Deri më tani, ne kemi marrë parasysh vetëm ato QS në të cilat çdo pretendim mund të shërbehet nga vetëm një kanal; kanalet boshe nuk mund të "ndihmojnë" një të zënë në shërbim.
Në përgjithësi, nuk është gjithmonë kështu: ka sisteme të radhës ku e njëjta kërkesë mund të shërbehet njëkohësisht nga dy ose më shumë kanale. Për shembull, e njëjta makinë e dështuar mund t'u shërbejë dy punëtorëve në të njëjtën kohë. Një "ndihmë e ndërsjellë" e tillë ndërmjet kanaleve mund të bëhet si në QS të hapura ashtu edhe të mbyllura.
Kur merren parasysh CMO-të me asistencë të ndërsjellë ndërmjet kanaleve, duhet të merren parasysh dy faktorë:
1. Sa më i shpejtë është shërbimi i një aplikacioni kur në të punojnë jo një, por disa kanale njëherësh?
2. Çfarë është “disiplina e ndihmës së ndërsjellë”, pra kur dhe si marrin përsipër disa kanale shërbimin e së njëjtës kërkesë?
Le të shqyrtojmë fillimisht pyetjen e parë. Është e natyrshme të supozohet se nëse më shumë se një kanal, por disa kanale, punojnë në shërbimin e një kërkese, intensiteti i fluksit të shërbimit nuk do të ulet me rritjen e k, d.m.th., do të jetë një funksion i caktuar jo-zvogëlues i numrit k. të kanaleve të punës. Le ta shënojmë këtë funksion.Forma e mundshme e funksionit është paraqitur në fig. 5.11.
Natyrisht, një rritje e pakufizuar në numrin e kanaleve që funksionojnë njëkohësisht jo gjithmonë çon në një rritje proporcionale të normës së shërbimit; është më e natyrshme të supozohet se, në një vlerë të caktuar kritike, një rritje e mëtejshme e numrit të kanaleve të zëna nuk e rrit më intensitetin e shërbimit.
Për të analizuar funksionimin e një QS me ndihmën e ndërsjellë midis kanaleve, është e nevojshme, para së gjithash, të vendosni llojin e funksionit.
Rasti më i thjeshtë për hetim do të jetë rasti kur funksioni rritet proporcionalisht me k kur a mbetet konstante dhe e barabartë kur a (shih Fig. 5.12). Nëse, përveç kësaj, numri i përgjithshëm i kanaleve që mund të ndihmojnë njëri-tjetrin nuk e kalon
Le të kthehemi tani te pyetja e dytë: disiplina e ndihmës së ndërsjellë. Rastin më të thjeshtë të kësaj disipline do ta caktojmë me kusht si "të gjithë si një". Kjo do të thotë që kur shfaqet një kërkesë, të gjitha kanalet fillojnë ta servirin menjëherë dhe mbeten të zëna derisa të përfundojë shërbimi i kësaj kërkese; atëherë të gjitha kanalet kalojnë në servisimin e një kërkese tjetër (nëse ekziston) ose presin që të shfaqet nëse nuk ekziston, etj. Natyrisht, në këtë rast, të gjitha kanalet funksionojnë si një, QS bëhet njëkanalësh, por me një më të lartë intensiteti i shërbimit.
Shtrohet pyetja: a është e dobishme apo e pafavorshme futja e një ndihme të tillë reciproke ndërmjet kanaleve? Përgjigja për këtë pyetje varet nga intensiteti i fluksit të aplikacioneve, çfarë lloj funksioni, çfarë lloji QS (me dështime, me radhë), çfarë vlere zgjidhet si karakteristikë e efikasitetit të shërbimit.
Shembulli 1. Ekziston një QS me tre kanale me dështime: intensiteti i fluksit të aplikacioneve (aplikime për minutë), koha mesatare e shërbimit të një aplikacioni për një kanal (min), funksioni "? A është e dobishme nga pikëpamja e uljes së kohës mesatare të qëndrimit të një aplikimi në sistem?
Zgjidhja a. Pa ndihmë reciproke
Nga formulat Erlang (shih § 4) kemi:
Kapaciteti relativ i QS;
Gjerësia e bandës absolute:
Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në QS gjendet si probabiliteti që aplikacioni të pranohet për shërbim, shumëzuar me kohën mesatare të shërbimit:
Thelbi (min).
Nuk duhet harruar se kjo kohë mesatare vlen për të gjitha kërkesat - të servisuara dhe të pashërbyera. Mund të na interesojë koha mesatare që një kërkesë e servisuar do të qëndrojë në sistem. Kjo kohë është:
6. Me ndihmën e ndërsjellë.
Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në CMO:
Koha mesatare e qëndrimit të një kërkese të shërbimit në QS:
Kështu, në prani të ndihmës së ndërsjellë "të gjithë si një", xhiroja e SMO është ulur ndjeshëm. Kjo shpjegohet me një rritje të probabilitetit të dështimit: ndërsa të gjitha kanalet janë të zënë me shërbimin e një aplikacioni, aplikacionet e tjera mund të vijnë dhe, natyrisht, të refuzohen. Sa i përket kohës mesatare të qëndrimit të një aplikimi në ZKM, ajo, siç pritej, u ul. Nëse, për ndonjë arsye, ne po përpiqemi të zvogëlojmë kohën që aplikacioni shpenzon në QS në çdo mënyrë të mundshme (për shembull, nëse qëndrimi në QS është i rrezikshëm për aplikacionin), mund të rezultojë se, pavarësisht uljes së xhiros, do të jetë ende e dobishme të kombinohen tre kanale në një.
Le të shqyrtojmë tani ndikimin e ndihmës reciproke “të gjithë si një” në punën e CMO-ve me pritshmëri. Për thjeshtësi, marrim vetëm rastin e një radhe të pakufishme. Natyrisht, efektet e ndihmës së ndërsjellë në xhiros Në këtë rast nuk do të ketë CMO, pasi në çdo kusht do të shërbehen të gjitha aplikacionet e ardhura. Shtrohet pyetja për ndikimin e ndihmës së ndërsjellë në karakteristikat e pritjes: gjatësia mesatare e radhës, koha mesatare e pritjes, koha mesatare e kaluar në QS.
Në bazë të formulave (6.13), (6.14) § 6 për shërbimin pa ndihmë reciproke, numri mesatar i klientëve në radhë do të jetë
koha mesatare e pritjes:
dhe koha mesatare e kaluar në sistem:
Nëse përdoret ndihma e ndërsjellë e tipit "të gjithë si një", atëherë sistemi do të funksionojë si një sistem me një kanal me parametra
dhe karakteristikat e tij përcaktohen nga formula (5.14), (5.15) § 5:
Shembulli 2. Ekziston një QS me tre kanale me një radhë të pakufizuar; intensiteti i fluksit të aplikacioneve (aplikacione për min.), koha mesatare e shërbimit Funksioni Përfitues duke pasur parasysh:
Gjatësia mesatare e radhës
Koha mesatare e pritjes për shërbim,
Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në CMO
prezantoni ndihmën e ndërsjellë midis kanaleve si "të gjithë si një"?
Zgjidhja a. Asnjë ndihmë reciproke.
Sipas formulave (9.1) - (9.4) kemi
(3-2)
b. Me ndihmën e ndërsjellë
Sipas formulave (9.5) - (9.7) gjejmë;
Kështu, gjatësia mesatare e radhës dhe koha mesatare e pritjes në radhë në rastin e ndihmës së ndërsjellë është më e madhe, por koha mesatare që kalon aplikacioni në sistem është më e vogël.
Nga shembujt e shqyrtuar del qart se ndihma reciproke midis k? Lloji i parave të gatshme "të gjitha si një", si rregull, nuk kontribuon në përmirësimin e efikasitetit të shërbimit: koha e kaluar nga një aplikacion në QS zvogëlohet, por karakteristikat e tjera të shërbimit përkeqësohen.
Prandaj, është e dëshirueshme të ndryshohet disiplina e shërbimit në mënyrë që ndihma e ndërsjellë ndërmjet kanaleve të mos ndërhyjë në pranimin e kërkesave të reja për shërbim nëse ato shfaqen gjatë kohës kur të gjitha kanalet janë të zëna.
Le ta quajmë kushtimisht "ndihmë reciproke uniforme" llojin e mëposhtëm të ndihmës së ndërsjellë. Nëse kërkesa arrin në momentin kur të gjitha kanalet janë të lira, atëherë të gjitha kanalet pranohen për shërbimin e saj; nëse në momentin e servisimit të kërkesës vjen një tjetër, disa nga kanalet kalojnë në servisim të saj; nëse, ndërkohë që këto dy kërkesa janë duke u shërbyer, vjen një tjetër, disa nga kanalet ndërrohen për ta shërbyer, e kështu me radhë, derisa të gjitha kanalet të jenë të zëna; nëse po, kërkesa e sapoardhur refuzohet (në një QS me mohime) ose vendoset në një radhë (në një QS me pritje).
Me këtë disiplinë të ndihmës së ndërsjellë, aplikimi refuzohet ose vihet në radhë vetëm kur nuk është e mundur të shërbehet. Sa i përket "kohës së ndërprerjes" së kanaleve, ajo është minimale në këto kushte: nëse ka të paktën një aplikacion në sistem, të gjitha kanalet funksionojnë.
Më sipër përmendëm se kur shfaqet një kërkesë e re, disa nga kanalet e zëna lëshohen dhe kalojnë në shërbimin e kërkesës së sapoardhur. Cila pjesë? Varet nga lloji i funksionit.Nëse ka formën e një marrëdhënieje lineare, siç tregohet në fig. 5.12, dhe nuk ka rëndësi se cila pjesë e kanaleve të ndahet për shërbimin e një kërkese të sapo pranuar, për sa kohë që të gjitha kanalet janë të zëna (atëherë intensiteti total i shërbimeve për çdo shpërndarje të kanaleve sipas kërkesave do të jetë i barabartë me ). Mund të vërtetohet se nëse kurba është konvekse lart, siç tregohet në Fig. 5.11, atëherë duhet t'i shpërndani kanalet midis aplikacioneve në mënyrë sa më të barabartë.
Le të shqyrtojmë punën e kanalit QS me asistencë të ndërsjellë "uniforme" ndërmjet kanaleve.
Sistemi i ekuacioneve
QS me dështime për një numër të rastësishëm fluksesh shërbimi është një model vektorial për flukset Poisson. Grafiku, sistemi i ekuacioneve.
Le të paraqesim QS si një vektor, ku k mështë numri i kërkesave në sistem, secila prej të cilave shërbehet m aparate; L= q max- q min +1 është numri i rrymave hyrëse.
Nëse kërkesa pranohet për shërbim dhe sistemi kalon në një gjendje me intensitet λ m.
Pas përfundimit të servisimit të njërës prej kërkesave, sistemi do të shkojë në një gjendje në të cilën koordinata përkatëse ka një vlerë më të vogël se në gjendjen , = , d.m.th. do të ndodhë tranzicioni i kundërt.
Një shembull i një modeli vektorial QS për n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteti i mirëmbajtjes së instrumentit është μ.
Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare është përpiluar nga grafiku i gjendjeve me intensitet të tranzicionit të aplikuar. Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve gjenden probabilitetet R(), me të cilin përcaktohen karakteristikat QS.
QS me një radhë të pafundme për rrjedhat e Poisson. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, raportet e projektimit.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
Ku n- numri i kanaleve të shërbimit, l– numri i kanaleve që ndihmojnë reciprokisht
QS me një radhë të pafundme dhe ndihmë të pjesshme reciproke për flukse arbitrare. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, raportet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) Pk+ λ Pk –1 + nμ Pk +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ P n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS me një radhë të pafundme dhe asistencë të plotë reciproke për flukse arbitrare. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, raportet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
|
Sistemi i ekuacioneve
QS me një radhë të fundme për rrjedhat Poisson. Grafiku, sistemi i ekuacioneve, raportet e llogaritura.
Grafiku i sistemit
Sistemi i ekuacioneve
Raportet e projektimit:
,
Le të shqyrtojmë një sistem të radhës me shumë kanale (ka n kanale gjithsej), në të cilin kërkesat arrijnë me një normë λ dhe shërbehen me një normë μ. Një kërkesë që ka mbërritur në sistem shërbehet nëse të paktën një kanal është i lirë. Nëse të gjitha kanalet janë të zëna, atëherë kërkesa e radhës që hyn në sistem refuzohet dhe del nga QS. Ne numërojmë gjendjet e sistemit me numrin e kanaleve të zëna:
- S 0 - të gjitha kanalet janë falas;
- S 1 - një kanal është i zënë;
- S 2 – dy kanale janë të zëna;
- Sk- i zënë k kanale;
- Sn– të gjitha kanalet janë të zëna.
Oriz. 7.24
Në figurën 6.24 është paraqitur grafiku i gjendjes në të cilin Si– numri i kanalit; λ është intensiteti i pranimit të aplikacioneve; μ
- respektivisht intensiteti i servisimit të aplikacioneve. Aplikacionet hyjnë në sistemin e radhës me një intensitet konstant dhe gradualisht zënë kanalet njëri pas tjetrit; kur të gjitha kanalet janë të zëna, kërkesa e radhës që arrin në QS do të refuzohet dhe do të largohet nga sistemi.
Le të përcaktojmë intensitetin e rrjedhave të ngjarjeve që transferojnë sistemin nga gjendja në gjendje kur lëvizim nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë përgjatë grafikut të gjendjes.
Për shembull, le të jetë sistemi në gjendje S 1, d.m.th., një kanal është i zënë, pasi ka një kërkesë në hyrjen e tij. Sapo të përpunohet kërkesa, sistemi do të kalojë në gjendje S 0 .
Për shembull, nëse dy kanale janë të zënë, atëherë fluksi i shërbimit që transferon sistemin nga gjendja S 2 për shtet S 1 do të jetë dy herë më intensive: 2-μ; përkatësisht, nëse është i zënë k kanalet, intensiteti është i barabartë me k-μ.
Procesi i shërbimit është një proces vdekjeje dhe riprodhimi. Ekuacionet Kolmogorov për këtë rast të veçantë do të kenë formën e mëposhtme:
(7.25)
Quhen ekuacionet (7.25). Ekuacionet Erlang
.
Për të gjetur vlerat e probabiliteteve të gjendjeve R 0 , R 1 , …, Rn, është e nevojshme të përcaktohen kushtet fillestare:
– R 0 (0) = 1, d.m.th. ka një kërkesë në hyrjen e sistemit;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, d.m.th., in momenti fillestar koha kur sistemi është i lirë.
Pas integrimit të sistemit të ekuacioneve diferenciale (7.25), marrim vlerat e probabiliteteve të gjendjes R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Por ne jemi shumë më të interesuar për probabilitetet kufizuese të shteteve. Si t → ∞ dhe duke përdorur formulën e marrë kur shqyrtojmë procesin e vdekjes dhe riprodhimit, marrim zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve (7.25):
(7.26)
Në këto formula, raporti i intensitetit λ / μ
për rrjedhën e aplikacioneve është i përshtatshëm për t'u caktuar ρ
.Kjo vlerë quhet intensiteti i reduktuar i fluksit të aplikacioneve, domethënë, numri mesatar i aplikacioneve që mbërrijnë në QS për kohën mesatare të shërbimit të një aplikacioni.
Duke marrë parasysh shënimin e mësipërm, sistemi i ekuacioneve (7.26) merr formën e mëposhtme:
(7.27)
Këto formula për llogaritjen e probabiliteteve margjinale quhen Formulat Erlang
.
Duke ditur të gjitha probabilitetet e gjendjeve QS, gjejmë karakteristikat e efikasitetit të QS, d.m.th., xhiros absolute POR, xhiros relative P dhe probabiliteti i dështimit R hapur
Një kërkesë që hyn në sistem do të refuzohet nëse i gjen të gjitha kanalet të zëna:
.
Probabiliteti që aplikacioni të pranohet për shërbim:
P = 1 – R otk,
ku Pështë pjesa mesatare e kërkesave të marra të servisuara nga sistemi, ose numri mesatar i kërkesave të shërbyera nga QS për njësi kohore, pjesëtuar me numrin mesatar të kërkesave të marra gjatë kësaj kohe:
A=λ Q=λ (1-P e hapur)
Përveç kësaj, një nga karakteristikat më të rëndësishme QS me dështime është kanale mesatare të zëna. AT n-kanali QS me dështime, ky numër përkon me numrin mesatar të aplikacioneve në QS.
Numri mesatar i aplikimeve k mund të llogaritet drejtpërdrejt në termat e probabiliteteve të gjendjeve Р 0 , Р 1 , … , Р n:
,
d.m.th. ne gjejmë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme që merr një vlerë nga 0 në n me probabilitete R 0 , R 1 , …, Rn.
Është edhe më e lehtë të shprehësh vlerën e k në terma të xhiros absolute të QS, d.m.th. A. Vlera e A është numri mesatar i aplikacioneve që shërbehen nga sistemi për njësi të kohës. Një kanal i zënë shërben μ kërkesa për njësi kohore, pastaj numrin mesatar të kanaleve të zënë
Formulimi i problemit. Në hyrje n-kanali QS merr fluksin më të thjeshtë të kërkesave me densitet λ. Dendësia e fluksit më të thjeshtë të shërbimit të çdo kanali është e barabartë me μ. Nëse kërkesa e marrë për shërbim i gjen të gjitha kanalet të lira, atëherë ajo pranohet për shërbim dhe servisohet njëkohësisht. l kanale ( l < n). Në këtë rast, fluksi i shërbimit të një kërkese do të ketë një intensitet l.
Nëse një kërkesë e marrë për servis gjen një kërkesë në sistem, atëherë n ≥ 2l aplikacioni i sapoardhur do të pranohet për shërbim dhe do të shërbehet njëkohësisht l kanalet.
Nëse një aplikacion i marrë për servis gjen në sistem i aplikacionet ( i= 0,1, ...), ndërsa ( i+ 1)l≤ n, atëherë kërkesa e pranuar do të shërbehet l kanale me kapacitet total l. Nëse një aplikacion i sapo pranuar gjen në sistem j kërkesat, dhe dy pabarazi janë përmbushur njëkohësisht: ( j + 1)l > n dhe j < n, atëherë aplikacioni do të pranohet për shërbim. Në këtë rast, disa aplikacione mund të shërbehen l kanalet, pjesa tjetër më e vogël se l, numri i kanaleve, por të gjitha n kanale që shpërndahen rastësisht ndërmjet aplikacioneve. Nëse në sistem gjendet një aplikacion i sapo pranuar n aplikimet, ai refuzohet dhe nuk do të shërbehet. Një aplikacion që është servisuar shërbehet deri në fund (aplikacionet janë "pacient").
Grafiku i gjendjes së një sistemi të tillë është paraqitur në Fig. 3.8.
Oriz. 3.8. Grafiku i gjendjes QS me dështime dhe të pjesshme
ndihmë reciproke ndërmjet kanaleve
Vini re se grafiku i gjendjes së sistemit deri në gjendjen x h përkon me grafikun e gjendjes së sistemit klasik të radhës me dështime, të paraqitur në figurën 2, deri në shënimin e parametrave të rrjedhës. 3.6.
Rrjedhimisht,
(i
= 0, 1, ..., h).
Grafiku i gjendjeve të sistemit, duke filluar nga gjendja x h dhe duke përfunduar me shtetin x n, përkon deri në shënim me grafikun e gjendjes së QS me asistencë të plotë reciproke, të paraqitur në Fig. 3.7. Në këtë mënyrë,
.
Ne prezantojmë shënimin λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, atëherë
Duke marrë parasysh gjendjen e normalizuar, marrim
Për të shkurtuar shënimin e mëtejshëm, ne prezantojmë shënimin
Gjeni karakteristikat e sistemit.
Probabiliteti i Shërbimit të Aplikimit
Numri mesatar i aplikacioneve në sistem,
Kanalet mesatare të zënë
.
Probabiliteti që një kanal i caktuar do të jetë i zënë
.
Probabiliteti i okupimit të të gjitha kanaleve të sistemit
3.4.4. Sistemet e radhës me dështime dhe flukse johomogjene
Formulimi i problemit. Në hyrje n-kanali QS merr një rrjedhje elementare johomogjene me një intensitet total λ Σ, dhe
λ Σ
=
,
ku λ i- intensiteti i aplikimeve në i-m burim.
Meqenëse fluksi i kërkesave konsiderohet si një mbivendosje e kërkesave nga burime të ndryshme, rrjedha e kombinuar me saktësi të mjaftueshme për praktikë mund të konsiderohet Poisson për N = 5...20 dhe λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensiteti i shërbimit të një pajisjeje shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe është i barabartë me μ = 1/ t. Pajisjet e servisit për servisimin e një aplikacioni janë të lidhura në seri, gjë që është e barabartë me rritjen e kohës së shërbimit me sa herë më shumë pajisje të kombinuara për servisim:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
ku t obs – kërkoni kohën e shërbimit; k- numri i pajisjeve të shërbimit; μ obs - intensiteti i shërbimit të aplikimit.
Brenda kuadrit të supozimeve të bëra në Kapitullin 2, ne paraqesim gjendjen QS si një vektor, ku k mështë numri i kërkesave në sistem, secila prej të cilave shërbehet m aparate; L = q max- q min +1 është numri i rrymave hyrëse.
Pastaj numri i pajisjeve të zëna dhe të lira ( n zan ( 
),n sv ( 
)) në gjendje 
përkufizohet si më poshtë:
Jashtë shtetit 
sistemi mund të shkojë në çdo shtet tjetër 
. Meqenëse sistemi ka L rrjedhat hyrëse, atëherë nga çdo gjendje është potencialisht e mundur L tranzicione të drejtpërdrejta. Megjithatë, për shkak të burimeve të kufizuara të sistemit, jo të gjitha këto tranzicione janë të realizueshme. QS le të jetë në shtet 
dhe vjen një aplikim që kërkon m aparate. Nese nje m≤ n sv ( 
), më pas kërkesa pranohet për shërbim dhe sistemi kalon në gjendje me intensitet λ m. Nëse aplikacioni kërkon më shumë pajisje se sa janë falas, atëherë ai do të marrë një refuzim shërbimi dhe QS do të mbetet në gjendje 
. Nëse ka mundësi 
ka aplikime që kërkojnë m pajisjet, atëherë secila prej tyre servisohet me intensitet m, dhe intensiteti total i shërbimit të kërkesave të tilla (μ m) përkufizohet si μ m
= k m μ
/ m. Kur shërbimi i njërës prej kërkesave të përfundojë, sistemi do të shkojë në një gjendje në të cilën koordinata përkatëse ka një vlerë më të vogël se në gjendjen 
,
=, d.m.th. do të ndodhë tranzicioni i kundërt. Në fig. 3.9 tregon një shembull të një modeli vektorial QS për n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensiteti i mirëmbajtjes së instrumentit është μ.
Oriz. 3.9. Një shembull i një grafiku të modelit vektor QS me mohim të shërbimit
Pra çdo shtet 
karakterizohet nga numri i kërkesave të servisuara të një lloji të caktuar. Për shembull, në një shtet 
një kërkesë shërbehet nga një pajisje dhe një pretendim nga dy pajisje. Në këtë gjendje, të gjitha pajisjet janë të zëna, prandaj, vetëm kalimet e kundërta janë të mundshme (ardhja e çdo klienti në këtë gjendje çon në një refuzim të shërbimit). Nëse shërbimi i kërkesës së llojit të parë ka përfunduar më herët, sistemi do të kalojë në gjendje 
(0,1,0) me intensitet μ, por nëse shërbimi i llojit të dytë të kërkesës ka përfunduar më herët, atëherë sistemi do të shkojë në gjendje 
(0,1,0) me intensitet μ/2.
Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare është përpiluar nga grafiku i gjendjeve me intensitet të tranzicionit të aplikuar. Nga zgjidhja e këtyre ekuacioneve gjenden probabilitetet R(
), me të cilin përcaktohet karakteristika QS.
Merrni parasysh gjetjen R otk (probabiliteti i refuzimit të shërbimit).
,
ku Sështë numri i gjendjeve grafike të modelit të vektorit QS; R(
) është probabiliteti që sistemi të jetë në gjendje 
.
Numri i shteteve sipas tyre përcaktohet si më poshtë:
,
(3.22)
;
Le të përcaktojmë numrin e gjendjeve të modelit të vektorit QS sipas (3.22) për shembullin e paraqitur në Fig. 3.9.
.
Rrjedhimisht, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Për të zbatuar kërkesat reale për pajisjet e shërbimit, një numër mjaft i madh i n
(40, ..., 50), dhe kërkesat për numrin e pajisjeve të shërbimit të aplikacionit në praktikë shtrihen në intervalin 8–16. Me një raport të tillë instrumentesh dhe kërkesash, mënyra e propozuar për gjetjen e probabiliteteve bëhet jashtëzakonisht e rëndë, pasi Modeli vektorial QS ka një numër të madh gjendjesh S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = 11075, dhe madhësia e matricës së koeficientëve të sistemit të ekuacioneve algjebrike është proporcionale me katrorin S, e cila kërkon një sasi të madhe memorie kompjuteri dhe një sasi të konsiderueshme të kohës kompjuterike. Dëshira për të zvogëluar sasinë e llogaritjes stimuloi kërkimin e mundësive llogaritëse të përsëritura R(
) bazuar në format shumëzuese të paraqitjes së probabiliteteve të gjendjes. Punimi paraqet një qasje ndaj llogaritjes R(
):
(3.23)
Përdorimi i kriterit të ekuivalencës së balancave globale dhe të detajuara të zinxhirëve Markov të propozuar në punim bën të mundur zvogëlimin e dimensionit të problemit dhe kryerjen e llogaritjeve në një kompjuter me fuqi mesatare duke përdorur përsëritjen e llogaritjeve. Përveç kësaj, ekziston mundësia:
– llogaritni për çdo vlerë n;
– përshpejtoni llogaritjen dhe ulni koston e kohës së makinës.
Karakteristikat e tjera të sistemit mund të përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
