입력 스트림. 일반적인 수학적 모델

12.37 소프트웨어 입/출력 정보 입/출력 정보 설명서 소프트웨어는 시스템이 어떤 모드(배치 또는 대화식)에서 작동하는지 입력 정보를 표시하고 입력하고 출력 정보를 해석하는 방법을 사용자에게 설명합니다.

대기열 이론의 요소

§ 1. 소개

큐잉 이론은 큐잉 이론이라고도 합니다. 실제로 큐잉 이론은 주로 다양한 시스템에서 발생하는 큐에 대한 연구에 전념하고 있습니다.

대기열 시스템의 주요 특징은 다음과 같은 랜덤 변수입니다.

고객이 대기열에서 보내는 평균 시간

시스템이 유휴 상태인 시간의 백분율(클라이언트 부족으로 인해).

대기열 시스템의 기능은 다음 요소에 의해 결정됩니다.

고객 유통 순간의 분포;

서비스 기간 분배;

서비스 시스템 구성(직렬, 병렬 또는 병렬-직렬 서비스)

대기열의 규율 (도착 순서대로 서비스, 역순으로 서비스, 무작위 고객 선택);

대기 블록 용량(제한 또는 무제한)

수요 소스의 용량 또는 전력(제한 및 무제한)

시스템의 일부 다른 특성(클라이언트가 한 대기열에서 다른 대기열로 이동하는 기능, 0이 아닌 실패 확률 등).

주요 요인은 처음 두 가지입니다.

모든 대기열 시스템은 다음과 같은 주요 요소로 구성됩니다.

들어오는 고객 흐름;

서비스 장치;

줄을서는 규율.

§ 2 . 고객 입력 스트림

무작위 변수의 시퀀스 고려

그런 척하자 티 o = 0은 시스템 작동의 초기 순간입니다. 티 1 = 티오 + τ 1 , 티 2 = 티 1 + τ 2 , …, 티케이 = 티케이 -1 + τ k , ...., 여기서 τ k는 매개변수 λ를 갖는 지수 분포를 갖는 독립 랜덤 변수입니다.

지 여기 티 1 - 첫 번째 클라이언트가 도착한 순간, τ 1 - 시스템 시작과 첫 번째 클라이언트 도착 사이의 시간 간격, τ 2 - 첫 번째 클라이언트와 두 번째 클라이언트 도착 사이의 시간 간격 등

하위 시퀀스
, 위의 방법으로 정의된 가장 단순한 (푸아송) 흐름. 상수 가장 간단한 흐름의 매개변수라고 합니다.

단순 스트림의 속성

1. T에 의한 흐름 이동

단순한 흐름이 있게 하라
매개변수 λ와 함께.

흐름을 이동하여 티, 우리는 스트림을 얻습니다
, 이는 동일한 매개변수 λ를 갖는 가장 간단한 흐름이기도 합니다. 예를 들어, 티사이에 그리고 , 새 스트림은 다음과 같습니다.

, ….

2. 두 스레드 병합

피
두 개의 독립적인 기본 흐름이 있다고 가정합니다.

와 함께
매개변수 λ (1) , λ (2) 각각. 흐름이 두 흐름의 병합 결과로 형성되었다고 말할 것입니다. 티케이)는 집합의 합집합입니다( 티케이 (1) }, {티케이( 2) ) 및 세트의 요소( 티케이) 오름차순으로 정렬됩니다.

피
두 개의 독립적인 기본 흐름의 병합으로 인한 유출도 매개변수가 있는 기본 흐름입니다. λ = λ(1) + λ(2) ,어디 λ(j)– 흐름 매개변수

3. 가장 간단한 스트림 분할

매개변수가 있는 간단한 흐름이 있게 하십시오. λ,

및 일련의 독립 확률 변수
, 두 가지 값을 취함:

P(ξ 나 = 1) = 피, P(ξ 나 = 0) = 큐, 피  0, 큐  0, 피 + 큐 = 1.

이러한 랜덤 변수를 호출합니다. 베르누이(매개변수 포함 피). 흐름 분할 절차( 티케이)는 다음과 같습니다. 나는ξ인 경우 첫 번째 흐름 참조 나= 1; 만약 ξ 나= 0이면 숫자 나는두 번째 스트림을 참조하십시오. 스트림을 둘로 나누는 이러한 작업을 호출합니다. 베르누이(매개변수 포함 피).

가장 단순한 흐름의 Bernoulli 분리 결과로 얻은 흐름은 매개변수가 각각 λ(1) = λp, λ(2) = λq인 독립적인 가장 단순한 흐름입니다.

가장 간단한 흐름의 이러한 속성에 대한 증명은 에서 찾을 수 있습니다.

시간
헤레즈 엑스(티)다음은 현재 시스템의 클라이언트 수를 나타냅니다. 티, 즉.

포아송 프로세스의 속성

포아송 프로세스 증분은 균일합니다..

로 표시 엑스((ㅏ,비])= X(비) – 엑스(ㅏ) 프로세스 증분, 간격( ㅏ,비]. 동질성은 다음 조건의 충족을 의미합니다.

피( 엑스((ㅏ,비]) = k) = P( 엑스((0,비-ㅏ]) = k) = P( 엑스(비-ㅏ) = k),

저것들. 간격으로 시스템에 들어오는 클라이언트 수의 확률 분포 ( ㅏ,비], 이 간격의 길이에만 의존합니다.

포아송 프로세스 증분은 독립적입니다..

간격(0, 비] 교차하지 않는 간격(0, 비 1 ], (비 1 , 비 2 ], , ( 비 N-1, 비 N]. 허락하다 비 0 = 0. 그런 다음 엑스((비 0 , 비 1 ]), 엑스((비 1 , 비 2]), , 엑스((비 N-1, 비 N ])은 해당 기간에 시스템에 들어오는 클라이언트의 수입니다. 이 수량은 독립적입니다.

피( 엑스((비 0 , 비 1 ]) = 나 1 , , 엑스((비 N-1, 비엔]) = 나엔) =

피( 엑스((비 0 , 비 1 ]) = 나 1)  P( 엑스((비 N-1, 비엔]) = 나 N).

이러한 특성에 대한 증거는 에서 찾을 수 있습니다.

§ 2의 작업.

2.1. 랜덤 변수는 2개  1과  2. 이들은 독립적이며 매개변수가 있는 지수 분포를 가집니다.  1과  각각 2. 다음 랜덤 변수를 소개합니다.  = 분(  1 ,  2). 이 수량은 모수를 사용하여 지수 분포를 가짐을 증명합니다. = 1 + 2 .

2.2. 두 개의 독립적인 랜덤 변수가 주어지면  1 그리고  2 매개변수가 있는 포아송 분포  1 그리고  각각 2. 랜덤 변수를 보자  = 1 + 2. 이 수량에 모수를 사용하여 포아송 분포가 있음을 증명하십시오.  = 1 + 2 .

2.3. 허락하다  매장 내 고객 수이며 매개변수가 포아송 분포입니다.  . 각 클라이언트에게 확률을 부여하십시오. 피이 상점에서 구매합니다. 이 매장에서 구매한 고객의 수가 모수를 사용하여 포아송 분포를 가짐을 증명해야 합니다. p.

2.4. 고객은 시간당 평균 20명의 고객 빈도로 푸아송 흐름에 따라 식당에 옵니다. 레스토랑은 11:00에 문을 엽니다.

a) 11시 7분에 레스토랑에 18명의 고객이 있었다는 점을 감안할 때 11시 12분에 레스토랑에 20명의 고객이 있을 확률

b) 이전 방문자가 레스토랑에 11시 25분에 도착한 것으로 알려진 경우 새로운 방문자가 11시 28분에서 11시 30분 사이에 레스토랑에 도착할 확률.

2.5. 제품은 하루에 5개 품목 비율로 푸아송 흐름에 따라 재고가 80개 품목인 창고에서 가져옵니다.

a) 처음 2일 동안 창고에서 제품 10개를 가져갈 확률

b) 4일이 끝날 때까지 창고에 제품이 하나도 남지 않을 확률.

§

3. 죽음과 번식의 과정

죽음과 재생산의 과정을 구축하자 엑스(티) "건설적으로".

두 개의 시퀀스를 고려하십시오. 첫 번째는 클라이언트를 시스템에 입력(복제)하고 두 번째는 클라이언트 서비스(죽음)를 담당합니다.

또한, 두 개의 독립된 시퀀스가 ​​주어진다고 하자.
매개변수가 1인 지수 분포를 갖는 독립 랜덤 변수.

프로세스 엑스(t)는 다음과 같이 구성됩니다. 허락하다
, 어디
. 그런 다음 간격에
프로세스 엑스(t) 그 가치를 유지할 것입니다 , 어디
,

.

순간에 티 1 프로세스 값 엑스(티) 두 모멘트 중 어느 것에 따라 하나씩 증가하거나 감소합니다.
앞에 온다:

따라서 우리는 프로세스의 의미를 넣었습니다. 엑스(t) 지점에서 티 1등 ; 그런 다음 프로세스의 진화 엑스(티) 간격에
, 어디
그리고
, 동일한 법률을 준수합니다. 엑스(티) 현재 이 간격에서 변경되지 않습니다. 티 2

if 1씩 증가
, 그렇지 않으면 1씩 감소합니다.

만약에
, 프로세스의 가치 엑스(티) 임의의 순간에 1씩 증가
.

이렇게 만들어진 과정
, 죽음과 번식의 시간 균일 과정이라고합니다. 분포는 모수 집합과 초기 분포 X(0)에 의해 완전히 결정됩니다.

다음을 사용하는 것이 편리합니다. 차트프로세스 개발을 표현하기 위해 엑스(티):

위의 화살표는 재생산 과정의 역학에 해당합니다. 나상태에서 프로세스는 ( 나강도가 있는 +1) 번째 상태 ; 아래의 화살표는 사망 과정의 역학에 해당합니다. 프로세스 나상태는 ( 나-1) 번째 상태.

기능 세트

프로세스 분포를 설명합니다. 엑스(티); 아래에서 우리는 이러한 함수가 만족하는 방정식 시스템을 제시합니다.

모든 매개변수 세트가
"비퇴화" 프로세스에 응답 엑스(티); 사실은 숫자가 매우 빠르게 증가하면
, 다음 프로세스 엑스(티) 마지막 순간에 티"폭발"할 수 있습니다. 모든 수준을 초과하고
. 이것은 예를 들어, 유리한 환경. 폭발로 이어지는 화학 반응을 설명하는 프로세스는 유사하게 배열됩니다.

프로세스 엑스(티), 이에 대한 모든
, 소위에 속합니다 순수한 육종 과정. 프로세스
, 라고 불리는 순수한 죽음의 과정.

다음 기본형은 매개변수에 대한 필요충분조건을 제공합니다.
, 순수 재생산 과정의 유한성을 보장하는
매개변수와 함께.

기본형. 매개 변수를 사용하여 순수 재생산 과정을 수행하십시오. 그런 다음 프로세스의 유한성을 위해 급수가 발산하는 것이 필요하고 충분합니다.

허락하다 엑스(티) 동일한 매개 변수로 사망 및 재생산 과정 프로세스 , 뿐만 아니라 매개 변수
. 그것은 명백하다

피( 엑스(티)  )  P( 엑스 + (티)  ) .

따라서 우리는 정리에서 추론을 얻습니다.

결과. 번식의 자의적인 죽음의 과정인 경우 X(t) 조건
, 그런 다음
공정한피( 엑스(티)  ) = 1, 즉. 프로세스가 완료되었습니다.

lemma의 증명은 에서 찾을 수 있습니다.

§ 3에 대한 작업

3.1. 죽음과 번식의 과정을 생각해보자.

이 과정에 해당하는 다이어그램을 그리는 것이 필요합니다.

3.2. 전화로 도움을 받고자 하는 고객이 매개변수를 사용하여 가장 간단한 흐름을 형성하도록 하십시오. 모든 대화가 지속되게 하십시오 - 지시 시간. 허락하다 엑스(티)는 시간 t에서 시스템의 클라이언트 수입니다. 프로세스에 해당하는 다이어그램을 그립니다. 엑스(티).

3.3. 문제 3.2의 조건 하에서하자

전화에는 한 클라이언트에 대한 메모리가 있습니다. 클라이언트가 전화를 걸고 전화가 사용 중이지만 전화 메모리가 비어 있으면 기계가 전화를 끊고 기다리도록 제안합니다. 전화가 비어 있으면 벨이 울립니다.

자동 스위치와 두 대의 전화기가 있으며 각 전화기에는 자체 교환 원이 있습니다. 고객이 전화를 걸 때 무료 전화가 있으면 스위치가 자동으로 클라이언트를이 전화기로 지정합니다.

스위치(항목 2 참조))에는 하나의 클라이언트에 대한 메모리가 있습니다.

각 전화(항목 2 참조))에는 한 클라이언트에 대한 메모리가 있습니다.

위의 모든 경우에 해당 프로세스에 해당하는 다이어그램을 그립니다. 엑스(티).

3.4. 순수 재생산의 최종 프로세스가 다음과 같은 재생산 속도인지 확인합니다.

ㅏ)  케이 =케이 +  ,  >0,  >0, 케이= 0, 1, ...

비)  0 = 1,  케이 +1 = (케이+1) 케이 , 케이 = 0, 1, ...

안에)  케이 =  케이 , 케이 = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. 죽음과 번식의 과정에 해당하는 미분방정식

그런 척하자 엑스(티)는 특성을 지닌 죽음과 재생산의 과정입니다. 유한한 숫자에 대해 보자 ㅏ그리고 비불평등이 있다  나  ㅏ + 비, 나= 0, 1, ...이 조건은 프로세스의 종료를 보장합니다. 엑스(티). 이 경우 왼쪽 위의 화살표가 각 상태(상태 0에도)에 오는 데 동의하고 출생률은 λ 0과 같을 수 있습니다(예: λ –1 = = 0). 각 상태에서 왼쪽에는 아래쪽 화살표가 있고 죽음의 강도는 μ 0일 수도 있습니다(예: λ –1 = 0). 이러한 방식으로 다이어그램의 정의를 확장해도 문제의 본질이 바뀌지는 않지만 추가 추론에 유용할 것입니다. 프로세스에 해당하는 다이어그램을 고려하십시오. 엑스(티):

이전과 같이 다음을 나타냅니다.

피 케이 (티) = 피(엑스(티) = 케이), 케이 = 0,1,…,

주어진 순간에 일어날 확률 티클라이언트 수 엑스(티)는 다음과 같습니다. 케이.

정리 1.형질프로세스엑스(티)위에서 정의한 는 다음과 같은 미분방정식 시스템을 만족합니다.

어디 케이 = 0,1,…, 초기 조건

첫 번째 줄(언제 케이= 0) 방정식 시스템 (1)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

증거.로 표시 피 k( 티 +Δ) = 피(엑스(티+ Δ) = 케이).

하나의 변수에 대한 함수의 미분 정의를 사용합시다.

.

다음 이벤트를 고려하십시오.

ㅏ 0 (티, Δ) = (간격 [ 티, 티+Δ] 공정 엑스(티) 단일 점프를하지 않았습니다);

ㅏ 1 (티, Δ) = (간격 [ 티, 티+Δ] 공정 엑스(티) 정확히 한 번 점프했습니다);

ㅏ 2 (티, Δ) = (간격 [ 티, 티+Δ] 공정 엑스(티) 두 번 이상 점프했습니다).

그렇다면 분명한 것은

다음으로 표시

; ~을 통해
매개변수가 있는 3개의 지수 확률 변수
. 이 모든 양을 독립적으로 두십시오. 그럼 참 그럼 고정(steady) 모드임을 알 수 있습니다. 피 케이 (티) = 피(현재 시스템에서 티위치한 케이클라이언트).

고정 확률뿐만 아니라 미분 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾으십시오.

4.2. 문제 3.3의 죽음과 번식 과정에 대해 확률과 관련된 미분 방정식을 작성하십시오. 피 케이 (티) = 피(현재 시스템에서 티위치한 케이클라이언트).

고정 확률을 찾습니다.

TSMO의 주요 임무는 QS 입구에서 애플리케이션 흐름의 특성, 한 채널의 성능, 채널 수 및 서비스 효율성 간의 관계를 설정하는 것입니다.

다양한 기능과 수량을 효율성 기준으로 사용할 수 있습니다.

• 평균 시스템 중단 시간;
• 대기열의 평균 대기 시간;
• 대기열에서 요구 사항을 기다리는 기간의 분배 법칙;
• 거절된 지원서의 평균 %; 등.

기준 선택은 시스템 유형에 따라 다릅니다. 예를 들어, 장애가 있는 시스템의 경우주요 특징은 절대 처리량 CMO; 덜 중요한 기준은 사용 중인 채널의 수, 한 채널의 평균 상대적 유휴 시간 및 전체 시스템입니다. 무손실 시스템용(무제한 대기 포함) 가장 중요한 것은 대기열의 평균 유휴 시간, 대기열의 평균 요청 수, 시스템 요청의 평균 체류 시간, 유휴 요소 및 서빙 시스템의 부하 요소입니다.

Modern TSMO는 나열된 QS 유형을 연구하기 위한 일련의 분석 방법입니다. 다음에서는 큐잉 문제를 해결하기 위한 다소 복잡하고 흥미로운 모든 방법 중에서 "죽음과 재생산" 유형의 Markov 프로세스 클래스에 설명된 방법이 제시될 것입니다. 이것은 이러한 방법이 엔지니어링 계산 실습에서 가장 자주 사용된다는 사실 때문입니다.

2. 이벤트 흐름의 수학적 모델.

2.1. 일반 및 임의 스트림.

QS 조직의 핵심 질문 중 하나는 서비스 요구 사항이 시스템에 입력되는 순간을 지배하는 규칙성을 설명하는 것입니다. 가장 많이 사용되는 것을 고려하십시오 수학적 모델입력 스트림.

정의: 요구 사항의 흐름은 다음 조건을 충족하는 경우 동질적이라고 합니다.

1. 흐름의 모든 응용 프로그램은 서비스 측면에서 동일합니다.

본질적으로 다를 수 있는 흐름의 요구 사항(이벤트) 대신 그들이 도착했을 때.

정의: 스트림의 이벤트가 엄격한 시간 간격으로 차례로 이어지는 경우 스트림을 일반이라고 합니다.

기능 f (x) 랜덤 변수 T의 확률 분포 밀도 - 이벤트 사이의 시간 간격은 다음과 같은 형식입니다.

어디에 - 델타 함수, M t - 수학적 기대치, M t \u003d T, 분산 Dm = 0 및 흐름의 이벤트 발생 강도 \u003d 1 / Mt \u003d 1 / T.

정의: 흐름이라고 합니다 무작위의이벤트가 임의의 시간에 발생하는 경우.

임의 흐름은 알려진 바와 같이 두 가지 방법으로 분포 법칙에 의해 고유하게 정의될 수 있는 임의 벡터로 설명될 수 있습니다.

어디에, 지- 값 Ti(i=1,n),이 경우 이벤트 발생 순간은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

티 1 \u003d 티 0 +z1

티 2 \u003d 티 1 +z2

………,

2.2. 가장 단순한 포아송 흐름.

많은 응용 문제를 풀기 위해서는 후유증과 평범함이 없이 정상성의 요구 사항을 만족하는 동질 흐름의 수학적 모델을 적용하는 것으로 충분합니다.

정의: 발생 확률 n시간 간격(t,t + T)의 이벤트는 시간 축의 위치에 따라 다릅니다.티.

정의: 기본 시간 간격 D 동안 두 개 이상의 이벤트가 발생할 확률이 있는 경우 이벤트 스트림을 일반이라고 합니다. 티이 간격에서 하나의 이벤트가 발생할 확률, 즉 ~에 n=2.3,…

정의: 이벤트 스트림을 호출합니다. 결과 없는 흐름, 겹치지 않는 시간 간격에 대해 그 중 하나에 해당하는 이벤트 수가 다른 시간 간격에 해당하는 이벤트 수에 의존하지 않는 경우.

정의: 흐름이 정상성, 평범성 및 결과가 없는 요구 사항을 충족하는 경우 흐름이라고 합니다. 가장 간단한 포아송 흐름.

가장 간단한 흐름의 경우 n이라는 것이 증명되었습니다.임의의 간격 z에 해당하는 이벤트푸아송의 법칙에 따라 분포:

(1)

시간 간격 z에 이벤트가 나타나지 않을 확률은 다음과 같습니다.

(2)

반대 사건의 확률은 다음과 같습니다.

여기서 정의에 의해 P(T 확률 분포 함수 T입니다.여기에서 확률 변수 T가 지수 법칙에 따라 분포된다는 것을 알 수 있습니다.

(3)

매개변수를 자속 밀도라고 합니다. 더구나,

2.3.1. 수량을 소개합니다ㄱ= 엑스. 에 대한 푸아송 분포의 속성에 따라그것은 정상적인 경향이 있습니다. 따라서 큰 a의 경우 P(X(a)가 n보다 작거나 같음)를 계산하려면(여기서 X(a)는 기대치가 a인 푸아송 확률 변수임) 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있습니다.

증명: 지수법칙에 따라 T를 분포시키자: 간격 a가 이미 일정 시간 동안 지속되었다고 가정합니다.< T. 구간 T의 나머지 부분에 대한 조건부 분포 법칙을 찾아봅시다. 1 = 티아

여기에서,

이벤트 a와 동일합니다. , P(a ; 반면에

P(T>a)=1-F(a), 따라서