Болъё а(x) ба б(x) – б.м. функцууд x® а (x® + ¥, x® –¥, x® x 0 , …). Тэдний харьцааны хязгаарыг авч үзье x® а.

1. Хэрэв = бболон б- эцсийн тоо б¹ 0, дараа нь функцууд а(x), б(x) -ийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг нэг хэмжээний дараалал цагт x® а.

2. Хэрэв = 0 бол а(x) -ийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг илүү өндөр дараалал , Хэрхэн б(x) цагт x® а. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд = ¥.

3. Хэрэв а(x) – б.м. -ээс өндөр дараалал б(x), ба = б¹ 0 ( б- эцсийн тоо кÎ Н ), дараа нь а(x) -ийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг к-р дараалалтай харьцуулахад б(x) цагт x® а.

4. Хэрэв байхгүй бол (хязгааргүй ч биш), дараа нь а(x), б(x) гэж нэрлэдэг зүйрлэшгүй б.м цагт x® а.

5. Хэрэв = 1 бол а(x), б(x) гэж нэрлэдэг тэнцүү б.м цагт x® а, үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв. а(x) ~ б(x) цагт x® а.

Жишээ 1. а(x) = (1 – x) 3 , б (x) = 1 – x 3 .

Энэ нь тодорхой байна x® 1 функцууд а(x), б(x) бол b.m. Тэдгээрийг харьцуулахын тулд бид тэдгээрийн харьцааны хязгаарыг олох болно x® 1:

Дүгнэлт: а(x б(x) цагт x® 1.

Энэ нь = (баталгаажуулна уу!) гэдгийг баталгаажуулахад хялбар байдаг а(x) – б.м. -тэй харьцуулахад жижиг байдлын 3-р эрэмбэ б(x) цагт x® 1.

Жишээ 2. Функцүүд а 1 (x) = 4x, а 2 (x) = x 2 , а 3 (x) = нүгэл x, а 4 (x) = тг xхувьд хязгааргүй жижиг байна x® 0. Тэдгээрийг харьцуулна уу:

0, , = 1, = ¥.

Тиймээс бид ингэж дүгнэж байна а 2 (x) = x 2 - үд. -ээс өндөр дараалал а 1 (x) ба а 3 (x) (цагт x® 0), а 1 (x) ба а 3 (x) – б.м. нэг захиалга, а 3 (x) ба а 4 (x) тэнцүү байна b.m., i.e. нүгэл x~tg xцагт x® 0.

Теорем 1. Болъё а(x) ~ а 1 (x), б(x) ~ б 1 (x) цагт x® а. Хэрэв байгаа бол оршин байгаа ба , ба = байна.

Баталгаа. = 1, = 1,

= = .

Энэ теорем нь хязгаарыг олоход хялбар болгодог.

Жишээ 3.

олох.

Нүглийн анхны гайхалтай хязгаарын ачаар4 x~ 4x, tg3 x~ 3xцагт x® 0, тиймээс

Теорем 2. Хязгааргүй жижиг функцууд а(x) ба б(x) тэнцүү байна (for x® а) зөвхөн хэрэв байгаа бол а(x) – б(x) бол B.m. -ээс өндөр дараалал а(x) ба б(x) (цагт x® а).

Баталгаа

Болъё а(x) ~ б(x) цагт x® а. Дараа нь = = 0, өөрөөр хэлбэл. ялгаа а(x) – б(x а(x) цагт x® а(төстэй б(x)).

Болъё а(x) – б(x) – б.м. -ээс өндөр дараалал а(x) ба б(x), бид үүнийг харуулах болно а(x) ~ б(x) цагт x® а:

= = + = 1,

Хязгааргүй жижиг функцууд.

Бид нийтлэлээр нээгдсэн "даммигийн хязгаар" сургалтын циклийг үргэлжлүүлж байна Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээболон Сонирхолтой хязгаарууд. Хэрэв та энэ сайтад анх удаа орж байгаа бол энэ хичээлийг уншихыг зөвлөж байна Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлахЭнэ нь таны оюутны үйлийн үрийг ихээхэн сайжруулах болно. Гурав дахь гарын авлагад бид авч үзсэн хязгааргүй функцууд, тэдний харьцуулалт, одоо өөрийгөө томруулдаг шилээр зэвсэглэх цаг болжээ, ингэснээр Аварга нарын газрын дараа Лилипутын нутаг руу хараарай. Би шинэ жилийн амралтаа соёлын нийслэлд өнгөрөөж, маш их буцаж ирэв сайн төлөв байдал, тиймээс унших нь ялангуяа сонирхолтой байх болно гэж амлаж байна.

Энэ нийтлэлийг нарийвчлан авч үзэх болно хязгааргүй жижиг функцууд, та аль хэдийн олон удаа тулгарч байсан бөгөөд тэдгээрийн харьцуулалт. Олон үйл явдал нь 0-ийн ойролцоох үл үзэгдэх үйл явдлуудтай нягт холбоотой байдаг. гайхалтай хязгаарууд, гайхалтай тэнцэл, мөн хичээлийн практик хэсэг нь голчлон гайхамшигтай тэнцэл ашиглан хязгаарыг тооцоолоход зориулагдсан болно.

Хязгааргүй жижиг функцууд. Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт

Би юу хэлэх вэ ... Хэрэв хязгаар байгаа бол функцийг дуудна цэг дээр хязгааргүй жижиг.

Баталгаажуулалтын гол зүйл бол баримт юм функц нь хязгааргүй жижиг байж болно зөвхөн тодорхой цэг дээр .

Танил шугам зурцгаая:

Энэ функц хязгааргүй жижигнэг цэг дээр:
"Нэмэх хязгааргүй" ба "хасах хязгааргүй" цэгүүдэд ижил функц аль хэдийн байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. хязгааргүй том: . Эсвэл илүү нягт тэмдэглэгээгээр:

Бусад бүх цэгүүдэд функцийн хязгаар нь тэгээс өөр хязгаарлагдмал тоотой тэнцүү байх болно.

Энэ замаар, тийм юм байхгүй"зүгээр л хязгааргүй жижиг функц" эсвэл "зүгээр л хязгааргүй том функц". Функц нь хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй том байж болно зөвхөн тодорхой цэг дээр .

! Анхаарна уу : Товчхондоо би "хязгааргүй жижиг функц" гэж байнга хэлэх болно, энэ нь тухайн цэг дээр хязгааргүй жижиг байна гэсэн үг юм.

Ийм цэгүүд хэд хэдэн эсвэл бүр хязгааргүй олон байж болно. Ямар нэг айдасгүй параболыг зурцгаая.

Үзүүлсэн квадрат функц нь "нэг" ба "хоёр" гэсэн хоёр цэг дээр хязгааргүй жижиг байна:

Өмнөх жишээн дээрх шиг, хязгааргүй үед энэ функц нь хязгааргүй том байна:

Давхар тэмдгийн утга :

Тэмдэглэгээ нь , үед гэсэн утгатай.

Тэмдэглэгээ нь , аль аль нь гэсэн утгатай.
Тайлбарласан давхар тэмдгийг "тайлах" зарчим нь зөвхөн хязгааргүйд төдийгүй аливаа төгсгөлийн цэг, функцууд болон бусад хэд хэдэн математикийн объектуудад хүчинтэй байдаг.

Тэгээд одоо синус. Энэ бол функцийн жишээ юм хязгааргүй жижигхязгааргүй тооны цэг дээр:

Үнэн хэрэгтээ синусоид нь "pi" бүрээр дамжуулан x тэнхлэгийг "анивчдаг":

Функц нь дээрээс/доороос хязгаарлагддаг бөгөөд ийм цэг байхгүй гэдгийг анхаарна уу хязгааргүй том, синус нь зөвхөн уруулаа хязгааргүй долоож чаддаг.

Би хэдэн энгийн асуултанд хариулъя:

Функц хязгааргүй үед хязгааргүй жижиг байж чадах уу?

Мэдээжийн хэрэг. Тэргэнцэр болон жижиг тэрэгний ийм тохиолдлууд.
Анхан шатны жишээ: . Дашрамд хэлэхэд энэ хязгаарын геометрийн утгыг нийтлэлд дүрсэлсэн болно Функцийн график ба шинж чанарууд.

Функц хязгааргүй жижиг байж болохгүй гэж үү?
(ямар ч үед домэйнууд)

Тиймээ. Үүний тод жишээ бол график (парабол) нь тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй квадрат функц юм. Дашрамд хэлэхэд, эсрэг заалт нь ерөнхийдөө үнэн биш юм - өмнөх асуултын гипербол, гэхдээ энэ нь x тэнхлэгийг огтолдоггүй, гэхдээ хязгааргүй жижигхязгааргүйд.

Төгсгөлгүй жижиг функцүүдийн харьцуулалт

Тэг рүү чиглэсэн дарааллыг бүтээж, гурвалсан тооны хэд хэдэн утгыг тооцоолъё.

X утгуудын бууралтаар функц бусад бүх функцээс илүү хурдан тэг болж гүйдэг нь тодорхой байна (түүний утгыг улаанаар дугуйлсан). Тэд функцээс илүү функц гэж хэлдэг , түүнчлэн жижиг байдлын дээд зэрэглэл, Хэрхэн . Гэхдээ Лилипутын нутагт хурдан гүйх нь эр зориг биш, харин даргад тохирсон хамгийн удаан хөдөлдөг одойн "аяг тогтоодог". Түүнээс л шалтгаална ямар хурданнийлбэр тэг рүү ойртох болно:

Дүрслэлээр хэлбэл, хязгааргүй жижиг функц нь бусад бүх зүйлийг "шингээдэг" бөгөөд энэ нь ялангуяа гуравдугаар шугамын эцсийн үр дүнд сайн харагдаж байна. Заримдаа тэд ингэж хэлдэг жижиг байдлын доод эрэмбэ, Хэрхэн ба тэдгээрийн нийлбэр.

Тооцоолж буй хязгаарт энэ бүхэн мэдээжийн хэрэг тийм ч чухал биш, учир нь үр дүн нь тэг хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч "хүнд жингийн багачууд" зарчмын дагуу тоглож эхэлдэг чухал үүрэгбутархайн дотор. Ховор ч гэсэн бодит амьдрал дээр байдаг жишээнүүдээс эхэлье. практик ажил:

Жишээ 1

Хязгаарыг тооцоолох

Энд тодорхойгүй байдал бий, мөн танилцуулах хичээлтухай функцуудБид энэ тодорхойгүй байдлыг илчлэх ерөнхий зарчмыг санаж байна: та тоологч ба хуваагчийг хүчин зүйл болгон задалж, дараа нь ямар нэг зүйлийг багасгах хэрэгтэй.

Эхний алхамд бид тоологч дахь хаалт, хуваагч дахь "x"-ийг гаргана. Хоёр дахь шатанд бид тоологч ба хуваагчийг "x"-ээр багасгаж, тодорхойгүй байдлыг арилгана. Бид үлдсэн "X" нь тэг байх хандлагатай байгааг харуулж, хариултыг авдаг.

Хязгаарт уут нь тоологч функцтэй болсон жижиг байдлын дээд зэрэглэлхуваагч функцээс илүү. Эсвэл богино: . Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тоолуур нь тэг рүү чиглэдэг Илүү хурданхуваагчаас илүү байгаа тул үр дүн нь тэг болно.

Үүнтэй адил хязгааргүй функцууд, хариултыг урьдчилан мэдэж болно. Хүлээн авалт нь ижил төстэй боловч тоо болон хуваагчийн хувьд та бүх нэр томъёог СЭТГЭЛЭЭР хаях хэрэгтэй гэдгээрээ ялгаатай. АХМАДградус, учир нь дээр дурдсанчлан удаан одойнууд шийдвэрлэх ач холбогдолтой:

Жишээ 2

Хязгаарыг тооцоолох

Тэгээс тэг хүртэл…. Хариултыг нь шууд олцгооё: СЭТГЭЛЭЭРЭЭ бүгдийг хая ахмадтоологч ба хуваарийн нэр томъёо (хурдан одой):

Шийдлийн алгоритм нь өмнөх жишээтэй яг ижил байна:

Энэ жишээнд хуваагч нь хуваагчаас илүү бага зэрэглэлийн эрэмбийн тоо. X утгууд буурах үед тоологчийн хамгийн удаан одой (болон бүх хязгаар) илүү хурдан өрсөлдөгчтэйгээ харьцуулахад жинхэнэ мангас болж хувирдаг. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь - аль хэдийн 40 дахин их .... Мэдээжийн хэрэг, "x"-ийн өгөгдсөн утгатай мангас хараахан биш, гэхдээ энэ нь аль хэдийн том шар айрагны гэдэстэй сэдэв юм.

Мөн маш энгийн демо хязгаарлалт:

Жишээ 3

Хязгаарыг тооцоолох

Бүх зүйлийг СЭТГЭЛЭЭР хаяснаар бид хариултыг олох болно ахмадтоологч ба хуваагч нэр томъёо:

Бид шийднэ:

Үр дүн нь хязгаарлагдмал тоо юм. Тоолуурын эзэн нь хуваагчийн боссоос яг хоёр дахин зузаан байна. Энэ нь тоологч ба хуваагчтай нөхцөл байдал юм нэг хэмжээний дараалал.

Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй жижиг функцүүдийн харьцуулалт өмнөх хичээлүүдэд эрт дээр үеэс гарч ирсэн.
(Жишээ №4 хичээл Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ);
(Жишээ No17 хичээл Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах) гэх мэт.

"x" нь зөвхөн тэг рүү чиглэхээс гадна дурын тоо, мөн хязгааргүй байх хандлагатай байдаг гэдгийг би танд сануулж байна.

Харгалзан үзсэн бүх жишээн дээр үндсэндээ юу чухал вэ?

Нэгдүгээрт, хязгаар нь тухайн цэг дээр огт байх ёстой. Жишээлбэл, ямар ч хязгаарлалт байхгүй. Хэрэв , тэгвэл тоологч функц нь "нэмэх хязгааргүй" цэг дээр тодорхойлогдоогүй (язгуурын дор бид авдаг. хязгааргүй томсөрөг тоо). Үүнтэй адил дүр эсгэсэн жишээнүүд практикт олддог бололтой: хэчнээн гэнэтийн байсан ч энд бас хязгааргүй жижиг функцууд ба "тэгээс тэг" гэсэн тодорхойгүй байдлын харьцуулалтыг үзүүлэв. Үнэхээр хэрэв , тэгвэл . …Шийдэл? Бид дөрвөн давхар фракцаас салж, тодорхойгүй байдлыг авч, стандарт аргаар нээдэг.

Хязгаарыг судалж эхэлж буй хүмүүст "Яаж тийм вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. 0:0-ийн тодорхойгүй байдал байгаа ч та тэгээр хувааж болохгүй! Маш зөв, чи чадахгүй. Үүнтэй ижил хязгаарыг авч үзье. Функц нь "тэг" цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Гэхдээ энэ нь ерөнхийдөө шаардлагагүй юм. чухалФункц нь ДУНД БАЙХ тэг рүү хязгааргүй ойрхонцэг (эсвэл илүү хатуу, аль ч үед хязгааргүй жижиг хөрш тэг).

ХЯЗГААР ОЙЛГОЛТ БОЛОХ ХАМГИЙН ЧУХАЛ ОНЦЛОГ

энэ "x" мөн үү хязгааргүй ойрхонтодорхой цэгт ойртож байгаа ч тэр "тэнд очих албагүй"! Өөрөөр хэлбэл, нэг цэгт функцийн хязгаар оршин байх болно хамааралгүйфункц өөрөө тэнд тодорхойлогдсон эсэх. Та энэ талаар дэлгэрэнгүйг нийтлэлээс уншиж болно. Коши хязгаарлалт, гэхдээ өнөөдрийн хичээлийн сэдэв рүү буцъя:

Хоёрдугаарт, өгөгдсөн цэгт тоологч ба хуваагч функцүүд хязгааргүй бага байх ёстой. Тиймээс, жишээлбэл, хязгаар нь огт өөр багийнх, энд тоологч функц тэг рүү чиглэдэггүй: .

Бид хязгааргүй жижиг функцүүдийг харьцуулах мэдээллийг системчилдэг.

зөвшөөрөх - цэг дэх хязгааргүй жижиг функцууд(өөрөөр хэлбэл -д) ба тэдгээрийн харьцааны хязгаар байдаг. Дараа нь:

1) Хэрэв бол функц жижиг байдлын дээд зэрэглэл, Хэрхэн .
Хамгийн энгийн жишээ: , өөрөөр хэлбэл квадратаас илүү жижиг дарааллын куб функц.

2) Хэрэв бол функц жижиг байдлын дээд зэрэглэл, Хэрхэн .
Хамгийн энгийн жишээ: , өөрөөр хэлбэл шугаманаас илүү жижиг дарааллын квадрат функц.

3) Хэрэв , хаана нь тэгээс өөр тогтмол бол функцууд нь байна ижил хэмжээний дараалал.
Хамгийн энгийн жишээ: Өөрөөр хэлбэл, одой нь тэг рүү гүйхээс хоёр дахин удаан, тэдгээрийн хоорондох "зай" нь тогтмол хэвээр байна.

Хамгийн сонирхолтой тохиолдол бол хэзээ . Ийм функцийг нэрлэдэг хязгааргүй жижиг тэнцүүфункцууд.

Энгийн жишээ өгөхийн өмнө нэр томъёоны тухай ярья. Тэнцүү байдал. Энэ үгийг аль хэдийн ангид хэрэглэсэн. Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах, бусад нийтлэлд нэгээс олон удаа уулзах болно. Эквивалент гэж юу вэ? Эквивалент, логик, физик гэх мэтийн математикийн тодорхойлолт байдаг ч мөн чанарыг өөрөө ойлгохыг хичээцгээе.

Эквивалент гэдэг нь зарим талаараа эквивалент (эсвэл эквивалент) юм. Булчингаа сунгаж, дээд математикийн хичээлээ түр завсарлах цаг болжээ. Одоо гадаа нэгдүгээр сарын хүйтэн жавартай байгаа тул сайн дулаацах нь маш чухал. Коридор руу ороод хувцастай шүүгээг онгойлгоно уу. Тэнд зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай хоёр ижил нэхий дээл өлгөөтэй байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Нэг нь улбар шар, нөгөө нь нил ягаан өнгөтэй. Эдгээр нэхий дээл нь дулаацах чанарын хувьд ижил төстэй юм. Эхний болон хоёр дахь нэхий дээлний аль алинд нь та адилхан дулаахан байх болно, өөрөөр хэлбэл, сонголт нь улбар шар, ямар нил ягаан өмсөхтэй тэнцэх юм - ялахгүйгээр: "нэг нь нэгтэй тэнцүү". Гэхдээ зам дээрх аюулгүй байдлын үүднээс нэхий дээл ижил байхаа больсон - улбар шар өнгө нь тээврийн хэрэгслийн жолооч нарт илүү сайн харагддаг, ... мөн эргүүл зогсохгүй, учир нь ийм хувцас эзэмшигчийн хувьд бүх зүйл тодорхой байна. . Үүнтэй холбогдуулан бид "жижиг нэг эрэмбийн" нэхий дээл, харьцангуйгаар "улбар шар нэхий дээл" нь "ягаан нэхий дээл" -ээс хоёр дахин "аюулгүй" байдаг (энэ нь илүү муу, гэхдээ харанхуйд мэдэгдэхүйц юм) гэж бид үзэж болно. ”). Хэрэв та хүйтэнд нэг хүрэм, оймс өмссөн бол ялгаа нь аль хэдийн асар том байх болно, ингэснээр хүрэм, нэхий дээл нь "өөр өөр жижиг хэмжээтэй" болно.

… zashib, та энэ хичээлийн холбоосыг Википедиа дээр нийтлэх хэрэгтэй =) =) =)

Хязгааргүй жижиг эквивалент функцүүдийн тод жишээ танд танил болсон - эдгээр нь функцууд юм. анхны гайхалтай хязгаар .

Анхны гайхалтай хязгаарын геометрийн тайлбарыг өгье. Зургийг гүйцэтгье:

За, графикуудын хүчтэй эрэгтэй нөхөрлөл нь нүцгэн нүдэнд ч харагддаг. ГЭХДЭЭ эх нь тэднийг ялгахгүй. Тиймээс, хэрэв бол функцууд нь хязгааргүй бага ба эквивалент байна. Хэрэв ялгаа бага байвал яах вэ? Дараа нь дээд синус нь хязгаарт байж болно солих"x": , эсвэл синусын доор "x": . Үнэн хэрэгтээ энэ нь анхны гайхалтай хязгаарын геометрийн баталгаа болж хувирсан =)

Үүний нэгэн адил, дашрамд хэлэхэд нэг нь дүрсэлж болно ямар ч гайхалтай хязгаар, энэ нь нэгтэй тэнцүү байна.

! Анхаар! Объектын тэнцүү байх нь ижил объектуудыг илэрхийлдэггүй! Улбар шар, нил ягаан өнгийн нэхий дээл нь дулаантай тэнцэх боловч тэдгээр нь өөр өөр нэхий дээл юм. Функцууд нь бараг 0-ийн ойролцоо ялгаагүй боловч тэдгээр нь хоёр өөр функц юм.

Зориулалт: эквивалентийг гулдмайгаар тэмдэглэнэ.
Жишээ нь: - "х-ийн синус нь x-тэй тэнцүү", хэрэв .

Дээрхээс маш чухал дүгнэлт гарч байна. хоёр хязгааргүй жижиг функцүүд тэнцүү бол нэгийг нөгөөгөөр сольж болно. Энэ техникийг практикт өргөн ашигладаг бөгөөд яг одоо бид хэрхэн яаж хийхийг харах болно.

Дотор нь гайхалтай тэнцэл

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй болно гайхалтай тэнцэх хүснэгт. Оюутан нэг олон гишүүнт амьдардаггүй тул цаашдын үйл ажиллагааны талбар маш өргөн байх болно. Нэгдүгээрт, бид хязгааргүй бага эквивалент функцүүдийн онолыг ашиглан хичээлийн эхний хэсгийн жишээнүүдийг давтан хэлье. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Шийдлийн жишээ, үүнд дараах хязгаарлалтууд илэрсэн:

1) Хязгаарыг шийдье. Тоолуурын төгсгөлгүй жижиг функцийг түүнтэй адилтгах хязгааргүй жижиг функцээр орлъё:

Яагаад энэ орлуулалт боломжтой вэ? учир нь тэг рүү хязгааргүй ойрхонфункцийн график функцын графиктай бараг давхцаж байна.

Энэ жишээнд бид хүснэгтийн эквивалентыг ашигласан. Зөвхөн "x" төдийгүй нарийн төвөгтэй функц нь "альфа" параметрийн үүрэг гүйцэтгэх нь тохиромжтой. энэ нь тэг рүү чиглэдэг.

2) Хязгаарыг олцгооё. Хуваагчийн хувьд бид ижил тэгшитгэлийг ашигладаг бөгөөд энэ тохиолдолд:

Синус нь анх дөрвөлжин доор байсан тул эхний алхамд үүнийг бүхэлд нь талбайн доор байрлуулах шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу.

Онолын талаар бүү мартаарай: эхний хоёр жишээнд төгсгөлтэй тоонуудыг олж авсан бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм бага зэрэг ижил дарааллын тоо болон хуваагч.

3) Хязгаарыг ол. Тоолуурын хязгааргүй жижиг функцийг эквивалент функцээр орлуулъя , хаана:

Энд хуваагчаас илүү жижиг дарааллын тоо. Lilliput (мөн түүнтэй адилтгах бага зэрэг) -ээс хурдан тэг хүрдэг.

4) Хязгаарыг ол. Тоолуурын хязгааргүй жижиг функцийг эквивалент функцээр орлуулъя, энд:

Мөн энд, эсрэгээр, хуваагч жижиг байдлын дээд зэрэглэлтоологчоос илүү, одой нь одойноос (мөн түүнтэй тэнцэх одойноос) тэг хүртэл хурдан зугтдаг.

Гайхамшигтай тэгшитгэлийг практикт ашиглах ёстой юу?Энэ нь байх ёстой, гэхдээ үргэлж биш. Тиймээс, тийм ч төвөгтэй биш хязгааруудын шийдлийг (дөнгөж авч үзсэн шиг) гайхалтай тэнцэх замаар шийдвэрлэх нь зохимжгүй юм. Таныг хакердсан гэж зэмлэж, тригонометрийн томъёо, анхны гайхалтай хязгаарыг ашиглан стандарт аргаар шийдэхийг албадаж болно. Гэсэн хэдий ч, тухайн хэрэгслийн тусламжтайгаар шийдлийг шалгах эсвэл тэр даруй зөв хариултыг олох нь маш ашигтай байдаг. Хичээлийн 14-р онцлог жишээ Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах:

Цэвэр хуулбар дээр хувьсагчийн өөрчлөлттэй нэлээд том бүрэн шийдлийг гаргахыг зөвлөж байна. Гэхдээ бэлэн хариулт нь гадаргуу дээр байгаа - бид оюун санааны хувьд тэнцүү байдлыг ашигладаг. .

Дахин нэг удаа геометрийн утга: яагаад тоологч дахь функцийг функцээр солихыг зөвшөөрдөг вэ? Тэг рүү хязгааргүй ойрТэдний графикийг зөвхөн хүчирхэг микроскопоор л ялгах боломжтой.

Шийдлийг шалгахаас гадна гайхалтай тэнцлийг өөр хоёр тохиолдолд ашигладаг.

- жишээ нь нэлээд төвөгтэй эсвэл ердийн байдлаар шийдэх боломжгүй үед;
– нөхцөл байдлын дагуу гайхалтай тэнцэл хэрэглэх шаардлагатай үед.

Илүү утга учиртай ажлуудыг авч үзье:

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Тэгээс тэг хүртэлх тодорхойгүй байдал нь хэлэлцэх асуудлын дараалалд байгаа бөгөөд нөхцөл байдал нь хил хязгаар юм: шийдвэрийг стандарт аргаар гаргаж болно, гэхдээ олон өөрчлөлтүүд байх болно. Миний бодлоор, энд гайхамшигтай тэнцэх зүйлсийг ашиглах нь маш тохиромжтой.

Хязгааргүй жижиг функцийг тэнцүү функцээр орлуулъя. :

Тэгээд л болоо!

Цорын ганц техникийн нюанс: эхлээд шүргэгч нь квадрат байсан тул орлуулсны дараа аргументыг мөн квадрат болгох ёстой.

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Энэ хязгаарыг тригонометрийн томъёогоор шийдэж болно гайхалтай хязгаарууд, гэхдээ шийдэл нь дахин тийм ч таатай биш байх болно. Энэ бол өөрөө шийдэх жишээ юм, ялангуяа тоологчийг хувиргахдаа болгоомжтой байгаарай. Хэрэв эрх мэдлийн талаар төөрөгдөл байгаа бол үүнийг бүтээгдэхүүн болгон илэрхийлнэ үү:

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Гэхдээ энэ нь стандарт аргаар шийдлийг хэрэгжүүлэхэд маш хэцүү байдаг хэцүү тохиолдол юм. Бид гайхалтай тэнцэл ашигладаг:

Хязгааргүй цөөн тоог тэнцүү тоогоор сольцгооё. :

Хязгааргүй байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь хуваагч нь хуваагчаас илүү бага зэрэгтэй байна гэсэн үг юм.

Дасгал гадуур хувцасгүй хурдан явлаа =)

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Логарифмтай хэрхэн харьцах талаар бодоорой ;-)

Хязгаар шийдвэрлэх бусад аргуудтай хослуулан ашигласан гайхалтай тэнцлийг харах нь ердийн зүйл биш юм:

Жишээ 8

Эквивалент хязгааргүй тоо болон бусад хувиргалтыг ашиглан функцийн хязгаарыг ол

Гайхалтай нөхцөлт тэнцлийг энд хэрэглэх шаардлагатайг анхаарна уу.

Бид шийднэ:

Эхний алхамд бид гайхалтай тэнцлийг ашигладаг. :

Синусын хувьд бүх зүйл тодорхой байна: . Логарифмыг юу хийх вэ? Бид логарифмыг хэлбэрээр илэрхийлж, эквивалентыг хэрэглэнэ. Таны харж байгаагаар энэ тохиолдолд

Хоёр дахь шатанд бид хичээл дээр хэлэлцсэн техникийг ашигладаг

Хязгааргүй жижиг функц гэж юу вэ

Гэсэн хэдий ч функц нь зөвхөн тодорхой цэг дээр хязгааргүй жижиг байж болно. Зураг 1-ээс харахад функц нь зөвхөн 0 цэг дээр хязгааргүй бага байна.

Зураг 1. Хязгааргүй жижиг функц

Хэрэв хоёр функцийн хуваалтын хязгаар нь 1-тэй тэнцэх юм бол х-д ойртох үед функцүүд нь төгсгөлгүй бага гэж хэлнэ.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Тодорхойлолт

Хэрэв f(x), g(x) функцууд $x > a$-ийн хувьд хязгааргүй жижиг бол:

• Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд f(x) функцийг g(x)-ийн хувьд хязгааргүй жижиг дээд эрэмб гэж нэрлэдэг.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• f(x) функц нь 0-ээс ялгаатай бөгөөд хязгаар нь төгсгөлтэй бол g(x)-ийн хувьд n зэрэглэлийн хязгааргүй жижиг гэж нэрлэнэ.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Жишээ 1

$y=x^3$ функц нь x>0-ийн хувьд y=5x функцтэй харьцуулахад хязгааргүй их дээд эрэмбийн тоо бөгөөд тэдгээрийн харьцааны хязгаар нь 0 тул үүнийг $y=x функцтэй холбон тайлбарлаж байна. ^3$ нь илүү хурдан утгыг тэглэх хандлагатай байна:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]

Жишээ 2

y=x2-4 ба y=x2-5x+6 функцууд нь x>2-ийн хувьд ижил дарааллаар хязгааргүй жижиг, учир нь тэдгээрийн харьцааны хязгаар нь 0-тэй тэнцүү биш юм.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын шинж чанарууд

1. Хоёр эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын ялгаа нь тэдгээр тус бүрийн хувьд дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм.
2. Хэрэв бид хэд хэдэн хязгааргүй өөр өөр эрэмбүүдийн нийлбэрээс хязгааргүй бага дээд эрэмбийг хасвал үндсэн хэсэг гэж нэрлэгддэг үлдсэн хэсэг нь бүхэл нийлбэртэй тэнцэнэ.

Эхний шинж чанараас үзэхэд эквивалент хязгааргүй жижиг тоонууд нь дурын жижиг харьцангуй алдаатай ойролцоогоор тэнцүү болж болно. Иймд ≈ тэмдгийг хязгааргүй жижиг тоонуудын эквивалентийг илэрхийлэх ба тэдгээрийн хангалттай бага утгуудын ойролцоо тэгш байдлыг бичихэд ашигладаг.

Хязгаарыг олохдоо тооцооллын хурд, тав тухтай байдлыг хангах үүднээс ижил төстэй функцүүдийн өөрчлөлтийг ашиглах шаардлагатай байдаг. Эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын хүснэгтийг доор үзүүлэв (Хүснэгт 1).

Хүснэгтэд өгөгдсөн хязгааргүй тоонуудын эквивалентийг тэгшитгэл дээр үндэслэн баталж болно.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Хүснэгт 1

Жишээ 3

Төгсгөлгүй ln(1+x) ба x-ийн эквивалентийг баталъя.

Нотолгоо:

1. Хэмжигдэхүүний харьцааны хязгаарыг ол
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Үүнийг хийхийн тулд бид логарифмын шинж чанарыг ашиглана:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Логарифм функц нь түүний тодорхойлолтын мужид тасралтгүй байдгийг мэдэж байгаа тул та хязгаарын тэмдэг болон логарифмын функцийг сольж болно.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ баруун)\]
4. x нь хязгааргүй бага утга учир хязгаар нь 0 рүү чиглэдэг. Тэгэхээр:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ баруун)=\ln e=1\]

(хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласан)

Туршилт

Сахилга бат: Дээд математик

Сэдэв: Хязгаарлалт. Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт

1. Тооны дарааллын хязгаар

2. Функцийн хязгаар

3. Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

4. Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцуулалт

Уран зохиол

1. Тооны дарааллын хязгаар

Математикийн болон хэрэглээний олон асуудлыг шийдэх нь тодорхой байдлаар өгөгдсөн тооны дараалалд хүргэдэг. Тэдний зарим шинж чанарыг олж мэдье.

Тодорхойлолт 1.1.Хэрэв натурал тоо бүр бол

Зарим хуулийн дагуу бодит тоог захидал харилцаанд оруулдаг бөгөөд дараа нь тоонуудын багцыг тоон дараалал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 1 дээр үндэслэн тоон дараалалд үргэлж хязгааргүй олон элемент агуулагддаг нь тодорхой байна. Төрөл бүрийн тоон дарааллыг судлах нь тоо нэмэгдэхийн хэрээр гишүүд нь өөр өөр зан авир гаргадаг болохыг харуулж байна. Тэд тодорхой бус хугацаагаар нэмэгдэж, буурч болно, тодорхой тоонд байнга ойртож болно, эсвэл ямар ч тогтмол байдлыг харуулахгүй.

Тодорхойлолт 1.2.Тоо

Хэрэв ямар нэгэн тооны хувьд тухайн тоон дарааллын бүх тоонуудын хувьд нөхцөл хангагдахаас хамаарч ийм тооны тоон дарааллын тоо байвал түүнийг тоон дарааллын хязгаар гэнэ.

Хязгаарлалттай дарааллыг конвергент гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд бичнэ үү

.

Мэдээжийн хэрэг, тоон дарааллын нэгдлийн тухай асуултыг тодруулахын тулд зөвхөн түүний элементүүдийн шинж чанарт үндэслэсэн шалгуур байх шаардлагатай.

Теорем 1.1.(Тоон дарааллын нийлэх тухай Коши теорем). Тоон дарааллыг нэгтгэхийн тулд ямар ч тооны хувьд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм

Тоон дарааллын аль ч хоёр тооны хувьд болон нөхцөлийг хангасан, тэгш бус байдал үнэн байхаас шалтгаалж ийм тоон дарааллын дугаар байсан.

Баталгаа. Хэрэгцээтэй. Энэ нь тоон дараалал гэж өгөгдсөн

нийлдэг бөгөөд энэ нь 2-р тодорхойлолтын дагуу хязгаартай гэсэн үг юм. Хэдэн тоо сонгоё. Дараа нь тоон дарааллын хязгаарын тодорхойлолтын дагуу бүх тооны хувьд тэгш бус байдал биелэгдэх ийм дарааллын дугаар байна. Гэхдээ дур зоргоороо болохоор биелэх ба . Хоёр дарааллын дугаарыг авч үзье, дараа нь .

Тиймээс үүнийг дагадаг

, өөрөөр хэлбэл хэрэгцээ нь батлагдсан.

Хангалттай байдал. Үүнийг харгалзан үзвэл

. Тиймээс өгөгдсөн нөхцөлийн хувьд ийм тоо байдаг ба . Тодруулбал, хэрэв , ба , дараа нь эсвэл үүнийг заасан. Энэ нь тоон дараалал хязгаарлагдмал гэсэн үг юм. Тиймээс дор хаяж нэг дэд дарааллыг нэгтгэх ёстой. Let . Энэ нь бас нийлдэг болохыг баталцгаая.

дур зоргоороо авч үзье

. Дараа нь, хязгаарын тодорхойлолтын дагуу тэгш бус байдал нь бүгдэд нийцэх тоо байдаг. Нөгөөтэйгүүр, нөхцөлийн дагуу дараалал нь бүх хүнд болон нөхцөл хангагдсан байх тийм тоотой байна. заримыг нь засаарай. Дараа нь бид бүгдэд нь: .

Тиймээс үүнийг дагадаг