Le a(x) dhe b(x) – b.m. funksionon në x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0,…). Konsideroni kufirin e raportit të tyre në x® a.

1. Nëse = b dhe b- numri përfundimtar b¹ 0, pastaj funksionet a(x), b(x) quhen pafundësisht të vogla një rend i madhësisë në x® a.

2. Nëse = 0, atëherë a(x) quhet pafundësisht i vogël rendit më të lartë , si b(x) në x® a. Natyrisht, në këtë rast = ¥.

3. Nëse a(x) – b.m. rendit më të lartë se b(x), dhe = b¹ 0 ( b- numri përfundimtar kÎ N ), pastaj a(x) quhet pafundësisht i vogël k-rendi i krahasuar me b(x) në x® a.

4. Nëse nuk ekziston (as i fundëm, as i pafund), atëherë a(x), b(x) quhen i pakrahasueshëm b.m. në x® a.

5. Nëse = 1, atëherë a(x), b(x) quhen ekuivalente b.m. në x® a, e cila shënohet si më poshtë: a(x) ~ b(x) në x® a.

Shembulli 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Është e qartë se në x® 1 funksionet a(x), b(x) janë b.m. Për t'i krahasuar ato, gjejmë kufirin e raportit të tyre në x® 1:

konkluzioni: a(x b(x) në x® 1.

Është e lehtë të verifikohet se = (sigurohuni!), prej nga rrjedh kjo a(x) – b.m. Rendi i tretë i vogëlsisë, në krahasim me b(x) në x® 1.

Shembulli 2. Funksione a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = mëkat x, a 4 (x) = tg x janë të pafundme për x® 0. Krahasoni ato:

0, , = 1, = ¥.

Prandaj konkludojmë se a 2 (x) = x 2 - p.m. rendit më të lartë se a 1 (x) dhe a 3 (x) (në x® 0), a 1 (x) dhe a 3 (x) – b.m. një porosi, a 3 (x) dhe a 4 (x) janë ekuivalente b.m., d.m.th. mëkat x~tg x në x® 0.

Teorema 1. Le a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) në x® a. Nëse ekziston , atëherë ekziston dhe , dhe = .

Dëshmi. = 1, = 1,

= = .

Kjo teoremë e bën më të lehtë gjetjen e kufijve.

Shembulli 3.

Gjej .

Në sajë të kufirit të parë të shquar të mëkatit4 x~ 4x, tg3 x~ 3x në x® 0, pra

Teorema 2. Funksione pafundësisht të vogla a(x) dhe b(x) janë ekuivalente (për x® a) nese dhe vetem nese a(x) – b(x) është b.m. rendit më të lartë se a(x) dhe b(x) (në x® a).

Dëshmi

Le a(x) ~ b(x) në x® a. Pastaj = = 0, d.m.th. ndryshim a(x) – b(x a(x) në në x® a(të ngjashme me b(x)).

Le a(x) – b(x) – b.m. rendit më të lartë se a(x) dhe b(x), do ta tregojmë këtë a(x) ~ b(x) në x® a:

= = + = 1,

Funksione pafundësisht të vogla.

Vazhdojmë ciklin e trajnimit “Limits for Dummies”, i cili u hap me artikuj Limitet. Shembuj zgjidhjesh dhe Kufij të shquar. Nëse kjo është hera juaj e parë në sit, ju rekomandoj që të lexoni edhe mësimin Metodat e zgjidhjes së kufijve e cila do të përmirësojë shumë karmën tuaj studentore. Në manualin e tretë, ne morëm parasysh funksionet e pafundme, krahasimi i tyre, dhe tani është koha të armatoseni me një xham zmadhues, në mënyrë që pas Tokës së Gjigantëve, të shikoni në Tokën e Liliputëve. Pushimet e Vitit të Ri i kalova në kryeqytetin kulturor dhe u ktheva në një shumë humor të mirë, kështu që leximi premton të jetë veçanërisht interesant.

Ky artikull do të diskutojë në detaje funksione infiniteminale, me të cilat në fakt tashmë e keni hasur shumë herë dhe krahasimin e tyre. Shumë ngjarje janë të lidhura ngushtë me ngjarje të padukshme afër zeros. kufij të mrekullueshëm, ekuivalenca të mrekullueshme, dhe pjesa praktike e mësimit i kushtohet kryesisht vetëm llogaritjes së kufijve duke përdorur ekuivalenca të mrekullueshme.

Funksione pafundësisht të vogla. Krahasimi i infinitezimaleve

Çfarë mund të them ... Nëse ka një kufi, atëherë thirret funksioni pafundësisht i vogël në një pikë.

Thelbi thelbësor i pohimit është fakti se funksioni mund të jetë pafundësisht i vogël vetëm në një pikë të caktuar .

Le të nxjerrim një vijë të njohur:

Ky funksion pafundësisht i vogël në një pikë të vetme:
Duhet të theksohet se, në pikat "plus pafundësi" dhe "minus pafundësi", i njëjti funksion do të jetë tashmë pafundësisht i madh: . Ose në një shënim më kompakt:

Në të gjitha pikat e tjera, kufiri i funksionit do të jetë i barabartë me një numër të fundëm të ndryshëm nga zero.

Në këtë mënyrë, nuk ka nje gje te tille si "vetëm një funksion pafundësisht i vogël" ose "vetëm një funksion pafundësisht i madh". Një funksion mund të jetë pafundësisht i vogël ose pafundësisht i madh vetëm në një pikë të caktuar .

! shënim : për shkurtësi, do të them shpesh "funksion infinitimal", që do të thotë se është pafundësisht i vogël në pikën në fjalë.

Mund të ketë disa ose edhe pafundësisht shumë pika të tilla. Le të vizatojmë një lloj parabole të patrembur:

Funksioni kuadratik i paraqitur është pafundësisht i vogël në dy pika - në "një" dhe në "dy":

Si në shembullin e mëparshëm, në pafundësi, ky funksion është pafundësisht i madh:

Kuptimi i shenjave të dyfishta :

Shënim do të thotë se në , dhe në .

Shënim do të thotë se si në , dhe në .
Parimi i komentuar i "deshifrimit" të shenjave të dyfishta është i vlefshëm jo vetëm për pafundësitë, por edhe për çdo pikë fundore, funksion dhe një sërë objektesh të tjera matematikore.

Dhe tani sinusi. Ky është një shembull ku funksioni pafundësisht i vogël në një numër të pafund pikash:

Në të vërtetë, sinusoidi "pulson" boshtin x përmes çdo "pi":

Vini re se funksioni është i kufizuar nga lart/poshtë, dhe nuk ka asnjë pikë të tillë në të cilën do të ishte pafundësisht i madh, sinusi mund të lëpijë buzët vetëm në pafundësi.

Më lejoni t'u përgjigjem disa pyetjeve të thjeshta:

A mund të jetë një funksion pafundësisht i vogël në pafundësi?

Sigurisht. Raste të tilla të një karroce dhe një karroce të vogël.
Shembull elementar: . Kuptimi gjeometrik i këtij kufiri, nga rruga, ilustrohet në artikull Grafikët dhe vetitë e funksioneve.

A mundet që një funksion NUK të jetë pafundësisht i vogël?
(në çdo moment domenet)

Po. Një shembull i dukshëm është një funksion kuadratik, grafiku i të cilit (parabola) nuk e pret boshtin. Deklarata e kundërt, nga rruga, në përgjithësi nuk është e vërtetë - hiperbola nga pyetja e mëparshme, megjithëse nuk e kalon boshtin x, por pafundësisht i vogël në pafundësi.

Krahasimi i funksioneve infiniteminale

Le të ndërtojmë një sekuencë që tenton në zero dhe të llogarisim disa vlera të trinomit:

Është e qartë se me një ulje të vlerave x, funksioni shkon në zero më shpejt se të gjithë të tjerët (vlerat e tij janë të rrethuara me të kuqe). Ata thonë se një funksion sesa një funksion , si dhe rendit më të lartë të vogëlsisë, si. Por vrapimi i shpejtë në Tokën e Liliputëve nuk është trimëri, "tonin e vendos" xhuxhi më i ngadalshëm, i cili, siç i ka hije shefit, shkon në zero më i ngadalshëm nga të gjithë. Kjo varet nga ai sa shpejt shuma do t'i afrohet zeros:

Në mënyrë figurative, një funksion pafundësisht i vogël "thith" gjithçka tjetër, gjë që shihet veçanërisht mirë në rezultatin përfundimtar të rreshtit të tretë. Ndonjëherë ata thonë atë rendit më të ulët të vogëlsisë, si dhe shuma e tyre.

Në kufirin e konsideruar, e gjithë kjo, natyrisht, nuk ka shumë rëndësi, sepse rezultati është ende zero. Sidoqoftë, "pilotët me peshë të rëndë" fillojnë të luajnë në parim rol i rendesishem brenda thyesave. Le të fillojmë me shembuj që, edhe pse të rrallë, gjenden në jetën reale. punë praktike:

Shembulli 1

Llogaritni kufirin

Këtu ka pasiguri dhe mësimi hyrës rreth funksione ne kujtojmë parimin e përgjithshëm të zbulimit të kësaj pasigurie: ju duhet të zbërtheni numëruesin dhe emëruesin në faktorë, dhe më pas të zvogëloni diçka:

Në hapin e parë, ne nxjerrim kllapat në numërues dhe "x" në emërues. Në hapin e dytë, ne zvogëlojmë numëruesin dhe emëruesin me "x", duke eliminuar kështu pasigurinë. Ne tregojmë se "X"-të e mbetura priren në zero dhe marrim përgjigjen.

Në kufi, bagel doli, pra, funksioni numërues rendit më të lartë të vogëlsisë sesa funksioni i emëruesit. Ose më e shkurtër:. Çfarë do të thotë? Numëruesi priret në zero më shpejt sesa emëruesi, prandaj rezultati është zero.

Si në rastin me funksionet e pafundme, përgjigja mund të dihet paraprakisht. Pritja është e ngjashme, por ndryshon në atë që në numërues dhe në emërues duhet të hidhni MENDOR të gjitha termat me I LARTË gradë, pasi, siç u përmend më lart, xhuxhët e ngadaltë kanë një rëndësi vendimtare:

Shembulli 2

Llogaritni kufirin

Zero në zero…. Le ta zbulojmë përgjigjen menjëherë: Hidhni çdo gjë mendërisht plak termat (xhuxhët e shpejtë) të numëruesit dhe emëruesit:

Algoritmi i zgjidhjes është saktësisht i njëjtë si në shembullin e mëparshëm:

Në këtë shembull emërues i një rendi më të vogël vogëlsie se numëruesi. Kur vlerat x zvogëlohen, xhuxhi më i ngadalshëm i numëruesit (dhe i gjithë kufiri) bëhet një përbindësh i vërtetë në raport me kundërshtarin e tij më të shpejtë. Për shembull, nëse , atëherë - tashmë 40 herë më shumë .... jo ende një përbindësh, sigurisht, me vlerën e dhënë "x", por i tillë është tashmë një subjekt me një bark të madh birre.

Dhe një limit shumë i thjeshtë demonstrues:

Shembulli 3

Llogaritni kufirin

Përgjigjen do ta zbulojmë duke hedhur poshtë çdo gjë MENDERISHT plak termat numërues dhe emërues:

Ne vendosim:

Rezultati është një numër i kufizuar. Pronari i numëruesit është saktësisht dy herë më i trashë se shefi i emëruesit. Kjo është situata ku numëruesi dhe emëruesi një rend i madhësisë.

Në fakt, krahasimi i funksioneve infiniteminale është shfaqur prej kohësh në mësimet e mëparshme:
(Shembulli numër 4 mësimi Limitet. Shembuj zgjidhjesh);
(Shembulli nr. 17 mësimi Metodat e zgjidhjes së kufijve) etj.

Ju kujtoj në të njëjtën kohë se "x" mund të priret jo vetëm në zero, por edhe në një numër arbitrar, si dhe në pafundësi.

Çfarë është thelbësisht e rëndësishme në të gjithë shembujt e shqyrtuar?

Së pari, kufiri duhet të ekzistojë fare në një pikë të caktuar. Për shembull, nuk ka kufi. Nëse , atëherë funksioni numërues nuk është i përcaktuar në pikën "plus pafundësi" (nën rrënjë marrim pafundësisht i madh një numër negativ). Ngjashëm, me sa duket, shembuj pretencioz gjenden në praktikë:, sado e papritur, këtu është edhe një krahasim i funksioneve infiniteminale dhe pasigurisë "zero në zero". Në të vërtetë, nëse , atëherë . …Zgjidhje? Ne heqim qafe thyesën katërkatëshe, marrim pasigurinë dhe e hapim atë me metodën standarde.

Ndoshta, fillestarët për të eksploruar kufijtë janë të stërvitur nga pyetja: "Si kështu? Ekziston një pasiguri 0:0, por nuk mund të pjesëtosh me zero! Shumë e drejtë, nuk mundesh. Le të shqyrtojmë të njëjtin kufi. Funksioni nuk është i përcaktuar në pikën "zero". Por kjo, në përgjithësi, nuk kërkohet. e rëndësishme që funksioni të ekzistojë NË NDONJË pafundësisht afër zeros pikë (ose më rreptësisht, në çdo lagje pafundësisht e vogël zero).

TIPARA MË E RËNDËSISHME E LIMITIT SI KONCEPT

eshte ai "x" pafundësisht afër i afrohet një pike të caktuar, por ai “nuk është i detyruar të shkojë atje”! Kjo është, për ekzistencën e një kufiri funksioni në një pikë të parëndësishme nëse vetë funksioni është i përcaktuar aty apo jo. Ju mund të lexoni më shumë rreth kësaj në artikull. Kufijtë cauchy, por tani për tani, kthehemi te tema e mësimit të sotëm:

Së dyti, funksionet e numëruesit dhe të emëruesit duhet të jenë infinitimale në një pikë të caktuar. Kështu, për shembull, kufiri është nga një ekip krejtësisht i ndryshëm, këtu funksioni numërues nuk priret në zero: .

Ne sistematizojmë informacionin për krahasimin e funksioneve infinitimale:

le - funksionet infiniteminale në një pikë(d.m.th. në ) dhe ka një kufi të raporteve të tyre. Pastaj:

1) Nëse , atëherë funksioni rendit më të lartë të vogëlsisë, si.
Shembulli më i thjeshtë: , pra, një funksion kub i një rendi më të vogël të vogël se ai kuadratik.

2) Nëse , atëherë funksioni rendit më të lartë të vogëlsisë, si.
Shembulli më i thjeshtë: , pra një funksion kuadratik i një rendi më të vogël të vogël se ai linear.

3) Nëse , ku është një konstante jozero, atëherë funksionet kanë rend i njëjtë i madhësisë.
Shembulli më i thjeshtë: me fjalë të tjera, xhuxhi shkon në zero rreptësisht dy herë më ngadalë se , dhe "distanca" midis tyre mbetet konstante.

Rasti më interesant është kur . Funksione të tilla quhen pafundësisht i vogël ekuivalente funksione.

Para se të japim një shembull elementar, le të flasim për vetë termin. Ekuivalenca. Kjo fjalë është përdorur tashmë në klasë. Metodat e zgjidhjes së kufijve, në artikuj të tjerë dhe do të takohen më shumë se një herë. Çfarë është ekuivalenca? Ekziston një përkufizim matematikor i ekuivalencës, logjik, fizik, etj., por le të përpiqemi të kuptojmë vetë thelbin.

Ekuivalenca është ekuivalencë (ose ekuivalencë) në një farë mënyre. Është koha për të shtrirë muskujt dhe për të marrë një pushim nga matematika e lartë. Jashtë tani është një ngricë e mirë janari, ndaj është shumë e rëndësishme të ngroheni mirë. Ju lutemi shkoni në korridor dhe hapni dollapin me rroba. Imagjinoni që aty janë varur dy pallto identike lëkure delesh, të cilat ndryshojnë vetëm në ngjyrë. Njëra është portokalli, tjetra është vjollcë. Për sa i përket cilësive të tyre ngrohëse, këto pallto të lëkurës së deleve janë ekuivalente. Si në pallton e parë ashtu edhe në të dytën do të jeni po aq të ngrohtë, domethënë, zgjedhja është e barabartë me atë që të vishni portokalli, çfarë vjollce - pa fituar: "një me një është e barabartë me një". Por nga pikëpamja e sigurisë në rrugë, palltot e lëkurës së deleve nuk janë më ekuivalente - ngjyra portokalli është më e dukshme për drejtuesit e automjeteve, ... dhe patrulla nuk do të ndalet, sepse gjithçka është e qartë me pronarin e rrobave të tilla . Në lidhje me këtë, mund të supozojmë se palltot e lëkurës së deleve të "një rendit të vogël", duke folur relativisht, "pallto portokalli e lëkurës së deleve" janë dy herë më "të sigurta" se "palltot e lëkurës së deleve të purpurta" ("që është më e keqe, por edhe e dukshme në errësirë ”). Dhe nëse dilni në të ftohtë me një xhaketë dhe çorape, atëherë ndryshimi do të jetë tashmë kolosal, kështu që një xhaketë dhe një pallto lëkure delesh janë "të një rendi tjetër të vogël".

… zashib, ju duhet të postoni në Wikipedia me një lidhje për këtë mësim =) =) =)

Shembulli i qartë i funksioneve ekuivalente pafundësisht të vogla është i njohur për ju - këto janë funksionet kufiri i parë i shquar .

Le të japim një interpretim gjeometrik të kufirit të parë të shquar. Le të ekzekutojmë vizatimin:

Epo, miqësia e fortë mashkullore e grafikëve është e dukshme edhe me sy të lirë. POR nëna e tyre nuk do t'i dallojë. Kështu, nëse , atëherë funksionet janë infinitimale dhe ekuivalente. Po sikur ndryshimi të jetë i papërfillshëm? Pastaj në kufi sinusi i mësipërm mund të jetë zëvendësojnë"x": , ose "x" poshtë sinusit: . Në fakt, doli të ishte një provë gjeometrike e kufirit të parë të shquar =)

Në mënyrë të ngjashme, meqë ra fjala, mund të ilustrohet ndonjë kufi i mrekullueshëm, e cila është e barabartë me një.

! Kujdes! Ekuivalenca e objekteve nuk nënkupton të njëjtat objekte! Palltot portokalli dhe vjollce janë të barazvlefshme me të ngrohta, por ato janë pallto të ndryshme lëkure delesh. Funksionet janë praktikisht të padallueshme afër zeros, por ato janë dy funksione të ndryshme.

Emërtimi: ekuivalenca tregohet me një tildë.
Për shembull: - "sinusi i x-it është i barabartë me x", nëse .

Një përfundim shumë i rëndësishëm rrjedh nga sa më sipër: nëse dy funksione infiniteminale janë ekuivalente, atëherë njëri mund të zëvendësohet nga tjetri. Kjo teknikë përdoret gjerësisht në praktikë, dhe tani do të shohim se si:

Ekuivalenca të dukshme brenda

Për të zgjidhur shembuj praktikë, do t'ju duhet tabelë e shquar ekuivalencës. Nxënësi nuk jeton si një polinom i vetëm, ndaj fusha e veprimtarisë së mëtejshme do të jetë shumë e gjerë. Së pari, duke përdorur teorinë e funksioneve ekuivalente pafundësisht të vogla, ne përmbledhim shembujt e pjesës së parë të mësimit. Kufij të shquar. Shembuj zgjidhjesh, në të cilin u gjetën kufijtë e mëposhtëm:

1) Le të zgjidhim kufirin. Le të zëvendësojmë funksionin infinitimal të numëruesit me funksionin ekuivalent infinite vogël:

Pse është i mundur ky zëvendësim? sepse pafundësisht afër zeros grafiku i funksionit pothuajse përkon me grafikun e funksionit.

Në këtë shembull, ne kemi përdorur ekuivalencën e tabelës ku . Është e përshtatshme që jo vetëm "x", por edhe një funksion kompleks mund të veprojë si parametër "alfa", e cila tenton në zero.

2) Le të gjejmë kufirin. Në emërues ne përdorim të njëjtën ekuivalencë, në këtë rast:

Ju lutemi vini re se sinusi ishte fillimisht nën shesh, kështu që në hapin e parë është gjithashtu e nevojshme ta vendosni atë tërësisht nën shesh.

Mos harroni për teorinë: në dy shembujt e parë fitohen numra të fundëm, që do të thotë se numërues dhe emërues të të njëjtit rend të vogël.

3) Gjeni kufirin. Le të zëvendësojmë funksionin infinitimal të numëruesit me funksionin ekuivalent , ku:

Këtu numërues i një rendi më të vogël të vogël se emëruesi. Liliputi (dhe koka e tij ekuivalente) arrin zero më shpejt se .

4) Gjeni kufirin. Le të zëvendësojmë funksionin pafundësisht të vogël të numëruesit me një funksion ekuivalent, ku:

Dhe këtu, përkundrazi, emëruesi rendit më të lartë të vogëlsisë se sa numëruesi, xhuxhi ikën në zero më shpejt se xhuxhi (dhe xhuxhi ekuivalent i tij).

A duhen përdorur në praktikë ekuivalencat e mrekullueshme? Duhet, por jo gjithmonë. Kështu, zgjidhja e kufijve jo shumë të ndërlikuar (si ato të sapo shqyrtuara) është e padëshirueshme të zgjidhet përmes ekuivalencave të jashtëzakonshme. Ju mund të qortoheni për punë haker dhe të detyroheni t'i zgjidhni ato në një mënyrë standarde duke përdorur formulat trigonometrike dhe kufirin e parë të mrekullueshëm. Sidoqoftë, me ndihmën e mjetit në fjalë, është shumë e dobishme të kontrolloni zgjidhjen ose madje të gjeni menjëherë përgjigjen e saktë. Shembulli karakteristik nr.14 i orës së mësimit Metodat e zgjidhjes së kufijve:

Në një kopje të pastër, këshillohet të hartoni një zgjidhje të plotë mjaft të madhe me një ndryshim të ndryshores. Por përgjigja e gatshme qëndron në sipërfaqe - ne përdorim mendërisht ekuivalencën: .

Edhe njehere kuptimi gjeometrik: pse në numërues lejohet zëvendësimi i funksionit me funksionin ? Pafundësisht afër zeros grafikët e tyre mund të dallohen vetëm nën një mikroskop të fuqishëm.

Përveç kontrollit të zgjidhjes, ekuivalenca të mrekullueshme përdoren në dy raste të tjera:

– kur shembulli është mjaft i ndërlikuar apo edhe i pavendosur në mënyrën e zakonshme;
– kur duhet të zbatohen ekuivalenca të dukshme sipas kushteve.

Le të shqyrtojmë detyra më domethënëse:

Shembulli 4

Gjeni kufirin

Pasiguria zero në zero është në rendin e ditës dhe situata është kufitare: një vendim mund të merret në mënyrë standarde, por do të ketë shumë transformime. Nga këndvështrimi im, është mjaft e përshtatshme të përdoren ekuivalencat e mrekullueshme këtu:

Le të zëvendësojmë funksionet infiniteminale me funksione ekuivalente. Në:

Kjo eshte e gjitha!

E vetmja nuancë teknike: fillimisht tangjentja ishte në katror, ​​kështu që pas zëvendësimit duhet të vihet në katror edhe argumenti.

Shembulli 5

Gjeni kufirin

Ky kufi mund të zgjidhet përmes formulave trigonometrike dhe kufij të mrekullueshëm, por zgjidhja sërish nuk do të jetë shumë e këndshme. Ky është një shembull për vetë-zgjidhje, kini kujdes veçanërisht gjatë shndërrimit të numëruesit. Nëse ka konfuzion me fuqitë, përfaqësojeni atë si produkt:

Shembulli 6

Gjeni kufirin

Por ky është tashmë një rast i vështirë, kur është shumë e vështirë të kryhet një zgjidhje në mënyrë standarde. Ne përdorim ekuivalenca të mrekullueshme:

Le të zëvendësojmë ato pafundësisht të vogla me ato ekuivalente. Në:

Përftohet pafundësia, që do të thotë se emëruesi është i një rendi më të vogël se numëruesi.

Praktika shkoi me shpejtësi pa veshje të sipërme =)

Shembulli 7

Gjeni kufirin

Ky është një shembull bëjeni vetë. Mendoni se si të merreni me logaritmin ;-)

Nuk është e pazakontë të shohësh ekuivalenca të jashtëzakonshme të përdorura në kombinim me metoda të tjera të zgjidhjes së kufijve:

Shembulli 8

Gjeni kufirin e një funksioni duke përdorur infinitezimale ekuivalente dhe transformime të tjera

Vini re se këtu duhet të zbatohen ekuivalencat e jashtëzakonshme të kushtëzuara.

Ne vendosim:

Në hapin e parë, ne përdorim ekuivalenca të jashtëzakonshme. Në:

Gjithçka është e qartë me sinusin: . Çfarë duhet bërë me logaritmin? Paraqesim logaritmin në formë dhe zbatojmë ekuivalencën . Siç mund ta shihni, në këtë rast

Në hapin e dytë zbatojmë teknikën e diskutuar në mësim

Cilat janë funksionet e vogla të pafundme

Sidoqoftë, një funksion mund të jetë pafundësisht i vogël vetëm në një pikë specifike. Siç tregohet në figurën 1, funksioni është infinitimal vetëm në pikën 0.

Figura 1. Një funksion pafundësisht i vogël

Nëse kufiri i koeficientit të dy funksioneve rezulton në 1, funksionet thuhet se janë ekuivalente infinitezimale kur x i afrohet a.

\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Përkufizimi

Nëse funksionet f(x), g(x) janë të pafundme për $x > a$, atëherë:

• Funksioni f(x) quhet një rend infinitimal më i lartë në lidhje me g(x) nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funksioni f(x) quhet infinitezimal i rendit n në lidhje me g(x) nëse është i ndryshëm nga 0 dhe kufiri është i fundëm:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Shembulli 1

Funksioni $y=x^3$ është një rend pafundësisht i vogël më i lartë për x>0, në krahasim me funksionin y=5x, pasi kufiri i raportit të tyre është 0, kjo shpjegohet me faktin se funksioni $y=x ^3$ tenton në vlerën zero më shpejt:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) \frac(x^(2))(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim)\limits_(x\to 0 )x=0\]

Shembulli 2

Funksionet y=x2-4 dhe y=x2-5x+6 janë pafundësisht të vogla të rendit të njëjtë për x>2, pasi kufiri i raportit të tyre nuk është i barabartë me 0:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim)\limits_(x\ në 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\në 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Vetitë e infinitezimaleve ekuivalente

1. Dallimi i dy infinitezimaleve ekuivalente është një infinitezimal i rendit më të lartë në lidhje me secilën prej tyre.
2. Nëse heqim rendet më të larta infinitimale nga shuma e disa rendeve të ndryshme infinitimale, atëherë pjesa e mbetur, e quajtur pjesa kryesore, është ekuivalente me të gjithë shumën.

Nga vetia e parë rrjedh se infinitesimals ekuivalente mund të bëhen afërsisht të barabarta me një gabim relativ arbitrarisht të vogël. Prandaj, shenja ≈ përdoret si për të treguar ekuivalencën e infinitezimaleve dhe për të shkruar barazinë e përafërt të vlerave të tyre mjaft të vogla.

Gjatë gjetjes së kufijve, është shumë shpesh e nevojshme të përdoret një ndryshim i funksioneve ekuivalente për shpejtësinë dhe lehtësinë e llogaritjeve. Tabela e infinitezimaleve ekuivalente është paraqitur më poshtë (Tabela 1).

Ekuivalenca e infinitezimaleve të dhëna në tabelë mund të vërtetohet bazuar në barazinë:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Shembulli 3

Le të vërtetojmë ekuivalencën e ln(1+x) dhe x infinitimale.

Dëshmi:

1. Gjeni kufirin e raportit të sasive
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Për ta bërë këtë, ne përdorim vetinë e logaritmit:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Duke ditur që funksioni logaritmik është i vazhdueshëm në domenin e tij të përkufizimit, mund të ndërroni shenjën e kufirit dhe funksionin logaritmik:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ drejtë)\]
4. Meqenëse x është një vlerë infiniteminale, kufiri tenton në 0. Pra:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ djathtas)=\n e=1\]

(zbatuar kufirin e dytë të shquar)

Test

Disiplina: Matematikë e lartë

Tema: Kufijtë. Krahasimi i infinitezimaleve

1. Kufiri i sekuencës së numrave

2. Kufiri i funksionit

3. Kufiri i dytë i shquar

4. Krahasimi i madhësive infiniteminale

Letërsia

1. Kufiri i sekuencës së numrave

Zgjidhja e shumë problemeve matematikore dhe të aplikuara çon në një sekuencë numrash të dhënë në një mënyrë të caktuar. Le të zbulojmë disa nga pronat e tyre.

Përkufizimi 1.1. Nëse çdo numër natyror

sipas disa ligjeve, një numër real vendoset në korrespondencë, atëherë grupi i numrave quhet sekuencë numerike.

Bazuar në përkufizimin 1, është e qartë se një sekuencë numerike përmban gjithmonë një numër të pafund elementësh. Studimi i sekuencave të ndryshme numerike tregon se me rritjen e numrit, anëtarët e tyre sillen ndryshe. Mund të rriten ose ulen pafundësisht, mund t'i afrohen vazhdimisht një numri të caktuar ose të mos tregojnë fare rregullsi.

Përkufizimi 1.2. Numri

quhet kufiri i një sekuence numerike nëse për çdo numër ekziston një numër i tillë i një sekuence numerike në varësi të asaj që kushti është i plotësuar për të gjithë numrat e sekuencës numerike.

Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjent. Në këtë rast, shkruani

.

Natyrisht, për të sqaruar çështjen e konvergjencës së një sekuence numerike, është e nevojshme të kemi një kriter që do të bazohej vetëm në vetitë e elementeve të tij.

Teorema 1.1.(Teorema e Cauchy-t mbi konvergjencën e një sekuence numerike). Që një sekuencë numerike të konvergojë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që për çdo numër

kishte një numër të tillë të sekuencës numerike në varësi të asaj për çdo dy numra të sekuencës numerike dhe që plotësojnë kushtin dhe , pabarazia do të ishte e vërtetë.

Dëshmi. Nevoja. Është dhënë se sekuenca numerike

konvergon, që do të thotë se, sipas përkufizimit 2, ai ka një kufi . Le të zgjedhim një numër. Pastaj, sipas përcaktimit të kufirit të një sekuence numerike, ekziston një numër i tillë i sekuencës, që për të gjithë numrat plotësohet pabarazia. Por meqenëse është arbitrare, do të përmbushet dhe . Le të marrim dy numra rreshtor dhe , pastaj .

Prandaj rrjedh se

dmth vërtetohet domosdoshmëria.

Përshtatshmëria. Duke pasur parasysh se

. Prandaj, ekziston një numër i tillë që për kushtin e dhënë dhe . Në veçanti, nëse , dhe , atëherë ose me kusht që . Kjo do të thotë se sekuenca numerike për është e kufizuar. Prandaj, të paktën një nga pasardhësit e tij duhet të konvergojë. Le . Le të provojmë se konvergon gjithashtu.

Le të marrim një arbitrar

. Pastaj, sipas përcaktimit të kufirit, ekziston një numër i tillë që pabarazia vlen për të gjithë. Nga ana tjetër, me kusht jepet se sekuenca ka një numër të tillë që për të gjithë dhe kushti do të plotësohet. dhe rregulloni disa. Atëherë për të gjitha marrim: .

Prandaj rrjedh se