Lase a(x) ja b(x) – b.m. funktsioonid kell x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Mõelge nende suhte piirile x® a.

1. Kui = b ja b- lõplik number b¹ 0, siis funktsioonid a(x), b(x) nimetatakse lõpmata väikeseks üks suurusjärk juures x® a.

2. Kui = 0, siis a(x) nimetatakse lõpmatult väikeseks kõrgem järjekord , kuidas b(x) kell x® a. Ilmselgelt on sel juhul = ¥.

3. Kui a(x) – b.m. kõrgem järjekord kui b(x) ja = b¹ 0 ( b- lõplik number kÎ N ), siis a(x) nimetatakse lõpmatult väikeseks k-s järjekorras võrreldes b(x) kell x® a.

4. Kui ei eksisteeri (ei lõplik ega lõpmatu), siis a(x), b(x) kutsutakse võrreldamatu b.m. juures x® a.

5. Kui = 1, siis a(x), b(x) kutsutakse samaväärne b.m. juures x® a, mis on tähistatud järgmiselt: a(x) ~ b(x) kell x® a.

Näide 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

On ilmne, et kl x® 1 funktsioonid a(x), b(x) on b.m. Nende võrdlemiseks leiame nende suhte piiri x® 1:

Järeldus: a(x b(x) kell x® 1.

Lihtne on kontrollida, et = (veendu!), kust see järeldub a(x) – b.m. 3. järgu väiksus, võrreldes b(x) kell x® 1.

Näide 2. Funktsioonid a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = patt x, a 4 (x) = tg x jaoks on lõpmatult väikesed x® 0. Võrrelge neid:

0, , = 1, = ¥.

Sellest järeldame a 2 (x) = x 2 - pm. kõrgem järjekord kui a 1 (x) ja a 3 (x) (at x® 0), a 1 (x) ja a 3 (x) – b.m. üks tellimus, a 3 (x) ja a 4 (x) on samaväärsed b.m., s.t. patt x~tg x juures x® 0.

1. teoreem. Lase a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) kell x® a. Kui on olemas , siis on olemas ja , ja = .

Tõestus. = 1, = 1,

= = .

See teoreem muudab piiride leidmise lihtsamaks.

Näide 3.

Leia .

Tänu patu esimesele tähelepanuväärsele piirile4 x~ 4x, tg3 x~ 3x juures x® 0, nii

2. teoreem. Lõpmatult väikesed funktsioonid a(x) ja b(x) on samaväärsed (for x® a) kui ja ainult kui a(x) – b(x) on b.m. kõrgem järjekord kui a(x) ja b(x) (at x® a).

Tõestus

Lase a(x) ~ b(x) kell x® a. Siis = = 0, st. erinevus a(x) – b(x a(x) kell kl x® a(sarnane b(x)).

Lase a(x) – b(x) – b.m. kõrgem järjekord kui a(x) ja b(x), näitame seda a(x) ~ b(x) kell x® a:

= = + = 1,

Lõpmatult väikesed funktsioonid.

Jätkame artiklitega avanenud koolitustsüklit "limiidid mannekeenidele". Piirid. Lahendusnäited ja Märkimisväärsed piirid. Kui olete sellel saidil esimest korda, soovitan teil ka õppetund läbi lugeda Limit Lahendusmeetodid mis parandab oluliselt teie õpilase karmat. Kolmandas käsiraamatus kaalusime lõputuid funktsioone, nende võrdlus ja nüüd on aeg end luubiga relvastada, et pärast hiiglaste maad vaadata Liliputide maale. Veetsin aastavahetuse pühad kultuuripealinnas ja naasin väga hea tuju, nii et lugemine tõotab tulla eriti huvitav.

Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult lõpmata väikesed funktsioonid, millega olete tegelikult juba korduvalt kokku puutunud, ja nende võrdlus. Paljud sündmused on tihedalt seotud nähtamatute nullilähedaste sündmustega. imelised piirid, imelised samaväärsused, ja tunni praktiline osa on peamiselt pühendatud lihtsalt piirmäärade arvutamisele, kasutades suurepäraseid ekvivalente.

Lõpmatult väikesed funktsioonid. Lõpmatute väikeste arvude võrdlus

Mis ma oskan öelda... Kui on piir, siis kutsutakse funktsioon välja punktis lõpmatult väike.

Väite põhipunkt on asjaolu, et funktsioon võib olla lõpmatult väike ainult konkreetses punktis .

Tõmbame tuttava joone:

See funktsioon lõputult väikeühes punktis:
Tuleb märkida, et punktides "pluss lõpmatus" ja "miinus lõpmatus" on sama funktsioon juba lõpmatult suur: . Või kompaktsemalt:

Kõigis teistes punktides on funktsiooni piirväärtus võrdne nullist erineva lõpliku arvuga.

Sellel viisil, sellist asja pole kui "lihtsalt lõpmatult väike funktsioon" või "lihtsalt lõpmatult suur funktsioon". Funktsioon võib olla lõpmatult väike või lõpmatult suur ainult konkreetses punktis .

! Märge : lühiduse huvides ütlen sageli "lõpmatu väike funktsioon", mis tähendab, et see on kõnealuses punktis lõpmatult väike.

Selliseid punkte võib olla mitu või isegi lõpmatult palju. Joonistame mingi kartmatu parabooli:

Esitatud ruutfunktsioon on kahes punktis lõpmatult väike - "ühes" ja "kahes":

Nagu eelmises näites, on see funktsioon lõpmatuse juures lõpmatult suur:

Topeltmärkide tähendus :

Märge tähendab, et kell , ja kell .

Tähistus tähendab, et nii , kui ka .
Kommenteeritud topeltmärkide "dešifreerimise" põhimõte ei kehti mitte ainult lõpmatuste, vaid ka mis tahes lõpp-punktide, funktsioonide ja mitmete muude matemaatiliste objektide puhul.

Ja nüüd siinus. See on näide, kus funktsioon lõputult väike lõpmatu arvu punktide juures:

Tõepoolest, sinusoid "vilgutab" x-telge läbi iga "pi":

Pange tähele, et funktsioon on piiratud ülalt/alt ja pole sellist punkti, kus see oleks lõpmatult suur, siinus saab oma huuli lakkuda ainult lõpmatuseni.

Lubage mul vastata paarile lihtsale küsimusele:

Kas funktsioon võib lõpmatuses olla lõpmatuseni väike?

Muidugi. Sellised käru ja väikese käru juhtumid.
Elementaarne näide: . Muide, selle piiri geomeetriline tähendus on artiklis illustreeritud Funktsioonide graafikud ja omadused.

Kas funktsioon EI OLE lõpmatult väike?
(ükskõik millisel hetkel domeenid)

Jah. Ilmne näide on ruutfunktsioon, mille graafik (parabool) ei ristu teljega. Vastupidine väide, muide, üldiselt ei vasta tõele - eelmise küsimuse hüperbool, kuigi see ei ületa x-telge, kuid lõputult väike lõpmatuses.

Lõpmatult väikeste funktsioonide võrdlus

Koostame jada, mis kipub nulli, ja arvutame kolmikarvu mitu väärtust:

On ilmne, et x väärtuste vähenemisel jookseb funktsioon nulli kiiremini kui kõik teised (selle väärtused on punasega ümbritsetud). Nad ütlevad, et funktsioon kui funktsioon , sama hästi kui kõrgem väiksuse järk, kuidas. Aga Liliputide maal kiire jooksmine pole vaprus, “tooni annab” kõige aeglasem kääbus, kes, nagu bossile kohane, läheb nulli kõige aeglasemalt. See oleneb temast kui kiiresti summa läheneb nullile:

Piltlikult öeldes “neelab” lõpmata väike funktsioon kõik muu, mis on eriti selgelt näha kolmanda rea ​​lõpptulemuses. Mõnikord nad ütlevad seda madalam väiksuse järk, kuidas ja nende summa.

Arvestatud limiidi puhul pole sellel kõigel muidugi suurt tähtsust, sest tulemus on ikkagi null. "Raskekaalu kääbused" hakkavad aga mängima põhimõtteliselt oluline roll murdosade piires. Alustame näidetega, mida, kuigi harva, leidub päriselus. praktiline töö:

Näide 1

Arvuta limiit

Siin valitseb ebakindlus ja sissejuhatav tund umbes funktsioonid tuletame meelde selle määramatuse avalikustamise üldpõhimõtet: peate lugeja ja nimetaja teguriteks jaotama ning seejärel midagi vähendama:

Esimesel sammul võtame lugejast välja sulud ja nimetajast "x". Teises etapis vähendame lugejat ja nimetajat "x" võrra, kõrvaldades sellega ebakindluse. Näitame, et ülejäänud "X-id" kipuvad nullima, ja saame vastuse.

Limiidis osutus bagel seega lugejafunktsiooniks kõrgem väiksuse järk kui nimetaja funktsioon. Või lühemalt: . Mida see tähendab? Lugeja kipub olema null kiiremini kui nimetaja, mistõttu on tulemus null.

Nagu puhul lõputuid funktsioone, saab vastust ette teada. Vastuvõtt on sarnane, kuid erineb selle poolest, et lugejas ja nimetajas tuleb kõik terminid VAIMSELT kõrvale jätta. SENIOR kraadi, kuna, nagu eespool märgitud, on aeglased kääbused otsustava tähtsusega:

Näide 2

Arvuta limiit

Nullist nullini…. Otsime kohe vastuse: visake VAIMSELT kõik kõrvale vanem lugeja ja nimetaja terminid (kiired kääbused):

Lahendusalgoritm on täpselt sama, mis eelmises näites:

Selles näites lugejast kõrgema väiksuse järgu nimetaja. Kui x väärtused vähenevad, muutub lugeja (ja kogu piiri) aeglaseimast kääbusest kiirema vastase suhtes tõeline koletis. Näiteks kui , siis - juba 40 korda rohkem .... mitte veel koletis muidugi antud "x" väärtusega, aga selline on juba suure õllekõhuga teema.

Ja väga lihtne demo limiit:

Näide 3

Arvuta limiit

Vastuse saame teada, kui heidame VAIMSELT kõik kõrvale vanem lugeja ja nimetaja terminid:

Otsustame:

Tulemuseks on lõplik arv. Lugeja omanik on täpselt kaks korda paksem kui nimetaja boss. See on olukord, kus lugeja ja nimetaja üks suurusjärk.

Tegelikult on lõpmata väikeste funktsioonide võrdlus juba pikka aega ilmunud eelmistes tundides:
(Näide number 4 õppetund Piirid. Lahendusnäited);
(Näide nr 17 õppetund Limit Lahendusmeetodid) jne.

Samal ajal tuletan meelde, et "x" võib kalduda mitte ainult nulli, vaid ka suvalise arvu, aga ka lõpmatuseni.

Mis on kõigis vaadeldavates näidetes põhimõtteliselt oluline?

Esiteks, piir peab antud punktis üldse olemas olema. Näiteks piirangut pole. Kui , siis pole lugejafunktsioon punktis "pluss lõpmatus" määratletud (juure all saame lõpmatult suur negatiivne arv). Näib, et sarnaseid pretensioonikaid näiteid leidub praktikas: olgu see nii ootamatu kui tahes, siin on ka lõpmata väikeste funktsioonide ja määramatuse "null nullini" võrdlus. Tõepoolest, kui , siis . … Lahendus? Vabaneme neljakorruselisest murrust, saame määramatuse ja avame selle standardmeetodiga.

Võib-olla paneb algajaid piire uurima küsimus: “Kuidas nii? Ebakindlus on 0:0, aga nulliga jagada ei saa! Täitsa õige, sa ei saa. Vaatleme sama piiri. Funktsioon ei ole punktis "null" määratletud. Kuid üldiselt pole see vajalik. oluline et funktsioon eksisteeriks IGAS lõpmatult nullilähedane punkt (või rangemalt ükskõik milline lõpmatult väike naabruskond null).

PIIRI KUI MÕISTE KÕIGE OLULISEM OMADUS

kas see on "x" lõpmatult lähedal läheneb teatud punktile, kuid ta "ei ole kohustatud sinna minema"! See tähendab funktsioonipiirangu olemasolu punktis ebaoluline kas funktsioon ise on seal defineeritud või mitte. Lisateavet selle kohta saate artiklist lugeda. Cauchy piirid, aga praegu tagasi tänase tunni teema juurde:

Teiseks, lugeja ja nimetaja funktsioonid peavad antud punktis olema lõpmatult väikesed. Nii et näiteks limiit on hoopis teisest meeskonnast, siin ei kipu lugejafunktsioon nulli: .

Süstematiseerime teabe lõpmata väikeste funktsioonide võrdlemise kohta:

Lase - punktis lõpmata väikesed funktsioonid(st at ) ja nende suhtarvudel on piirang . Seejärel:

1) Kui , siis funktsioon kõrgem väiksuse järk, kuidas.
Lihtsaim näide: , see tähendab ruutfunktsioonist kõrgema väiksuse järgu kuupfunktsioon.

2) Kui , siis funktsioon kõrgem väiksuse järk, kuidas.
Lihtsaim näide: , st ruutfunktsioon, mille väiksus on suurem kui lineaarne.

3) Kui , kus on nullist erinev konstant, siis funktsioonidel on samas suurusjärgus.
Lihtsaim näide: Teisisõnu jookseb kääbus nulli täpselt kaks korda aeglasemalt kui , ja nendevaheline "kaugus" jääb muutumatuks.

Kõige huvitavam juhtum on see, kui . Selliseid funktsioone nimetatakse lõpmatult väike samaväärne funktsioonid.

Enne elementaarse näite toomist räägime terminist endast. Samaväärsus. Seda sõna on klassis juba kasutatud. Limit Lahendusmeetodid, teistes artiklites ja kohtub rohkem kui üks kord. Mis on samaväärsus? Samaväärsuse, loogilise, füüsilise jne matemaatiline määratlus on olemas, kuid proovime mõista olemust ennast.

Samaväärsus on mõnes mõttes samaväärsus (või samaväärsus).. On aeg lihaseid venitada ja kõrgemast matemaatikast puhata. Praegu on väljas paras jaanuarikülm, mistõttu on väga oluline end hästi soojendada. Palun minge esikusse ja avage riietega kapp. Kujutage ette, et seal ripub kaks ühesugust lambanahast kasukat, mis erinevad ainult värvi poolest. Üks on oranž, teine ​​lilla. Oma soojendavate omaduste poolest on need lambanahksed mantlid samaväärsed. Nii esimeses kui ka teises lambanahast kasukas on teil võrdselt soe, see tähendab, et valik on samaväärne sellega, mida kanda oranži, millist lillat - ilma võiduta: "üks ühele on võrdne ühega." Kuid liiklusohutuse seisukohalt pole lambanahast kasukad enam samaväärsed - oranž värv on transpordijuhtidele paremini nähtav, ... ja patrull ei peatu, sest selliste riiete omanikuga on kõik selge . Sellega seoses võib eeldada, et "ühe järku väiksusega" lambanahksed mantlid, suhteliselt öeldes "oranži lambanahast kasukas" on kaks korda "ohutumad" kui "lillad lambanahksed mantlid" ("mis on hullem, aga ka pimedas märgatav ”). Ja kui minna külma ühe jope ja sokkidega, siis on vahe juba kolossaalne, seega on jope ja lambanahkne kasukas “teisest väiksusest”.

... zashib, peate postitama Vikipeediasse selle õppetunni lingiga =) =) =)

Ilmselge näide lõpmata väikestest samaväärsetest funktsioonidest on teile tuttav – need on funktsioonid esimene tähelepanuväärne piir .

Anname esimese tähelepanuväärse piiri geomeetrilise tõlgenduse. Teostame joonise:

Noh, graafikute tugev meessõprus on näha isegi palja silmaga. AGA nende oma ema ei tee neil vahet. Seega, kui , siis funktsioonid on lõpmatult väikesed ja samaväärsed. Mis siis, kui erinevus on tühine? Siis saab siinus limiidis olla asendada"x": või "x" siinuse all: . Tegelikult osutus see esimese tähelepanuväärse piiri geomeetriliseks tõestuseks =)

Samamoodi, muide, võib illustreerida mis tahes imeline piir, mis on võrdne ühega.

! Tähelepanu! Objektide samaväärsus ei tähenda samu objekte! Oranžid ja lillad lambanahast mantlid on samaväärsed soojaga, kuid need on erinevad lambanahast mantlid. Funktsioonid on praktiliselt nullilähedased eristamatud, kuid need on kaks erinevat funktsiooni.

Määramine: samaväärsust tähistab tilde.
Näiteks: - "x siinus võrdub x-ga", kui .

Ülaltoodust järeldub väga oluline järeldus: kui kaks lõpmata väikest funktsiooni on samaväärsed, siis saab ühe asendada teisega. Seda tehnikat kasutatakse praktikas laialdaselt ja praegu näeme, kuidas:

Märkimisväärsed samaväärsused sees

Praktiliste näidete lahendamiseks vajate tähelepanuväärne samaväärsuse tabel. Üliõpilane ei ela ühe polünoomina, seega saab edasine tegevusvaldkond olema väga lai. Esiteks, kasutades lõpmata väikeste ekvivalentfunktsioonide teooriat, võtame uuesti kokku õppetunni esimese osa näited Märkimisväärsed piirid. Lahendusnäited, milles leiti järgmised piirangud:

1) Lahendame piiri. Asendame lugeja lõpmatu väikese funktsiooni samaväärse lõpmatu väikese funktsiooniga:

Miks on see asendamine võimalik? sest lõpmatult nullilähedane funktsiooni graafik kattub peaaegu funktsiooni graafikuga.

Selles näites kasutasime tabeli ekvivalenti, kus . On mugav, et mitte ainult "x", vaid ka kompleksfunktsioon võib toimida "alfa" parameetrina, mis kipub nulli.

2) Leiame piiri. Nimetajas kasutame sama ekvivalenti, antud juhul:

Pange tähele, et siinus oli algselt ruudu all, seega esimese sammuna on vaja ka see täielikult ruudu alla asetada.

Ärge unustage teooriat: kahes esimeses näites saadakse lõplikud arvud, mis tähendab, et sama väiksuse järgu lugejad ja nimetajad.

3) Leia piir. Asendame lugeja lõpmatu väikese funktsiooni samaväärse funktsiooniga , kus:

Siin nimetajast suurema väiksuse järgu lugeja. Lilliput (ja sellega samaväärne kääbus) jõuab nullini kiiremini kui .

4) Leia piir. Asendame lugeja lõpmatult väikese funktsiooni samaväärse funktsiooniga, kus:

Ja siin, vastupidi, nimetaja kõrgem väiksuse järk kui lugeja, jookseb kääbus nulli kiiremini kui kääbus (ja tema samaväärne kääbus).

Kas imelisi ekvivalente tuleks praktikas kasutada? Peaks, aga mitte alati. Seega ei ole mitte väga keeruliste piiride (nagu just vaadeldud) lahendamist soovitav lahendada tähelepanuväärsete ekvivalentide kaudu. Sulle võib ette heita häkkimist ja sundida neid standardselt lahendama, kasutades trigonomeetrilisi valemeid ja esimest imelist piiri. Kõnealuse tööriista abil on aga väga kasulik lahendust kontrollida või isegi kohe õige vastus välja selgitada. Tunni iseloomulik näide nr 14 Limit Lahendusmeetodid:

Puhtal koopial on soovitav koostada üsna mahukas muutuja vahetusega terviklahendus. Kuid valmis vastus peitub pinnal - me kasutame vaimselt ekvivalenti: .

Veel kord geomeetriline tunne: miks on lugejas lubatud funktsiooni asendada funktsiooniga ? Lõpmatult nullilähedane nende graafikuid saab eristada vaid võimsa mikroskoobi all.

Lisaks lahenduse kontrollimisele kasutatakse imelisi ekvivalente veel kahel juhul:

– kui näide on tavapärasel viisil üsna keeruline või isegi otsustamatu;
– kui tingimuse järgi on vaja kohaldada märkimisväärseid samaväärsusi.

Vaatleme sisukamaid ülesandeid:

Näide 4

Leia piir

Null-null määramatus on päevakorras ja olukord on piiripealne: otsuse saab teha standardselt, kuid ümberkujundamisi tuleb palju. Minu vaatevinklist on siinkohal täiesti asjakohane kasutada imelisi ekvivalente:

Asendame lõpmata väikesed funktsioonid samaväärsete funktsioonidega. aadressil:

See on kõik!

Ainus tehniline nüanss: algselt oli puutuja ruudus, nii et pärast asendust tuleb ka argument ruutu panna.

Näide 5

Leia piir

Seda piiri saab lahendada trigonomeetriliste valemite ja imelised piirid, kuid lahendus ei ole jällegi eriti meeldiv. See on näide ise lahendamiseks, eriti ettevaatlik olge lugeja teisendamisel. Kui võimudega on segadus, esitage see tootena:

Näide 6

Leia piir

Kuid see on juba keeruline juhtum, kui lahendust on väga raske standardsel viisil läbi viia. Kasutame suurepäraseid ekvivalente:

Asendagem lõpmata väikesed samaväärsetega. aadressil:

Saadakse lõpmatus, mis tähendab, et nimetaja on lugejast suuremat väiksuse järku.

Harjutus läks vilkalt ilma üleriieteta =)

Näide 7

Leia piir

See on tee-seda-ise näide. Mõelge, kuidas logaritmiga hakkama saada ;-)

Ei ole haruldane, et koos teiste piirangute lahendamise meetoditega kasutatakse märkimisväärseid samaväärsusi:

Näide 8

Leia funktsiooni piir, kasutades ekvivalentseid lõpmatuid ja muid teisendusi

Pange tähele, et siin tuleb rakendada märkimisväärseid tingimuslikke ekvivalente.

Otsustame:

Esimeses etapis kasutame märkimisväärseid ekvivalente. aadressil:

Siinuse puhul on kõik selge: . Mida teha logaritmiga? Esitame vormis logaritmi ja rakendame ekvivalenti . Nagu näete, antud juhul

Teises etapis rakendame tunnis käsitletud tehnikat

Mis on lõpmatud väikesed funktsioonid

Funktsioon võib aga olla lõpmatult väike ainult konkreetses punktis. Nagu on näidatud joonisel 1, on funktsioon lõpmata väike ainult punktis 0.

Joonis 1. Lõpmatu väike funktsioon

Kui kahe funktsiooni jagatispiiri tulemuseks on 1, siis öeldakse, et funktsioonid on samaväärsed lõpmatuseni, kui x läheneb a-le.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definitsioon

Kui funktsioonid f(x), g(x) on lõpmatult väikesed $x > a$ korral, siis:

• Funktsiooni f(x) nimetatakse g(x) suhtes lõpmata väikeseks kõrgemaks järguks, kui on täidetud järgmine tingimus:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funktsiooni f(x) nimetatakse g(x) järgu n lõpmatu väikeseks, kui see erineb 0-st ja piirväärtus on lõplik:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Näide 1

Funktsioon $y=x^3$ on x>0 jaoks lõpmatult kõrgem järk, võrreldes funktsiooniga y=5x, kuna nende suhte piir on 0, siis on see seletatav asjaoluga, et funktsioon $y=x ^3 $ nullib väärtuse kiiremini:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Näide 2

Funktsioonid y=x2-4 ja y=x2-5x+6 on samas suurusjärgus lõpmatult väikesed x>2 korral, kuna nende suhte piir ei ole 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ kuni 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Ekvivalentsete infinitesimaalide omadused

1. Kahe ekvivalentse lõpmatu väikesearvu erinevus on nende mõlema suhtes kõrgemat järku lõpmatuseni.
2. Kui jätta mitme lõpmatult väikese erineva järgu summast kõrvale lõpmata väikesed kõrgemad järgud, siis ülejäänud osa, mida nimetatakse põhiosaks, on samaväärne kogu summaga.

Esimesest omadusest järeldub, et suvaliselt väikese suhtelise vea korral võivad samaväärsed lõpmata väiksed väärtused muutuda ligikaudu võrdseks. Seetõttu kasutatakse märki ≈ nii infinitesimaalide samaväärsuse tähistamiseks kui ka nende piisavalt väikeste väärtuste ligikaudse võrdsuse kirjutamiseks.

Piirmäärade leidmisel on väga sageli vaja arvutuste kiiruse ja mugavuse huvides kasutada samaväärsete funktsioonide vahetust. Allpool on toodud ekvivalentsete lõpmatute suuruste tabel (tabel 1).

Tabelis toodud lõpmatute väikeste arvude samaväärsust saab tõestada võrdsuse põhjal:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabel 1

Näide 3

Tõestame lõpmata väikeste ln(1+x) ja x samaväärsust.

Tõestus:

1. Leia suuruste suhte piir
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Selleks kasutame logaritmi omadust:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\lim ) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) \]
3. Teades, et logaritmiline funktsioon on oma definitsioonipiirkonnas pidev, saate limiidi ja logaritmifunktsiooni märgi vahetada:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ õige)\]
4. Kuna x on lõpmata väike väärtus, kipub piirväärtus olema 0. Seega:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ paremal)=\ln e=1\]

(rakendatud on teine ​​märkimisväärne piirmäär)

Test

Distsipliin: Kõrgem matemaatika

Teema: Piirid. Lõpmatute väikeste arvude võrdlus

1. Numbrijada piir

2. Funktsiooni piirang

3. Teine tähelepanuväärne piir

4. Lõpmatult väikeste suuruste võrdlus

Kirjandus

1. Numbrijada piir

Paljude matemaatiliste ja rakenduslike ülesannete lahendamine viib teatud viisil antud arvude jadani. Uurime välja mõned nende omadused.

Definitsioon 1.1. Kui iga naturaalarv

mingi seaduse järgi pannakse reaalarv vastavusse, siis numbrite hulka nimetatakse arvujadaks.

Definitsiooni 1 põhjal on selge, et arvjada sisaldab alati lõpmatu arvu elemente. Erinevate arvjadade uurimine näitab, et arvu kasvades käituvad nende liikmed erinevalt. Need võivad lõputult suureneda või väheneda, nad võivad pidevalt läheneda teatud arvule või üldse mitte ilmutada regulaarsust.

Definitsioon 1.2. Number

nimetatakse arvjada piiriks, kui mis tahes arvu korral on selline arvjada arv sõltuvalt sellest, et tingimus on täidetud arvjada kõigi arvude jaoks.

Jada, millel on piir, nimetatakse koonduvaks. Sel juhul kirjutage

.

Ilmselt on arvjada konvergentsi küsimuse selgitamiseks vaja kriteeriumi, mis põhineks ainult selle elementide omadustel.

Teoreem 1.1.(Cauchy teoreem arvjada konvergentsi kohta). Numbrilise jada koondumiseks on vajalik ja piisav, et mis tahes arvu jaoks

seal oli selline numbriline järjenumber sõltuvalt sellest, et mis tahes kahe numbri jada ja mis vastavad tingimusele ja , ebavõrdsus oleks tõsi.

Tõestus. Vaja. On antud, et numbriline jada

koondub, mis tähendab, et 2. definitsiooni kohaselt on sellel piirang . Valime mõne numbri. Siis on arvulise jada piiri definitsiooni järgi selline järjenumber , et kõigi arvude puhul on ebavõrdsus täidetud. Aga kuna see on meelevaldne, siis see täidetakse ja . Võtame kaks järjenumbrit ja , siis .

Sellest järeldub

, see tähendab, et vajalikkus on tõestatud.

Adekvaatsus. Arvestades seda

. Seega on olemas arv selline, et antud tingimuse ja . Eelkõige juhul, kui , ja , siis või tingimusel, et . See tähendab, et numbriline jada on piiratud. Seetõttu peab vähemalt üks selle alamjadadest lähenema. Laske . Tõestame, et see ühtib ka.

Võtame meelevaldse

. Siis, vastavalt piiri määratlusele, on olemas selline arv, et ebavõrdsus kehtib kõigi jaoks. Teisest küljest on tingimusega antud, et jadal on selline arv, et kõigi ja tingimus on täidetud. ja parandage mõned. Siis saame kõige eest: .

Sellest järeldub