허락하다 ㅏ(엑스) 그리고 비(엑스) – b.m. 기능 엑스® ㅏ (엑스® + ¥, 엑스® –¥, 엑스® 엑스 0 , …). 비율의 한계를 고려하십시오. 엑스® ㅏ.

1. 만약 = 비그리고 비- 최종 번호 비¹ 0, 다음 기능 ㅏ(엑스), 비(엑스)를 극소라고 한다 규모의 한 차수 ~에 엑스® ㅏ.

2. = 0이면 ㅏ(엑스)을 극소라고 한다 고차 , 어떻게 비(엑스) 에 엑스® ㅏ. 분명히, 이 경우 = ¥.

3. 만약 ㅏ(엑스) – b.m. 보다 높은 차수 비(엑스) 및 = 비¹ 0 ( 비- 최종 번호 케이Î N ), 그 다음에 ㅏ(엑스)을 극소라고 한다 케이- 에 비해 차수 비(엑스) 에 엑스® ㅏ.

4. 존재하지 않는 경우(유한도 무한도 아님), ㅏ(엑스), 비(엑스)라고 한다 비교할 수 없는 비엠 ~에 엑스® ㅏ.

5. = 1이면 ㅏ(엑스), 비(엑스)라고 한다 동등한 비엠 ~에 엑스® ㅏ, 이는 다음과 같이 표시됩니다. ㅏ(엑스) ~ 비(엑스) 에 엑스® ㅏ.

실시예 1. ㅏ(엑스) = (1 – 엑스) 3 , 비 (엑스) = 1 – 엑스 3 .

에 있는 것이 분명하다. 엑스® 1 기능 ㅏ(엑스), 비(엑스)는 b.m입니다. 그것들을 비교하기 위해, 우리는 그들의 비율의 한계를 찾습니다. 엑스® 1:

결론: ㅏ(엑스 비(엑스) 에 엑스® 1.

= (확인하십시오!)를 확인하는 것은 쉽습니다. ㅏ(엑스) – b.m. 에 비해 3차 작음 비(엑스) 에 엑스® 1.

실시예 2. 기능 ㅏ 1 (엑스) = 4엑스, ㅏ 2 (엑스) = 엑스 2 , ㅏ 3 (엑스) = 죄 엑스, ㅏ 4 (엑스) = tg 엑스에 대해 극소량이다 엑스® 0. 비교:

0, , = 1, = 엔.

따라서 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. ㅏ 2 (엑스) = 엑스오후 2시 보다 높은 차수 ㅏ 1 (엑스) 그리고 ㅏ 3 (엑스) (에 엑스® 0), ㅏ 1 (엑스) 그리고 ㅏ 3 (엑스) – b.m. 하나의 주문, ㅏ 3 (엑스) 그리고 ㅏ 4 (엑스)는 b.m.에 해당합니다. 즉, 죄 엑스~티 엑스~에 엑스® 0.

정리 1. 허락하다 ㅏ(엑스) ~ ㅏ 1 (엑스), 비(엑스) ~ 비 1 (엑스) 에 엑스® ㅏ. 존재하는 경우 및 및 = 가 존재합니다.

증거. = 1, = 1,

= = .

이 정리를 사용하면 극한을 쉽게 찾을 수 있습니다.

실시예 3.

찾다 .

죄의 첫 번째 현저한 한계 덕분에4 엑스~ 4엑스, TG3 엑스~ 3엑스~에 엑스® 0, 그래서

정리 2. 무한히 작은 기능 ㅏ(엑스) 그리고 비(엑스)는 동일합니다( 엑스® ㅏ) 경우에만 ㅏ(엑스) – 비(엑스)는 b.m입니다. 보다 높은 차수 ㅏ(엑스) 그리고 비(엑스) (에 엑스® ㅏ).

증거

허락하다 ㅏ(엑스) ~ 비(엑스) 에 엑스® ㅏ. 그 다음에 = = 0, 즉 차이점 ㅏ(엑스) – 비(엑스 ㅏ(엑스) 에 엑스® ㅏ(비슷하다 비(엑스)).

허락하다 ㅏ(엑스) – 비(엑스) – b.m. 보다 높은 차수 ㅏ(엑스) 그리고 비(엑스), 우리는 그것을 보여줄 것입니다 ㅏ(엑스) ~ 비(엑스) 에 엑스® ㅏ:

= = + = 1,

무한히 작은 기능.

기사와 함께 열린 교육주기 "인형 제한"을 계속합니다. 제한. 솔루션 예시그리고 놀라운 한계. 사이트에 처음 오시는 분들은 강의도 읽어보시길 추천합니다 극한 풀이 방법학생 카르마를 크게 향상시킬 것입니다. 세 번째 매뉴얼에서는 다음을 고려했습니다. 무한 함수, 그들의 비교, 이제 돋보기로 무장하여 거인의 땅 이후에 릴리푸트인의 땅을 들여다볼 차례입니다. 설날을 문화수도에서 보내고 아주아주 좋은 분위기, 그래서 독서는 특히 흥미로울 것입니다.

이 기사에서는 자세히 설명합니다 극소 함수, 실제로 이미 여러 번 겪었던 것과 비교합니다. 많은 이벤트가 0에 가까운 보이지 않는 이벤트와 밀접하게 관련되어 있습니다. 멋진 한계, 멋진 등가물, 그리고 수업의 실용적인 부분은 주로 멋진 등가를 사용하여 극한을 계산하는 데 전념합니다.

무한히 작은 기능. 극소수의 비교

내가 말할 수 있는 것은 ... 한계가 있으면 함수가 호출됩니다. 점에서 극소.

주장의 핵심은 함수는 극소일 수 있습니다. 특정 지점에서만 .

친숙한 선을 그려 보겠습니다.

이 기능 무한히 작은단일 지점에서:
"플러스 무한대"와 "마이너스 무한대" 지점에서 동일한 기능이 이미 무한히 큰: . 또는 더 간결한 표기법으로:

다른 모든 지점에서 함수의 한계는 0이 아닌 유한한 숫자와 같습니다.

이런 식으로, 그와 같은 일은 없다"무한히 작은 함수" 또는 "무한하게 큰 함수"로. 함수는 무한히 작거나 무한히 클 수 있습니다. 특정 지점에서만 .

! 메모 : 간결함을 위해 나는 종종 "무한 함수"라고 말할 것입니다. 이는 문제의 지점에서 무한히 작다는 것을 의미합니다.

그러한 점이 여러 개 또는 무한히 많을 수 있습니다. 두려움 없는 포물선을 그려 봅시다.

제시된 이차 함수는 "1"과 "2"의 두 지점에서 무한히 작습니다.

이전 예에서와 같이 무한대에서 이 함수는 무한히 큽니다.

이중 기호의 의미 :

표기법은 at , at 을 의미합니다.

표기법은 at 및 at 모두를 의미합니다.
이중 기호를 "해독"하는 주석 원칙은 무한대뿐만 아니라 모든 끝점, 기능 및 기타 여러 수학적 객체에도 유효합니다.

그리고 이제 사인. 이것은 함수가 무한히 작은무한한 점에서:

실제로 사인 곡선은 각 "파이"를 통해 x축을 "깜박"합니다.

함수는 위/아래에서 경계가 지정되어 있으며 그러한 지점이 없습니다. 무한히 큰, 사인은 무한대에서만 입술을 핥을 수 있습니다.

몇 가지 간단한 질문에 답하겠습니다.

함수가 무한대에서 극소일 수 있습니까?

물론. 이러한 카트 및 소형 카트의 경우.
기본 예: . 그런데이 한계의 기하학적 의미는 기사에 설명되어 있습니다. 함수의 그래프와 속성.

함수가 극소일 수 없습니까?
(언제든지 도메인)

예. 분명한 예는 그래프(포물선)가 축과 교차하지 않는 이차 함수입니다. 그건 그렇고, 반대 진술은 일반적으로 사실이 아닙니다. x 축을 가로 지르지는 않지만 이전 질문의 과장법입니다. 무한히 작은무한대로.

극소 함수의 비교

0에 가까운 수열을 만들고 삼항식의 여러 값을 계산해 보겠습니다.

x 값이 감소하면 함수가 다른 모든 것보다 빠르게 0으로 도망가는 것이 분명합니다(해당 값은 빨간색 원으로 표시됨). 그들은 기능보다 기능을 말한다 , 만큼 잘 더 높은 차수, 어떻게 . 그러나 Lilliputians의 땅에서 빨리 달리는 것은 용기가 아닙니다. 가장 느리게 움직이는 드워프가 "음조를 설정"합니다. 보스에 걸맞게 가장 느린 0으로 가는 드워프입니다. 그것은 그에게 달려있다 얼마나 빨리합계는 0에 가까워집니다.

비유적으로 말하자면, 무한히 작은 함수는 다른 모든 것을 "흡수"하며, 특히 세 번째 줄의 최종 결과에서 잘 볼 수 있습니다. 가끔 그들은 이렇게 말한다. 작은 것의 낮은 차수, 어떻게 그리고 그들의 합계.

고려한 한계에서 결과가 여전히 0이기 때문에 이 모든 것은 물론 중요하지 않습니다. 그러나 "헤비급 난쟁이"가 원칙적으로 작동하기 시작합니다. 중요한 역할분수 내에서. 드물긴 하지만 실생활에서 볼 수 있는 예부터 시작하겠습니다. 실무:

실시예 1

한계 계산

여기에 불확실성이 있고, 입문 수업~에 대한 기능우리는 이 불확실성을 공개하는 일반적인 원칙을 기억합니다. 분자와 분모를 인수로 분해한 다음 무언가를 줄여야 합니다.

첫 번째 단계에서 분자에서 괄호를 제거하고 분모에서 "x"를 제거합니다. 두 번째 단계에서는 분자와 분모를 "x"로 줄여 불확실성을 제거합니다. 나머지 "X"가 0인 경향이 있음을 나타내고 답을 얻습니다.

한계에서 베이글은 분자 함수로 밝혀졌습니다. 더 높은 차수분모 함수보다 또는 더 짧게: . 무슨 뜻인가요? 분자는 0에 가깝다 더 빠르게결과가 0인 이유입니다.

의 경우와 같이 무한 함수, 답은 미리 알 수 있습니다. 수신은 유사하지만 분자와 분모에서 다음과 같은 모든 용어를 정신적으로 버려야 한다는 점에서 다릅니다. 상위위에서 언급했듯이 느린 왜성은 결정적으로 중요하기 때문입니다.

실시예 2

한계 계산

제로 투 제로.... 바로 답을 찾아보자: 정신적으로 모든 것을 버리자 장로분자와 분모의 항(빠른 왜성):

솔루션 알고리즘은 이전 예와 정확히 동일합니다.

이 예에서 분자보다 작은 차수의 분모. x 값이 감소하면 분자의 가장 느린 드워프(및 전체 한계)가 더 빠른 상대와 관련하여 실제 괴물이 됩니다. 예를 들어, 이면 - 이미 40배 더 .... 물론 주어진 값이 "x"인 괴물은 아니지만 이미 큰 맥주 배를 가진 주제입니다.

그리고 매우 간단한 데모 제한:

실시예 3

한계 계산

모든 것을 멘탈적으로 버려서 답을 찾을거야 장로분자 및 분모 용어:

우리는 다음을 결정합니다.

결과는 유한한 수입니다. 분자의 소유자는 분모의 보스보다 정확히 두 배 굵습니다. 이것은 분자와 분모가 일치하는 상황입니다. 규모의 한 차수.

사실, 극소 함수의 비교는 이전 수업에서 오랫동안 나타났습니다.
(예시 4번 수업 제한. 솔루션 예시);
(예시 17번 수업 극한 풀이 방법) 등.

나는 동시에 "x"가 0뿐만 아니라 임의의 숫자와 무한대에 이르는 경향이 있음을 상기시킵니다.

고려된 모든 예에서 근본적으로 중요한 것은 무엇입니까?

먼저, 한계는 주어진 지점에서 전혀 존재해야 합니다. 예를 들어 제한이 없습니다. 인 경우 분자 함수는 "더하기 무한대" 지점에서 정의되지 않습니다(루트 아래에서 무한히 큰음수). 유사하게, 가상의 예가 실제로 발견되는 것 같습니다. 아무리 예상치 못한 것이더라도 여기에는 극소 함수와 불확실성 "0에서 0으로"의 비교도 있습니다. 실제로, 그렇다면 . …해결책? 우리는 4층 분수를 제거하고 불확실성을 얻고 표준 방법으로 엽니다.

아마도 한계를 탐구하는 초보자는 다음과 같은 질문에 의해 훈련될 것입니다. 0:0의 불확실성이 있지만 0으로 나눌 수는 없습니다! 맞아요, 당신은 할 수 없습니다. 같은 한계를 고려합시다. 기능은 "0" 지점에서 정의되지 않습니다. 그러나 이것은 일반적으로 필요하지 않습니다. 중요한함수가 아무 곳에나 존재하려면 무한히 제로에 가깝다점(또는 더 엄격하게는 극소 이웃 영).

개념으로서의 한계의 가장 중요한 기능

"x"인가요? 무한히 가까운특정 지점에 도달하지만 그는 "그곳에 갈 의무는 없습니다"! 즉, 한 지점에 기능 한계가 존재하기 위해 관련 없는함수 자체가 거기에 정의되어 있는지 여부. 기사에서 이에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다. 코시 한계, 그러나 지금은 오늘 수업의 주제로 돌아가십시오.

두 번째로, 분자와 분모 함수는 주어진 점에서 극소여야 합니다.. 예를 들어, 한계는 완전히 다른 팀에서 가져온 것입니다. 여기서 분자 함수는 0이 되는 경향이 없습니다. .

극소 함수 비교에 대한 정보를 체계화합니다.

허락하다 - 점에서 극소 함수(즉, 에서 ) 비율에 제한이 있습니다. 그 다음에:

1) 이면 함수 더 높은 차수, 어떻게 .
가장 간단한 예: , 즉, 2차 함수보다 작은 차수의 3차 함수입니다.

2) 이면 함수 더 높은 차수, 어떻게 .
가장 간단한 예: , 즉, 선형 함수보다 작은 차수의 2차 함수입니다.

3) 가 0이 아닌 상수인 경우 함수는 다음을 갖습니다. 같은 크기의 순서.
가장 간단한 예: 즉, 난쟁이는 0보다 엄격하게 두 배 느리게 0으로 실행되고 둘 사이의 "거리"는 일정하게 유지됩니다.

가장 흥미로운 경우는 . 이러한 기능을 호출 극소 동등한기능.

기본적인 예를 들기 전에 용어 자체에 대해 이야기합시다. 등가. 이 단어는 이미 수업에서 사용되었습니다. 극한 풀이 방법, 다른 기사에서 두 번 이상 만날 것입니다. 동등성이란 무엇입니까? 등가, 논리적, 물리적 등의 수학적 정의가 있지만 본질 자체를 이해하려고 노력합시다.

등가는 어떤 점에서 등가(또는 등가)입니다.. 근육을 스트레칭하고 고등 수학에서 휴식을 취할 때입니다. 이제 밖은 좋은 1월 서리가 내리기 때문에 몸을 따뜻하게 하는 것이 매우 중요합니다. 복도로 가서 옷이 있는 옷장을 열어주세요. 색상만 다른 두 개의 동일한 양가죽 코트가 걸려 있다고 상상해 보십시오. 하나는 주황색, 다른 하나는 보라색입니다. 보온성 면에서 이 양가죽 코트는 동등합니다. 첫 번째와 두 번째 양모 코트 모두에서 똑같이 따뜻할 것입니다. 즉, 선택은 주황색을 입을 것과 보라색을 입는 것과 같습니다. 승리하지 않고 "일대일은 1과 같습니다." 그러나 도로에서의 안전의 관점에서 양가죽 코트는 더 이상 동등하지 않습니다. 주황색은 차량 운전자에게 더 잘 보이며 ... 순찰은 그러한 옷의 소유자에게 모든 것이 명확하기 때문에 멈추지 않을 것입니다. . 이와 관련하여 우리는 상대적으로 말해서 "오렌지색 양가죽 코트"인 "one order of smallness"의 양가죽 코트가 "보라색 양가죽 코트"("더 나쁘지만 어둠 속에서도 눈에 띄는)"보다 "안전"하다고 가정할 수 있습니다. "). 그리고 한 재킷과 양말로 추위에 나가면 그 차이가 이미 엄청날 것이므로 재킷과 양가죽 코트는 "작은 순서가 다릅니다".

... zashib, 이 강의에 대한 링크와 함께 Wikipedia에 게시해야 합니다 =) =) =)

무한히 작은 등가 함수의 명백한 예는 당신에게 친숙합니다 - 이것이 함수입니다 첫 번째 놀라운 한계 .

첫 번째 주목할 만한 한계에 대한 기하학적 해석을 해보자. 도면을 실행해 보겠습니다.

글쎄, 그래프의 강한 남성 우정은 육안으로도 볼 수 있습니다. 하지만 그들의 어머니는 그들을 구별하지 않을 것입니다. 따라서 이면 함수는 극소이고 동등합니다. 차이가 미미하다면? 그런 다음 위의 사인은 한계에서 바꾸다"엑스": , 또는 사인 아래의 "x": . 사실, 그것은 첫 번째 놀라운 한계의 ​​기하학적 증명으로 밝혀졌습니다 =)

마찬가지로, 그건 그렇고, 하나는 설명 할 수 있습니다 어떤 멋진 한계, 이는 1과 같습니다.

! 주목! 객체 동등성은 동일한 객체를 의미하지 않습니다! 주황색과 보라색 양가죽 코트는 따뜻함과 동일하지만 다른 양가죽 코트입니다. 함수는 거의 0에 가깝게 구분할 수 없지만 두 가지 다른 함수입니다.

지정: 등가는 물결표로 표시됩니다.
예: - "x의 사인은 x와 같습니다", .

위의 내용에서 매우 중요한 결론이 나옵니다. 두 개의 극소 함수가 동일하면 하나는 다른 것으로 대체될 수 있습니다.. 이 기술은 실제로 널리 사용되며 지금 바로 다음과 같은 방법을 살펴보겠습니다.

놀라운 동등성

실용적인 예를 해결하려면 다음이 필요합니다. 놀라운 당량표. 학생은 단일 다항식으로 살지 않으므로 추가 활동 분야는 매우 넓습니다. 첫째, 극소 등가 함수 이론을 사용하여 단원의 첫 번째 부분의 예를 요약합니다. 놀라운 한계. 솔루션 예시, 다음 제한이 발견되었습니다.

1) 극한을 풀자. 분자의 극소 함수를 동등한 극소 함수로 교체해 보겠습니다.

이 대체가 가능한 이유는 무엇입니까? 왜냐하면 무한히 제로에 가깝다함수의 그래프는 함수의 그래프와 거의 일치합니다.

이 예에서는 테이블 동등성을 사용했습니다. 여기서 . "x"뿐만 아니라 복잡한 함수도 "알파" 매개변수로 작동할 수 있어 편리합니다. 제로 경향.

2) 극한을 찾아보자. 분모에서 우리는 동일한 등가를 사용합니다. 이 경우:

사인은 원래 정사각형 아래에 있었기 때문에 첫 번째 단계에서 사인을 완전히 정사각형 아래에 배치해야 합니다.

이론을 잊지 마십시오. 처음 두 가지 예에서는 유한 수가 얻어집니다. 즉, 같은 작은 차수의 분자와 분모.

3) 한계를 찾으십시오. 분자의 극소 함수를 동등한 함수로 바꾸자 , 어디 :

여기 분모보다 작은 차수의 분자. Lilliput(및 이에 상응하는 난쟁이)은 보다 빨리 0에 도달합니다.

4) 한계를 찾으십시오. 분자의 무한히 작은 함수를 동등한 함수로 바꾸자. 여기서:

그리고 여기서 반대로 분모는 더 높은 차수분자보다 왜소는 왜소(및 그에 상응하는 왜소)보다 빠르게 0으로 달아납니다.

멋진 등가물이 실제로 사용되어야 합니까?그래야 하지만 항상 그런 것은 아닙니다. 따라서 (방금 고려한 것과 같이) 그다지 복잡하지 않은 극한의 해는 현저한 등가를 통해 해결하는 것은 바람직하지 않습니다. 당신은 해킹 작업에 대한 비난을 받을 수 있고 삼각 공식과 첫 번째 멋진 한계를 사용하여 표준 방식으로 문제를 해결하도록 강요받을 수 있습니다. 그러나 해당 도구의 도움으로 솔루션을 확인하거나 정답을 즉시 찾는 것이 매우 유용합니다. 수업의 특징적인 예 14번 극한 풀이 방법:

깨끗한 사본에서는 변수를 변경하여 다소 큰 완전한 솔루션을 작성하는 것이 좋습니다. 그러나 준비된 대답은 표면에 있습니다. 우리는 정신적으로 동등성을 사용합니다. .

다시 한번 기하학적 감각: 분자에서 함수를 함수로 대체하는 것이 허용되는 이유는 무엇입니까? 무한히 제로에 가깝다그들의 그래프는 강력한 현미경 하에서만 구별될 수 있습니다.

솔루션을 확인하는 것 외에도 두 가지 경우에 놀라운 동등성이 사용됩니다.

– 예가 일반적인 방식으로 다소 복잡하거나 결정하기 어려운 경우
– 현저한 동등성을 조건에 따라 적용해야 하는 경우.

더 의미 있는 작업을 고려해 보겠습니다.

실시예 4

한계를 찾아라

Zero-to-zero 불확실성이 의제에 있고 상황은 경계선에 있습니다. 결정은 표준 방식으로 내릴 수 있지만 많은 변화가 있을 것입니다. 내 관점에서 볼 때 여기에서 멋진 등가물을 사용하는 것이 매우 적절합니다.

극소 함수를 동등한 함수로 교체합시다. 에 :

그게 다야!

유일한 기술적 뉘앙스: 처음에는 접선이 제곱되었으므로 교체 후에 인수도 제곱해야 합니다.

실시예 5

한계를 찾아라

이 극한은 삼각 공식과 멋진 한계, 그러나 해결책은 다시 썩 유쾌하지 않을 것입니다. 이것은 자가 해결의 예이며 특히 분자를 변환하는 동안 주의해야 합니다. 권한과 혼동이 있는 경우 제품으로 표현합니다.

실시예 6

한계를 찾아라

그러나 이것은 표준 방식으로 솔루션을 수행하는 것이 매우 어려운 경우 이미 어려운 경우입니다. 우리는 놀라운 등가물을 사용합니다:

극소수를 동등한 것으로 교체합시다. 에 :

무한대가 얻어지며, 이는 분모가 분자보다 더 작은 차수임을 의미합니다.

겉옷 없이 씩씩하게 연습을 진행했어요 =)

실시예 7

한계를 찾아라

이것은 직접 만든 예입니다. 로그를 처리하는 방법에 대해 생각하십시오 ;-)

다른 극한 해결 방법과 함께 사용되는 놀라운 등가물을 보는 것은 드문 일이 아닙니다.

실시예 8

등가 무한소 및 기타 변환을 사용하여 함수의 극한 찾기

주목할만한 조건부 동등성은 여기에 적용되어야 합니다.

우리는 다음을 결정합니다.

첫 번째 단계에서 우리는 놀라운 등가물을 사용합니다. 에 :

사인으로 모든 것이 명확합니다. . 로그로 무엇을 할 것인가? 우리는 로그를 형식으로 나타내고 등가를 적용합니다. 보시다시피 이 경우

두 번째 단계에서는 수업에서 논의된 기술을 적용합니다.

무한한 작은 기능은 무엇입니까

그러나 함수는 특정 지점에서만 무한히 작을 수 있습니다. 그림 1과 같이 함수는 점 0에서만 극소입니다.

그림 1. 극소 함수

두 함수의 몫 한계가 1이 되면 함수는 x가 a에 접근할 때 등가 무한대라고 합니다.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

정의

함수 f(x), g(x)가 $x > a$에 대해 극소인 경우:

• 함수 f(x)는 다음 조건이 충족되는 경우 g(x)에 대해 극소 고차라고 합니다.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• 함수 f(x)는 0과 다르고 극한이 유한한 경우 g(x)에 대해 n차의 극한이라고 합니다.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

실시예 1

함수 $y=x^3$는 함수 y=5x와 비교하여 x>0에 대한 무한한 고차입니다. 비율의 한계가 0이기 때문에 이것은 함수 $y=x라는 사실에 의해 설명됩니다. ^3$는 값이 더 빨리 0이 되는 경향이 있습니다.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

실시예 2

함수 y=x2-4 및 y=x2-5x+6은 비율의 한계가 0과 같지 않기 때문에 x>2에 대해 동일한 차수의 무한소입니다.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

등가 극소수의 속성

1. 두 개의 등가 극소수의 차이는 각각에 대해 더 높은 차수의 극소수입니다.
2. 여러 극미한 다른 차수의 합에서 극미한 고차를 버리면 주요 부분이라고 하는 나머지 부분은 전체 합과 같습니다.

등가 극소수가 임의의 작은 상대 오차로 거의 같아질 수 있다는 것은 첫 번째 속성에서 따릅니다. 따라서 기호 ≈는 극소수의 등가를 나타내고 충분히 작은 값의 대략적인 등가를 나타내는 데 사용됩니다.

극한을 찾을 때 계산의 속도와 편의를 위해 등가 함수의 변경을 사용해야 하는 경우가 매우 많습니다. 등가 극소수의 표는 아래에 나와 있습니다(표 1).

표에 주어진 극소수의 동등성은 동등성을 기반으로 증명될 ​​수 있습니다:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

1 번 테이블

실시예 3

극소 ln(1+x)와 x의 동등성을 증명합시다.

증거:

1. 양의 비율의 극한 찾기
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. 이를 위해 로그 속성을 사용합니다.
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. 대수 함수가 정의 영역에서 연속적이라는 것을 알면 극한의 부호와 대수 함수를 바꿀 수 있습니다.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ 오른쪽)\]
4. x는 극소값이므로 극한은 0이 되는 경향이 있습니다. 따라서:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ 오른쪽)=\ln e=1\]

(두 번째 현저한 한계 적용)

테스트

분야: 고등 수학

주제: 한계. 극소수의 비교

1. 일련번호의 제한

2. 기능 제한

3. 두 번째 현저한 한계

4. 극미량의 비교

문학

1. 일련번호의 제한

많은 수학적 및 응용 문제의 솔루션은 특정 방식으로 주어진 일련의 숫자로 이어집니다. 그들의 속성 중 일부를 알아보자.

정의 1.1.모든 자연수라면

어떤 법칙에 따르면, 실수가 대응되게 배치되면 숫자 집합을 숫자 시퀀스라고 합니다.

정의 1에 따르면 숫자 시퀀스에는 항상 무한한 수의 요소가 포함되어 있습니다. 다양한 숫자 시퀀스에 대한 연구는 숫자가 증가함에 따라 그 구성원이 다르게 행동한다는 것을 보여줍니다. 그것들은 무한정 증가하거나 감소할 수 있고, 지속적으로 특정 숫자에 접근하거나 전혀 규칙성을 나타내지 않을 수 있습니다.

정의 1.2.숫자

임의의 숫자에 대해 숫자 시퀀스의 모든 숫자에 대해 조건이 충족되는지에 따라 그러한 숫자 시퀀스의 수가 있는 경우 숫자 시퀀스의 극한이라고 합니다.

극한이 있는 수열을 수렴이라고 합니다. 이 경우 작성

.

분명히 숫자 시퀀스의 수렴 문제를 명확히 하려면 요소의 속성에만 기반을 둔 기준이 있어야 합니다.

정리 1.1.(수열의 수렴에 관한 Cauchy의 정리). 수열이 수렴하려면 임의의 수에 대해 다음이 필요하고 충분합니다.

숫자 시퀀스의 임의의 두 숫자에 대해 그리고 조건 및 , 부등식이 참을 만족하는 숫자 시퀀스 번호가 있었습니다.

증거. 필요. 숫자 순서가 주어진다.

이는 정의 2에 따라 제한이 있음을 의미합니다. 숫자를 선택합시다. 그런 다음 숫자 시퀀스의 극한 정의에 따라 모든 숫자에 대해 부등식이 충족되는 시퀀스 번호가 있습니다. 그러나 그것은 임의적이기 때문에 성취되고 . 두 개의 시퀀스 번호와 , 그리고 .

따라서 다음이 따른다.

, 즉 필요성이 입증되었습니다.

적절. 을 고려하면

. 따라서 주어진 조건 및 에 대해 와 같은 숫자가 존재합니다. 특히 if , and , then or 제공 that . 이는 에 대한 숫자 시퀀스가 ​​제한됨을 의미합니다. 따라서 적어도 하나의 하위 시퀀스는 수렴해야 합니다. 허락하다 . 에도 수렴함을 증명해 보자.

임의적으로 취하자

. 그러면 극한의 정의에 따르면 모든 사람에게 부등식이 성립하는 숫자가 존재합니다. 반면에 조건에 따라 시퀀스에는 모든 조건이 충족될 수 있는 번호가 지정됩니다. 일부를 수정합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 다음이 따른다.