Qoy a(x) və b(x) – b.m. funksiyalarını yerinə yetirir x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Onların nisbətinin həddini nəzərdən keçirin x® a.

1. Əgər = b və b- son nömrə b¹ 0, sonra funksiyalar a(x), b(x) sonsuz kiçik adlanır bir böyüklük sırası saat x® a.

2. Əgər = 0 olarsa, onda a(x) sonsuz kiçik adlanır daha yüksək sifariş , Necə b(x) saat x® a. Aydındır ki, bu halda = ¥.

3. Əgər a(x) – b.m. daha yüksək sifariş b(x), və = b¹ 0 ( b- son nömrə kÎ N ), sonra a(x) sonsuz kiçik adlanır k-ci sıra ilə müqayisədə b(x) saat x® a.

4. Əgər mövcud deyilsə (nə sonlu, nə də sonsuz), onda a(x), b(x) cağırılır müqayisə olunmaz b.m. saat x® a.

5. Əgər = 1 olarsa, onda a(x), b(x) cağırılır ekvivalent b.m. saat x® a, aşağıdakı kimi qeyd olunur: a(x) ~ b(x) saat x® a.

Misal 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Aydındır ki, at x® 1 funksiyaları a(x), b(x) b.m. Onları müqayisə etmək üçün onların nisbətinin həddini tapırıq x® 1:

Nəticə: a(x b(x) saat x® 1.

Bunu yoxlamaq asandır = (əmin olun!), buradan belə çıxır a(x) – b.m. ilə müqayisədə kiçikliyin 3-cü sırası b(x) saat x® 1.

Misal 2. Funksiyalar a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = günah x, a 4 (x) = tg xüçün sonsuz kiçikdir x® 0. Onları müqayisə edin:

0, , = 1, = ¥.

Beləliklə, belə qənaətə gəlirik a 2 (x) = x 2 - b.m. daha yüksək sifariş a 1 (x) və a 3 (x) (at x® 0), a 1 (x) və a 3 (x) – b.m. bir sifariş, a 3 (x) və a 4 (x) ekvivalent b.m., yəni. günah x~tg x saat x® 0.

Teorem 1. Qoy a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) saat x® a. Əgər mövcuddursa, o zaman mövcuddur və , və = .

Sübut. = 1, = 1,

= = .

Bu teorem hədləri tapmağı asanlaşdırır.

Misal 3.

tap .

Günahın ilk əlamətdar həddi sayəsində4 x~ 4x, tg3 x~ 3x saat x® 0, yəni

Teorem 2. Sonsuz kiçik funksiyalar a(x) və b(x) ekvivalentdir (üçün x® a) yalnız və yalnız əgər a(x) – b(x) b.m. daha yüksək sifariş a(x) və b(x) (at x® a).

Sübut

Qoy a(x) ~ b(x) saat x® a. Sonra = = 0, yəni. fərq a(x) – b(x a(x) saat x® a(oxşar b(x)).

Qoy a(x) – b(x) – b.m. daha yüksək sifariş a(x) və b(x), biz bunu göstərəcəyik a(x) ~ b(x) saat x® a:

= = + = 1,

Sonsuz kiçik funksiyalar.

Məqalələrlə açılan "Dummies üçün limitlər" təlim tsiklini davam etdiririk Limitlər. Həll nümunələri və Möhtəşəm Limitlər. Əgər bu saytda ilk dəfədirsə, dərsi də oxumağı məsləhət görürəm Limit həlli üsulları tələbə karmanızı çox yaxşılaşdıracaq. Üçüncü təlimatda biz nəzərdən keçirdik sonsuz funksiyalar, onların müqayisəsi və indi özünüzü böyüdücü şüşə ilə silahlandırmağın vaxtı gəldi ki, Nəhənglər ölkəsindən sonra Lilliputlar ölkəsinə baxın. Yeni il tətilini mədəniyyət paytaxtında keçirdim və çox vaxta qayıtdım yaxşı əhval, buna görə də oxumaq xüsusilə maraqlı olacağını vəd edir.

Bu məqalədə ətraflı müzakirə olunacaq sonsuz kiçik funksiyalar Artıq dəfələrlə qarşılaşdığınız və onların müqayisəsi. Bir çox hadisələr sıfıra yaxın görünməyən hadisələrlə sıx bağlıdır. gözəl məhdudiyyətlər, gözəl ekvivalentlər, və dərsin praktiki hissəsi əsasən gözəl ekvivalentlərdən istifadə edərək limitlərin hesablanmasına həsr edilmişdir.

Sonsuz kiçik funksiyalar. Sonsuz kiçiklərin müqayisəsi

Nə deyim... Əgər limit varsa, o zaman funksiya çağırılır bir nöqtədə sonsuz kiçik.

Təsdiqin əsas məqamı ondan ibarətdir ki funksiya sonsuz kiçik ola bilər yalnız müəyyən bir nöqtədə .

Gəlin tanış bir xətt çəkək:

Bu funksiya sonsuz kiçik bir nöqtədə:
Qeyd etmək lazımdır ki, "plus sonsuz" və "mənfi sonsuzluq" nöqtələrində eyni funksiya artıq olacaq. sonsuz böyük: . Və ya daha yığcam notasiyada:

Bütün digər nöqtələrdə funksiyanın həddi sıfırdan başqa sonlu ədədə bərabər olacaqdır.

Bu minvalla, belə bir şey yoxdur"sadəcə sonsuz kiçik funksiya" və ya "sadəcə sonsuz böyük funksiya" kimi. Funksiya sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük ola bilər yalnız müəyyən bir nöqtədə .

! Qeyd : qısalıq üçün mən tez-tez "sonsuz kiçik funksiya" deyəcəyəm, yəni sözügedən nöqtədə sonsuz kiçikdir.

Belə nöqtələr bir neçə və hətta sonsuz sayda ola bilər. Bir növ qorxmaz parabola çəkək:

Təqdim olunan kvadrat funksiya iki nöqtədə - "bir" və "iki" nöqtədə sonsuz kiçikdir:

Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, sonsuzda bu funksiya sonsuz böyükdür:

İkiqat işarələrin mənası :

Notation at və at deməkdir.

Notation həm at, həm də deməkdir.
Şərh edilmiş ikili işarələrin "deşifrə edilməsi" prinsipi təkcə sonsuzluqlar üçün deyil, həm də istənilən son nöqtələr, funksiyalar və bir sıra digər riyazi obyektlər üçün etibarlıdır.

İndi sinüs. Bu funksiyanın olduğu bir nümunədir sonsuz kiçik sonsuz sayda nöqtədə:

Həqiqətən, sinusoid hər bir "pi" vasitəsilə x oxunu "yanıb-söndürür":

Qeyd edək ki, funksiya yuxarıdan/aşağıdan məhduddur və onun olacağı nöqtə yoxdur sonsuz böyük, sinus yalnız sonsuzluqda dodaqlarını yalaya bilər.

Bir neçə sadə suala cavab verim:

Funksiya sonsuzda sonsuz kiçik ola bilərmi?

Əlbəttə. Bir araba və kiçik bir arabanın belə nümunələri.
Elementar nümunə: . Bu limitin həndəsi mənası, yeri gəlmişkən, məqalədə təsvir edilmişdir Qrafiklər və funksiyaların xassələri.

Funksiya sonsuz kiçik ola bilməzmi?
(istənilən nöqtədə domenlər)

Bəli. Bunun bariz nümunəsi, qrafiki (parabola) oxu ilə kəsişməyən kvadratik funksiyadır. Əks ifadə, yeri gəlmişkən, ümumiyyətlə doğru deyil - əvvəlki sualdakı hiperbola, x oxunu keçməsə də, lakin sonsuz kiçik sonsuzluqda.

Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi

Sıfıra meylli bir ardıcıllıq quraq və üçbucağın bir neçə dəyərini hesablayaq:

Aydındır ki, x dəyərlərinin azalması ilə funksiya bütün digərlərindən daha sürətli sıfıra qaçır (dəyərləri qırmızı ilə əhatə olunmuşdur). Deyirlər ki, funksiyadan çox funksiya , eləcə də kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə . Lakin Lilliputlar ölkəsində sürətlə qaçmaq cəsarət deyil, “tonu ən yavaş hərəkət edən cırtdan təyin edir”, o, patrona yaraşdığı kimi, hamıdan yavaşı sıfıra enir. Bu ondan asılıdır necə sürətli cəmi sıfıra yaxınlaşacaq:

Obrazlı desək, sonsuz kiçik funksiya qalan hər şeyi “udur” ki, bu da üçüncü sətrin yekun nəticəsində xüsusilə yaxşı görünür. Bəzən belə deyirlər kiçikliyin aşağı sırası, Necə və onların cəmi.

Nəzərdə tutulan limitdə, bütün bunlar, əlbəttə ki, həqiqətən əhəmiyyət kəsb etmir, çünki nəticə hələ də sıfırdır. Bununla belə, "ağır çəkili midgets" prinsipcə oynamağa başlayır mühüm rol fraksiyalar daxilində. Nadir də olsa real həyatda rast gəlinən misallarla başlayaq. praktiki iş:

Misal 1

Limiti hesablayın

Burada qeyri-müəyyənlik var və giriş dərsi haqqında funksiyaları bu qeyri-müəyyənliyi açıqlamağın ümumi prinsipini xatırlayırıq: pay və məxrəci amillərə bölmək və sonra bir şeyi azaltmaq lazımdır:

İlk addımda saydakı mötərizələri, məxrəcdəki "x"i çıxarırıq. İkinci addımda biz payı və məxrəci "x" ilə azaldırıq, bununla da qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırırıq. Qalan "X"lərin sıfıra meyl etdiyini göstəririk və cavabı alırıq.

Limitdə simit çıxdı, buna görə də say funksiyası kiçikliyin daha yüksək sırası məxrəc funksiyasından daha çox. Və ya daha qısa: . Bunun mənası nədi? Numerator sıfıra meyllidir Daha sürətli məxrəcdən çoxdur, buna görə də nəticə sıfırdır.

ilə olduğu kimi sonsuz funksiyalar, cavabı əvvəlcədən bilmək olar. Qəbul oxşardır, lakin hesablayıcıda və məxrəcdə bütün şərtləri zehni olaraq ləğv etməyinizlə fərqlənir. AĞA dərəcələr, çünki yuxarıda qeyd edildiyi kimi, yavaş cırtdanlar həlledici əhəmiyyətə malikdir:

Misal 2

Limiti hesablayın

Sıfırdan sıfıra…. Cavabı dərhal öyrənək: Hər şeyi zehni olaraq atın ağsaqqal payın və məxrəcin şərtləri (sürətli cırtdanlar):

Həll alqoritmi əvvəlki nümunədəki kimidir:

Bu misalda paydan daha yüksək kiçiklik sırasının məxrəci. X dəyərləri azaldıqda, paylayıcının ən yavaş cırtdanı (və bütün limit) daha sürətli rəqibinə nisbətən əsl canavar olur. Məsələn, əgər varsa, onda - artıq 40 dəfə çox .... hələ bir canavar deyil, əlbəttə ki, verilən "x" dəyəri ilə, lakin bu, artıq böyük bir pivə qarnı olan bir mövzudur.

Və çox sadə demo limiti:

Misal 3

Limiti hesablayın

Hər şeyi zehni olaraq atmaqla cavabı tapacağıq ağsaqqal say və məxrəc terminləri:

Qərar veririk:

Nəticə sonlu ədəddir. Hissənin sahibi məxrəcin bossundan düz iki dəfə qalındır. Bu, pay və məxrəcin olduğu vəziyyətdir bir böyüklük sırası.

Əslində, sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi əvvəlki dərslərdə çoxdan ortaya çıxdı:
(Nümunə № 4 dərs Limitlər. Həll nümunələri);
(Nümunə № 17 dərs Limit həlli üsulları) və s.

Eyni zamanda sizə xatırladıram ki, "x" yalnız sıfıra deyil, həm də ixtiyari bir ədədə, eləcə də sonsuzluğa meyl edə bilər.

Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə əsas olaraq nə vacibdir?

Birincisi, limit müəyyən bir nöqtədə ümumiyyətlə mövcud olmalıdır. Məsələn, heç bir məhdudiyyət yoxdur. Əgər , onda say funksiyası "plus sonsuz" nöqtəsində müəyyən edilmir (kök altında alırıq sonsuz böyük mənfi rəqəm). Oxşar, görünür, praktikada iddialı nümunələrə rast gəlinir: nə qədər gözlənilməz olsa da, burada sonsuz kiçik funksiyaların və "sıfırdan sıfıra" qeyri-müəyyənliyin müqayisəsi də var. Həqiqətən, əgər, onda. …Həll? Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq, qeyri-müəyyənliyi əldə edirik və standart üsulla açırıq.

Ola bilsin ki, hədləri kəşf etməyə başlayanlar belə bir sualla qarşılaşırlar: “Necə? 0:0 qeyri-müəyyənlik var, ancaq sıfıra bölmək olmaz! Çox düz, bacarmazsan. Eyni həddi nəzərdən keçirək. Funksiya "sıfır" nöqtəsində müəyyən edilməyib. Ancaq bu, ümumiyyətlə, tələb olunmur. vacibdir funksiyanın HƏR İSTƏNƏNMƏSİ üçün sonsuz olaraq sıfıra yaxındır nöqtə (və ya daha dəqiq desək, hər hansı sonsuz kiçik qonşuluq sıfır).

KONSEPSİYA KİMİ LİMİTİN ƏN ƏLAVƏMLI XÜSUSİYYƏTLƏRİ

bu "x" sonsuz yaxın müəyyən nöqtəyə yaxınlaşır, amma “ora getməyə məcbur deyil”! Yəni bir nöqtədə funksiya limitinin mövcudluğu üçün əhəmiyyətsiz funksiyanın özünün orada müəyyən edilib-edilməməsi. Bu barədə daha ətraflı məqalədə oxuya bilərsiniz. Cauchy məhdudiyyətləri, amma indilik bugünkü dərsin mövzusuna qayıdaq:

İkincisi, pay və məxrəc funksiyaları verilmiş nöqtədə sonsuz kiçik olmalıdır. Beləliklə, məsələn, limit tamamilə fərqli bir komandadandır, burada say funksiyası sıfıra meyl etmir: .

Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi ilə bağlı məlumatları sistemləşdiririk:

Qoy - bir nöqtədə sonsuz kiçik funksiyalar(yəni at) və onların nisbətlərinin həddi var. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə .
Ən sadə misal: , yəni kvadratdan daha yüksək kiçiklik sırasına malik kub funksiyası.

2) Əgər , onda funksiya kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə .
Ən sadə misal: , yəni xətti olandan daha yüksək kiçiklik sırasının kvadratik funksiyası.

3) Əgər , burada sıfırdan fərqli sabitdirsə, onda funksiyalar var eyni böyüklük sırası.
Ən sadə misal: , başqa sözlə, cırtdan sıfıra --dən iki dəfə daha yavaş qaçır və aralarındakı "məsafə" sabit qalır.

Ən maraqlısı nə vaxtdır . Belə funksiyalar adlanır sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları.

Elementar misal verməzdən əvvəl terminin özündən danışaq. Ekvivalentlik. Bu söz artıq sinifdə istifadə olunub. Limit həlli üsulları, digər məqalələrdə və birdən çox görüşəcək. Ekvivalentlik nədir? Ekvivalentliyin riyazi tərifi, məntiqi, fiziki və s. var, amma gəlin mahiyyətin özünü anlamağa çalışaq.

Ekvivalentlik müəyyən mənada ekvivalentlikdir (və ya ekvivalentlik).. Əzələlərinizi uzatmağın və ali riyaziyyata ara verməyin vaxtıdır. İndi çöldə yaxşı yanvar şaxtasıdır, buna görə də yaxşı istiləşmək çox vacibdir. Zəhmət olmasa dəhlizə gedin və şkafı paltarlarla açın. Təsəvvür edin ki, orada yalnız rənginə görə fərqlənən iki eyni qoyun dərisindən asılmış palto var. Biri narıncı, digəri bənövşəyidir. İstilik xüsusiyyətlərinə görə, bu qoyun dəriləri ekvivalentdir. Həm birinci, həm də ikinci qoyun paltarında siz eyni dərəcədə isti olacaqsınız, yəni seçim nə narıncı geyinmək, hansı bənövşəyi rəngə bərabərdir - qazanmadan: "birə bir bərabərdir". Ancaq yolda təhlükəsizlik baxımından qoyun dərisi artıq ekvivalent deyil - narıncı rəng nəqliyyat vasitələrinin sürücülərinə daha yaxşı görünür, ... və patrul dayanmayacaq, çünki belə paltarların sahibi ilə hər şey aydındır. . Bu baxımdan, güman edə bilərik ki, "bir sıra kiçiklik" qoyun dərisi, nisbətən desək, "narıncı dəri palto" "bənövşəyi qoyun dərisindən" iki dəfə daha "təhlükəsiz"dir (bu, daha pisdir, lakin qaranlıqda da nəzərə çarpır. ”). Bir gödəkçə və corabda soyuğa çıxsanız, fərq artıq böyük olacaq, buna görə də bir gödəkçə və qoyun dərisi "fərqli kiçiklik sırasına malikdir".

… zashib, bu dərsin linki ilə Vikipediyada yerləşdirməlisən =) =) =)

Sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaların bariz nümunəsi sizə tanışdır - bunlar funksiyalardır. ilk diqqətəlayiq hədd .

İlk diqqətəlayiq həddinin həndəsi şərhini verək. Rəsmi icra edək:

Yaxşı, qrafiklərin güclü kişi dostluğu hətta çılpaq gözlə də görünür. AMMA öz anası onları ayırd etməyəcək. Beləliklə, əgər , onda funksiyalar sonsuz kiçik və ekvivalentdir. Fərq cüzi olsa nə olacaq? Sonra limitdə yuxarıdakı sinus ola bilər əvəz et"x": , və ya sinusun altındakı "x": . Əslində, ilk diqqətəlayiq həddi həndəsi sübut kimi ortaya çıxdı =)

Eynilə, yeri gəlmişkən, bir nümunə göstərmək olar hər hansı bir gözəl məhdudiyyət, birə bərabərdir.

! Diqqət! Obyekt ekvivalentliyi eyni obyektləri nəzərdə tutmur! Narıncı və bənövşəyi rəngli qoyun dərisi paltolar istiliyə bərabərdir, lakin onlar fərqli qoyun dəriləridir. Funksiyalar sıfıra yaxın praktiki olaraq fərqlənmir, lakin onlar iki fərqli funksiyadır.

Təyinat: ekvivalentlik tilda işarəsi ilə göstərilir.
Məsələn: - "x-in sinüsü x-ə bərabərdir", əgər .

Yuxarıdakılardan çox vacib bir nəticə çıxır: iki sonsuz kiçik funksiya ekvivalentdirsə, onda biri digəri ilə əvəz edilə bilər. Bu texnika praktikada geniş istifadə olunur və indi necə olacağını görəcəyik:

İçərisində diqqətəlayiq ekvivalentlər

Praktik nümunələri həll etmək üçün sizə lazım olacaq əlamətdar ekvivalentlik cədvəli. Şagird tək çoxhədli kimi yaşamır, ona görə də gələcək fəaliyyət sahəsi çox geniş olacaqdır. Əvvəlcə sonsuz kiçik ekvivalent funksiyalar nəzəriyyəsindən istifadə edərək, dərsin birinci hissəsinin nümunələrini təkrar edirik. Möhtəşəm məhdudiyyətlər. Həll nümunələri, burada aşağıdakı məhdudiyyətlər aşkar edilmişdir:

1) Gəlin limiti həll edək. Gəlin paylayıcının sonsuz kiçik funksiyasını ekvivalent sonsuz kiçik funksiya ilə əvəz edək:

Bu əvəzetmə niyə mümkündür? çünki sonsuz olaraq sıfıra yaxındır funksiyanın qrafiki funksiyanın qrafiki ilə demək olar ki, üst-üstə düşür.

Bu nümunədə cədvəl ekvivalentindən istifadə etdik. Yalnız "x" deyil, həm də mürəkkəb bir funksiyanın "alfa" parametri kimi çıxış edə bilməsi rahatdır, sıfıra meyl edən.

2) Gəlin həddi tapaq. Məxrəcdə eyni ekvivalentdən istifadə edirik, bu halda:

Nəzərə alın ki, sinus əvvəlcə kvadratın altında idi, buna görə də ilk mərhələdə onu tamamilə kvadratın altına yerləşdirmək lazımdır.

Nəzəriyyə haqqında unutmayın: ilk iki nümunədə sonlu ədədlər alınır, bu o deməkdir ki eyni kiçiklik sırasının say və məxrəcləri.

3) Həddini tapın. Saxlayıcının sonsuz kiçik funksiyasını ekvivalent funksiya ilə əvəz edək , harada:

Budur məxrəcdən daha yüksək kiçiklik sırasının payı. Lilliput (və onun ekvivalenti cüce) -dən daha tez sıfıra çatır.

4) Həddini tapın. Nömrənin sonsuz kiçik funksiyasını ekvivalent funksiya ilə əvəz edək, burada:

Və burada, əksinə, məxrəc kiçikliyin daha yüksək sırası cırtdan cırtdandan (və ona bərabər olan cırtdandan) daha sürətli sıfıra qaçır.

Təcrübədə gözəl ekvivalentlərdən istifadə edilməlidirmi? Olmalıdır, amma həmişə deyil. Beləliklə, çox mürəkkəb olmayan hədlərin (əvvəlcə nəzərdən keçirilənlər kimi) həllini əlamətdar ekvivalentlər vasitəsilə həll etmək arzuolunmazdır. Siz hack işinə görə qınaya bilərsiniz və triqonometrik düsturlardan və ilk gözəl hədddən istifadə edərək onları standart şəkildə həll etməyə məcbur ola bilərsiniz. Bununla belə, sözügedən alətin köməyi ilə həlli yoxlamaq və ya dərhal düzgün cavabı tapmaq çox faydalıdır. Dərsin 14 nömrəli xarakterik nümunəsi Limit həlli üsulları:

Təmiz bir nüsxədə dəyişən dəyişikliyi ilə kifayət qədər böyük bir tam həll hazırlamaq məsləhətdir. Ancaq hazır cavab səthdədir - ekvivalentliyi zehni olaraq istifadə edirik: .

Bir daha həndəsi məna: nə üçün paylayıcıda funksiyanı funksiya ilə əvəz etməyə icazə verilir? Sonsuz sıfıra yaxın onların qrafiklərini ancaq güclü mikroskop altında ayırd etmək olar.

Həllin yoxlanılmasından əlavə, gözəl ekvivalentlər daha iki halda istifadə olunur:

– misal kifayət qədər mürəkkəb və ya adi şəkildə qərar verilə bilməyəndə;
– əlamətdar ekvivalentlərin şərtlə tətbiq edilməsi lazım olduqda.

Daha mənalı vəzifələri nəzərdən keçirək:

Misal 4

Həddini tapın

Sıfırdan sıfıra qeyri-müəyyənlik gündəmdədir və vəziyyət sərhəddədir: qərar standart şəkildə verilə bilər, lakin çoxlu transformasiyalar olacaq. Mənim fikrimcə, burada gözəl ekvivalentlərdən istifadə etmək olduqca məqsədəuyğundur:

Sonsuz kiçik funksiyaları ekvivalent funksiyalarla əvəz edək. Burada:

Hamısı budur!

Yeganə texniki nüans: əvvəlcə tangens kvadrat idi, ona görə də dəyişdirildikdən sonra arqument də kvadratlaşdırılmalıdır.

Misal 5

Həddini tapın

Bu həddi triqonometrik düsturlar vasitəsilə həll etmək olar gözəl məhdudiyyətlər, lakin həll yenə çox xoş olmayacaq. Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir, hesablayıcının çevrilməsi zamanı xüsusilə diqqətli olun. Güclərlə qarışıqlıq varsa, onu məhsul kimi təqdim edin:

Misal 6

Həddini tapın

Ancaq bu, standart bir şəkildə həll etmək çox çətin olduqda, artıq çətin bir haldır. Gözəl ekvivalentlərdən istifadə edirik:

Sonsuz kiçikləri ekvivalentləri ilə əvəz edək. Burada:

Sonsuzluq əldə edilir, bu o deməkdir ki, məxrəc paydan daha yüksək kiçiklik sırasına malikdir.

Məşq üst geyimsiz sürətlə keçdi =)

Misal 7

Həddini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Loqarifmlə necə davranacağınızı düşünün ;-)

Digər məhdudiyyət həlli üsulları ilə birlikdə istifadə edilən əlamətdar ekvivalentləri görmək qeyri-adi deyil:

Misal 8

Ekvivalent sonsuz kiçiklər və digər çevrilmələrdən istifadə edərək funksiyanın limitini tapın

Qeyd edək ki, burada əlamətdar şərti ekvivalentlər tətbiq edilməlidir.

Qərar veririk:

İlk addımda biz əlamətdar ekvivalentlərdən istifadə edirik. Burada:

Sinus ilə hər şey aydındır: . Loqarifmlə nə etmək lazımdır? Loqarifmanı formada təqdim edirik və ekvivalentliyi tətbiq edirik. Gördüyünüz kimi, bu vəziyyətdə

İkinci mərhələdə dərsdə müzakirə olunan texnikanı tətbiq edirik

Sonsuz kiçik funksiyalar nədir

Bununla belə, funksiya yalnız müəyyən bir nöqtədə sonsuz kiçik ola bilər. Şəkil 1-də göstərildiyi kimi, funksiya yalnız 0 nöqtəsində sonsuz kiçikdir.

Şəkil 1. Sonsuz kiçik funksiya

Əgər iki funksiyanın bölünmə həddi 1 ilə nəticələnirsə, x a yaxınlaşdıqca funksiyalar ekvivalent sonsuz kiçikdir.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tərif

Əgər f(x), g(x) funksiyaları $x > a$ üçün sonsuz kiçikdirsə, onda:

• f(x) funksiyası g(x)-ə münasibətdə sonsuz kiçik ali dərəcəli adlanır, əgər aşağıdakı şərt yerinə yetirilirsə:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• f(x) funksiyası 0-dan fərqlidirsə və həddi sonludursa, g(x)-ə münasibətdə n sıralı sonsuz kiçik adlanır:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Misal 1

$y=x^3$ funksiyası y=5x funksiyası ilə müqayisədə x>0 üçün sonsuz kiçik yüksək tərtibdir, çünki onların nisbət həddi 0-dır, bu, $y=x funksiyasının olması ilə izah olunur. ^3$ daha tez sıfır dəyərə meyl edir:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]

Misal 2

y=x2-4 və y=x2-5x+6 funksiyaları x>2 üçün eyni tərtibli sonsuz kiçikdir, çünki onların nisbət həddi 0-a bərabər deyil:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Ekvivalent sonsuz kiçiklərin xassələri

1. İki ekvivalent sonsuz kiçiklərin fərqi onların hər birinə nisbətən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikdir.
2. Bir neçə sonsuz kiçik müxtəlif sıraların cəmindən sonsuz kiçik yüksək sıraları rədd etsək, əsas hissə adlanan qalan hissə bütün cəminə ekvivalentdir.

Birinci xassədən belə çıxır ki, ekvivalent sonsuz kiçiklər ixtiyari kiçik nisbi xəta ilə təxminən bərabər ola bilər. Buna görə də ≈ işarəsi həm sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyini qeyd etmək, həm də onların kifayət qədər kiçik qiymətlərinin təxmini bərabərliyini yazmaq üçün istifadə olunur.

Limitləri taparkən, hesablamaların sürəti və rahatlığı üçün çox vaxt ekvivalent funksiyaların dəyişdirilməsindən istifadə etmək lazımdır. Ekvivalent sonsuz kiçiklərin cədvəli aşağıda təqdim olunur (Cədvəl 1).

Cədvəldə verilmiş sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyi bərabərliyə əsasən sübut edilə bilər:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Cədvəl 1

Misal 3

Sonsuz kiçik ln(1+x) və x-in ekvivalentliyini sübut edək.

Sübut:

1. Kəmiyyətlərin nisbətinin həddini tapın
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Bunun üçün loqarifmin xassəsindən istifadə edirik:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Loqarifmik funksiyanın tərif sahəsində davamlı olduğunu bilərək, limitin işarəsini və loqarifmik funksiyanı dəyişə bilərsiniz:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)\]
4. x sonsuz kiçik dəyər olduğundan, limit 0-a meyl edir. Beləliklə:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)=\ln e=1\]

(ikinci əlamətdar həddi tətbiq etdi)

Test

İntizam: Ali riyaziyyat

Mövzu: Limitlər. Sonsuz kiçiklərin müqayisəsi

1. Nömrə ardıcıllığının həddi

2. Funksiya limiti

3. İkinci əlamətdar hədd

4. Sonsuz kiçik kəmiyyətlərin müqayisəsi

Ədəbiyyat

1. Nömrə ardıcıllığının həddi

Bir çox riyazi və tətbiqi məsələlərin həlli müəyyən bir şəkildə verilmiş ədədlərin ardıcıllığına gətirib çıxarır. Onların bəzi xüsusiyyətlərini öyrənək.

Tərif 1.1.Əgər hər natural ədəd

hansısa qanuna görə, həqiqi ədəd uyğunlaşdırılır, sonra ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq deyilir.

1-ci tərifə əsasən aydın olur ki, ədədi ardıcıllıq həmişə sonsuz sayda elementdən ibarətdir. Müxtəlif ədədi ardıcıllıqların tədqiqi göstərir ki, sayı artdıqca onların üzvləri fərqli davranırlar. Qeyri-müəyyən olaraq arta və ya azala bilər, daim müəyyən sayda yaxınlaşa bilər və ya heç bir qanunauyğunluq göstərə bilməz.

Tərif 1.2. Nömrə

ədədi ardıcıllığın həddi adlanır, əgər hər hansı bir ədəd üçün şərti ədədi ardıcıllığın bütün ədədləri üçün təmin edilməsindən asılı olaraq ədədi ardıcıllığın belə bir nömrəsi varsa.

Limiti olan ardıcıllığa konvergent deyilir. Bu vəziyyətdə yazın

.

Aydındır ki, ədədi ardıcıllığın yaxınlaşması məsələsini aydınlaşdırmaq üçün yalnız onun elementlərinin xassələrinə əsaslanacaq bir meyara sahib olmaq lazımdır.

Teorem 1.1.(Ədədi ardıcıllığın yaxınlaşması haqqında Koşi teoremi). Ədədi ardıcıllığın yaxınlaşması üçün istənilən ədəd üçün bu zəruri və kifayətdir

və şərtini ödəyən ədədi ardıcıllığın istənilən iki ədədi üçün bərabərsizliyin doğru olacağından asılı olaraq elə ədədi ardıcıllıq nömrəsi var idi.

Sübut. Ehtiyac. Verilir ki, ədədi ardıcıllıq

birləşir, bu o deməkdir ki, 2-ci tərifə görə onun limiti var. Gəlin bir neçə nömrə seçək. Onda ədədi ardıcıllığın həddinin tərifinə görə elə bir sıra nömrəsi var ki, bütün ədədlər üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir. Amma ixtiyari olduğu üçün yerinə yetiriləcək və . Gəlin iki ardıcıl nömrə götürək və sonra .

Buna görə də belə çıxır

, yəni zəruriliyi sübuta yetirilir.

Adekvatlıq. Bunu nəzərə alaraq

. Deməli, verilmiş şərt üçün elə bir ədəd var və . Xüsusilə, əgər , və , onda və ya şərti ilə. Bu o deməkdir ki, üçün ədədi ardıcıllıq məhduddur. Buna görə də, ən azı onun alt ardıcıllıqlarından biri yaxınlaşmalıdır. Qoy . ilə də yaxınlaşdığını sübut edək.

Bir ixtiyari götürək

. Sonra, limitin tərifinə uyğun olaraq, bərabərsizliyin hamı üçün keçdiyi bir rəqəm var. Digər tərəfdən, şərtlə verilir ki, ardıcıllıq elə bir nömrəyə malikdir ki, hamı üçün və şərt təmin edilsin. və bəzilərini düzəldin. Sonra hər şey üçün alırıq: .

Buna görə də belə çıxır