Do tej pory rozważaliśmy tylko te QS, w których każde roszczenie może być obsłużone tylko przez jeden kanał; nieaktywne kanały nie mogą "pomóc" zajętemu w obsłudze.
Ogólnie rzecz biorąc, nie zawsze tak jest: istnieją systemy kolejkowania, w których to samo żądanie może być jednocześnie obsługiwane przez dwa lub więcej kanałów. Na przykład ta sama uszkodzona maszyna może obsługiwać jednocześnie dwóch pracowników. Taka „wzajemna pomoc” pomiędzy kanałami może mieć miejsce zarówno w otwartym jak i zamkniętym QS.
Rozważając CMO z wzajemną pomocą między kanałami, należy wziąć pod uwagę dwa czynniki:
1. O ile szybsza jest obsługa aplikacji, gdy nie jeden, a kilka kanałów działa jednocześnie?
2. Na czym polega „dyscyplina samopomocy”, czyli kiedy i w jaki sposób kilka kanałów przejmuje obsługę tego samego wniosku?
Rozważmy najpierw pierwsze pytanie. Naturalne jest założenie, że jeśli więcej niż jeden kanał, ale kilka kanałów pracuje nad obsługą zlecenia, to natężenie przepływu usługi nie będzie maleć wraz ze wzrostem k, czyli będzie to pewna nie malejąca funkcja liczby k kanałów roboczych. Oznaczmy tę funkcję.Możliwa postać funkcji jest pokazana na ryc. 5.11.
Oczywiście nieograniczony wzrost liczby jednocześnie działających kanałów nie zawsze prowadzi do proporcjonalnego wzrostu stawki usługi; bardziej naturalne jest założenie, że przy pewnej wartości krytycznej dalszy wzrost liczby zajętych kanałów nie zwiększa już intensywności usług.
Aby przeanalizować działanie QS z wzajemną pomocą między kanałami, należy przede wszystkim ustawić rodzaj funkcji
Najprostszym przypadkiem do zbadania będzie przypadek, w którym funkcja wzrasta proporcjonalnie do k, gdy a pozostaje stałe i równe, gdy a (patrz rys. 5.12). Jeżeli dodatkowo łączna liczba kanałów, które mogą sobie nawzajem pomagać, nie przekracza
Przejdźmy teraz do drugiego pytania: dyscypliny pomocy wzajemnej. Najprostszy przypadek tej dyscypliny warunkowo oznaczymy jako „wszystko jako jedno”. Oznacza to, że gdy pojawi się jedna aplikacja, wszystkie kanały zaczynają ją obsługiwać jednocześnie i pozostają zajęte do czasu zakończenia obsługi tej aplikacji; wtedy wszystkie kanały przełączają się na obsługę innego żądania (jeśli istnieje) lub czekają na jego pojawienie się, jeśli nie istnieje itp. Oczywiście w tym przypadku wszystkie kanały działają jako jeden, QS staje się jednokanałowy, ale z wyższą usługą intensywność.
Powstaje pytanie: czy wprowadzenie takiej wzajemnej pomocy między kanałami jest korzystne czy niekorzystne? Odpowiedź na to pytanie zależy od intensywności przepływu aplikacji, typu funkcji, typu QS (z awariami, z kolejką), jaka wartość jest wybrana jako cecha wydajności obsługi.
Przykład 1. Istnieje trzykanałowy QS z awariami: intensywność przepływu aplikacji (aplikacje na minutę), średni czas obsługi jednej aplikacji przez jeden kanał (min), funkcja "? Czy jest to korzystne z punktu widzenia skrócenia średniego czasu przebywania aplikacji w systemie?
Rozwiązanie Bez wzajemnej pomocy
Ze wzorów Erlanga (patrz § 4) mamy:
Względna pojemność QS;
Bezwzględna przepustowość:
Średni czas przebywania wniosku w QS określa się jako prawdopodobieństwo przyjęcia wniosku do doręczenia pomnożone przez średni czas obsługi:
Gist (min).
Nie należy zapominać, że ten średni czas dotyczy wszystkich zgłoszeń - zarówno obsłużonych, jak i nieobsłużonych.Może interesować nas średni czas, przez jaki obsłużone zgłoszenie pozostanie w systemie. Tym razem jest:
6. Przy wzajemnej pomocy.
Średni czas przebywania wniosku w CMO:
Średni czas przebywania obsługiwanego żądania w QS:
Tym samym, w obecności wzajemnej pomocy „wszyscy jako jeden”, przepustowość SMO wyraźnie spadła. Wynika to ze wzrostu prawdopodobieństwa awarii: podczas gdy wszystkie kanały są zajęte obsługą jednej aplikacji, inne aplikacje mogą się pojawić i oczywiście zostać odrzucone. Jeśli chodzi o średni czas przebywania wniosku w GMO, zgodnie z oczekiwaniami uległ on skróceniu. Jeśli z jakiegoś powodu dążymy do skrócenia czasu, jaki aplikacja spędza w QS w każdy możliwy sposób (np. jeśli przebywanie w QS jest niebezpieczne dla aplikacji), może się okazać, że pomimo zmniejszenia przepustowości, nadal korzystne będzie połączenie trzech kanałów w jeden.
Rozważmy teraz z oczekiwaniem wpływ wzajemnej pomocy „wszyscy jako jeden” na pracę OZZ. Dla uproszczenia bierzemy pod uwagę tylko przypadek kolejki nieograniczonej. Oczywiście wpływ wzajemnej pomocy na wydajność W tym przypadku nie będzie CMO, ponieważ w każdych warunkach obsługiwane będą wszystkie napływające aplikacje. Powstaje pytanie o wpływ wzajemnej pomocy na cechy oczekiwania: średnia długość kolejki, średni czas oczekiwania, średni czas spędzony w QS.
Zgodnie ze wzorami (6.13), (6.14) § 6 dla obsługi bez wzajemnej pomocy, średnia liczba klientów w kolejce będzie
średni czas oczekiwania:
oraz średni czas spędzony w systemie:
W przypadku wzajemnej pomocy typu „wszystko w jednym” system będzie pracował jako system jednokanałowy z parametrami
a jego cechy określają wzory (5.14), (5.15) § 5:
Przykład 2. Istnieje trzykanałowy QS z nieograniczoną kolejką; intensywność przepływu aplikacji (aplikacje na min.), średni czas obsługi Funkcja Korzystne ze względu na:
Średnia długość kolejki
średni czas oczekiwania na usługę,
Średni czas przebywania wniosku w CMO
wprowadzić wzajemną pomoc między kanałami, np. „wszyscy jako jeden”?
Rozwiązanie Brak wzajemnej pomocy.
Według wzorów (9.1) - (9.4) mamy
(3-2)
b. Z wzajemną pomocą
Według wzorów (9,5) - (9,7) znajdujemy;
Tym samym średnia długość kolejki i średni czas oczekiwania w kolejce w przypadku wzajemnej pomocy jest większa, ale średni czas przebywania wniosku w systemie jest krótszy.
Z rozważanych przykładów widać, że wzajemna pomoc między k? Gotówka typu „wszystko jako jeden” z reguły nie przyczynia się do wzrostu efektywności obsługi: skraca się czas spędzany przez aplikację w systemie QS, ale pogarszają się inne cechy usługi.
Dlatego pożądana jest zmiana dyscypliny usługowej tak, aby wzajemna pomoc między kanałami nie przeszkadzała w przyjmowaniu nowych żądań usługi, jeśli pojawiają się one w czasie, gdy wszystkie kanały są zajęte.
Warunkowo nazwijmy „jednolitą wzajemną pomocą” następującym rodzajem wzajemnej pomocy. Jeśli żądanie nadejdzie w momencie, gdy wszystkie kanały są wolne, to wszystkie kanały zostaną zaakceptowane do jego obsługi; jeśli w momencie obsługi zgłoszenia nadejdzie kolejne, część kanałów przełącza się na jego obsługę; jeśli w czasie, gdy te dwa żądania są obsługiwane, nadchodzi kolejne, niektóre kanały są przełączane, aby je obsłużyć, i tak dalej, aż wszystkie kanały zostaną zajęte; jeśli tak, nowo otrzymane roszczenie jest odrzucane (w QS z odmową) lub umieszczane w kolejce (w QS z oczekiwaniem).
Przy tej dyscyplinie wzajemnej pomocy wniosek jest odrzucany lub umieszczany w kolejce tylko wtedy, gdy nie jest możliwe jego doręczenie. Jeśli chodzi o „przestój” kanałów, w tych warunkach jest on minimalny: jeśli w systemie jest co najmniej jedna aplikacja, wszystkie kanały działają.
Wspomnieliśmy powyżej, że gdy pojawi się nowe żądanie, niektóre zajęte kanały są zwalniane i przełączane na obsługę nowo otrzymanego żądania. Która część? Zależy to od rodzaju funkcji, jeśli ma postać zależności liniowej, jak pokazano na rys. 5.12 i nie ma znaczenia, którą część kanałów przeznaczyć do obsługi nowo otrzymanego zgłoszenia, o ile wszystkie kanały są zajęte (wtedy sumaryczna intensywność usług dla dowolnej dystrybucji kanałów według zgłoszeń będzie równa ). Można wykazać, że jeśli krzywa jest wypukła do góry, jak pokazano na rys. 5.11, musisz rozłożyć kanały między aplikacjami tak równomiernie, jak to możliwe.
Rozważmy pracę -channel QS z "jednolitą" wzajemną pomocą między kanałami.
Układ równań
QS z awariami dla losowej liczby obsługujących przepływów jest modelem wektorowym przepływów Poissona. Wykres, układ równań.
Przedstawmy QS jako wektor , gdzie k m to liczba żądań w systemie, z których każde jest obsługiwane m urządzenia; L= q maks- q min +1 to liczba strumieni wejściowych.
Jeżeli zgłoszenie zostanie przyjęte do serwisu i system przejdzie w stan z natężeniem λ m.
Po zakończeniu obsługi jednego z żądań system przejdzie w stan, w którym odpowiednia współrzędna będzie miała wartość o jeden mniejszą niż w stanie , = , czyli nastąpi odwrotne przejście.
Przykład modelu wektorowego QS dla n = 3, L = 3, q min = 1, q max=3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensywność konserwacji przyrządu wynosi μ.
Układ liniowych równań algebraicznych jest kompilowany z wykresu stanów z zastosowanymi intensywnościami przejść. Z rozwiązania tych równań znajdują się prawdopodobieństwa R(), za pomocą którego określane są charakterystyki QS.
QS z nieskończoną kolejką dla przepływów Poissona. Wykres, układ równań, współczynniki projektowe.
Wykres systemu
Układ równań
Gdzie n– liczba kanałów obsługi, ja– liczba wzajemnie wspomagających się kanałów
QS z nieskończoną kolejką i częściową wzajemną pomocą dla dowolnych przepływów. Wykres, układ równań, stosunki wyliczone.
Wykres systemu
Układ równań
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) Pk+ λ Pk –1 + nμ Pk +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) P n+ λ P n –1 + nμ P n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ n+j –1 + nμ n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS z nieskończoną kolejką i pełną wzajemną pomocą dla dowolnych przepływów. Wykres, układ równań, stosunki wyliczone.
Wykres systemu
|
Układ równań
QS z skończoną kolejką dla przepływów Poissona. Wykres, układ równań, stosunki wyliczone.
Wykres systemu
Układ równań
Współczynniki projektowe:
,
Rozważmy wielokanałowy system kolejkowania (w sumie jest n kanałów), w którym żądania docierają z szybkością λ i są obsługiwane z szybkością µ. Żądanie, które dotarło do systemu, jest obsługiwane, jeśli przynajmniej jeden kanał jest wolny. Jeśli wszystkie kanały są zajęte, następne żądanie, które wejdzie do systemu jest odrzucane i opuszcza QS. Stany systemu numerujemy według liczby zajętych kanałów:
- S 0 – wszystkie kanały są wolne;
- S 1 – jeden kanał jest zajęty;
- S 2 – zajęte są dwa kanały;
- Sk- zajęty k kanały;
- Sn– wszystkie kanały są zajęte.
Ryż. 7.24
Rysunek 6.24 przedstawia wykres stanu, w którym Si- numer kanału; λ to intensywność napływu wniosków; μ
- odpowiednio intensywność zgłoszeń serwisowych. Aplikacje wchodzą do systemu kolejkowego ze stałą intensywnością i stopniowo zajmują kanały jeden po drugim; gdy wszystkie kanały są zajęte, następne żądanie, które dotrze do QS zostanie odrzucone i opuści system.
Określmy intensywności przepływów zdarzeń, które przenoszą układ ze stanu do stanu, poruszając się zarówno z lewej do prawej, jak iz prawej do lewej wzdłuż grafu stanów.
Na przykład niech system będzie w stanie S 1, tzn. jeden kanał jest zajęty, ponieważ na jego wejściu znajduje się żądanie. Jak tylko żądanie zostanie przetworzone, system przełączy się w stan S 0 .
Na przykład, jeśli dwa kanały są zajęte, to przepływ usług, który przenosi system ze stanu S 2 na stan S 1 będzie dwukrotnie intensywniejszy: 2-μ; odpowiednio, jeśli zajęty k kanałów, intensywność jest równa k-μ.
Proces obsługi to proces śmierci i reprodukcji. Równania Kołmogorowa dla tego konkretnego przypadku będą miały następującą postać:
(7.25)
Równania (7.25) nazywają się Równania Erlanga
.
W celu znalezienia wartości prawdopodobieństw stanów R 0 , R 1 , …, Rn, konieczne jest określenie warunków początkowych:
– R 0 (0) = 1, tj. na wejściu systemu jest żądanie;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, czyli in początkowy moment czas, gdy system jest wolny.
Po scałkowaniu układu równań różniczkowych (7.25) otrzymujemy wartości prawdopodobieństw stanów R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Ale o wiele bardziej interesują nas graniczne prawdopodobieństwa stanów. Jako t → ∞ i korzystając ze wzoru otrzymanego przy rozpatrywaniu procesu śmierci i reprodukcji otrzymujemy rozwiązanie układu równań (7.25):
(7.26)
W tych formułach stosunek intensywności λ / μ
do przepływu aplikacji wygodnie jest wyznaczyć ρ
.Ta wartość nazywa się zmniejszona intensywność przepływu aplikacji, czyli średnia liczba aplikacji przychodzących do QS przez średni czas obsługi jednej aplikacji.
Uwzględniając powyższą notację, układ równań (7.26) przyjmuje postać:
(7.27)
Te wzory do obliczania prawdopodobieństw krańcowych nazywają się Formuły Erlanga
.
Znając wszystkie prawdopodobieństwa stanów QS, znajdujemy charakterystyki sprawności QS, czyli bezwzględną przepustowość ALE, względna przepustowość Q i prawdopodobieństwo awarii R otwarty
Żądanie wchodzące do systemu zostanie odrzucone, jeśli stwierdzi, że wszystkie kanały są zajęte:
.
Prawdopodobieństwo przyjęcia wniosku do doręczenia:
Q = 1 – R otk,
gdzie Q to średni udział żądań przychodzących obsługiwanych przez system lub średnia liczba żądań obsługiwanych przez QS w jednostce czasu podzielona przez średnią liczbę żądań otrzymanych w tym czasie:
A=λ Q=λ (1-P otwarty)
Ponadto jeden z najważniejsze cechy QS z awariami to średnio zajęte kanały. W n-kanał QS z awariami, liczba ta pokrywa się ze średnią liczbą aplikacji w QS.
Średnią liczbę wniosków k można obliczyć bezpośrednio z prawdopodobieństw stanów Р 0 , Р 1 , … , Р n:
,
tj. znajdujemy matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej, która przyjmuje wartość od 0 do n z prawdopodobieństwami R 0 , R 1 , …, Rn.
Jeszcze łatwiej jest wyrazić wartość k w kategoriach bezwzględnej przepustowości systemu QS, tj. A. Wartość A to średnia liczba aplikacji obsługiwanych przez system w jednostce czasu. Jeden zajęty kanał obsługuje μ żądań na jednostkę czasu, następnie średnia liczba zajętych kanałów
Sformułowanie problemu. Przy wejściu n-channel QS odbiera najprostszy przepływ żądań o gęstości λ. Gęstość najprostszego przepływu usług w każdym kanale jest równa μ. Jeśli otrzymane zgłoszenie serwisowe wykryje wszystkie kanały wolne, zostanie ono przyjęte do serwisu i jednocześnie serwisowane ja kanały ( ja < n). W takim przypadku przepływ usługi jednego żądania będzie miał intensywność ja.
Jeżeli otrzymane zgłoszenie serwisowe znajdzie w systemie jedno zgłoszenie, to n ≥ 2ja nowo nadesłane zgłoszenie zostanie przyjęte do obsługi i jednocześnie będzie obsługiwane ja kanały.
Jeśli otrzymane zgłoszenie serwisowe znajdzie się w systemie i Aplikacje ( i= 0,1, ...), natomiast ( i+ 1)ja≤ n, wtedy otrzymane żądanie zostanie obsłużone ja kanały o łącznej pojemności ja. Jeśli w systemie znajdzie się nowo otrzymany wniosek jżądań, a jednocześnie spełnione są dwie nierówności: ( j + 1)ja > n oraz j < n, wówczas wniosek zostanie przyjęty do doręczenia. W takim przypadku niektóre aplikacje mogą być obsługiwane ja kanały, druga część mniejsza niż ja, liczba kanałów, ale wszystkie n kanały, które są losowo rozprowadzane wśród aplikacji. Jeśli w systemie zostanie znaleziony nowo otrzymany wniosek n wniosków, zostaje odrzucona i nie zostanie doręczona. Serwisowana aplikacja jest obsługiwana do końca (aplikacje są „pacjentem”).
Wykres stanu takiego systemu pokazano na ryc. 3.8.
Ryż. 3.8. Wykres stanu QS z awariami i częściowymi
wzajemna pomoc między kanałami
Zauważ, że wykres stanu systemu do stanu x h pokrywa się z wykresem stanu klasycznego systemu kolejkowego z awariami, pokazanym na rys. 1, aż do zapisu parametrów przepływu. 3.6.
W konsekwencji,
(i
= 0, 1, ..., h).
Wykres stanów systemu, począwszy od stanu x h a kończąc na państwie x n, pokrywa się z zapisem z wykresem stanu QS z pełną wzajemną pomocą, pokazanym na ryc. 3.7. W ten sposób,
.
Wprowadzamy notację λ / jaμ = ρ ja ; λ / nμ = χ, wtedy
Biorąc pod uwagę znormalizowany stan, otrzymujemy
Aby skrócić dalszą notację, wprowadzamy notację
Znajdź charakterystykę systemu.
Prawdopodobieństwo usługi aplikacji
Średnia liczba aplikacji w systemie,
Średnio zajęte kanały
.
Prawdopodobieństwo, że dany kanał będzie zajęty
.
Prawdopodobieństwo zajętości wszystkich kanałów systemu
3.4.4. Systemy kolejkowe z awariami i niejednorodnymi przepływami
Sformułowanie problemu. Przy wejściu n-kanał QS otrzymuje niejednorodny przepływ elementarny o całkowitym natężeniu λ Σ , i
λ Σ
=
,
gdzie λ i- intensywność aplikacji w i-m źródło.
Ponieważ przepływ żądań jest uważany za superpozycję wymagań z różnych źródeł, połączony przepływ z wystarczającą dokładnością do praktyki można uznać za Poissona dla N = 5...20 i λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensywność pracy jednego urządzenia rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym i wynosi μ = 1/ t. Urządzenia serwisowe do obsługi aplikacji są połączone szeregowo, co jest równoznaczne z wydłużeniem czasu obsługi o tyle razy, ile urządzeń jest połączonych do serwisowania:
t obs = kt, μ ob = 1 / kt = μ/ k,
gdzie t obs – czas obsługi żądania; k- liczba urządzeń serwisowych; μ obs - intensywność obsługi aplikacji.
W ramach założeń przedstawionych w rozdziale 2, stan QS przedstawiamy jako wektor , gdzie k m to liczba żądań w systemie, z których każde jest obsługiwane m urządzenia; L = q maks- q min +1 to liczba strumieni wejściowych.
Następnie liczba zajętych i wolnych urządzeń ( n zan ( 
),n sv ( 
)) zdolny 
definiuje się następująco:
Poza stanem 
system może przejść do dowolnego innego stanu 
. Ponieważ system ma L strumienie wejściowe, to z każdego stanu jest to potencjalnie możliwe L bezpośrednie przejścia. Jednak ze względu na ograniczone zasoby systemu nie wszystkie z tych przejść są wykonalne. Niech QS będzie w stanie 
i przychodzi aplikacja wymagająca m urządzenia. Jeśli m≤ n sv ( 
), to zgłoszenie zostaje przyjęte do serwisu i układ przechodzi w stan z natężeniem λ m. Jeśli aplikacja wymaga więcej urządzeń niż jest wolnych, otrzyma odmowę usługi, a QS pozostanie w stanie 
. Jeśli możesz 
istnieją aplikacje wymagające m urządzeń, to każdy z nich jest intensywnie serwisowany m, oraz całkowitą intensywność obsługi takich wniosków (μ m) jest zdefiniowane jako μ m
= k m μ
/ m. Po zakończeniu obsługi jednego z żądań system przejdzie w stan, w którym odpowiednia współrzędna ma wartość o jeden mniejszą niż w stanie 
,
=, tj. nastąpi odwrotne przejście. Na ryc. 3.9 pokazuje przykład modelu wektorowego QS dla n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max=3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensywność konserwacji przyrządu wynosi μ.
Ryż. 3.9. Przykład grafu modelu wektorowego QS z odmową usługi
Więc każdy stan 
charakteryzuje się liczbą obsługiwanych żądań określonego typu. Na przykład w stanie 
jedna reklamacja jest obsługiwana przez jedno urządzenie, a jedna przez dwa urządzenia. W tym stanie wszystkie urządzenia są zajęte, dlatego możliwe są tylko przejścia odwrotne (przybycie dowolnego klienta w tym stanie prowadzi do odmowy usługi). Jeżeli obsługa żądania pierwszego typu zakończyła się wcześniej, system przełączy się w stan 
(0,1,0) z natężeniem μ, ale jeśli obsługa drugiego typu żądania zakończyła się wcześniej, to system przejdzie w stan 
(0,1,0) o natężeniu μ/2.
Układ liniowych równań algebraicznych jest kompilowany z wykresu stanów z zastosowanymi intensywnościami przejść. Z rozwiązania tych równań znajdują się prawdopodobieństwa R(
), za pomocą którego określana jest charakterystyka QS.
Rozważ znalezienie R otk (prawdopodobieństwo odmowy usługi).
,
gdzie S jest liczbą stanów grafu modelu wektorowego QS; R(
) to prawdopodobieństwo, że system będzie w stanie 
.
Liczba stanów według jest określona w następujący sposób:
,
(3.22)
;
Wyznaczmy liczbę stanów modelu wektorowego QS zgodnie z (3.22) dla przykładu pokazanego na rys. 3.9.
.
W konsekwencji, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Aby zrealizować realne wymagania dla urządzeń serwisowych, odpowiednio duża liczba n
(40, ..., 50), a zapytania o liczbę urządzeń serwisowych aplikacji w praktyce mieszczą się w przedziale 8-16. Przy takim stosunku instrumentów i żądań proponowany sposób znajdowania prawdopodobieństw staje się niezwykle uciążliwy, ponieważ: Model wektorowy QS ma dużą liczbę stanów S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = 11075, a wielkość macierzy współczynników układu równań algebraicznych jest proporcjonalna do kwadratu S, co wymaga dużej ilości pamięci komputera i znacznej ilości czasu komputera. Chęć zmniejszenia ilości obliczeń stymulowała poszukiwanie powtarzalnych możliwości obliczeniowych R(
) oparte na multiplikatywnych formach reprezentacji prawdopodobieństw stanów. W artykule przedstawiono podejście do obliczeń R(
):
(3.23)
Zaproponowane w artykule zastosowanie kryterium równoważności bilansów globalnych i szczegółowych łańcuchów Markowa umożliwia zmniejszenie wymiaru problemu i wykonanie obliczeń na komputerze średniej mocy z wykorzystaniem powtarzalności obliczeń. Dodatkowo istnieje możliwość:
– oblicz dla dowolnych wartości n;
– przyspieszyć obliczenia i zmniejszyć koszt czasu maszynowego.
W podobny sposób można zdefiniować inne cechy systemu.
