Hadd a(x) és b(x) – b.m. funkciók at x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Tekintsük arányuk határát x® a.

1. Ha = bés b- végső szám b¹ 0, majd a függvények a(x), b(x) infinitezimálisnak nevezzük egy nagyságrenddel nál nél x® a.

2. Ha = 0, akkor a(x) infinitezimálisnak nevezzük magasabb rendű , hogyan b(x) nál nél x® a. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben = ¥.

3. Ha a(x) – b.m. magasabb rendű mint b(x), és = b¹ 0 ( b- végső szám kÎ N ), akkor a(x) infinitezimálisnak nevezzük k-hoz képest b(x) nál nél x® a.

4. Ha nem létezik (sem véges, sem nem végtelen), akkor a(x), b(x) hívják egyedülálló b.m. nál nél x® a.

5. Ha = 1, akkor a(x), b(x) hívják egyenértékű b.m. nál nél x® a, melynek jelölése a következő: a(x) ~ b(x) nál nél x® a.

1. példa. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Nyilvánvaló, hogy a x® 1 funkciók a(x), b(x) a b.m. Összehasonlításukhoz arányuk határát itt találjuk x® 1:

Következtetés: a(x b(x) nál nél x® 1.

Könnyen ellenőrizhető, hogy = (bizonyosodj meg róla!), amiből az következik a(x) – b.m. 3. kicsinységi sorrend, ehhez képest b(x) nál nél x® 1.

2. példa. Funkciók a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = bűn x, a 4 (x) = tg x végtelenül kicsik x® 0. Hasonlítsa össze őket:

0, , = 1, = ¥.

Ebből arra következtetünk a 2 (x) = x 2 - b.m. magasabb rendű mint a 1 (x) és a 3 (x) (nál nél x® 0), a 1 (x) és a 3 (x) – b.m. egy rendelés, a 3 (x) és a 4 (x) egyenértékűek b.m., azaz. bűn x~tg x nál nél x® 0.

1. tétel. Hadd a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) nál nél x® a. Ha létezik , akkor létezik és , és = .

Bizonyíték. = 1, = 1,

= = .

Ez a tétel megkönnyíti a határok megtalálását.

3. példa.

Megtalálja .

A bűn első figyelemre méltó határa miatt4 x~ 4x, tg3 x~ 3x nál nél x® 0, tehát

2. tétel. Végtelenül kicsi funkciók a(x) és b(x) egyenértékűek (for x® a) ha, és csak akkor ha a(x) – b(x) a b.m. magasabb rendű mint a(x) és b(x) (nál nél x® a).

Bizonyíték

Hadd a(x) ~ b(x) nál nél x® a. Akkor = = 0, azaz különbség a(x) – b(x a(x) at x® a(hasonló b(x)).

Hadd a(x) – b(x) – b.m. magasabb rendű mint a(x) és b(x), megmutatjuk a(x) ~ b(x) nál nél x® a:

= = + = 1,

Végtelenül kicsi funkciók.

Folytatjuk a "Limits for dummy" képzési ciklust, amely cikkekkel kezdődött Korlátok. Megoldási példákés Figyelemre méltó határok. Ha először jár az oldalon, javaslom, hogy olvassa el a leckét is Limit megoldási módszerek ami nagyban javítja tanulói karmáját. A harmadik kézikönyvben úgy gondoltuk végtelen függvények, összehasonlításukat, és itt az ideje, hogy felvértezzük magunkat egy nagyítóval, hogy az Óriások Földje után tekintsünk be a liliputiak országába. Az újévi ünnepeket a kulturális fővárosban töltöttem, és visszatértem egy nagyon jó hangulat, így az olvasás kifejezetten érdekesnek ígérkezik.

Ez a cikk részletesen tárgyalja végtelenül kicsi függvények, amellyel tulajdonképpen már sokszor találkoztál, és azok összehasonlítása. Sok esemény szorosan kapcsolódik a nullához közeli láthatatlan eseményekhez. csodálatos határok, csodálatos egyenértékűségek, és a lecke gyakorlati része főként a határértékek kiszámításának szentelhető csodálatos egyenértékűségek segítségével.

Végtelenül kicsi funkciók. Infinitezimálisok összehasonlítása

Mit mondjak... Ha van határ, akkor a függvény meghívásra kerül végtelenül kicsi egy ponton.

Az állítás lényege az a tény, hogy függvény lehet végtelenül kicsi csak egy meghatározott ponton .

Rajzoljunk egy ismerős vonalat:

Ez a funkció végtelenül kicsi egyetlen ponton:
Meg kell jegyezni, hogy a "plusz végtelen" és a "mínusz végtelen" pontokban ugyanaz a függvény már végtelenül nagy: . Vagy tömörebb jelöléssel:

Az összes többi pontban a függvény határértéke nullától eltérő véges számmal lesz egyenlő.

Ily módon olyan nincs mint "csak egy végtelenül kicsi függvény" vagy "csak egy végtelenül nagy függvény". Egy függvény lehet végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy csak egy meghatározott ponton .

! jegyzet : a rövidség kedvéért gyakran mondom, hogy "végtelen kicsi függvény", ami azt jelenti, hogy a kérdéses ponton végtelenül kicsi.

Több vagy akár végtelenül sok ilyen pont lehet. Rajzoljunk egy félelem nélküli parabolát:

A bemutatott másodfokú függvény két ponton végtelenül kicsi - az "egy" és a "kettő" pontban:

Az előző példához hasonlóan a végtelenben ez a függvény végtelenül nagy:

A kettős jelek jelentése :

A jelölés azt jelenti, hogy at , és at .

A jelölés azt jelenti, hogy a -nál és -nél is.
A kettős jelek "megfejtésének" kommentált elve nemcsak a végtelenekre érvényes, hanem bármely végpontra, függvényre és számos más matematikai objektumra is.

És most a szinusz. Ez egy példa, ahol a függvény végtelenül kicsi végtelen számú ponton:

Valójában a szinuszos "villog" az x tengelyen minden "pi"-n keresztül:

Vegye figyelembe, hogy a függvény felülről/alulról korlátos, és nincs olyan pont, ahol lenne végtelenül nagy, a szinusz csak a végtelenben tudja nyalni az ajkát.

Hadd válaszoljak néhány egyszerű kérdésre:

Lehet-e egy függvény infinitezimális a végtelenben?

Természetesen. A kocsi és a kis kocsi ilyen példányai.
Elemi példa: . Ennek a határnak a geometriai jelentését egyébként a cikk szemlélteti Függvények grafikonjai és tulajdonságai.

Egy függvény NEM lehet végtelenül kicsi?
(bármikor domainek)

Igen. Nyilvánvaló példa egy másodfokú függvény, amelynek grafikonja (parabola) nem metszi a tengelyt. A fordított állítás egyébként általában nem igaz - az előző kérdés hiperbolája, bár nem keresztezi az x tengelyt, de végtelenül kicsi a végtelenben.

Infinitezimális függvények összehasonlítása

Építsünk egy sorozatot, amely nullára hajlik, és számítsuk ki a trinomiális több értékét:

Nyilvánvaló, hogy az x értékek csökkenésével a függvény gyorsabban fut le nullára, mint az összes többi (értékei pirossal vannak bekarikázva). Azt mondják, hogy függvény, mint függvény , szintén magasabb rendű kicsinység, hogyan . De a liliputiak földjén gyorsan futni nem vitézség, a „hangnemet” a leglassabban mozgó törpe adja meg, aki, ahogy a főnökhöz illik, a leglassabban megy nullára. Ez tőle függ milyen gyorsan az összeg megközelíti a nullát:

Képletesen szólva egy végtelenül kicsi függvény minden mást „elnyel”, ami különösen jól látszik a harmadik sor végeredményén. Néha ezt mondják alacsonyabb rendű kicsinység, hogyan és az összegük.

A figyelembe vett határon mindez persze nem igazán számít, mert az eredmény még mindig nulla. A „nehézsúlyú törpék” azonban elvből kezdenek játszani fontos szerep törtrészeken belül. Kezdjük olyan példákkal, amelyek bár ritkák, de a való életben megtalálhatók. praktikus munka:

1. példa

Számítsa ki a határértéket

Itt bizonytalanság van, és bevezető óra ról ről funkciókat felidézzük ennek a bizonytalanságnak az általános elvét: a számlálót és a nevezőt tényezőkre kell bontani, majd csökkenteni kell valamit:

Első lépésben a számlálóból kivesszük a zárójeleket, a nevezőből pedig az "x"-et. A második lépésben a számlálót és a nevezőt "x"-szel csökkentjük, ezzel kiküszöbölve a bizonytalanságot. Jelezzük, hogy a fennmaradó "X"-ek általában nullára állnak, és megkapjuk a választ.

A limitben a bagel kiderült, ezért a számláló funkció magasabb rendű kicsinység mint a nevező függvény. Vagy rövidebben: . Mit jelent? A számláló nullára hajlik gyorsabban mint a nevező, ezért az eredmény nulla.

Mint abban az esetben végtelen függvények, a válasz előre tudható. A fogadtatás hasonló, de abban különbözik, hogy a számlálóban és a nevezőben MENTÁLISAN el kell dobni az összes kifejezést IDŐSEBB fok, mivel, mint fentebb említettük, a lassú törpék döntő jelentőségűek:

2. példa

Számítsa ki a határértéket

Nullától nulláig…. Azonnal megtudjuk a választ: MENTÁLISAN dobj el mindent idősebb a számláló és a nevező kifejezései (gyors törpék):

A megoldási algoritmus pontosan ugyanaz, mint az előző példában:

Ebben a példában a számlálónál nagyobb kisebbségi fokozatú nevező. Amikor az x értékek csökkennek, a számláló leglassabb törpe (és az egész határ) igazi szörnyeteggé válik gyorsabb ellenfeléhez képest. Például ha , akkor - már 40-szer több.... még nem szörnyeteg persze az adott "x" értékkel, de az ilyen már nagy sörhasú alany.

És egy nagyon egyszerű demo limit:

3. példa

Számítsa ki a határértéket

A választ úgy fogjuk megtudni, hogy MENTÁLISAN eldobunk mindent idősebb számláló és nevező kifejezések:

Mi döntünk:

Az eredmény egy véges szám. A számláló tulajdonosa pontosan kétszer olyan vastag, mint a nevező főnöke. Ez az a helyzet, amikor a számláló és a nevező egy nagyságrenddel.

Valójában az infinitezimális függvények összehasonlítása már régóta megjelent a korábbi leckékben:
(4. számú példa lecke Korlátok. Megoldási példák);
(Példa 17. lecke Limit megoldási módszerek) stb.

Emlékeztetlek egyúttal arra is, hogy az "x" nemcsak nullára, hanem tetszőleges számra, valamint a végtelenre is hajolhat.

Mi az alapvetően fontos az összes vizsgált példában?

Először, a határnak egy adott ponton egyáltalán léteznie kell. Például nincs korlát. Ha , akkor a számlálófüggvény nincs definiálva a "plusz végtelen" pontban (a gyökér alatt kapjuk végtelenül nagy negatív szám). Úgy tűnik, a gyakorlatban is akadnak hasonló igényes példák: bármennyire is váratlan, itt van az infinitezimális függvények és a "nulla a nulla" bizonytalanság összehasonlítása is. Valóban, ha , akkor . …Megoldás? Megszabadulunk a négyemeletes törttől, megkapjuk a bizonytalanságot és a standard módszerrel kinyitjuk.

A korlátok felfedezésében kezdőket talán a következő kérdés fúrja meg: „Hogyan? 0:0 bizonytalanság van, de nem lehet nullával osztani! Nagyon helyes, nem teheted. Tekintsük ugyanazt a határt. A függvény nincs definiálva a "nulla" pontban. De ez általánosságban nem kötelező. fontos hogy a függvény BÁRMELYEN létezzen végtelenül közel a nullához pontban (vagy szigorúbban bármely végtelenül kicsi környék nulla).

A LIMITE MINT FOGALOM LEGFONTOSABB TULAJDONSÁGA

ez az "x" végtelenül közel közelít egy bizonyos ponthoz, de „nem köteles odamenni”! Vagyis egy függvényhatár létezésére egy pontban irreleváns hogy maga a függvény definiálva van-e ott vagy sem. Erről bővebben a cikkben olvashat. Cauchy határok, de most visszatérve a mai óra témájához:

Másodszor, a számláló és a nevező függvényeknek végtelenül kicsiknek kell lenniük egy adott pontban. Így például a limit egy teljesen más csapattól van, itt a számlálófüggvény nem szokott nullázni: .

Az infinitezimális függvények összehasonlítására vonatkozó információkat rendszerezzük:

Hadd - végtelenül kicsi függvények egy pontban(azaz at ) és arányaiknak van határa . Akkor:

1) Ha , akkor a függvény magasabb rendű kicsinység, hogyan .
A legegyszerűbb példa: , vagyis a másodfokúnál nagyobb kicsinységi fokú köbfüggvény.

2) Ha , akkor a függvény magasabb rendű kicsinység, hogyan .
A legegyszerűbb példa: , vagyis a lineárisnál nagyobb kicsinységi másodfokú függvény.

3) Ha , ahol egy nem nulla állandó, akkor a függvényeknek van azonos nagyságrendben.
A legegyszerűbb példa: , vagyis a törpe szigorúan kétszer lassabban fut nullára, mint , és a köztük lévő "távolság" állandó marad.

A legérdekesebb eset az, amikor . Az ilyen függvényeket ún elenyésző egyenértékű funkciókat.

Mielőtt egy elemi példát mondanánk, beszéljünk magáról a kifejezésről. Egyenértékűség. Ezt a szót már használták az órán. Limit megoldási módszerek, más cikkekben és többször is találkozunk. Mi az egyenértékűség? Van matematikai definíciója az ekvivalenciának, logikai, fizikai stb., de próbáljuk meg megérteni magát a lényeget.

Az ekvivalencia bizonyos szempontból ekvivalencia (vagy ekvivalencia).. Itt az ideje, hogy megfeszítse az izmait, és egy kis szünetet tartson a magasabb matematika előtt. Kint most jó januári fagy van, ezért nagyon fontos a jó bemelegítés. Kérem, menjen a folyosóra, és nyissa ki a ruhás szekrényt. Képzelje el, hogy két egyforma báránybőr kabát lóg ott, amelyek csak színükben különböznek egymástól. Az egyik narancssárga, a másik lila. Melegítő tulajdonságaikat tekintve ezek a báránybőr kabátok egyenértékűek. Mind az első, mind a második báránybőr kabátban egyformán meleg lesz, vagyis a választás megegyezik azzal, hogy mit vegyek fel narancssárgát, milyen lilát - anélkül, hogy nyernénk: "egy az egyhez egyenlő egy." De az útbiztonság szempontjából a báránybőr kabátok már nem egyenértékűek - a narancssárga szín jobban látható a járművek vezetői számára, ... és a járőr nem áll meg, mert az ilyen ruhák tulajdonosával minden világos . Ebből a szempontból feltételezhetjük, hogy az „egy nagyságrendű báránybőr”, viszonylagosan „narancssárga báránybőr kabát” kétszer olyan „biztonságosabb”, mint a „lila báránybőr kabát” („ami rosszabb, de sötétben is észrevehető” ”). Ha pedig egy kabátban és zokniban mész ki a hidegre, akkor már kolosszális lesz a különbség, így a kabát és a báránybőr kabát „más apróságrendű”.

… zashib, közzé kell tenned a Wikipédián egy linket ehhez a leckéhez =) =) =)

A végtelenül kicsi ekvivalens függvények nyilvánvaló példája ismerős Önnek – ezek a függvények első figyelemre méltó határ .

Adjuk meg az első figyelemre méltó határ geometriai értelmezését. Végezzük el a rajzot:

Nos, a grafikonok erős férfibarátsága még szabad szemmel is látható. DE a saját anyjuk nem fogja megkülönböztetni őket. Így ha , akkor a függvények infinitezimálisak és ekvivalensek. Mi van, ha a különbség elhanyagolható? Ekkor a határértékben a fenti szinusz lehet cserélje ki"x": , vagy "x" a szinusz alatt: . Valójában ez az első figyelemre méltó határ geometriai bizonyítéka =)

Hasonlóképpen, egyébként, lehet szemléltetni bármilyen csodálatos határt, ami egyenlő eggyel.

! Figyelem! Az objektumok ekvivalenciája nem jelenti ugyanazokat az objektumokat! A narancssárga és lila báránybőr kabát egyenértékű a meleggel, de ezek más báránybőr kabátok. A függvények gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek a nulla közelében, de két különböző funkcióról van szó.

Kijelölés: az egyenértékűséget tilde jelzi.
Például: - "x szinusza ekvivalens x-szel", ha .

A fentiekből egy nagyon fontos következtetés következik: ha két infinitezimális függvény ekvivalens, akkor az egyik helyettesíthető a másikkal. Ezt a technikát széles körben használják a gyakorlatban, és most látni fogjuk, hogyan:

Figyelemre méltó egyenértékűségek belül

A gyakorlati példák megoldásához szüksége lesz figyelemre méltó egyenértékűségi táblázat. A tanuló nem egyetlen polinomként él, így a további tevékenységi kör nagyon széles lesz. Először az infinitezimális ekvivalens függvények elméletét használva ismételjük meg a lecke első részének példáit Figyelemre méltó határok. Megoldási példák, amelyben a következő határértékeket találtuk:

1) Oldjuk meg a határértéket. Cseréljük le a számláló infinitezimális függvényét az ekvivalens infinitezimális függvényre:

Miért lehetséges ez a helyettesítés? mert végtelenül közel a nullához a függvény grafikonja majdnem egybeesik a függvény grafikonjával.

Ebben a példában a táblázat egyenértékűségét használtuk, ahol . Kényelmes, hogy nem csak az „x”, hanem egy összetett függvény is működhet „alfa” paraméterként, ami nullára hajlik.

2) Keressük meg a határt. A nevezőben ugyanazt az ekvivalenciát használjuk, ebben az esetben:

Felhívjuk figyelmét, hogy a szinusz eredetileg a négyzet alatt volt, így első lépésben azt is teljes egészében a négyzet alá kell helyezni.

Ne felejtsük el az elméletet: az első két példában véges számokat kapunk, ami azt jelenti azonos kicsinységi rendű számlálók és nevezők.

3) Keresse meg a határt. Cseréljük le a számláló infinitezimális függvényét az ekvivalens függvénnyel , ahol :

Itt a nevezőnél nagyobb kicsinységi számláló. A liliput (és a vele egyenértékű törpe) gyorsabban éri el a nullát, mint .

4) Keresse meg a határt. Cseréljük le a számláló végtelenül kicsi függvényét egy ekvivalens függvénnyel, ahol:

És itt, éppen ellenkezőleg, a nevező magasabb rendű kicsinység mint a számláló, a törpe gyorsabban fut el nullára, mint a törpe (és a vele egyenértékű törpe).

Kell-e csodálatos egyenértékűségeket alkalmazni a gyakorlatban? Kell, de nem mindig. Így a nem túl bonyolult határértékek (mint az imént tárgyaltak) megoldását nem kívánatos figyelemre méltó ekvivalenciákon keresztül megoldani. Szemrehányást kaphat hackelésért, és kénytelen megoldani azokat standard módon, trigonometrikus képletek és az első csodálatos határ segítségével. A szóban forgó eszköz segítségével azonban nagyon előnyös ellenőrizni a megoldást, vagy akár azonnal megtudni a helyes választ. A lecke 14. sz. jellemző példája Limit megoldási módszerek:

Egy tiszta másolaton célszerű egy meglehetősen nagy, változó változtatással ellátott teljes megoldást készíteni. De a kész válasz a felszínen rejlik - gondolatban használjuk az ekvivalenciát: .

Még egyszer geometriai érzék: miért szabad a számlálóban a függvényt a függvényre cserélni? Végtelenül közel a nullához grafikonjaikat csak erős mikroszkóp alatt lehet megkülönböztetni.

A megoldás ellenőrzése mellett további két esetben csodálatos egyenértékűségeket használnak:

– amikor a példa meglehetősen bonyolult vagy a szokásos módon eldönthetetlen;
– amikor jelentős egyenértékűségeket kell alkalmazni a feltétel alapján.

Nézzünk értelmesebb feladatokat:

4. példa

Találd meg a határt

Napirenden a nulla-nulláig terjedő bizonytalanság, a helyzet pedig határos: lehet standard módon is dönteni, de sok átalakulás lesz. Az én szempontomból teljesen helyénvaló itt a csodálatos egyenértékűségeket használni:

Cseréljük le az infinitezimális függvényeket ekvivalens függvényekkel. Nál nél :

Ez minden!

Az egyetlen technikai árnyalat: kezdetben az érintő négyzetes volt, így a csere után az érvelést is négyzetbe kell helyezni.

5. példa

Találd meg a határt

Ezt a határt trigonometrikus képletekkel és csodálatos határok, de a megoldás megint nem lesz túl kellemes. Ez egy példa az önmegoldásra, legyen különösen óvatos a számláló átalakítása során. Ha összetéveszthető a hatáskörökkel, mutassa be termékként:

6. példa

Találd meg a határt

De ez már nehéz eset, amikor nagyon nehéz egy megoldást szabványos módon végrehajtani. Csodálatos egyenértékűségeket használunk:

Cseréljük le a végtelenül kicsiket egyenértékűre. Nál nél :

A végtelent kapjuk, ami azt jelenti, hogy a nevező kisebbségi sorrendje nagyobb, mint a számláló.

Felsőruházat nélkül is pörgősen ment a gyakorlat =)

7. példa

Találd meg a határt

Ez egy „csináld magad” példa. Gondold át, hogyan kezeld a logaritmust ;-)

Nem ritka, hogy figyelemre méltó egyenértékűségeket alkalmaznak más határmegoldó módszerekkel kombinálva:

8. példa

Határozza meg egy függvény határát ekvivalens infinitezimális és egyéb transzformációk segítségével

Vegye figyelembe, hogy a figyelemre méltó feltételes ekvivalenciákat itt kell alkalmazni.

Mi döntünk:

Az első lépésben figyelemre méltó egyenértékűségeket használunk. Nál nél :

Minden világos a szinusz: . Mi a teendő a logaritmussal? Az alakban ábrázoljuk a logaritmust és alkalmazzuk az ekvivalenciát. Mint látható, ebben az esetben

Második lépésben a leckében tárgyalt technikát alkalmazzuk

Mik azok a végtelen kis függvények

Egy függvény azonban csak egy meghatározott ponton lehet végtelenül kicsi. Amint az 1. ábrán látható, a függvény csak a 0 pontban infinitezimális.

1. ábra Egy infinitezimális függvény

Ha két függvény hányadoshatára 1-et eredményez, akkor a függvényeket ekvivalens végtelenül kicsinek mondjuk, amikor x megközelíti az a-t.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Meghatározás

Ha az f(x), g(x) függvények végtelenül kicsik $x > a$ esetén, akkor:

• Az f(x) függvényt infinitezimálisan magasabb rendűnek nevezzük g(x) függvényében, ha teljesül a következő feltétel:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Az f(x) függvényt infinitezimálisnak nevezzük n-rendűnek g(x) függvényében, ha eltér 0-tól, és a határérték véges:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

1. példa

A $y=x^3$ függvény egy végtelenül kicsivel magasabb rendű x>0 esetén, az y=5x függvényhez képest, mivel arányuk határa 0, ez azzal magyarázható, hogy a $y=x függvény ^3$ gyorsabban nullázódik:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

2. példa

Az y=x2-4 és y=x2-5x+6 függvények végtelenül kicsik, és ugyanilyen nagyságrendűek x>2 esetén, mivel arányuk határa nem egyenlő 0-val:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ to 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Egyenértékű infinitezimálisok tulajdonságai

1. Két ekvivalens infinitezimális különbsége mindegyikhez képest magasabb rendű infinitezimális.
2. Ha több infinitezimális, különböző sorrend összegéből elvetjük a végtelenül kicsi magasabb rendeket, akkor a fennmaradó rész, amelyet főrésznek nevezünk, ekvivalens a teljes összeggel.

Az első tulajdonságból következik, hogy az ekvivalens infinitezimálisok tetszőlegesen kis relatív hibával megközelítőleg egyenlőkké válhatnak. Ezért a ≈ jelet mind az infinitezimálisok ekvivalenciájának jelölésére, mind a kellően kicsi értékek közelítő egyenlőségének felírására használjuk.

A határértékek megtalálásakor nagyon gyakran szükséges egyenértékű függvények megváltoztatása a számítások gyorsasága és kényelme érdekében. Az ekvivalens infinitezimálisok táblázatát az alábbiakban mutatjuk be (1. táblázat).

A táblázatban megadott infinitezimálisok ekvivalenciája az egyenlőség alapján igazolható:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Asztal 1

3. példa

Bizonyítsuk be az infinitezimális ln(1+x) és x ekvivalenciáját.

Bizonyíték:

1. Keresse meg a mennyiségek arányának határát!
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Ehhez a logaritmus tulajdonságát használjuk:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Tudva, hogy a logaritmikus függvény definíciós tartományában folytonos, felcserélheti a határérték előjelét és a logaritmikus függvényt:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ jobb)\]
4. Mivel x egy végtelenül kicsi érték, a határérték 0. Tehát:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ jobb)=\ln e=1\]

(a második figyelemre méltó határértéket alkalmazta)

Teszt

Szakterület: Felsőfokú matematika

Tárgy: Korlátok. Infinitezimálisok összehasonlítása

1. A számsorozat korlátja

2. Funkciókorlát

3. Második figyelemre méltó határ

4. Infinitezimális mennyiségek összehasonlítása

Irodalom

1. A számsorozat korlátja

Számos matematikai és alkalmazott feladat megoldása egy bizonyos módon megadott számsorozathoz vezet. Nézzünk meg néhány tulajdonságukat.

Meghatározás 1.1. Ha minden természetes szám

Valamilyen törvény szerint egy valós szám megfeleltetésre kerül, majd a számhalmazt numerikus sorozatnak nevezzük.

Az 1. definíció alapján világos, hogy egy numerikus sorozat mindig végtelen számú elemet tartalmaz. A különféle numerikus sorozatok tanulmányozása azt mutatja, hogy a szám növekedésével tagjaik eltérően viselkednek. Korlátlanul növekedhetnek vagy csökkenhetnek, folyamatosan megközelíthetnek egy bizonyos számot, vagy egyáltalán nem mutatnak rendszerességet.

Meghatározás 1.2. Szám

Egy numerikus sorozat határértékének nevezzük, ha bármely számhoz van egy numerikus sorozatnak ilyen száma attól függően, hogy a feltétel a numerikus sorozat összes számára teljesül.

A határértékkel rendelkező sorozatot konvergensnek nevezzük. Ebben az esetben írj

.

Nyilvánvaló, hogy egy numerikus sorozat konvergenciájának kérdésének tisztázásához szükség van egy olyan kritériumra, amely csak az elemeinek tulajdonságain alapulna.

1.1. tétel.(Cauchy tétele egy numerikus sorozat konvergenciájáról). Ahhoz, hogy egy numerikus sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy bármely számhoz

volt egy ilyen numerikus sorszám attól függően, hogy a numerikus sorozat tetszőleges két olyan számára, amelyek teljesítik az és feltételt, az egyenlőtlenség igaz lenne.

Bizonyíték. Szükség. Adott, hogy a numerikus sorozat

konvergál, ami azt jelenti, hogy a 2. definíció szerint van egy határértéke. Válasszunk egy számot. Ekkor egy numerikus sorozat határértékének definíciója szerint van egy olyan sorszám , hogy minden számra teljesül az egyenlőtlenség. De mivel önkényes, teljesülni fog és . Vegyünk két sorszámot és , majd .

Ebből következik tehát

, vagyis a szükségesség bebizonyosodott.

Megfelelőség. Tekintettel arra

. Ezért létezik olyan szám, amely az adott feltételre és . Különösen, ha , és , akkor vagy feltéve, hogy . Ez azt jelenti, hogy a számsor korlátozott. Ezért legalább egy részsorozatának konvergálnia kell. Hadd . Bizonyítsuk be, hogy ez is konvergál.

Vegyünk egy tetszőleges

. Ekkor a határérték definíciója szerint létezik olyan szám, amelyre az egyenlőtlenség mindenre érvényes. Másrészt a feltétel megadja, hogy a sorozatnak olyan száma van, hogy az összes és a feltétel teljesül. és javíts ki néhányat. Akkor mindenért megkapjuk: .

Ebből következik tehát