási energiát a tengerparton sétálva vagy úszva,

Információáramlás

A Novella- és regénygyűjtemény című könyvből a szerző Lukin Evgeny

Az információáramlás Azonnal, amint Valerij Mihajlovics Akhlomov megjelent a szerkesztői szektor küszöbén, világossá vált, hogy a tervezési értekezleten nagyon megütötte a fő.- Használd jellemem kedvességét! - mondta csendes dühvel. - Az elme felfoghatatlan: be

2. fejezet A KULTURÁLIS IMPERIALIZMUS DIPLOMÁCIÁJA ÉS AZ INFORMÁCIÓ SZABAD ÁRAMÁSA

A szerző könyvéből

2. FEJEZET A KULTURÁLIS IMPERIALIZMUS DIPLOMÁCIÁJA ÉS AZ INFORMÁCIÓ SZABAD áramlása Negyed évszázadon át egy doktrína – az a gondolat, hogy az országok közötti információáramlást semmilyen akadály nem akadályozhatja – uralja a kommunikációról és a kommunikációról szóló nemzetközi gondolkodást.

Az információáramlás és az Ön személyes filozófiája

A Gondolkozz és tedd! szerző Baranovsky Sergey Valerievich

Az információáramlás és az Ön személyes filozófiája Korunk már csak azért is jó, mert rengeteg információt tartalmaz. Az internet önmagában több száz új ajtót nyit meg előttünk. Ne hallgass azokra, akik szemétnek nevezik a hálózatot! Az internet nem szemétlerakó, hanem egy rosszul tisztított könyvtár. Több tízezer változatos

szerző Oroszország Gosstandartja

A BEÉGYÜLT RENDSZEREK SZOFTVEREI című könyvből. Általános követelmények a fejlesztéshez és a dokumentációhoz szerző Oroszország Gosstandartja

5.1 Információáramlás a rendszer és a szoftver életciklus-folyamatai között

A BEÉGYÜLT RENDSZEREK SZOFTVEREI című könyvből. A fejlesztés és a dokumentáció általános követelményei szerző Oroszország Gosstandartja

5.1 A folyamatok közötti információáramlás életciklus rendszerek és szoftverek 5.1.1 Információáramlás a rendszerfolyamatoktól a szoftverfolyamatok felé A rendszerbiztonsági értékelési folyamatnak azonosítania kell a rendszer lehetséges meghibásodási helyzeteit, és meg kell határoznia azok kategóriáit,

12.37 Szoftver bemeneti/kimeneti információs útmutató

A BEÉGYÜLT RENDSZEREK SZOFTVEREI című könyvből. A fejlesztés és a dokumentáció általános követelményei szerző Oroszország Gosstandartja

12.37 Szoftver bemeneti/kimeneti információ Beviteli/kimeneti információs kézikönyv A szoftver elmagyarázza a felhasználónak, hogyan kell bemutatni, bevinni és értelmezni a kimeneti információkat, milyen módban (kötegelt vagy interaktív) működik a rendszer

A sorban állás elméletének elemei

§ 1. Bemutatkozás

A sorbanálláselmélet más néven Queuing Theory. Valójában a sorban állás elmélete nagyrészt a különféle rendszerekben felmerülő sorok tanulmányozására irányul.

A sorbanállási rendszerek fő jellemzői a következő valószínűségi változók:

átlagosan mennyi időt tölt az ügyfél a sorban állásban;

a rendszer tétlenségi idejének százalékos aránya (klienshiány miatt).

A sorbanállási rendszerek működőképességét a következő tényezők határozzák meg:

ügyfélelosztási pillanatok elosztása;

a szolgáltatás időtartamának megoszlása;

szolgáltatási rendszer konfigurációja (soros, párhuzamos vagy párhuzamos-soros szolgáltatás);

fegyelem a sorban (kiszolgálás érkezési sorrendben, kiszolgálás fordított sorrendben, vásárlók véletlenszerű kiválasztása);

várakozási blokk kapacitása (korlátozott vagy korlátlan);

a keresletforrás kapacitása vagy teljesítménye (korlátozott és korlátlan);

a rendszer néhány egyéb jellemzője (az ügyfelek azon képessége, hogy egyik sorból a másikba léphessenek, nem nulla a meghibásodás valószínűsége stb.).

A fő tényezők az első kettő.

Bármely sorbanállási rendszer a következő fő elemekből áll:

bejövő ügyféláramlás;

szervizeszköz;

fegyelem sorban.

§ 2 . Ügyfélbeviteli adatfolyam

Tekintsük a valószínűségi változók sorozatait

Tegyünk úgy, mintha t o = 0 a rendszer működésének kezdeti pillanata; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., hol τ k független valószínűségi változók exponenciális eloszlású λ paraméterrel.

Z itt t 1 - az első ügyfél érkezésének pillanata, τ 1 - a rendszer indulása és az első ügyfél érkezése közötti időintervallum, τ 2 - az első és a második ügyfél érkezése közötti időintervallum stb.

Utóbbi
, a fenti módon meghatározott ún a legegyszerűbb (Poisson) folyam. Egy állandó a legegyszerűbb áramlás paraméterének nevezzük.

Egy egyszerű folyam tulajdonságai

1. Áramlás eltolása T

Legyen egyszerű áramlás
λ paraméterrel.

Az áramlás eltolásával T, megkapjuk a patakot
, ami egyben a legegyszerűbb áramlás is lesz ugyanazzal a λ paraméterrel. Például ha T között van és , akkor az új adatfolyam így néz ki:

, ….

2. Két szál összevonása

P
Legyen két független elemi áramlás

Val vel
paramétereket λ (1) , λ (2), ill. Azt fogjuk mondani, hogy az áramlás két áramlás egyesülése eredményeként jött létre, ha a halmaz ( t k) a halmazok uniója ( t k (1) }, {t k ( 2) ) és a halmaz elemei ( t k) növekvő sorrendben vannak rendezve.

P
a két független elemi áramlás összevonásából származó kiáramlás egyben a paraméterrel való elemi áramlás is λ = λ(1) + λ(2) , ahol λ(j)– áramlási paraméter

3. A legegyszerűbb folyam felosztása

Legyen egyszerű áramlás egy paraméterrel λ,

és független valószínűségi változók sorozata
, két értéket vesz fel:

P(ξ én = 1) = p, P(ξ én = 0) = q, p  0, q  0, p + q = 1.

Az ilyen valószínűségi változókat ún Bernoulli(paraméterrel p). Áramlásmegosztási eljárás ( t k) a következő: szám t i hivatkozzon az első áramlásra, ha ξ én= 1; ha ξ én= 0, majd a szám t i hivatkozz a második folyamra. Nevezzük azt a műveletet, amikor egy folyamot kettéosztunk Bernoulli(paraméterrel p).

A legegyszerűbb áramlás Bernoulli-leválasztása eredményeként kapott áramlások független legegyszerűbb áramlások λ (1) = λp, λ (2) = λq paraméterekkel.

Vegye figyelembe, hogy a legegyszerűbb áramlás ezen tulajdonságainak bizonyítékai megtalálhatók a -ban.

H
herez X(t) A következőkben a rendszerben jelenleg lévő ügyfelek számát jelöljük t, azaz

A Poisson-folyamatok tulajdonságai

A Poisson-folyamat növekménye homogén.

Jelölje x((a,b])= X(b) – x(a) folyamatnövekmény, amely a rendszerbe belépő ügyfelek számaként értelmezhető a ( a,b]. A homogenitás a feltétel teljesülését jelenti:

P( x((a,b]) = k) = P( x((0,b-a]) = k) = P( x(b-a) = k),

azok. intervallumban a rendszerbe belépő ügyfelek számának valószínűségi eloszlása ​​( a,b], csak ennek az intervallumnak a hosszától függ.

A Poisson-folyamat lépései függetlenek.

Tekintsük a (0, b] és tegyük fel, hogy nem metsző intervallumokra van felosztva (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , ( b N-1, b N]. Hadd b 0 = 0. Akkor x((b 0 , b 1 ]), x((b 1 , b 2]), , x((b N-1, b N ]) a rendszerbe belépő ügyfelek száma a megfelelő időszakokban. Ezek a mennyiségek függetlenek, pl.

P( x((b 0 , b 1 ]) = én 1, , x((b N-1, b N ]) = én N) =

P( x((b 0 , b 1 ]) = én 1)  P( x((b N-1, b N ]) = én N).

Ezekre a tulajdonságokra vonatkozó bizonyítékok megtalálhatók a.

Feladatok a 2. §-hoz.

2.1. Két valószínűségi változó van  1 és  2. Függetlenek és exponenciális eloszlásúak paraméterekkel  1 és  2 ill. A következő valószínűségi változót vezetjük be:  = min(  1 ,  2). Bizonyítsuk be, hogy ez a mennyiség exponenciális eloszlású paraméterrel = 1 + 2 .

2.2. Adott két független valószínűségi változó  1 és  2 paraméterrel rendelkező Poisson-eloszlás  1 és  2 ill. Legyen a valószínűségi változó  = 1 + 2. Bizonyítsuk be, hogy ennek a mennyiségnek Poisson-eloszlása ​​van paraméterrel  = 1 + 2 .

2.3. Hadd  a vásárlók száma az üzletekben, és Poisson-eloszlása ​​van a paraméterrel  . Legyen minden ügyfél valószínűséggel p vásárol ebben az üzletben. Bizonyítani kell, hogy azon vásárlók száma, akik ebben az üzletben vásároltak, rendelkezik Poisson-eloszlással a paraméterrel p.

2.4. Az étterembe a Poisson-áramlás szerint érkeznek az ügyfelek, óránként átlagosan 20 vendég. Az étterem 11.00 órakor nyit.

a) annak valószínűsége, hogy 11.12-kor 20 vendég tartózkodik az étteremben, tekintettel arra, hogy 11.07-kor 18 vendég tartózkodott az étteremben;

b) annak a valószínűsége, hogy 11.28 és 11.30 között új látogató érkezik az étterembe, ha ismert, hogy az előző látogató 11.25-kor érkezett az étterembe.

2.5. A termékeket egy 80 darab raktáron lévő raktárból veszik át, a Poisson áramlás szerint napi 5 darabos ütemben.

a) annak a valószínűsége, hogy az első két nap során 10 egységnyi terméket kivesznek a raktárból;

b) annak a valószínűsége, hogy a negyedik nap végére egyetlen termékegység sem marad a raktárban.

§

3. A halál és a szaporodás folyamata

Építsük fel a halál és a szaporodás folyamatát x(t) „konstruktív módon”.

Tekintsünk két sorozatot és. Az első a kliensek rendszerbe kerüléséért (reprodukció), a második pedig az ügyfelek kiszolgálásáért (halál):

Ezen kívül legyen megadva két független sorozat
független valószínűségi változók exponenciális eloszlással =1 paraméterrel.

Folyamat x(t) a következőképpen épül fel. Hadd
, ahol
. Aztán az intervallumon
folyamat x(t) megtartja értékét , ahol
,

.

Ebben a pillanatban t 1 folyamatérték x(t) vagy nő, vagy csökken eggyel attól függően, hogy a két pillanat közül melyik
előtte jön:

Így megfogalmaztuk a folyamat értelmét x t) a ponton t 1 egyenlő ; majd a folyamat alakulását x(t) az intervallumon
, ahol
és
, ugyanazt a törvényt követi: x(t) jelenleg nem változik ezen az intervallumon t 2

eggyel növelve, ha
, ellenkező esetben pedig eggyel csökken.

Ha
, akkor a folyamat értéke x(t) véletlenszerű pillanatban eggyel nő
.

Az így felépített folyamat
, a halál és a szaporodás időben egységes folyamatának nevezik; eloszlását teljesen meghatározza a paraméterek halmaza, és a kezdeti eloszlás X(0):

Kényelmes a következők használata diagram folyamatfejlődés ábrázolására x(t):

A fenti nyilak a szaporodási folyamat dinamikájának felelnek meg: tól énállapotba, a folyamat a ( én+1)-edik állapot intenzitással ; az alábbi nyilak a halálozási folyamat dinamikájának felelnek meg: intenzitással folyamat tól énállapotba megy ( én-1)-edik állapot.

Funkciókészlet

leírja a folyamateloszlást x(t); Az alábbiakban bemutatunk egy egyenletrendszert, amelyet ezek a függvények kielégítenek.

Vegye figyelembe, hogy nem minden paraméterkészlet
"nem degenerált" folyamatra reagál x(t); az a tény, hogy ha a számok nagyon gyorsan nőnek
, majd a folyamat x(t) az utolsó pillanatban t"felrobbanhat", pl. pozitív valószínűséggel bármely szintet túllép, és arra nő
. Így kerülhet be például egy baktériumpopuláció kedvező környezet. Hasonlóan vannak elrendezve a robbanáshoz vezető kémiai reakciókat leíró folyamatok is.

Folyamatok x(t), amelyre minden
, tartoznak az ún tiszta tenyésztési folyamatok. Folyamatok, amelyekhez
, hívott a tiszta halál folyamatai.

A következő lemma szükséges és elégséges feltételeket ad a paraméterekre vonatkozóan
, amelyek garantálják a tiszta szaporodási folyamat végességét
paraméterekkel.

Lemma. Legyen a folyamat a tiszta reprodukció paraméterekkel . Ekkor a folyamat végességéhez szükséges és elégséges, hogy a sorozatok divergáljanak

Hadd x(t) a halál és szaporodás folyamata azonos paraméterekkel folyamat , valamint a paramétereket
. Ez nyilvánvaló

P( x(t)  )  P( x + (t)  ) .

Ezért a lemmából egy következményt kapunk.

Következmény. Ha a szaporodás önkényes halálozási folyamatához X(t) az a feltétel
, akkor bármilyen
becsületes P( X(t)  ) = 1, azaz a folyamat befejeződött.

A lemma bizonyítása a -ban található.

Feladatok a 3. §-hoz

3.1. Tekintsük a halál és szaporodás folyamatát, amihez

Ehhez a folyamatnak megfelelő diagramot kell rajzolni.

3.2. Hagyja, hogy a telefonos segítséget kérő ügyfelek a legegyszerűbb folyamatot alakítsák ki a paraméterrel. Tartson minden beszélgetést - tájékoztató időpont. Hadd x(t) a rendszerben lévő ügyfelek száma t időpontban. Rajzolja fel a folyamatnak megfelelő diagramot! x(t).

3.3. Legyen a 3.2. feladat feltételei mellett

a telefon egy kliens számára rendelkezik memóriával: ha az ügyfél hív, és a telefon foglalt, de a telefonmemória szabad, akkor a gép felajánlja, hogy leteszi és várja a hívást. Amikor a telefon szabad, a csengő megszólal;

automata kapcsolótábla és két telefon van, mindegyik telefonnak saját kezelője van: ha az ügyfél hívása idején van szabad telefon, a kapcsolótábla automatikusan erre a telefonra szólítja meg az ügyfelet;

a kapcsolónak (lásd a 2. pontot) egy kliens számára van memóriája;

minden telefon (lásd a 2. pontot) rendelkezik memóriával egy ügyfél számára.

A fenti esetek mindegyikére rajzoljon a folyamatnak megfelelő diagramot x(t).

3.4. Határozza meg, hogy a tiszta szaporodás végső folyamatai a következő szaporodási arányokkal rendelkeznek-e:

a)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

ban ben)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

4. § A halál és szaporodás folyamatának megfelelő differenciálegyenletek

Tegyünk úgy, mintha x(t) a halál és szaporodás folyamata jellemzőkkel és. Legyen néhány véges szám Aés B egyenlőtlenségek vannak  én  A + Kettős, én= 0, 1, ...Ez a feltétel garantálja a folyamat végét x(t). Ugyanakkor egyetértünk abban, hogy a bal oldali felső nyíl minden állapothoz (még a 0 állapothoz is) kerül, míg a születési arány λ egyenlő lehet nullával (például λ –1 = = 0); minden állapotból van egy alsó nyíl balra, és a halál intenzitása μ lehet nulla is (például λ –1 = 0). A diagram definíciójának ily módon történő kiterjesztése nem változtat a dolog lényegén, azonban a további érvelés során hasznos lesz. Tekintsünk a folyamatunknak megfelelő diagramot x(t):

Jelölje az előzőhöz hasonlóan

P k (t) = P(x(t) = k), k = 0,1,…,

annak a valószínűsége, hogy egy adott pillanatban tügyfelek száma x(t) egyenlő lesz k.

1. tétel.Jellemzőkfolyamatx(t), a fent definiált, kielégíti a következő differenciálegyenlet-rendszert

ahol k = 0,1,…, és a kezdeti feltételek

Nem helytelen elmagyarázni, hogy az első sor (mikor k= 0) az (1) egyenletrendszer alakja

Bizonyíték. Jelölje P k ( t +Δ) = P(x(t+ Δ) = k).

Használjuk egy változó függvényének deriváltjának definícióját:

.

Vegye figyelembe ezeket az eseményeket:

A 0 (t, Δ) = (a [ intervallumon t, t+Δ] folyamat x(t) egyetlen ugrást sem hajtott végre);

A 1 (t, Δ) = (a [ intervallumon t, t+Δ] folyamat x(t) pontosan egy ugrást hajtott végre);

A 2 (t, Δ) = (a [ intervallumon t, t+Δ] folyamat x(t) két vagy több ugrást hajtott végre).

Akkor ez nyilvánvaló

Jelölje tovább

; keresztül
három exponenciális valószínűségi változó paraméterekkel
. Legyenek ezek a mennyiségek függetlenek. Akkor igaz Ekkor nyilvánvaló, hogy az álló (stacionárius) üzemmód. P k (t) = P(jelenleg a rendszerben t található kügyfelek).

Keresse meg a differenciálegyenlet-rendszer megoldását, valamint a stacionárius valószínűségeket!

4.2. A 3.3 feladatból a halál és szaporodás folyamataihoz írjunk fel a valószínűségekre vonatkozó differenciálegyenleteket P k (t) = P(jelenleg a rendszerben t található kügyfelek).

Álló valószínűségek keresése.

A TSMO fő feladata a QS bejáratánál lévő alkalmazások áramlásának jellege, egy csatorna teljesítménye, a csatornák száma és a szolgáltatás hatékonysága közötti kapcsolat megteremtése.

Különféle függvények és mennyiségek használhatók hatékonysági kritériumként:

• átlagos rendszerleállás;
• átlagos várakozási idő a sorban;
• a sorban állási követelményre való várakozás időtartamának megoszlási törvénye;
• az elutasított kérelmek átlagos %-a; stb.

A kritérium kiválasztása a rendszer típusától függ. Például, hibás rendszerekhez a fő jellemző az abszolút áteresztőképesség KPSZ; kevésbé fontos kritériumok a foglalt csatornák száma, egy csatorna átlagos relatív üresjárati ideje és a rendszer egésze. Veszteségmentes rendszerekhez(korlátlan várakozással) a legfontosabbak az átlagos üresjárati idő a sorban, az átlagos kérések száma a sorban, a kérések átlagos tartózkodási ideje a rendszerben, az üresjárati tényező és a kiszolgáló rendszer terhelési tényezője.

A modern TSMO analitikai módszerek készlete a felsorolt ​​típusú QS tanulmányozására. A következőkben a sorbanállási problémák megoldásának meglehetősen bonyolult és érdekes módszerei közül a „halál és szaporodás” típusú Markov-folyamatok osztályában leírt módszerek kerülnek bemutatásra. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ezeket a módszereket leggyakrabban a mérnöki számítások gyakorlatában használják.

2. Eseményfolyamatok matematikai modelljei.

2.1. Rendszeres és véletlenszerű adatfolyamok.

A QS szervezetének egyik központi kérdése azoknak a törvényszerűségeknek a tisztázása, amelyek a szolgáltatási igények rendszerbe kerülésének pillanatait szabályozzák. Fontolja meg a leggyakrabban használtat matematikai modellek bemeneti folyamok.

Meghatározás: A követelmények áramlását homogénnek nevezzük, ha megfelel a következő feltételeknek:

1. az áramlás minden alkalmazása a szolgáltatás szempontjából egyenlő;

az áramlás követelményei (események) helyett, amelyek természetüknél fogva eltérőek lehetnek, csak érkezésükkor.

Meghatározás: Egy adatfolyamot szabályosnak nevezünk, ha a folyamban az események szigorú időközönként követik egymást.

Funkció A T valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségének f (x) - az események közötti időintervallum a következőképpen alakul:

Ahol - delta függvény, M t - matematikai elvárás, és M t \u003d T, D varianciam = 0 és az események előfordulásának intenzitása az áramlásban \u003d 1 / M t \u003d 1 / T.

Meghatározás: Az áramlást ún véletlen ha eseményei véletlenszerű időpontokban történnek.

A véletlenszerű áramlás véletlenszerű vektorként írható le, amelyet, mint ismeretes, az eloszlási törvény kétféleképpen határozhat meg egyedileg:

Ahol, zi- Ti(i=1,n) értékek,Ebben az esetben az események bekövetkezésének pillanatai a következőképpen számíthatók ki

t 1 \u003d t 0 +z1

t 2 \u003d t 1 +z2

………,

ahol, t 0 - az áramlás kezdetének pillanata.

2.2. A legegyszerűbb Poisson-áramlás.

Nagyszámú alkalmazott probléma megoldásához elegendő olyan homogén áramlások matematikai modelljeit alkalmazni, amelyek kielégítik a stacionaritás követelményeit, utóhatás és közönségesség nélkül.

Definíció: Egy áramlást stacionáriusnak mondunk, ha az előfordulási valószínűség nesemények az időintervallumban (t,t + T) az időtengelyen elfoglalt helyétől függenek t.

Meghatározás: Egy eseményfolyamot közönségesnek nevezünk, ha két vagy több esemény bekövetkezésének valószínűsége egy D elemi időintervallumban tegy végtelenül kicsi érték egy esemény bekövetkezésének valószínűségéhez képest ebben az intervallumban, azaz. nál nél n=2,3,…

Meghatározás: Az eseményfolyam ún áramlás következmények nélkül, ha bármely nem átfedő időintervallumnál az egyikre eső események száma nem függ a másikra eső események számától.

Meghatározás: Ha az áramlás kielégíti a stacionaritás, a hétköznapiság követelményeit és következmények nélkül, akkor ún a legegyszerűbb Poisson-áramlás.

Bebizonyosodott, hogy a legegyszerűbb áramlásra az n számbármely z intervallumra eső eseményekPoisson törvénye szerint elosztva:

(1)

Annak a valószínűsége, hogy a z időintervallumban nem jelenik meg esemény, egyenlő:

(2)

akkor az ellenkező esemény valószínűsége:

ahol definíció szerint P(T a T valószínűségi eloszlásfüggvény.Innen azt kapjuk, hogy a T valószínűségi változó az exponenciális törvény szerint oszlik el:

(3)

paramétert fluxussűrűségnek nevezzük. Ráadásul,

A legegyszerűbb áramlási modell leírása először jelent meg a század eleji kiemelkedő fizikusok - A. Einstein és Yu. Smolukhovsky - Brown-mozgásnak szentelt munkáiban.

2.3. A legegyszerűbb Poisson-áramlás tulajdonságai.

A gyakorlati feladatok megoldásában a legegyszerűbb áramlásnak két tulajdonsága van.

2.3.1. Bemutatjuk a mennyiséget a= X. A Poisson-eloszlás tulajdonságainak megfelelőenáltalában normális. Ezért nagy a esetén P(X(a) kisebb vagy egyenlő, mint n), ahol X(a) egy Poisson valószínűségi változó a várakozással, a következő közelítő egyenlőséget használhatja:

2.3.2. A legegyszerűbb áramlás másik tulajdonsága a következő tételhez kapcsolódik:

Tétel: A T követelmény közötti időintervallum exponenciális eloszlása ​​esetén, függetlenül attól, hogy mennyi ideig tartott, a fennmaradó része ugyanaz az eloszlási törvény.

Bizonyítás: legyen T eloszlása ​​az exponenciális törvény szerint: Tegyük fel, hogy az a intervallum már eltart egy ideig a< T. Határozzuk meg a T intervallum fennmaradó részének eloszlásának feltételes törvényét 1 = T-a

F a(x)=P(T-a x)

A valószínűségi szorzási tétel szerint:

P((T>a)(T-a z) P(T-a a)=P(T>a) F a (z).

Innen,

egyenértékű az eseménnyel a , amelyre P(a ; másrészről

P(T>a)=1-F(a), tehát

F a(x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))

Ezért figyelembe véve (3):

Ennek a tulajdonságnak csak egyfajta áramlása van - a legegyszerűbb Poisson.