Smo z wzajemną pomocą między kanałami. Klasyfikacja systemów kolejkowych

Sformułowanie problemu. Przy wejściu n-channel QS odbiera najprostszy przepływ żądań o gęstości λ. Gęstość najprostszego przepływu usług w każdym kanale jest równa μ. Jeśli otrzymane zgłoszenie serwisowe wykryje wszystkie kanały wolne, zostanie ono przyjęte do serwisu i jednocześnie serwisowane ja kanały ( ja < n). W takim przypadku przepływ usługi jednego żądania będzie miał intensywność ja.

Jeżeli otrzymane zgłoszenie serwisowe znajdzie w systemie jedno zgłoszenie, to n ≥ 2ja nowo nadesłane zgłoszenie zostanie przyjęte do obsługi i jednocześnie będzie obsługiwane ja kanały.

Jeśli otrzymane zgłoszenie serwisowe znajdzie się w systemie i Aplikacje ( i= 0,1, ...), natomiast ( i+ 1)ja≤ n, wtedy otrzymane żądanie zostanie obsłużone ja kanały o łącznej pojemności ja. Jeśli w systemie znajdzie się nowo otrzymany wniosek jżądań, a jednocześnie spełnione są dwie nierówności: ( j + 1)ja > n oraz j < n, wówczas wniosek zostanie przyjęty do doręczenia. W takim przypadku niektóre aplikacje mogą być obsługiwane ja kanały, druga część mniejsza niż ja, liczba kanałów, ale wszystkie n kanały, które są losowo rozprowadzane wśród aplikacji. Jeśli w systemie zostanie znaleziony nowo otrzymany wniosek n wniosków, zostaje odrzucona i nie zostanie doręczona. Serwisowana aplikacja jest obsługiwana do końca (aplikacje są „pacjentem”).

Wykres stanu takiego systemu pokazano na ryc. 3.8.

Ryż. 3.8. Wykres stanu QS z awariami i częściowymi

wzajemna pomoc między kanałami

Zauważ, że wykres stanu systemu do stanu x h pokrywa się z wykresem stanu klasycznego systemu kolejkowego z awariami, pokazanym na rys. 2, aż do zapisu parametrów przepływu. 3.6.

W konsekwencji,

(i = 0, 1, ..., h).

Wykres stanów systemu, począwszy od stanu x h a kończąc na państwie x n, pokrywa się z zapisem z wykresem stanu QS z pełną wzajemną pomocą, pokazanym na ryc. 3.7. W ten sposób,

.

Wprowadzamy notację λ / jaμ = ρ ja ; λ / nμ = χ, wtedy

Biorąc pod uwagę znormalizowany stan, otrzymujemy

Aby skrócić dalszą notację, wprowadzamy notację

Znajdź charakterystykę systemu.

Prawdopodobieństwo usługi aplikacji

Średnia liczba aplikacji w systemie,

Średnio zajęte kanały

.

Prawdopodobieństwo, że dany kanał będzie zajęty

.

Prawdopodobieństwo zajętości wszystkich kanałów systemu

3.4.4. Systemy kolejkowe z awariami i niejednorodnymi przepływami

Sformułowanie problemu. Przy wejściu n-kanał QS otrzymuje niejednorodny przepływ elementarny o całkowitym natężeniu λ Σ , i

λ Σ = ,

gdzie λ i- intensywność aplikacji w i-m źródło.

Ponieważ przepływ żądań jest uważany za superpozycję wymagań z różnych źródeł, połączony przepływ z wystarczającą dokładnością do praktyki można uznać za Poissona dla N = 5...20 i λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensywność pracy jednego urządzenia rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym i wynosi μ = 1/ t. Urządzenia serwisowe do obsługi aplikacji są połączone szeregowo, co jest równoznaczne z wydłużeniem czasu obsługi o tyle razy, ile urządzeń jest połączonych do serwisowania:

t obs = kt, μ ob = 1 / kt = μ/ k,

gdzie t obs – czas obsługi żądania; k- liczba urządzeń serwisowych; μ obs - intensywność obsługi aplikacji.

W ramach założeń przedstawionych w rozdziale 2, stan QS przedstawiamy jako wektor , gdzie k m to liczba żądań w systemie, z których każde jest obsługiwane m urządzenia; L = q maks- q min +1 to liczba strumieni wejściowych.

Następnie liczba zajętych i wolnych urządzeń ( n zan ( ),n sv ( )) zdolny definiuje się następująco:

Poza stanem system może przejść do dowolnego innego stanu . Ponieważ system ma L strumienie wejściowe, to z każdego stanu jest to potencjalnie możliwe L bezpośrednie przejścia. Jednak ze względu na ograniczone zasoby systemu nie wszystkie z tych przejść są wykonalne. Niech QS będzie w stanie i przychodzi aplikacja wymagająca m urządzenia. Jeśli m≤ n sv ( ), to zgłoszenie zostaje przyjęte do serwisu i układ przechodzi w stan z natężeniem λ m. Jeśli aplikacja wymaga więcej urządzeń niż jest wolnych, otrzyma odmowę usługi, a QS pozostanie w stanie . Jeśli możesz istnieją aplikacje wymagające m urządzeń, to każdy z nich jest intensywnie serwisowany  m, oraz całkowitą intensywność obsługi takich wniosków (μ m) jest zdefiniowane jako μ m = k m μ / m. Po zakończeniu obsługi jednego z żądań system przejdzie w stan, w którym odpowiednia współrzędna ma wartość o jeden mniejszą niż w stanie ,=, tj. nastąpi odwrotne przejście. Na ryc. 3.9 pokazuje przykład modelu wektorowego QS dla n = 3, L = 3, q min = 1, q max=3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensywność konserwacji przyrządu wynosi μ.

Ryż. 3.9. Przykład grafu modelu wektorowego QS z odmową usługi

Więc każdy stan charakteryzuje się liczbą obsługiwanych żądań określonego typu. Na przykład w stanie
jedna reklamacja jest obsługiwana przez jedno urządzenie, a jedna przez dwa urządzenia. W tym stanie wszystkie urządzenia są zajęte, dlatego możliwe są tylko przejścia odwrotne (przybycie dowolnego klienta w tym stanie prowadzi do odmowy usługi). Jeżeli obsługa żądania pierwszego typu zakończyła się wcześniej, system przełączy się w stan (0,1,0) z natężeniem μ, ale jeśli obsługa drugiego typu żądania zakończyła się wcześniej, to system przejdzie w stan (0,1,0) o natężeniu μ/2.

Układ liniowych równań algebraicznych jest kompilowany z wykresu stanów z zastosowanymi intensywnościami przejść. Z rozwiązania tych równań znajdują się prawdopodobieństwa R(), za pomocą którego określana jest charakterystyka QS.

Rozważ znalezienie R otk (prawdopodobieństwo odmowy usługi).

,

gdzie S jest liczbą stanów grafu modelu wektorowego QS; R() to prawdopodobieństwo, że system będzie w stanie .

Liczba stanów według jest określona w następujący sposób:

, (3.22)

;

Wyznaczmy liczbę stanów modelu wektorowego QS zgodnie z (3.22) dla przykładu pokazanego na rys. 3.9.

.

W konsekwencji, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Aby zrealizować realne wymagania dla urządzeń serwisowych, odpowiednio duża liczba n (40, ..., 50), a zapytania o liczbę urządzeń serwisowych aplikacji w praktyce mieszczą się w przedziale 8-16. Przy takim stosunku instrumentów i żądań proponowany sposób znajdowania prawdopodobieństw staje się niezwykle uciążliwy, ponieważ: Model wektorowy QS ma dużą liczbę stanów S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = 11075, a wielkość macierzy współczynników układu równań algebraicznych jest proporcjonalna do kwadratu S, co wymaga dużej ilości pamięci komputera i znacznej ilości czasu komputera. Chęć zmniejszenia ilości obliczeń stymulowała poszukiwanie powtarzalnych możliwości obliczeniowych R() oparte na multiplikatywnych formach reprezentacji prawdopodobieństw stanów. W artykule przedstawiono podejście do obliczeń R():

(3.23)

Zaproponowane w artykule zastosowanie kryterium równoważności bilansów globalnych i szczegółowych łańcuchów Markowa umożliwia zmniejszenie wymiaru problemu i wykonanie obliczeń na komputerze średniej mocy z wykorzystaniem powtarzalności obliczeń. Dodatkowo istnieje możliwość:

– oblicz dla dowolnych wartości n;

– przyspieszyć obliczenia i zmniejszyć koszt czasu maszynowego.

W podobny sposób można zdefiniować inne cechy systemu.

Do tej pory rozważaliśmy tylko te QS, w których każde roszczenie może być obsłużone tylko przez jeden kanał; nieaktywne kanały nie mogą "pomóc" zajętemu w obsłudze.

Generalnie nie zawsze tak jest: istnieją systemy kolejka, gdzie to samo żądanie może być obsługiwane jednocześnie przez dwa lub więcej kanałów. Na przykład ta sama uszkodzona maszyna może obsługiwać jednocześnie dwóch pracowników. Taka „wzajemna pomoc” pomiędzy kanałami może mieć miejsce zarówno w otwartym jak i zamkniętym QS.

Rozważając CMO z wzajemną pomocą między kanałami, należy wziąć pod uwagę dwa czynniki:

1. O ile szybsza jest obsługa aplikacji, gdy nie jeden, a kilka kanałów działa jednocześnie?

2. Na czym polega „dyscyplina samopomocy”, czyli kiedy i w jaki sposób kilka kanałów przejmuje obsługę tego samego wniosku?

Rozważmy najpierw pierwsze pytanie. Naturalne jest założenie, że jeśli więcej niż jeden kanał, ale kilka kanałów pracuje nad obsługą zlecenia, to natężenie przepływu usługi nie będzie maleć wraz ze wzrostem k, czyli będzie to pewna nie malejąca funkcja liczby k kanałów roboczych. Oznaczmy tę funkcję.Możliwa postać funkcji jest pokazana na ryc. 5.11.

Oczywiście nieograniczony wzrost liczby jednocześnie działających kanałów nie zawsze prowadzi do proporcjonalnego wzrostu stawki usługi; bardziej naturalne jest założenie, że przy pewnej wartości krytycznej dalszy wzrost liczby zajętych kanałów nie zwiększa już intensywności usługi.

Aby przeanalizować działanie QS z wzajemną pomocą między kanałami, należy przede wszystkim ustawić rodzaj funkcji

Najprostszym przypadkiem do zbadania będzie przypadek, w którym funkcja wzrasta proporcjonalnie do k, gdy a pozostaje stałe i równe, gdy a (patrz rys. 5.12). Jeżeli dodatkowo łączna liczba kanałów, które mogą sobie nawzajem pomagać, nie przekracza

Przejdźmy teraz do drugiego pytania: dyscypliny pomocy wzajemnej. Najprostszy przypadek tej dyscypliny warunkowo oznaczymy jako „wszystko jako jedno”. Oznacza to, że gdy pojawi się jedno żądanie, wszystkie kanały zaczynają je obsługiwać od razu i pozostają zajęte aż do zakończenia obsługi tego żądania; wtedy wszystkie kanały przełączają się na obsługę innego żądania (jeśli istnieje) lub czekają na jego pojawienie się, jeśli nie istnieje itp. Oczywiście w tym przypadku wszystkie kanały działają jako jeden, QS staje się jednokanałowy, ale z wyższym intensywność usług.

Powstaje pytanie: czy wprowadzenie takiej wzajemnej pomocy między kanałami jest korzystne czy niekorzystne? Odpowiedź na to pytanie zależy od intensywności przepływu aplikacji, typu funkcji, typu QS (z awariami, z kolejką), jaką wartość wybieramy jako cechę efektywności obsługi.

Przykład 1. Istnieje trzykanałowy QS z awariami: intensywność przepływu aplikacji (aplikacje na minutę), średni czas obsługi jednej aplikacji przez jeden kanał (min), funkcja "? Czy jest to korzystne z punktu widzenia skrócenia średniego czasu przebywania aplikacji w systemie?

Rozwiązanie Bez wzajemnej pomocy

Ze wzorów Erlanga (patrz § 4) mamy:

Względny wydajność WOR;

Bezwzględna przepustowość:

Średni czas przebywania wniosku w QS określa się jako prawdopodobieństwo przyjęcia wniosku do doręczenia pomnożone przez średni czas obsługi:

Gist (min).

Nie należy zapominać, że ten średni czas dotyczy wszystkich zgłoszeń - zarówno obsłużonych, jak i nieobsłużonych.Może interesować nas średni czas, przez jaki obsłużone zgłoszenie pozostanie w systemie. Tym razem jest:

6. Przy wzajemnej pomocy.

Średni czas przebywania wniosku w CMO:

Średni czas przebywania obsługiwanego żądania w QS:

Tym samym, w obecności wzajemnej pomocy „wszyscy jako jeden”, przepustowość SMO wyraźnie spadła. Tłumaczy się to wzrostem prawdopodobieństwa awarii: podczas gdy wszystkie kanały są zajęte obsługą jednej aplikacji, inne aplikacje mogą się pojawić i oczywiście zostać odrzucone. Jeśli chodzi o średni czas przebywania wniosku w GMO, zgodnie z oczekiwaniami uległ on skróceniu. Jeśli z jakiegoś powodu dążymy do skrócenia czasu, jaki aplikacja spędza w QS w każdy możliwy sposób (np. jeśli przebywanie w QS jest niebezpieczne dla aplikacji), może się okazać, że pomimo spadku przepustowości, nadal korzystne będzie połączenie trzech kanałów w jeden.

Rozważmy teraz z oczekiwaniem wpływ wzajemnej pomocy „wszyscy jako jeden” na pracę OZZ. Dla uproszczenia bierzemy pod uwagę tylko przypadek kolejki nieograniczonej. Oczywiście w tym przypadku wzajemna pomoc nie będzie miała wpływu na przepustowość systemu jakości, ponieważ w każdych warunkach obsługiwane będą wszystkie przychodzące wnioski. Powstaje pytanie o wpływ wzajemnej pomocy na cechy oczekiwania: średnia długość kolejki, średni czas oczekiwania, średni czas spędzony w QS.

Zgodnie ze wzorami (6.13), (6.14) § 6 dla obsługi bez wzajemnej pomocy, średnia liczba klientów w kolejce będzie

średni czas oczekiwania:

oraz średni czas spędzony w systemie:

W przypadku wzajemnej pomocy typu „wszystko w jednym” system będzie pracował jako system jednokanałowy z parametrami

a jego cechy określają wzory (5.14), (5.15) § 5:

Przykład 2. Istnieje trzykanałowy QS z nieograniczoną kolejką; intensywność przepływu aplikacji (aplikacje na min.), średni czas obsługi Funkcja Korzystne ze względu na:

Średnia długość kolejki

średni czas oczekiwania na usługę,

Średni czas przebywania wniosku w CMO

wprowadzić wzajemną pomoc między kanałami, np. „wszyscy jako jeden”?

Rozwiązanie Brak wzajemnej pomocy.

Według wzorów (9.1) - (9.4) mamy

(3-2)

b. Z wzajemną pomocą

Według wzorów (9,5) - (9,7) znajdujemy;

Tym samym średnia długość kolejki i średni czas oczekiwania w kolejce w przypadku wzajemnej pomocy jest większa, ale średni czas spędzany przez aplikację w systemie jest krótszy.

Z rozważanych przykładów widać, że wzajemna pomoc między k? „wszystko jak jeden” rodzaj gotówki z reguły nie przyczynia się do poprawy efektywności obsługi: skraca się czas spędzany przez aplikację w QS, ale pogarszają się inne cechy usługi.

Dlatego pożądana jest zmiana dyscypliny usługowej tak, aby wzajemna pomoc między kanałami nie przeszkadzała w przyjmowaniu nowych żądań usługi, jeśli pojawiają się one w czasie, gdy wszystkie kanały są zajęte.

Warunkowo nazwijmy „jednolitą wzajemną pomocą” następującym rodzajem wzajemnej pomocy. Jeśli żądanie nadejdzie w momencie, gdy wszystkie kanały są wolne, to wszystkie kanały zostaną zaakceptowane do jego obsługi; jeśli w momencie obsługi zgłoszenia nadejdzie kolejne, część kanałów przełącza się na jego obsługę; jeśli w czasie, gdy te dwa żądania są obsługiwane, nadchodzi kolejne, niektóre kanały są przełączane, aby je obsłużyć, i tak dalej, aż wszystkie kanały zostaną zajęte; jeśli tak, nowo otrzymane roszczenie jest odrzucane (w QS z odmową) lub umieszczane w kolejce (w QS z oczekiwaniem).

Przy tej dyscyplinie wzajemnej pomocy wniosek jest odrzucany lub umieszczany w kolejce tylko wtedy, gdy nie jest możliwe jego doręczenie. Jeśli chodzi o „przestój” kanałów, w tych warunkach jest on minimalny: jeśli w systemie jest co najmniej jedna aplikacja, wszystkie kanały działają.

Wspomnieliśmy powyżej, że gdy pojawi się nowe żądanie, niektóre zajęte kanały są zwalniane i przełączane na obsługę nowo otrzymanego żądania. Która część? Zależy to od rodzaju funkcji, jeśli ma postać zależności liniowej, jak pokazano na rys. 5.12 i nie ma znaczenia, którą część kanałów przeznaczyć do obsługi nowo otrzymanego zgłoszenia, o ile wszystkie kanały są zajęte (wtedy sumaryczna intensywność usług dla dowolnej dystrybucji kanałów według zgłoszeń będzie równa ). Można wykazać, że jeśli krzywa jest wypukła do góry, jak pokazano na rys. 5.11, musisz rozłożyć kanały między aplikacjami tak równomiernie, jak to możliwe.

Rozważmy pracę -channel QS z "jednolitą" wzajemną pomocą między kanałami.

Rozważmy wielokanałowy system kolejkowania (w sumie jest n kanałów), w którym żądania docierają z szybkością λ i są obsługiwane z szybkością µ. Żądanie, które dotarło do systemu, jest obsługiwane, jeśli przynajmniej jeden kanał jest wolny. Jeśli wszystkie kanały są zajęte, następne żądanie, które wejdzie do systemu jest odrzucane i opuszcza QS. Stany systemu numerujemy według liczby zajętych kanałów:

• S 0 – wszystkie kanały są wolne;
• S 1 – jeden kanał jest zajęty;
• S 2 – dwa kanały są zajęte;
• Sk- zajęty k kanały;
• Sn– wszystkie kanały są zajęte.

Jest oczywiste, że system przechodzi od stanu do stanu pod wpływem strumień wejściowy Aplikacje. Zbudujmy wykres stanu dla tego systemu kolejkowego.

Ryż. 7.24
Rysunek 6.24 przedstawia wykres stanu, w którym Si- numer kanału; λ to intensywność napływu wniosków; μ - odpowiednio intensywność zgłoszeń serwisowych. Aplikacje wchodzą do systemu kolejkowego ze stałą intensywnością i stopniowo zajmują kanały jeden po drugim; gdy wszystkie kanały są zajęte, następne żądanie, które dotrze do QS zostanie odrzucone i opuści system.
Określmy intensywności przepływów zdarzeń, które przenoszą układ ze stanu do stanu, poruszając się zarówno z lewej do prawej, jak iz prawej do lewej wzdłuż grafu stanów.
Na przykład niech system będzie w stanie S 1, tzn. jeden kanał jest zajęty, ponieważ na jego wejściu znajduje się żądanie. Jak tylko żądanie zostanie przetworzone, system przełączy się w stan S 0 .
Na przykład, jeśli dwa kanały są zajęte, to przepływ usług, który przenosi system ze stanu S 2 na stan S 1 będzie dwukrotnie intensywniejszy: 2-μ; odpowiednio, jeśli zajęty k kanałów, intensywność jest równa k-μ.

Proces obsługi to proces śmierci i reprodukcji. Równania Kołmogorowa dla tego konkretnego przypadku będą miały następującą postać:

(7.25)
Równania (7.25) nazywają się Równania Erlanga .
W celu znalezienia wartości prawdopodobieństw stanów R 0 , R 1 , …, Rn, konieczne jest określenie warunków początkowych:
– R 0 (0) = 1, tj. na wejściu systemu jest żądanie;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, czyli in początkowy moment czas, gdy system jest wolny.
Po scałkowaniu układu równań różniczkowych (7.25) otrzymujemy wartości prawdopodobieństw stanów R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Ale o wiele bardziej interesują nas graniczne prawdopodobieństwa stanów. Jako t → ∞ i korzystając ze wzoru otrzymanego przy rozpatrywaniu procesu śmierci i reprodukcji otrzymujemy rozwiązanie układu równań (7.25):

(7.26)
W tych formułach stosunek intensywności λ / μ do przepływu aplikacji wygodnie jest wyznaczyć ρ .Ta wartość nazywa się zmniejszona intensywność przepływu aplikacji, czyli średnia liczba aplikacji przychodzących do QS przez średni czas obsługi jednej aplikacji.

Uwzględniając powyższą notację, układ równań (7.26) przyjmuje postać:

(7.27)
Te wzory do obliczania prawdopodobieństw krańcowych nazywają się Formuły Erlanga .
Znając wszystkie prawdopodobieństwa stanów QS, znajdujemy charakterystyki sprawności QS, czyli bezwzględną przepustowość ALE, względna przepustowość Q i prawdopodobieństwo awarii R otwarty
Żądanie wchodzące do systemu zostanie odrzucone, jeśli stwierdzi, że wszystkie kanały są zajęte:

.
Prawdopodobieństwo przyjęcia wniosku do doręczenia:

Q = 1 – R otk,
gdzie Q to średni udział otrzymanych zgłoszeń obsługiwanych przez system lub średnia liczba zgłoszeń obsługiwanych przez QS w jednostce czasu podzielona przez średnią liczbę zgłoszeń otrzymanych w tym czasie:

A=λ Q=λ (1-P otwarty)
Ponadto jeden z najważniejsze cechy QS z awariami to średnio zajęte kanały. W n-kanał QS z awariami, liczba ta pokrywa się ze średnią liczbą aplikacji w QS.
Średnią liczbę wniosków k można obliczyć bezpośrednio z prawdopodobieństw stanów Р 0 , Р 1 , … , Р n:

,
tj. znajdujemy matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej, która przyjmuje wartość od 0 do n z prawdopodobieństwami R 0 , R 1 , …, Rn.
Jeszcze łatwiej jest wyrazić wartość k w kategoriach bezwzględnej przepustowości systemu QS, tj. A. Wartość A to średnia liczba aplikacji obsługiwanych przez system w jednostce czasu. Jeden zajęty kanał obsługuje μ żądań na jednostkę czasu, następnie średnia liczba zajętych kanałów

Cechy klasyfikacyjne

Odmiany systemów kolejkowych

Przychodzący przepływ popytu

Ograniczone wymagania

Zamknięte

otwarty

prawo dystrybucyjne

Systemy ze specyficzną zasadą rozdziału strumienia dochodzącego: wykładniczy, Erlang k porządek, palma, normalny itp.

Skręcać

Dyscyplina kolejki

Z zamówioną kolejką

Z nieuporządkowaną kolejką

Priorytet usługi

Limity usług oczekujących

Z odrzuceniami

Z nieograniczonym oczekiwaniem

Ograniczony (mieszany)

Według długości kolejki

Czas oczekiwania w kolejce

Według czasu pobytu w SMO

Łączny

Dyscyplina usług

Etapy obsługi

jednofazowy

Polifaza

Liczba kanałów obsługi

pojedynczy kanał

Wielokanałowy

Z równymi kanałami

Z nierównymi kanałami

Niezawodność kanałów obsługi

Z absolutnie niezawodnymi kanałami

Z niewiarygodnymi kanałami

Brak odzyskiwania

Z odzyskiem

Kanały wzajemnej pomocy

bez wzajemnej pomocy

Z wzajemną pomocą

Niezawodność obsługi

Z błędami

Bez błędów

Dystrybucja czasu usługi

Systemy o określonym prawie rozkładu czasu obsługi: deterministyczny, wykładniczy, normalny itp.

Jeśli usługa jest wykonywana etapami przez jakąś sekwencję kanałów, to taki QS nazywa się wielozakresowy.

W CMO z „wzajemną pomocą” między kanałami, to samo żądanie może być obsługiwane jednocześnie przez dwa lub więcej kanałów. Na przykład ta sama uszkodzona maszyna może obsługiwać jednocześnie dwóch pracowników. Taka „wzajemna pomoc” pomiędzy kanałami może mieć miejsce zarówno w otwartym jak i zamkniętym QS.

W CMO z błędami zgłoszenie przyjęte do doręczenia w systemie jest obsługiwane nie z pełnym prawdopodobieństwem, ale z pewnym prawdopodobieństwem; innymi słowy mogą wystąpić błędy w obsłudze, czego skutkiem jest to, że niektóre aplikacje, które trafiły do ​​QS i rzekomo „obsługiwane” faktycznie pozostają nieobsługiwane ze względu na „małżeństwo” w pracy QS.

Przykładami takich systemów są: punkty informacyjne, czasami podające nieprawidłowe informacje i instrukcje; korektor, który może przeoczyć błąd lub poprawić go niepoprawnie; centrala telefoniczna, czasami łącząca abonenta z niewłaściwym numerem; firmy handlowe i pośredniczące, które nie zawsze wywiązują się ze swoich zobowiązań terminowo i jakościowo itp.

Aby przeanalizować proces zachodzący w QS, niezbędna jest wiedza podstawowe parametry systemu: liczba kanałów, intensywność przepływu aplikacji, wydajność każdego kanału (średnia liczba aplikacji obsługiwanych w jednostce czasu przez kanał), warunki formowania się kolejki, intensywność opuszczenia aplikacji z kolejki lub systemu.

Relacja nazywa się współczynnik obciążenia systemu. Często brane są pod uwagę tylko takie systemy, w których .

Czas obsługi w QS może być zarówno losowy, jak i nielosowy. W praktyce czas ten jest najczęściej przyjmowany jako rozłożony zgodnie z prawem wykładniczym, .

Główne cechy systemu QS w stosunkowo niewielkim stopniu zależą od rodzaju prawa rozkładu czasu usługi, ale głównie zależą od wartości średniej. Dlatego często przyjmuje się, że czas obsługi rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym.

Założenia o Poissonowskiej naturze przepływu żądań i wykładniczym rozkładzie czasu obsługi (co odtąd będziemy zakładać) są cenne, ponieważ pozwalają na zastosowanie aparatu tzw. procesów losowych Markowa w teorii kolejkowania .

Można scharakteryzować efektywność systemów usługowych w zależności od warunków realizacji zadań i celów badania duża liczba różne wskaźniki ilościowe.

Najczęściej używane są następujące wskaźniki:

1. Prawdopodobieństwo, że kanały są zajęte usługą wynosi .

Szczególnym przypadkiem jest prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały są wolne.

2. Prawdopodobieństwo odrzucenia zgłoszenia w serwisie.

3. Średnia liczba zajętych kanałów charakteryzuje stopień obciążenia systemu.

4. Średnia liczba kanałów wolnych od usługi:

5. Współczynnik (prawdopodobieństwo) wolnych kanałów.

6. Współczynnik obciążenia sprzętu (prawdopodobieństwo zajętych kanałów)

7. Przepustowość względna - średni udział przychodzących żądań obsługiwanych przez system, tj. stosunek średniej liczby żądań obsługiwanych przez system w jednostce czasu do średniej liczby żądań otrzymanych w tym czasie.

8. Przepustowość bezwzględna, tj. liczba aplikacji (wymagań), które system może obsłużyć w jednostce czasu:

9. Średni czas bezczynności kanału

Dla systemów z oczekiwaniem wykorzystywane są dodatkowe funkcje:

10. Średni czas oczekiwania na żądania w kolejce.

11. Średni czas przebywania wniosku w CMO.

12. Średnia długość kolejki.

13. Średnia liczba wniosków w sektorze usług (w CMO)

14. Prawdopodobieństwo, że czas pozostawania aplikacji w kolejce nie będzie trwał dłużej niż określony czas.

15. Prawdopodobieństwo, że liczba żądań w kolejce oczekujących na uruchomienie usługi jest większa niż pewna liczba.

Oprócz wymienionych kryteriów, przy ocenie skuteczności systemów, wskaźniki kosztów:

– koszt obsługi każdego wymagania w systemie;

– koszt strat związanych z oczekiwaniem na jednostkę czasu;

– koszt strat związanych z wyjściem wymagań z systemu;

to koszt obsługi kanału systemowego na jednostkę czasu;

to koszt na jednostkę przestoju kanału.

Wybierając optymalne parametry systemu dla wskaźników ekonomicznych, możesz skorzystać z poniższych funkcja kosztów strat:

a) dla systemów z nieograniczonym oczekiwaniem

Gdzie jest przedział czasu;

b) dla systemów z awariami;

c) dla systemów mieszanych.

Opcje, które przewidują budowę (uruchomienie) nowych elementów systemu (na przykład kanałów serwisowych) są zwykle porównywane przy obniżonych kosztach.

Obniżone koszty dla każdej opcji to suma bieżących kosztów (kosztów) i inwestycji kapitałowych, zredukowana do tego samego wymiaru zgodnie ze standardem efektywności, na przykład:

(podane koszty rocznie);

(podane koszty za okres zwrotu),

gdzie - bieżące koszty (koszt) dla każdej opcji, s.;

– branżowy współczynnik normatywny wydajność ekonomiczna inwestycje kapitałowe (zwykle = 0,15 - 0,25);

– inwestycje kapitałowe dla każdej opcji, s.;

to standardowy okres zwrotu inwestycji kapitałowych, lata.

Wyrażenie to suma kosztów bieżących i kapitałowych za pewien okres. Nazywają się dany, ponieważ odnoszą się do ustalonego okresu czasu (w tym przypadku do standardowego okresu zwrotu).

Wskaźniki i mogą być stosowane zarówno w formie sumy inwestycji kapitałowych i kosztu gotowych produktów, jak i w formie konkretne inwestycje kapitałowe na jednostkę produkcji i jednostkowy koszt produkcji.

Do opisu procesu losowego zachodzącego w systemie ze stanami dyskretnymi często używa się prawdopodobieństw stanów, gdzie jest prawdopodobieństwem, że w danej chwili system będzie w stanie.

To oczywiste, że .

Jeśli proces zachodzący w systemie ze stanami dyskretnymi i ciągłym czasem jest Markowski, to dla prawdopodobieństw stanów można skomponować układ liniowych równań różniczkowych Kołmogorowa.

Jeżeli istnieje oznaczony wykres stanów (rys. 4.3) (tu nad każdą strzałką prowadzącą od stanu do stanu wskazana jest intensywność przepływu zdarzeń, przenoszących układ ze stanu do stanu wzdłuż tej strzałki), to układ równań różniczkowych dla prawdopodobieństw można od razu zapisać za pomocą następującego prostego reguła.

Po lewej stronie każdego równania znajduje się pochodna, a po prawej jest tyle wyrazów, ile strzałek jest bezpośrednio związanych z tym stanem; jeśli strzałka wskazuje w

Jeżeli wszystkie strumienie zdarzeń przenoszących układ ze stanu do stanu są stacjonarne, całkowita liczba stanów jest skończona i nie ma stanów bez wyjścia, to tryb graniczny istnieje i charakteryzuje się krańcowe prawdopodobieństwa .