Lăsa A(X) și b(X) – b.m. functii la X® A (X® + ¥, X® –¥, X® X 0, …). Luați în considerare limita raportului lor la X® A.

1. Dacă = bși b- numărul final b¹ 0, apoi funcțiile A(X), b(X) sunt numite infinitezimale un ordin de mărime la X® A.

2. Dacă = 0, atunci A(X) se numește infinitezimal de ordin superior , Cum b(X) la X® A. Evident, în acest caz = ¥.

3. Dacă A(X) – b.m. ordin mai mare decât b(X), și = b¹ 0 ( b- numărul final kÎ N ), apoi A(X) se numește infinitezimal k-a ordinul comparativ cu b(X) la X® A.

4. Dacă nu există (nici finit, nici infinit), atunci A(X), b(X) sunt numite incomparabil b.m. la X® A.

5. Dacă = 1, atunci A(X), b(X) sunt numite echivalent b.m. la X® A, care se notează după cum urmează: A(X) ~ b(X) la X® A.

Exemplul 1. A(X) = (1 – X) 3 , b (X) = 1 – X 3 .

Este evident că la X® 1 funcții A(X), b(X) sunt b.m. Pentru a le compara, găsim limita raportului lor la X® 1:

Concluzie: A(X b(X) la X® 1.

Este ușor să verifici că = (asigură-te!), de unde rezultă că A(X) – b.m. Ordinul 3 de micime, comparativ cu b(X) la X® 1.

Exemplul 2. Funcții A 1 (X) = 4X, A 2 (X) = X 2 , A 3 (X) = păcat X, A 4 (X) = tg X sunt infinitezimale pentru X® 0. Comparați-le:

0, , = 1, = ¥.

Prin urmare, tragem concluzia că A 2 (X) = X 2 - dimineața ordin mai mare decât A 1 (X) și A 3 (X) (la X® 0), A 1 (X) și A 3 (X) – b.m. o singură comandă, A 3 (X) și A 4 (X) sunt echivalente b.m., i.e. păcat X~tg X la X® 0.

Teorema 1. Lăsa A(X) ~ A 1 (X), b(X) ~ b 1 (X) la X® A. Dacă există , atunci există și , și = .

Dovada. = 1, = 1,

= = .

Această teoremă facilitează găsirea limitelor.

Exemplul 3.

Găsi .

În virtutea primei limite remarcabile a păcatului4 X~ 4X, tg3 X~ 3X la X® 0, deci

Teorema 2. Funcții infinit de mici A(X) și b(X) sunt echivalente (pentru X® A) dacă și numai dacă A(X) – b(X) este b.m. ordin mai mare decât A(X) și b(X) (la X® A).

Dovada

Lăsa A(X) ~ b(X) la X® A. Apoi = = 0, adică diferență A(X) – b(X A(X) la la X® A(asemănător cu b(X)).

Lăsa A(X) – b(X) – b.m. ordin mai mare decât A(X) și b(X), vom arăta asta A(X) ~ b(X) la X® A:

= = + = 1,

Funcții infinit de mici.

Continuăm ciclul de pregătire „limite pentru manechin”, care s-a deschis cu articole Limite. Exemple de soluțiiși Limite remarcabile. Daca este prima data pe site, iti recomand sa citesti si lectia Metode de rezolvare a limitelor ceea ce vă va îmbunătăți considerabil karma studentului. În al treilea manual, am luat în considerare funcții infinite, comparația lor, iar acum este timpul să te înarmezi cu lupa, pentru ca după Țara Uriașilor, să privești în Țara Liliputenilor. Am petrecut vacanțele de Anul Nou în capitala culturală și m-am întors la o foarte mare bună dispoziție, așa că lectura promite a fi deosebit de interesantă.

Acest articol va discuta în detaliu funcții infinitezimale, cu care de fapt te-ai întâlnit deja de multe ori, și comparația lor. Multe evenimente sunt strâns legate de evenimente invizibile aproape de zero. limite minunate, minunate echivalențe, iar partea practică a lecției este dedicată în principal doar calculării limitelor folosind echivalențe minunate.

Funcții infinit de mici. Comparația infinitezimale

Ce pot să spun... Dacă există o limită, atunci funcția este numită infinitezimal într-un punct.

Punctul esenţial al afirmaţiei este faptul că funcția poate fi infinitezimală doar într-un anumit punct .

Să tragem o linie familiară:

Această funcție infinit de mici la un singur punct:
Trebuie remarcat faptul că, la punctele „plus infinit” și „minus infinit”, aceeași funcție va fi deja infinit de mare: . Sau într-o notație mai compactă:

În toate celelalte puncte, limita funcției va fi egală cu un număr finit, altul decât zero.

În acest fel, Nu există așa ceva ca „doar o funcție infinit de mică” sau „doar o funcție infinit de mare”. O funcție poate fi infinitezimală sau infinit de mare doar într-un anumit punct .

! Notă : pentru concizie, voi spune adesea „funcție infinitezimală”, adică este infinit de mică în punctul în cauză.

Pot exista mai multe sau chiar infinit multe astfel de puncte. Să desenăm un fel de parabolă fără teamă:

Funcția pătratică prezentată este infinit de mică în două puncte - la „unu” și la „două”:

Ca și în exemplul anterior, la infinit, această funcție este infinit de mare:

Semnificația semnelor duble :

Notația înseamnă că la , și la .

Notația înseamnă că atât la , cât și la .
Principiul comentat de „descifrare” a semnelor duble este valabil nu numai pentru infinitate, ci și pentru orice puncte finale, funcții și o serie de alte obiecte matematice.

Și acum sinusul. Acesta este un exemplu în care funcția infinit de miciîntr-un număr infinit de puncte:

Într-adevăr, sinusoidul „clipește” axa x prin fiecare „pi”:

Rețineți că funcția este mărginită de sus/de jos și nu există un astfel de punct în care ar fi infinit de mare, sinusul nu poate decât să-și lingă buzele la infinit.

Permiteți-mi să răspund la câteva întrebări simple:

Poate o funcție să fie infinitezimală la infinit?

Desigur. Astfel de cazuri de cărucior și cărucior mic.
Exemplu elementar: . Sensul geometric al acestei limite, de altfel, este ilustrat în articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor.

O funcție NU poate fi infinitezimală?
(în orice moment domenii)

Da. Un exemplu evident este o funcție pătratică al cărei grafic (parabolă) nu intersectează axa. Apropo, afirmația inversă nu este în general adevărată - hiperbola de la întrebarea anterioară, deși nu traversează axa x, ci infinit de mici la infinit.

Comparația funcțiilor infinitezimale

Să construim o secvență care tinde spre zero și să calculăm mai multe valori ale trinomului:

Este evident că, cu o scădere a valorilor x, funcția fuge la zero mai repede decât toate celelalte (valorile sale sunt încercuite cu roșu). Ei spun că o funcție decât o funcție , precum și ordin superior al micimii, Cum . Dar a alerga repede în Țara Liliputenilor nu este vitejie, „tonul este dat” de cel mai lent pitic, care, așa cum i se cuvine șefului, merge la zero cel mai lent dintre toți. Depinde de el cât de repede suma se va apropia de zero:

Figurat vorbind, o funcție infinit de mică „absoarbe” orice altceva, ceea ce este deosebit de bine văzut în rezultatul final al celei de-a treia rânduri. Uneori spun asta ordinul inferior al micimii, Cum si suma lor.

În limita considerată, toate acestea, desigur, nu prea contează, pentru că rezultatul este încă zero. Cu toate acestea, „piticii grei” încep să joace pe principiu rol importantîn cadrul fracţiilor. Să începem cu exemple care, deși rare, se găsesc în viața reală. munca practica:

Exemplul 1

Calculați Limita

Există incertitudine aici și lecție introductivă despre funcții ne amintim principiul general al dezvăluirii acestei incertitudini: trebuie să descompuneți numărătorul și numitorul în factori, apoi să reduceți ceva:

La primul pas, scoatem parantezele din numărător și „x” din numitor. În a doua etapă, reducem numărătorul și numitorul cu „x”, eliminând astfel incertitudinea. Indicăm că „X-urile” rămase tind spre zero și obținem răspunsul.

În limită, covrigiul a rezultat, prin urmare, funcția de numărător ordin superior al micimii decât funcția numitor. Sau mai scurt: . Ce înseamnă? Numătorul tinde spre zero Mai repede decât numitorul, motiv pentru care rezultatul este zero.

Ca și în cazul cu funcții infinite, raspunsul poate fi cunoscut din timp. Recepția este similară, dar diferă prin aceea că la numărător și la numitor trebuie să aruncați MENTAL toți termenii cu SENIOR grade, deoarece, după cum sa menționat mai sus, piticii lenți au o importanță decisivă:

Exemplul 2

Calculați Limita

De la zero la zero... Să aflăm imediat răspunsul: MENTAL aruncă totul mai mare termeni (pitici rapizi) ai numărătorului și numitorului:

Algoritmul de soluție este exact același ca în exemplul anterior:

În acest exemplu numitor de ordin mai mare al micii decât numărătorul. Când valorile x scad, cel mai lent pitic al numărătorului (și întreaga limită) devine un adevărat monstru în raport cu adversarul său mai rapid. De exemplu, dacă , atunci - deja de 40 de ori mai mult.... nu este încă un monstru, desigur, cu valoarea dată de „x”, dar acesta este deja un subiect cu o burtă mare de bere.

Și o limită demo foarte simplă:

Exemplul 3

Calculați Limita

Vom afla răspunsul aruncând MENTAL totul mai mare termeni numărător și numitor:

Noi decidem:

Rezultatul este un număr finit. Proprietarul numărătorului este exact de două ori mai gros decât șeful numitorului. Aceasta este situația în care numărătorul și numitorul un ordin de mărime.

De fapt, compararea funcțiilor infinitezimale a apărut de mult în lecțiile anterioare:
(Exemplu numărul 4 lecție Limite. Exemple de soluții);
(Exemplul nr. 17 lecția Metode de rezolvare a limitelor) etc.

Vă reamintesc în același timp că „x” poate tinde nu numai spre zero, ci și spre un număr arbitrar, precum și spre infinit.

Ce este esențial important în toate exemplele luate în considerare?

in primul rand, limita trebuie să existe la un moment dat. De exemplu, nu există limită. Dacă , atunci funcția numărătorului nu este definită în punctul „plus infinit” (sub rădăcină obținem infinit de mare un număr negativ). Exemple asemănătoare, s-ar părea, se găsesc în practică:, oricât de neașteptată, iată și o comparație a funcțiilor infinitezimale și a incertitudinii „zero la zero”. Într-adevăr, dacă , atunci . …Soluţie? Scăpăm de fracția cu patru etaje, obținem incertitudinea și o deschidem cu metoda standard.

Poate că, începătorii să exploreze limitele sunt forțați de întrebarea: „Cum așa? Există o incertitudine de 0:0, dar nu puteți împărți la zero! Foarte corect, nu poți. Să luăm în considerare aceeași limită. Funcția nu este definită la punctul „zero”. Dar acest lucru, în general, nu este necesar. important pentru ca funcția să existe ÎN ORICE infinit aproape de zero punct (sau mai strict, la orice cartier infinitezimal zero).

CEA MAI IMPORTANTĂ CARACTERISTĂ A LIMITEI CA CONCEPT

este acel "x" infinit de aproape se apropie de un anumit punct, dar „nu este obligat să meargă acolo”! Adică pentru existența unei limite de funcție într-un punct irelevant indiferent dacă funcția în sine este definită acolo sau nu. Puteți citi mai multe despre asta în articol. Limitele Cauchy, dar deocamdată, revenim la subiectul lecției de astăzi:

În al doilea rând, funcțiile numărător și numitor trebuie să fie infinitezimale într-un punct dat. Deci, de exemplu, limita este dintr-o echipă complet diferită, aici funcția numărător nu tinde spre zero: .

Sistematizează informațiile privind compararea funcțiilor infinitezimale:

Lăsa - funcții infinitezimale într-un punct(adică la ) și există o limită a rapoartelor lor. Apoi:

1) Dacă , atunci funcția ordin superior al micimii, Cum .
Cel mai simplu exemplu: , adică o funcție cubică de ordin mai mare a micimii decât una pătratică.

2) Dacă , atunci funcția ordin superior al micimii, Cum .
Cel mai simplu exemplu: , adică o funcție pătratică de ordin mai mare a micimii decât una liniară.

3) Dacă , unde este o constantă diferită de zero, atunci funcțiile au același ordin de mărime.
Cel mai simplu exemplu: , cu alte cuvinte, piticul aleargă la zero strict de două ori mai lent decât , iar „distanța” dintre ele rămâne constantă.

Cel mai interesant caz este când . Astfel de funcții sunt numite infinitezimal echivalent funcții.

Înainte de a da un exemplu elementar, să vorbim despre termenul în sine. Echivalenţă. Acest cuvânt a fost deja folosit în clasă. Metode de rezolvare a limitelor, în alte articole și se vor întâlni de mai multe ori. Ce este echivalența? Există o definiție matematică a echivalenței, logică, fizică etc., dar să încercăm să înțelegem esența însăși.

Echivalența este echivalență (sau echivalență) într-o anumită privință. Este timpul să-ți întinzi mușchii și să iei o pauză de la matematica superioară. Acum este un îngheț bun de ianuarie afară, așa că este foarte important să ne încălziți bine. Vă rugăm să mergeți pe hol și să deschideți dulapul cu haine. Imaginează-ți că acolo atârnă două haine identice din piele de oaie, care diferă doar prin culoare. Unul este portocaliu, celălalt este violet. În ceea ce privește calitățile lor de încălzire, aceste haine din piele de oaie sunt echivalente. Atat in prima cat si in cea de-a doua haina de oaie vei fi la fel de cald, adica alegerea este echivalenta cu ce sa porti portocaliu, ce mov - fara a castiga: "unu la unu este egal cu unu". Dar din punct de vedere al siguranței pe drum, paltoanele din piele de oaie nu mai sunt echivalente - culoarea portocalie este mai vizibilă pentru șoferii de vehicule, ... iar patrula nu se va opri, pentru că totul este clar cu proprietarul unor astfel de haine. . În această privință, putem presupune că hainele din piele de oaie de „un ordin de micime”, relativ vorbind, „blana portocalie de oaie” sunt de două ori mai „sigure” decât „paltoanele din piele de oaie mov” („ceea ce este mai rău, dar se observă și pe întuneric). ”). Și dacă ieși în frig într-o jachetă și șosete, atunci diferența va fi deja colosală, astfel, o jachetă și o haină din piele de oaie sunt „de o altă ordine de micime”.

… zashib, trebuie să postezi pe Wikipedia cu un link către această lecție =) =) =)

Exemplul evident de funcții echivalente infinit de mici vă este familiar - acestea sunt funcțiile prima limită remarcabilă .

Să dăm o interpretare geometrică a primei limite remarcabile. Să executăm desenul:

Ei bine, prietenia masculină puternică a graficelor este vizibilă chiar și cu ochiul liber. DAR propria lor mamă nu le va distinge. Astfel, dacă , atunci funcțiile sunt infinitezimale și echivalente. Ce se întâmplă dacă diferența este neglijabilă? Atunci in limita sinusul de mai sus poate fi a inlocui"X": , sau „x” sub sinus: . De fapt, s-a dovedit a fi o dovadă geometrică a primei limite remarcabile =)

În mod similar, apropo, se poate ilustra orice limită minunată, care este egal cu unu.

! Atenţie! Echivalența obiectelor nu implică aceleași obiecte! Paltoanele portocalii și violete din piele de oaie sunt echivalente cu cele calde, dar sunt haine diferite din piele de oaie. Funcțiile sunt practic imposibil de distins aproape de zero, dar sunt două funcții diferite.

Desemnare: echivalența este indicată printr-o tildă.
De exemplu: - „sinusul lui x este echivalent cu x”, dacă .

Din cele de mai sus rezultă o concluzie foarte importantă: dacă două funcții infinitezimale sunt echivalente, atunci una poate fi înlocuită cu cealaltă. Această tehnică este utilizată pe scară largă în practică și acum vom vedea cum:

Echivalențe remarcabile în interior

Pentru a rezolva exemple practice, veți avea nevoie tabel de echivalență remarcabil. Elevul nu trăiește ca un singur polinom, așa că domeniul de activitate ulterioară va fi foarte larg. În primul rând, folosind teoria funcțiilor echivalente infinitezimale, recapitulăm exemplele primei părți a lecției Limite remarcabile. Exemple de soluții, în care s-au găsit următoarele limite:

1) Să rezolvăm limita. Să înlocuim funcția infinitezimală a numărătorului cu funcția infinitezimală echivalentă:

De ce este posibilă această înlocuire? deoarece infinit aproape de zero graficul funcției aproape coincide cu graficul funcției.

În acest exemplu, am folosit echivalența tabelului unde . Este convenabil ca nu numai „x”, ci și o funcție complexă să poată acționa ca parametru „alfa”, care tinde spre zero.

2) Să găsim limita. La numitor folosim aceeași echivalență, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că sinusul a fost inițial sub pătrat, așa că în primul pas este necesar să îl plasați în întregime sub pătrat.

Nu uitați de teorie: în primele două exemple se obțin numere finite, ceea ce înseamnă că numărători și numitori de același ordin de micime.

3) Găsiți limita. Să înlocuim funcția infinitezimală a numărătorului cu funcția echivalentă , Unde :

Aici numărător de ordin mai mare al micii decât numitorul. Lilliput (și echivalentul său pitic) ajunge la zero mai repede decât .

4) Găsiți limita. Să înlocuim funcția infinit mică a numărătorului cu o funcție echivalentă, unde:

Și aici, dimpotrivă, numitorul ordin superior al micimii decât numărătorul, piticul fuge la zero mai repede decât piticul (și piticul său echivalent).

Ar trebui folosite în practică echivalențe minunate? Ar trebui, dar nu întotdeauna. Astfel, soluția unor limite nu foarte complexe (ca cele luate în considerare) nu este de dorit să fie rezolvată prin echivalențe remarcabile. Ți se poate reproșa că ai hack-work și forțat să le rezolvi într-un mod standard folosind formule trigonometrice și prima limită minunată. Cu toate acestea, cu ajutorul instrumentului în cauză, este foarte benefic să verificați soluția sau chiar să aflați imediat răspunsul corect. Exemplul caracteristic nr. 14 al lecției Metode de rezolvare a limitelor:

Pe o copie curată, este recomandabil să se întocmească o soluție completă destul de mare, cu schimbarea variabilei. Dar răspunsul gata se află la suprafață - folosim mental echivalența: .

Din nou sens geometric: de ce la numărător este permisă înlocuirea funcției cu funcția? Infinit aproape de zero graficele lor pot fi distinse doar la un microscop puternic.

Pe lângă verificarea soluției, se folosesc echivalențe minunate în încă două cazuri:

– când exemplul este destul de complicat sau chiar indecidabil în modul obișnuit;
– atunci când echivalențe remarcabile trebuie aplicate prin condiție.

Să luăm în considerare sarcini mai semnificative:

Exemplul 4

Găsiți limita

Incertitudinea de la zero la zero este pe ordinea de zi și situația este la limită: o decizie poate fi luată într-un mod standard, dar vor fi multe transformări. Din punctul meu de vedere, este destul de potrivit să folosim minunatele echivalențe de aici:

Să înlocuim funcțiile infinitezimale cu funcții echivalente. La:

Asta e tot!

Singura nuanță tehnică: inițial tangenta a fost pătrată, așa că după înlocuire trebuie să fie pătrat și argumentul.

Exemplul 5

Găsiți limita

Această limită poate fi rezolvată prin formule trigonometrice și limite minunate, dar soluția din nou nu va fi prea plăcută. Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, fiți deosebit de atenți în timpul conversiei numărătorului. Dacă există confuzie cu puterile, reprezentați-l ca un produs:

Exemplul 6

Găsiți limita

Dar acesta este deja un caz dificil, când este foarte dificil să duci o soluție într-un mod standard. Folosim echivalențe minunate:

Să le înlocuim pe cele infinitezimale cu altele echivalente. La:

Se obține infinitul, ceea ce înseamnă că numitorul este de un ordin mai mare al micșorării decât numărătorul.

Practica a mers rapid fără îmbrăcăminte exterioară =)

Exemplul 7

Găsiți limita

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Gândește-te cum să faci față logaritmului ;-)

Nu este neobișnuit să vezi echivalențe remarcabile utilizate în combinație cu alte metode de rezolvare a limitelor:

Exemplul 8

Găsiți limita unei funcții folosind infinitezimale echivalente și alte transformări

Rețineți că echivalențele condiționale remarcabile trebuie aplicate aici.

Noi decidem:

La primul pas, folosim echivalențe remarcabile. La:

Totul este clar cu sinusul: . Ce să faci cu logaritmul? Reprezentăm logaritmul în formă și aplicăm echivalența . După cum puteți vedea, în acest caz

În al doilea pas, aplicăm tehnica discutată în lecție

Care sunt funcțiile infinite mici

Cu toate acestea, o funcție poate fi infinit de mică doar într-un anumit punct. După cum se arată în Figura 1, funcția este infinitezimală numai în punctul 0.

Figura 1. O funcție infinitezimală

Dacă limita coeficientului a două funcții are ca rezultat 1, se spune că funcțiile sunt infinitezimale echivalente pe măsură ce x se apropie de a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definiție

Dacă funcțiile f(x), g(x) sunt infinitezimale pentru $x > a$, atunci:

• Funcția f(x) se numește un ordin superior infinitezimal față de g(x) dacă este îndeplinită următoarea condiție:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funcția f(x) se numește infinitezimală de ordinul n față de g(x) dacă este diferită de 0 și limita este finită:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Exemplul 1

Funcția $y=x^3$ este de ordin superior infinitezimal pentru x>0, în comparație cu funcția y=5x, întrucât limita raportului lor este 0, acest lucru se explică prin faptul că funcția $y=x ^3$ tinde spre zero mai repede:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Exemplul 2

Funcțiile y=x2-4 și y=x2-5x+6 sunt infinitezimale de același ordin pentru x>2, deoarece limita raportului lor nu este egală cu 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ la 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Proprietățile infinitezimale echivalente

1. Diferența a două infinitezimale echivalente este un infinitezimal de ordin superior față de fiecare dintre ele.
2. Dacă renunțăm la ordinele superioare infinitezimale din suma mai multor ordine infinitezimale diferite, atunci partea rămasă, numită partea principală, este echivalentă cu întreaga sumă.

Din prima proprietate rezultă că infinitezimalele echivalente pot deveni aproximativ egale cu o eroare relativă arbitrar mică. Prin urmare, semnul ≈ este folosit atât pentru a desemna echivalența infinitezimalelor, cât și pentru a scrie egalitatea aproximativă a valorilor lor suficient de mici.

La găsirea limitelor, este foarte adesea necesar să se folosească o schimbare a funcțiilor echivalente pentru viteza și comoditatea calculelor. Tabelul infinitezimalelor echivalente este prezentat mai jos (Tabelul 1).

Echivalența infinitezimalelor date în tabel poate fi dovedită pe baza egalității:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

tabelul 1

Exemplul 3

Să demonstrăm echivalența infinitezimale ln(1+x) și x.

Dovada:

1. Aflați limita raportului cantităților
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Pentru a face acest lucru, folosim proprietatea logaritmului:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Știind că funcția logaritmică este continuă în domeniul său de definire, puteți schimba semnul limitei și funcția logaritmică:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ dreapta)\]
4. Deoarece x este o valoare infinitezimală, limita tinde spre 0. Deci:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ dreapta)=\ln e=1\]

(a aplicat a doua limită remarcabilă)

Test

Disciplina: Matematică superioară

Subiect: Limite. Comparația infinitezimale

1. Limita secvenței de numere

2. Limita functiei

3. A doua limită remarcabilă

4. Compararea mărimilor infinitezimale

Literatură

1. Limita secvenței de numere

Rezolvarea multor probleme matematice și aplicate duce la o succesiune de numere date într-un anumit mod. Să aflăm câteva dintre proprietățile lor.

Definiție 1.1. Dacă fiecare număr natural

conform unei legi, un număr real este pus în corespondență, apoi mulțimea numerelor se numește șir numeric.

Pe baza Definiției 1, este clar că o secvență numerică conține întotdeauna un număr infinit de elemente. Studiul diferitelor secvențe numerice arată că, pe măsură ce numărul crește, membrii lor se comportă diferit. Ele pot crește sau scădea la nesfârșit, se pot apropia constant de un anumit număr sau să nu manifeste deloc regularitate.

Definiție 1.2. Număr

se numește limita unei secvențe numerice dacă pentru orice număr există un astfel de număr al unei secvențe numerice în funcție de faptul că condiția este îndeplinită pentru toate numerele șirului numeric.

O secvență care are o limită se numește convergentă. În acest caz, scrieți

.

Evident, pentru a clarifica problema convergenței unei secvențe numerice, este necesar să existe un criteriu care să se bazeze doar pe proprietățile elementelor sale.

Teorema 1.1.(Teorema lui Cauchy asupra convergenței unei secvențe numerice). Pentru ca o secvență numerică să convergă, este necesar și suficient ca pentru orice număr

a existat un astfel de număr de succesiune numerică în funcție de faptul că pentru oricare două numere ale șirului numeric și care îndeplinesc condiția și , inegalitatea ar fi adevărată.

Dovada. Nevoie. Se dă că succesiunea numerică

converge, ceea ce înseamnă că, conform Definiției 2, are o limită . Să alegem un număr. Apoi, conform definiției limitei unei secvențe numerice, există un astfel de număr de secvență, încât pentru toate numerele inegalitatea este îndeplinită. Dar din moment ce este arbitrar, se va îndeplini și . Să luăm două numere de ordine și , apoi .

De aici rezultă că

, adică este dovedită necesitatea.

Adecvarea. Dat fiind

. Prin urmare, există un număr astfel încât pentru condiția dată și . În special, dacă , și , atunci sau cu condiția ca . Aceasta înseamnă că succesiunea numerică pentru este limitată. Prin urmare, cel puțin una dintre subsecvențele sale trebuie să convergă. Lăsa . Să demonstrăm că converge către, de asemenea.

Să luăm un arbitrar

. Apoi, conform definiției limitei, există un număr astfel încât inegalitatea este valabilă pentru toți . Pe de altă parte, prin condiție se dă ca șirul să aibă un astfel de număr încât pentru toți și condiția să fie îndeplinită. si repara unele. Atunci pentru tot ce obținem: .

De aici rezultă că