Nechat A(X) a b(X) – b.m. funkce v X® A (X® + ¥, X® –¥, X® X 0, …). Uvažujme hranici jejich poměru při X® A.

1. Pokud = b a b- konečné číslo b¹ 0, pak funkce A(X), b(X) se nazývají infinitezimální o jeden řád v X® A.

2. Pokud = 0, pak A(X) se nazývá infinitezimální vyšší řád , jak b(X) v X® A. Je zřejmé, že v tomto případě = ¥.

3. Pokud A(X) – b.m. vyšší řád než b(X), a = b¹ 0 ( b- konečné číslo kÎ N ), pak A(X) se nazývá infinitezimální k-tý řád ve srovnání s b(X) v X® A.

4. Pokud neexistuje (ani konečná, ani nekonečná), pak A(X), b(X) jsou nazývány nesrovnatelný b.m. v X® A.

5. Pokud = 1, pak A(X), b(X) jsou nazývány ekvivalent b.m. v X® A, který je označen takto: A(X) ~ b(X) v X® A.

Příklad 1. A(X) = (1 – X) 3 , b (X) = 1 – X 3 .

Je zřejmé, že při X® 1 funkcí A(X), b(X) jsou b.m. Abychom je porovnali, najdeme hranici jejich poměru na X® 1:

Závěr: A(X b(X) v X® 1.

Je snadné ověřit, že = (ujistěte se!), odkud to vyplývá A(X) – b.m. 3. řádu drobnosti, oproti b(X) v X® 1.

Příklad 2. Funkce A 1 (X) = 4X, A 2 (X) = X 2 , A 3 (X) = hřích X, A 4 (X) = tg X jsou nekonečně malé pro X® 0. Porovnejte je:

0, , = 1, = ¥.

Proto docházíme k závěru, že A 2 (X) = X 2 - b.m. vyšší řád než A 1 (X) a A 3 (X) (v X® 0), A 1 (X) a A 3 (X) – b.m. jedna objednávka, A 3 (X) a A 4 (X) jsou ekvivalentní b.m., tzn. hřích X~tg X v X® 0.

Věta 1. Nechat A(X) ~ A 1 (X), b(X) ~ b 1 (X) v X® A. Jestliže existuje , pak existuje a , a = .

Důkaz. = 1, = 1,

= = .

Tato věta usnadňuje hledání limitů.

Příklad 3.

Najít .

Na základě první pozoruhodné hranice hříchu4 X~ 4X, tg3 X~ 3X v X® 0, takže

Věta 2. Nekonečně malé funkce A(X) a b(X) jsou ekvivalentní (pro X® A) tehdy a jen tehdy A(X) – b(X) je b.m. vyšší řád než A(X) a b(X) (v X® A).

Důkaz

Nechat A(X) ~ b(X) v X® A. Pak = = 0, tj. rozdíl A(X) – b(X A(X) v at X® A(podobný b(X)).

Nechat A(X) – b(X) – b.m. vyšší řád než A(X) a b(X), to si ukážeme A(X) ~ b(X) v X® A:

= = + = 1,

Nekonečně malé funkce.

Pokračujeme v tréninkovém cyklu "limity pro figuríny", který byl zahájen články Limity. Příklady řešení a Pozoruhodné limity. Pokud jste na webu poprvé, doporučuji si také přečíst lekci Metody limitního řešení což výrazně zlepší vaši studentskou karmu. Ve třetím manuálu jsme uvažovali nekonečné funkce, jejich srovnání a nyní je čas se vyzbrojit lupou, abyste se po Zemi obrů podívali do Země liliputů. Strávil jsem novoroční svátky v kulturním hlavním městě a vrátil se do velmi dobrá nálada, takže čtení slibuje, že bude obzvlášť zajímavé.

Tento článek bude podrobně diskutovat infinitezimální funkce, se kterými jste se vlastně již mnohokrát setkali, a jejich srovnání. Mnoho událostí úzce souvisí s neviditelnými událostmi blízkými nule. úžasné limity, úžasné ekvivalence, a praktická část lekce je věnována především právě výpočtu limit pomocí úžasných ekvivalencí.

Nekonečně malé funkce. Porovnání infinitezimálů

Co mohu říci ... Pokud existuje limita, pak se funkce zavolá nekonečně malé v bodě.

Podstatným bodem tvrzení je skutečnost, že funkce může být nekonečně malá pouze v konkrétním bodě .

Nakreslíme známou čáru:

Tato funkce nekonečně malý v jediném bodě:
Je třeba poznamenat, že v bodech "plus nekonečno" a "minus nekonečno" bude stejná funkce již nekonečně velký: . Nebo v kompaktnějším zápisu:

Ve všech ostatních bodech bude limita funkce rovna jinému konečnému číslu než nule.

Takto, nic takového neexistuje jako „jen nekonečně malá funkce“ nebo „jen nekonečně velká funkce“. Funkce může být nekonečně malá nebo nekonečně velká pouze v konkrétním bodě .

! Poznámka : pro stručnost budu často říkat „infinitezimální funkce“, což znamená, že je v daném bodě nekonečně malá.

Takových bodů může být několik nebo dokonce nekonečně mnoho. Pojďme nakreslit nějakou nebojácnou parabolu:

Prezentovaná kvadratická funkce je nekonečně malá ve dvou bodech – v „jednom“ a ve „dvou“:

Stejně jako v předchozím příkladu je v nekonečnu tato funkce nekonečně velká:

Význam dvojitých znaků :

Zápis znamená, že v , a v .

Zápis znamená, že jak v, tak v .
Komentovaný princip „dešifrování“ dvojitých znamének platí nejen pro nekonečna, ale i pro libovolné koncové body, funkce a řadu dalších matematických objektů.

A teď sinus. Toto je příklad, kde funkce nekonečně malý v nekonečném počtu bodů:

Ve skutečnosti sinusoida „problikává“ na ose x každým „pí“:

Všimněte si, že funkce je ohraničena shora/zdola a neexistuje žádný takový bod, ve kterém by byla nekonečně velký, sinus může jen olizovat rty do nekonečna.

Dovolte mi odpovědět na několik jednoduchých otázek:

Může být funkce v nekonečnu nekonečně malá?

Samozřejmě. Takové případy vozíku a malého vozíku.
Elementární příklad: . Geometrický význam této hranice je mimochodem ilustrován v článku Grafy a vlastnosti funkcí.

Nemůže být funkce nekonečně malá?
(v kterémkoli bodě domény)

Ano. Zřejmým příkladem je kvadratická funkce, jejíž graf (parabola) neprotíná osu. Opačné tvrzení mimochodem obecně neplatí - hyperbola z předchozí otázky sice neprotíná osu x, ale nekonečně malý v nekonečnu.

Porovnání infinitezimálních funkcí

Vytvořme sekvenci, která má tendenci k nule, a vypočítejme několik hodnot trinomu:

Je zřejmé, že s poklesem hodnot x funkce utíká k nule rychleji než všechny ostatní (její hodnoty jsou zakroužkovány červeně). Říká se, že funkce než funkce , stejně jako vyššího řádu maličkosti, jak . Ale běžet rychle v Zemi liliputů není udatnost, „tón udává“ nejpomaleji se pohybující trpaslík, který, jak se na šéfa sluší, jde na nulu nejpomaleji ze všech. Záleží na něm jak rychle součet se bude blížit nule:

Obrazně řečeno, nekonečně malá funkce „pohlcuje“ vše ostatní, což je zvláště dobře vidět na konečném výsledku třetího řádku. Někdy to říkají nižší řád malosti, jak a jejich součet.

V uvažovaném limitu to vše samozřejmě moc nevadí, protože výsledek je stále nulový. Nicméně, "těžká váha trpaslíci" začínají hrát z principu důležitá role ve zlomcích. Začněme příklady, které, i když jsou vzácné, se vyskytují v reálném životě. praktická práce:

Příklad 1

Vypočítat limit

Panuje zde nejistota a úvodní lekce o funkcí připomínáme obecný princip odhalování této nejistoty: musíte rozložit čitatele a jmenovatele na faktory a pak něco snížit:

V prvním kroku odstraníme závorky v čitateli a "x" ve jmenovateli. Ve druhém kroku zmenšíme čitatel a jmenovatel o „x“, čímž eliminujeme nejistotu. Označíme, že zbývající "X" mají tendenci k nule, a dostaneme odpověď.

V limitu se bagel ukázal, tedy funkce čitatele vyššího řádu maličkosti než funkce jmenovatele. Nebo kratší: . Co to znamená? Čitatel má tendenci k nule rychlejší než jmenovatel, a proto je výsledek nula.

Stejně jako v případě s nekonečné funkce, odpověď může být známa předem. Recepce je podobná, ale liší se tím, že v čitateli a ve jmenovateli je potřeba MENTÁLNĚ zahodit všechny termíny s SENIOR stupně, protože, jak je uvedeno výše, pomalí trpaslíci mají rozhodující význam:

Příklad 2

Vypočítat limit

Nula k nule…. Pojďme se hned dozvědět odpověď: MENTÁLNĚ všechno zahoďte starší termíny (rychlí trpaslíci) v čitateli a jmenovateli:

Algoritmus řešení je přesně stejný jako v předchozím příkladu:

V tomto příkladu jmenovatel vyššího řádu drobnosti než čitatel. Když se hodnoty x sníží, nejpomalejší trpaslík v čitateli (a celém limitu) se stane skutečným monstrem ve vztahu ke svému rychlejšímu soupeři. Například pokud , tak - již 40x více .... ještě ne samozřejmě monstrum s danou hodnotou "x", ale takový už je subjekt s velkým pivním břichem.

A velmi jednoduchý demo limit:

Příklad 3

Vypočítat limit

Odpověď zjistíme tak, že vše MENTÁLNĚ odhodíme starší pojmy čitatel a jmenovatel:

rozhodujeme se:

Výsledkem je konečné číslo. Vlastník čitatele je přesně dvakrát tlustší než šéf jmenovatele. To je situace, kdy čitatel a jmenovatel o jeden řád.

Ve skutečnosti se srovnání infinitezimálních funkcí již dlouho objevilo v předchozích lekcích:
(Příklad číslo 4 lekce Limity. Příklady řešení);
(Příklad č. 17 lekce Metody limitního řešení) atd.

Zároveň připomínám, že „x“ může směřovat nejen k nule, ale také k libovolnému číslu a také k nekonečnu.

Co je ve všech zvažovaných příkladech zásadně důležité?

Za prvé, limita musí v daném bodě vůbec existovat. Například neexistuje žádný limit. Jestliže , pak funkce čitatele není definována v bodě "plus nekonečno" (pod kořenem dostaneme nekonečně velký záporné číslo). Zdá se, že podobné příklady lze nalézt v praxi:, jakkoli nečekané, je zde také srovnání infinitezimálních funkcí a nejistoty "nula k nule". Opravdu, když, tak. …Řešení? Zbavíme se čtyřpatrového zlomku, získáme nejistotu a otevřeme jej standardní metodou.

Možná, že začátečníky při zkoumání limitů vrtá otázka: „Jak to? Je zde nejistota 0:0, ale nelze dělit nulou! Přesně tak, nemůžete. Uvažujme stejnou hranici. Funkce není definována v bodě "nula". Ale obecně řečeno to není nutné. Důležité aby funkce existovala V JAKÉKOLI nekonečně blízko nule bodu (nebo přesněji v jakémkoliv nekonečně malé sousedství nula).

NEJDŮLEŽITĚJŠÍ VLASTNOST LIMITU JAKO KONCEPCE

je to "x" nekonečně blízko se přiblíží k určitému bodu, ale „není povinen tam jít“! Tedy pro existenci limity funkce v bodě irelevantní zda je tam samotná funkce definována nebo ne. Více si o tom můžete přečíst v článku. Cauchyho limity, ale nyní zpět k tématu dnešní lekce:

Za druhé, funkce čitatele a jmenovatele musí být v daném bodě nekonečně malé. Takže například limita je z úplně jiného týmu, zde funkce čitatel nemívá tendenci k nule: .

Systematizujeme informace o porovnávání infinitezimálních funkcí:

Nechat - nekonečně malých funkcí v bodě(tj. na ) a existuje limit jejich poměrů . Pak:

1) Pokud , pak funkce vyššího řádu maličkosti, jak .
Nejjednodušší příklad: , tedy kubická funkce vyššího řádu malosti než kvadratická.

2) Pokud , pak funkce vyššího řádu maličkosti, jak .
Nejjednodušší příklad: , tedy kvadratická funkce vyššího řádu drobnosti než lineární.

3) Jestliže , kde je nenulová konstanta, pak funkce mají stejného řádu.
Nejjednodušší příklad: jinými slovy, trpaslík běží na nulu přísně dvakrát pomaleji než a „vzdálenost“ mezi nimi zůstává konstantní.

Nejzajímavější případ je kdy . Takové funkce se nazývají infinitezimální ekvivalent funkcí.

Než uvedeme elementární příklad, promluvme si o samotném termínu. Rovnocennost. Toto slovo již bylo ve třídě použito. Metody limitního řešení, v dalších článcích a sejdou se vícekrát. Co je ekvivalence? Existuje matematická definice ekvivalence, logická, fyzikální atd., ale zkusme pochopit podstatu samotnou.

Ekvivalence je v určitém ohledu ekvivalence (nebo ekvivalence).. Je čas protáhnout svaly a odpočinout si od vyšší matematiky. Venku je teď pořádný lednový mráz, takže je velmi důležité se dobře ohřát. Jděte prosím na chodbu a otevřete skříň s oblečením. Představte si, že tam visí dva stejné ovčí kožichy, které se liší pouze barvou. Jedna je oranžová, druhá fialová. Pokud jde o jejich hřejivé vlastnosti, jsou tyto kabáty z ovčí kůže rovnocenné. Jak v prvním, tak ve druhém kabátě z ovčí kůže vám bude stejně teplo, to znamená, že výběr je ekvivalentní tomu, co nosit oranžové, co fialové - bez výhry: "jedna k jedné se rovná jedné." Ale z hlediska bezpečnosti na silnici už nejsou ovčí kožichy rovnocenné - oranžová barva je lépe viditelná pro řidiče vozidel, ... a hlídka nezastaví, protože s majitelem takového oblečení je vše jasné . V tomto ohledu můžeme předpokládat, že kabáty z ovčí kůže „jednoho řádu malosti“, relativně vzato, „oranžový kabát z ovčí kůže“ je dvakrát „bezpečnější“ než „fialové kabáty z ovčí kůže“ („což je horší, ale také patrné ve tmě “). A pokud vyrazíte do mrazu v jedné bundě a ponožkách, rozdíl bude již kolosální, takže bunda a kabát z ovčí kůže jsou „jiného řádu malosti“.

… zashib, musíte zveřejnit příspěvek na Wikipedii s odkazem na tuto lekci =) =) =)

Zřejmý příklad nekonečně malých ekvivalentních funkcí je vám známý – to jsou funkce první pozoruhodný limit .

Uveďme geometrickou interpretaci první pozoruhodné limity. Provedeme kresbu:

Inu, silné mužské přátelství grafů je viditelné i pouhým okem. ALE jejich vlastní matka je nerozezná. Pokud tedy , pak jsou funkce nekonečně malé a ekvivalentní. Co když je rozdíl zanedbatelný? Pak v limitě může být sinus výše nahradit"X": , nebo "x" pod sinem: . Ve skutečnosti se ukázalo, že jde o geometrický důkaz první pozoruhodné limity =)

Podobně, mimochodem, lze ilustrovat nějaký úžasný limit, což se rovná jedné.

! Pozornost! Ekvivalence objektů neznamená stejné objekty! Oranžové a fialové kabáty z ovčí kůže jsou ekvivalentní teplým, ale jsou to různé kabáty z ovčí kůže. Funkce jsou prakticky nerozeznatelné blízko nuly, ale jsou to dvě různé funkce.

Označení: ekvivalence je označena vlnovkou.
Například: - "sinus x je ekvivalentní x", jestliže .

Z výše uvedeného vyplývá velmi důležitý závěr: jsou-li dvě infinitezimální funkce ekvivalentní, pak lze jednu nahradit druhou. Tato technika je v praxi široce používána a právě teď uvidíme, jak:

Pozoruhodné ekvivalence uvnitř

K vyřešení praktických příkladů budete potřebovat pozoruhodná tabulka ekvivalence. Žák nežije jako jeden polynom, takže pole dalšího působení bude velmi široké. Nejprve si pomocí teorie infinitezimálních ekvivalentních funkcí zrekapitulujeme příklady z první části lekce Pozoruhodné limity. Příklady řešení, ve kterém byly zjištěny následující limity:

1) Řešíme limitu. Nahraďme infinitezimální funkci čitatele ekvivalentní infinitezimální funkcí:

Proč je tato náhrada možná? protože nekonečně blízko nule graf funkce se téměř shoduje s grafem funkce.

V tomto příkladu jsme použili ekvivalenci tabulky kde . Je výhodné, že nejen „x“, ale také komplexní funkce může fungovat jako parametr „alfa“, která má tendenci k nule.

2) Pojďme najít limit. Ve jmenovateli používáme stejnou ekvivalenci, v tomto případě:

Upozorňujeme, že sinus byl původně pod čtvercem, takže v prvním kroku je také nutné jej celé umístit pod čtverec.

Nezapomeňte na teorii: v prvních dvou příkladech jsou získána konečná čísla, což znamená, že čitatelů a jmenovatelů stejného řádu malosti.

3) Najděte limit. Nahraďte infinitezimální funkci čitatele ekvivalentní funkcí , kde:

Tady čitatel vyššího řádu drobnosti než jmenovatel. Lilliput (a jeho ekvivalentní trpaslík) dosáhne nuly rychleji než .

4) Najděte limit. Nahraďte nekonečně malou funkci čitatele ekvivalentní funkcí, kde:

A zde naopak jmenovatel vyššího řádu maličkosti než v čitateli, trpaslík utíká k nule rychleji než trpaslík (a jeho ekvivalentní trpaslík).

Měly by se v praxi používat úžasné ekvivalence? Mělo by, ale ne vždy. Řešení nepříliš složitých limit (jako jsou právě uvažované) je tedy nežádoucí řešit prostřednictvím pozoruhodných ekvivalencí. Může vám být vyčítána hackerská práce a nucena je řešit standardním způsobem pomocí trigonometrických vzorců a první nádherné limity. S pomocí dotyčného nástroje je však velmi přínosné si řešení ověřit nebo dokonce rovnou zjistit správnou odpověď. Charakteristický příklad č. 14 lekce Metody limitního řešení:

Na čistopis je vhodné sestavit poměrně velké kompletní řešení se změnou proměnné. Ale hotová odpověď leží na povrchu - mentálně používáme ekvivalenci: .

Ještě jednou geometrický smysl: proč je v čitateli přípustné nahradit funkci funkcí ? Nekonečně blízko nule jejich grafy lze rozlišit pouze pod výkonným mikroskopem.

Kromě kontroly řešení se úžasné ekvivalence používají ještě ve dvou případech:

– když je příklad dosti komplikovaný nebo dokonce nerozhodnutelný obvyklým způsobem;
– když je třeba podle podmínky použít pozoruhodné ekvivalence.

Podívejme se na smysluplnější úkoly:

Příklad 4

Najděte limit

Nejistota nula k nule je na pořadu dne a situace je hraniční: rozhodnout lze standardním způsobem, ale dojde k mnoha transformacím. Z mého pohledu je docela vhodné použít zde nádherné ekvivalence:

Nahraďme infinitezimální funkce ekvivalentními funkcemi. V :

To je vše!

Jediná technická nuance: zpočátku byla tečna odmocněna, takže po nahrazení musí být argument také odmocněn.

Příklad 5

Najděte limit

Tuto limitu lze řešit pomocí goniometrických vzorců a úžasné limity, ale řešení opět nebude moc příjemné. Toto je příklad pro samořešení, buďte obzvláště opatrní při převodu čitatele. Pokud dojde k záměně s pravomocemi, představte to jako produkt:

Příklad 6

Najděte limit

To už je ale složitý případ, kdy je velmi obtížné provést řešení standardním způsobem. Používáme úžasné ekvivalence:

Nahraďme nekonečně malé jedničky ekvivalentními. V :

Získá se nekonečno, což znamená, že jmenovatel je menšího řádu než čitatel.

Cvičení proběhlo svižně bez svrchního oblečení =)

Příklad 7

Najděte limit

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Přemýšlejte o tom, jak se vypořádat s logaritmem ;-)

Není neobvyklé vidět pozoruhodné ekvivalence používané v kombinaci s jinými metodami limitního řešení:

Příklad 8

Najděte limitu funkce pomocí ekvivalentních infinitezimálů a dalších transformací

Všimněte si, že zde je třeba použít pozoruhodné podmíněné ekvivalence.

rozhodujeme se:

V prvním kroku používáme pozoruhodné ekvivalence. V :

Se sinusem je vše jasné: . Co dělat s logaritmem? Znázorníme logaritmus ve tvaru a použijeme ekvivalenci . Jak vidíte, v tomto případě

Ve druhém kroku aplikujeme techniku ​​probíranou v lekci

Co jsou nekonečné malé funkce

Funkce však může být nekonečně malá pouze v určitém bodě. Jak je znázorněno na obrázku 1, funkce je nekonečně malá pouze v bodě 0.

Obrázek 1. Infinitezimální funkce

Jestliže limita kvocientu dvou funkcí má za následek 1, říká se, že funkce jsou ekvivalentní infinitesimální, když se x blíží a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definice

Pokud jsou funkce f(x), g(x) pro $x > a$ nekonečně malé, pak:

• Funkce f(x) se nazývá infinitezimální vyšší řád vzhledem k g(x), pokud je splněna následující podmínka:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funkce f(x) se nazývá infinitesimální řádu n vzhledem k g(x), pokud se liší od 0 a limita je konečná:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Příklad 1

Funkce $y=x^3$ je nekonečně malý vyšší řád pro x>0 ve srovnání s funkcí y=5x, protože limita jejich poměru je 0, vysvětluje se to tím, že funkce $y=x ^3$ má tendenci k nulové hodnotě rychleji:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Příklad 2

Funkce y=x2-4 a y=x2-5x+6 jsou nekonečně malé stejného řádu pro x>2, protože limita jejich poměru není rovna 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ až 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Vlastnosti ekvivalentních infinitezimálů

1. Rozdíl dvou ekvivalentních infinitesimál je infinitesimálou vyššího řádu vzhledem ke každé z nich.
2. Pokud vyřadíme nekonečně malé vyšší řády ze součtu několika nekonečně malých různých řádů, pak zbývající část, nazývaná hlavní část, je ekvivalentní celému součtu.

Z první vlastnosti vyplývá, že ekvivalentní infinitesimály se mohou přibližně rovnat s libovolně malou relativní chybou. Znaménko ≈ se proto používá jak k označení ekvivalence infinitesimál, tak k zápisu přibližné rovnosti jejich dostatečně malých hodnot.

Při hledání limit je velmi často nutné použít změnu ekvivalentních funkcí pro rychlost a pohodlí výpočtů. Tabulka ekvivalentních infinitezimálů je uvedena níže (Tabulka 1).

Ekvivalenci infinitesimálů uvedených v tabulce lze dokázat na základě rovnosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

stůl 1

Příklad 3

Dokažme ekvivalenci infinitezimálního ln(1+x) a x.

Důkaz:

1. Najděte limitu poměru veličin
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. K tomu používáme vlastnost logaritmu:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. S vědomím, že logaritmická funkce je spojitá ve své doméně definice, můžete zaměnit znaménko limity a logaritmickou funkci:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ že jo)\]
4. Protože x je nekonečně malá hodnota, limita má tendenci k 0. Takže:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ vpravo)=\ln e=1\]

(aplikoval druhý pozoruhodný limit)

Test

Disciplína: Vyšší matematika

Předmět: Limity. Porovnání infinitezimálů

1. Limit číselné řady

2. Funkční limit

3. Druhá pozoruhodná mez

4. Porovnání infinitezimálních veličin

Literatura

1. Limit číselné řady

Řešení mnoha matematických a aplikovaných úloh vede k posloupnosti čísel zadaných určitým způsobem. Pojďme zjistit některé jejich vlastnosti.

Definice 1.1. Kdyby každé přirozené číslo

podle nějakého zákona se do korespondence dává reálné číslo, pak se množina čísel nazývá číselná posloupnost.

Na základě Definice 1 je zřejmé, že číselná posloupnost vždy obsahuje nekonečný počet prvků. Studium různých číselných posloupností ukazuje, že s rostoucím počtem se jejich členové chovají odlišně. Mohou se neomezeně zvyšovat nebo snižovat, mohou se neustále přibližovat k určitému počtu nebo nevykazovat vůbec žádnou pravidelnost.

Definice 1.2.Číslo

se nazývá limita číselné posloupnosti, jestliže pro libovolné číslo existuje takový počet číselné posloupnosti v závislosti na tom, že podmínka je splněna pro všechna čísla číselné posloupnosti.

Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní. V tomto případě napište

.

Je zřejmé, že pro objasnění otázky konvergence číselné posloupnosti je nutné mít kritérium, které by bylo založeno pouze na vlastnostech jejích prvků.

Věta 1.1.(Cauchyho věta o konvergenci číselné posloupnosti). Aby číselná posloupnost konvergovala, je nutné a dostačující, že pro libovolné číslo

existovalo takové číselné pořadové číslo v závislosti na tom, že pro libovolná dvě čísla číselné posloupnosti a splňující podmínku a , by nerovnost byla pravdivá.

Důkaz. Potřeba. Je dáno, že číselná posloupnost

konverguje, což znamená, že podle definice 2 má limitu . Vyberme nějaké číslo. Pak podle definice limity číselné posloupnosti existuje takové pořadové číslo, že pro všechna čísla je splněna nerovnost. Ale jelikož je libovolná, splní se a . Vezměme dvě pořadová čísla a , pak .

Z toho tedy vyplývá

, tedy nutnost je prokázána.

Přiměřenost. Vzhledem k tomu

. Existuje tedy takové číslo, že pro danou podmínku a . Zejména pokud , a , pak nebo za předpokladu, že . To znamená, že číselná posloupnost pro je omezená. Proto musí alespoň jedna jeho podsekvence konvergovat. Nechte Dokažme, že to také konverguje.

Vezměme si libovolnou

. Pak podle definice limity existuje číslo takové, že nerovnost platí pro všechny . Na druhou stranu podmínkou je dáno, že posloupnost má takové číslo, že pro všechny a podmínka bude splněna. a některé opravit. Pak za vše dostaneme: .

Z toho tedy vyplývá