sisendvoog. Tüüpilised matemaatilised mudelid

24. Sissetuleva nõudluse voog

24.1 QS-i struktuur

QS-i uurimine algab sissetuleva nõuetevoo analüüsiga. Sissetulev nõudluse voog on nõuete kogum, mis siseneb süsteemi ja vajab hooldust. Uuritakse sissetulevat nõuete voogu, et teha kindlaks selle voo mustrid ja veelgi parandada teenuse kvaliteeti.

Enamasti on sissetulev voog kontrollimatu ja sõltub mitmest juhuslikust tegurist. Ajaühikus saabuvate päringute arv, juhuslik muutuja. Juhuslik muutuja on ka ajavahemik külgnevate sissetulevate päringute vahel. Siiski eeldatakse, et on antud keskmine vastuvõetud päringute arv ajaühiku kohta ja keskmine ajavahemik naabruses asuvate sissetulevate päringute vahel.

Helistatakse järjekorrasüsteemi sisenevate klientide keskmine arv ajaühikus nõudluse intensiivsus ja see määratakse järgmise seosega:

kus T - järjestikuste päringute saabumise vahelise intervalli keskmine väärtus.

Paljude reaalsete protsesside puhul kirjeldab nõuete voogu üsna hästi Poissoni jaotusseadus. Sellist voolu nimetatakse kõige lihtsam.

Kõige lihtsamal voolul on järgmised olulised omadused:

Statsionaarne omadus, mis väljendab tõenäosusliku voolurežiimi muutumatust ajas. See tähendab, et regulaarsete ajavahemike järel süsteemi sisenevate klientide arv peab olema keskmiselt konstantne. Näiteks päevas keskmiselt laadimisele saabuvate vagunite arv peaks erinevatel ajaperioodidel olema sama, näiteks kümnendi alguses ja lõpus.

ei mingit järelmõju, mis määrab ühe või teise arvu teenusetaotluste vastuvõtmise vastastikuse sõltumatuse mittekattuvate ajavahemike järel. See tähendab, et antud ajaintervalli jooksul saabuvate päringute arv ei sõltu eelmisel ajavahemikul esitatud päringute arvust. Näiteks kuu kümnendal päeval materjalide järele saabunud autode arv ei sõltu selle kuu neljandal või mõnel muul eelneval päeval hooldatud autode arvust.

tavaline omadus, mis väljendab kahe või enama nõude samaaegse vastuvõtmise praktilist võimatust (sellise sündmuse tõenäosus on mõõtmatult väike vaadeldava ajaperioodi suhtes, mil viimane kipub olema null).

Kuna iga teenindussüsteemi toimimise eesmärk on rahuldada teenusele esitatavaid rakendusi (nõudeid), on rakenduste (nõuete) voog teooria üks põhilisi ja olulisemaid mõisteid. järjekorras seismine. Peate õppima, kuidas sissetulevat nõuete voogu kvantifitseerida, kuid selleks peate välja selgitama selle olemuse ja struktuuri.

Peaaegu igasugune teenindussüsteemi sisenev nõuete voog on juhuslik protsess. Tõepoolest, kui me võtame t=0 per esialgne hetk, siis paljudes voogudes (v.a juhul, kui nõuded saabuvad rangelt graafikujärgselt) on järgmise nõude saabumise hetke täpselt ennustada, aga ka järgnevate nõuete saabumise hetki on kas võimatu või pigem keeruline. Näiteks on võimatu täpselt näidata hetki, millal kliendid saabuvad stuudiosse, patsiendid haiglasse, kõned jõuavad telefonikeskjaama, seadmed remonditöökotta jne.

Järelikult on avalduste laekumise hetked ja ka nendevahelised intervallid üldiselt sõltumatud juhuslikud suurused. Siis tuleks nõuete laekumise protsessi järjekorrasüsteemis käsitleda kui tõenäosuslikku või juhuslikku protsessi. Tähistame seda protsessi kui X(t). See funktsioon määrab süsteemile teatud aja jooksul vastuvõetud päringute arvu . Iga fikseeritud t puhul funktsioon X(t) on juhuslik muutuja. Tõepoolest, kui valida ajavahemikud kasvõi sama pikkusega, siis sel juhul ei saa olla kindel, et igasse intervalli saabub sama arv nõudeid.

Mõneks ajaks ei pruugi olla ühte taotlust või võib olla 1, 2, ... taotlust. Kuid olenemata sellest, kui pikad ajavahemikud me valime, on rakenduste arv vaid täisarv.

Nõuete voogu saab kujutada funktsiooni juhusliku suuruse ühe teostuse graafikuna X(t), võtta ainult mittenegatiivsed täisarvud. Graafik (joonis 24.2) on sel juhul astmeline joon, mille hüpped on võrdsed kas ühe või mitme ühikuga, olenevalt sellest, kas nõuded saabuvad ükshaaval või rühmadena. Nii et juhuslik protsess X(t), on järgmised omadused.

1. Iga fikseeritud t funktsiooni X(t), võtab mittenegatiivsed täisarvud 0, 1, 2,...,R,... ja ei vähene suurenedes.

2. Aja jooksul laekunud nõuete arv , sõltub selle intervalli pikkusest, st t väärtusest.

3. Protsessi juurutused on üksteisest mõnevõrra erinevad astmelised read. Juhuslike protsesside teooriast on teada, et protsess on tõenäosuslikust vaatenurgast täielikult kindlaks määratud, kui on teada kõik selle mitmemõõtmelised jaotusseadused:

Üldjuhul sellise funktsiooni leidmine on aga väga raske ja kohati lahendamatu probleem. Seetõttu püütakse praktikas kasutada protsesse, millel on omadused, mis võimaldavad leida lihtsamaid viise nende kirjeldamiseks. Need omadused hõlmavad järgmist:

Statsionaarsus (parem ajas ühtlus);

Järelmõju puudumine (Markovi keel), mõnikord öeldakse mälu puudumise kohta;

Tavalisus.

Loetletud omadusi käsitleti eespool statsionaarsete ja Markovi protsesside uurimisel, seega tuletame siinkohal meelde ainult nende omaduste olemust järjekorrateooria seisukohalt.

Nõuete voogu nimetatakse ajas statsionaarseks või homogeenseks, kui teatud arvu nõuete laekumise tõenäosus teatud aja jooksul sõltub ainult intervalli pikkusest, mitte aga selle ajaasendist (teisisõnu ei oleneb päritolust). Seega on statsionaarse voolu korral tõenäosus, et üle intervalli teeb täpselt R nõuded on võrdne kättesaamise tõenäosusega R nõuded intervallile [a, +t] , kus a>0, st.

See tähendab, et voolu tõenäosuslikud karakteristikud (jaotusseaduse parameetrid) ei tohiks ajas muutuda.

Paljudel tegelikel nõudluse voogudel on lühiajaliselt vaadeldes statsionaarsus. Selliste voogude hulka kuuluvad: kõnede voog PBX-i teatud ajavahemike järel, klientide voog kauplusesse, remonti vajavate raadioseadmete voog, reisijate liikluse intensiivsus jne. Osa loetletud voogudest aga muutuvad päeval (kõnede tõenäosus öösel väiksem kui päeval, ühistranspordi tipptunnid).

Mõnes voos ei sõltu suvalise ajahetke järel süsteemi sisenenud päringute arv varem vastuvõetud päringute arvust ja nende saabumise hetkedest, st päringute saabumise vahelised intervallid loetakse iseseisvateks väärtusteks. ja nende vahel pole mingit seost. Süsteemi tulevane olek ei sõltu selle minevikust. Selle omadusega voolu nimetatakse järelmõjuta vooluks või Markovi vooluks. Järelmõju puudumise (mälupuuduse) omadus on omane paljudele tõelistele lõimedele. Näiteks PBX-i kõnede voog on järelmõjuta voog, kuna reeglina tuleb järgmine kõne olenemata sellest, millal ja kui palju kõnesid on praeguseks tehtud.

Mitmel juhul on nõuete voo olemus selline, et üheaegselt ilmnevad kaks või rohkem nõuded on võimatu või peaaegu võimatu. Selle omadusega oja nimetatakse tavaliseks ojaks.

Kui a R R >2 (h) -intervalli esinemise tõenäosus h rohkem kui üks nõue, siis tavalise voolu jaoks peaks see olema:

,

st voolu tavapärasus eeldab, et rohkem kui ühe nõude esinemise tõenäosus väikese aja jooksul h oleks lõpmata väike kogus, mis on kõrgemat järku kui h. Mõnes reaalses voos on see omadus ilmne, samas kui teistes aktsepteerime seda tegelikkusele üsna hea lähendusega. Sellise voo klassikalised näited on kõnede voog PBX-i ja klientide voog stuudios.

Päringuvoogu, millel on need kolm omadust, nimetatakse lihtsaimaks. Võib näidata, et mis tahes lihtsat voolu kirjeldatakse Poissoni protsessiga. Selleks tuletame meelde juhuslike funktsioonide teoorias omaks võetud Poissoni protsessi definitsiooni.

juhuslik protsess X(t) (0≤ t<∞) täisarvu väärtusi nimetatakse Poissoni protsessiks, kui see on sõltumatute juurdekasvudega protsess või kui protsessi mis tahes juurdekasv ajavahemikus h jaotatakse vastavalt Poissoni seadusele parameetriga λ h, kus λ>0 need.

Eelkõige siis, kui t=0, X(0)=0, siis (3) kirjutatakse ümber järgmiselt:

(4)

Siin V r (h) tähendab tõenäosust, et meid huvitav sündmus toimub täpselt Rüks kord teatud aja jooksul h(järjekorra teooria osas V r (h) määrab tõenäosuse, et teatud aja jooksul h siseneb teenindussüsteemi täpselt R nõuded).

Parameetri tähendus X on lihtne teada saada, kui leiate Poissoni protsessi matemaatilise ootuse: M [X(t)]=M. Kell t=1 saame M[X(1)] = 1. Seetõttu on rakenduste keskmine arv ajaühiku kohta. Seetõttu väärtus λ mida sageli nimetatakse intensiivsuseks või voo tiheduseks.

Poissoni protsessi määratlusest järgneb kohe kolm omadust, mis on identsed ülaltoodud omadustega:

1) juurdekasvu sõltumatus. Poissoni protsessi juurdekasvu sõltumatusel ei ole järelmõju – Markovi protsessi.

2) Ühtsus ajas. See tähendab, et tõenäosused V r (h) ei sõltu alghetkest t arvestatud intervall , kuid sõltuvad ainult intervalli pikkusest h:

3) Tavalisus. Poissoni protsessi tavapärasus tähendab, et nõuete rühma ühel ja samal hetkel saabumine on praktiliselt võimatu.

Seega on kahe või enama nõude samaaegne laekumine väikese ajavahemiku h jooksul ebatõenäoline

mis näitab Poissoni protsessi tavapärasust.

Seega oleme kindlaks teinud, et Poissoni protsessiga kirjeldatud voog on kõige lihtsam. Samas kehtib ka vastupidine oletus, et kõige lihtsamat voolu kirjeldatakse Poissoni protsessiga. Seetõttu nimetatakse lihtsaimat voolu sageli ka Poissoni vooluks. Poissoni protsess järjekorrateoorias omab erilise koha, sarnaselt tõenäosusteooria omaga, teiste jaotusseaduste seas on tavaseadus. Ja asi pole selles, et seda kirjeldatakse matemaatiliselt kõige lihtsamalt, vaid selles, et see on kõige levinum. Poissoni voog on piirvoog (asümptootiline voog, kui kombineeritakse palju muid voolusid).

Definitsioon 6.1. Sisendvoogu nimetatakse lihtsaimaks, kui:

1) ühe või teise arvu rakenduste ilmumise tõenäosus ajavahemikus sõltub ainult selle kestusest ja ei sõltu selle asukohast ajateljel (sisendvoo statsionaarsus), pealegi saabuvad rakendused üksikult (tavalisus). sisendvoos) ja üksteisest sõltumatult (sisendvoos järelmõju puudub);

2) eraldiseisva juhusliku sündmuse (rakenduse ilmumise) realiseerumise tõenäosus lühikese kestusega ajaintervallil on võrdeline lõpmata väiksema väiksuse järguga võrreldes s.o. on kus

3) kahe või enama juhusliku sündmuse realiseerumise tõenäosus (kahe või enama rakenduse ilmnemine) lühikese aja jooksul on väärtus

Järelefekti puudumine kõige lihtsama sisendvoo definitsioonis tähendab, et mis tahes mittekattuvate ajavahemike puhul ei sõltu ühes nendest intervallidest saabuvate päringute arv teiste intervallidega saabuvate päringute arvust.

Vaatamata sellele, et sisend- ja väljundvoogusid paljud tõelised süsteemid teenused ei rahulda täielikult kõige lihtsama voo definitsiooni, kõige lihtsama voo mõistet kasutatakse järjekorra teoorias laialdaselt. See asjaolu ei ole seotud mitte ainult asjaoluga, et praktikas kohtab üsna sageli lihtsamaid voogusid, vaid ka sellega, et piiramatu arvu statsionaarsete tavaliste voolude summa, millel on peaaegu igasugune järelmõju, on kõige lihtsam vool. Sellega seoses vaatleme kõige lihtsama voolu peamisi omadusi.

Teoreem 6.1. Diskreetne juhuslik muutuja, mis võtab väärtusi ja iseloomustab kõige lihtsama sisendvoo jaoks järjekorrasüsteemi sisenevate klientide arvu ajavahemikul t, jaotatakse vastavalt Poissoni seadusele parameetriga

Vaatleme diskreetsete olekutega skalaarjuhuslikku protsessi (st mis tahes fikseeritud ajahetke jaoks, selle ristlõige ) on diskreetne juhuslik suurus, millel on hulk võimalikke väärtusi, mille olekus tähendab, et teenuses on k päringut süsteem.

Vastavalt teoreemi tingimustele ja kõige lihtsama voo definitsioonile on juhuslik protsess Markovi homogeenne diskreetsete olekutega protsess ning mis tahes mittenegatiivsete täisarvude i ja j korral on järjekorrasüsteemi ülemineku tõenäosustihedus. riigist , riiki igal ajal määrab võrdsus

Seetõttu on Kolmogorovi võrrandisüsteemil sel juhul järgmine vorm:

kus on tõenäosus, et ajavahemikul t saab uuritav teenindussüsteem hulga päringuid. Ja kuna lihtsaima taotlusvoo definitsioonist 6.1 tuleneb, et

siis jõuame funktsiooni suhtes Cauchy probleemideni

ja funktsioonid

Lahendades järjestikku Cauchy ülesandeid (6.3), (6.4), leiame kõige lihtsama sisendvoo korral tõenäosuse, et klientide arv ajavahemikul pikkusega t on võrdne

Seosed (6.5) tähendavad, et juhuslik suurus jaotub parameetriga Poissoni seaduse järgi

Järeldus 6.1. Kui sisendvoog on kõige lihtsam, siis järjekorrasüsteemi sisenevate klientide keskmine arv ajavahemikul t on võrdne

Rakenduste keskmise arvu määramiseks tuleb leida juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Ja kuna (6.5) järgi jaotatakse see Poissoni seaduse järgi parameetriga siis

Tõestatud järelduse kohaselt on parameeter Λ ajaühikus saabuvate rakenduste keskmine arv. Seetõttu nimetatakse seda intensiivsuseks või lihtsaima voolu tiheduseks.

Järeldus 6.2. Kui päringute sisendvoog on kõige lihtsam, siis skalaarse juhusliku muutuja dispersioon, mis iseloomustab järjekorrasüsteemi sisenevate päringute arvu hajumist ajavahemikul kestusega t, võrdub nende keskmise väärtusega

M Kui sisendvoog on kõige lihtsam, siis vastavalt (6.5) jaotatakse juhuslik suurus Poissoni seaduse järgi parameetriga Seetõttu,

Pöörame tähelepanu asjaolule, et vastavalt (6.6) ja (6.7) on Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslikul suurusel sama ootus ja dispersioon.

Näide 6.1. Teenindusbüroo saab keskmiselt 12 tellimust tunnis. Pidades tellimuste voogu kõige lihtsamaks, määrame tõenäosuse, et: a) 1 minuti jooksul ei laeku ühtegi tellimust; b) 10 minuti jooksul ei laeku rohkem kui kolm tellimust.

Kuna tellimuste voog on kõige lihtsam ja intensiivsem, siis vastavalt (6.5) on meil:

Lihtsaima voo definitsiooni 6.1 kohaselt on kahe järjestikku saabuva päringu vahelise ajaintervalli kestus juhuslik suurus Järjekorrasüsteemide matemaatiliste mudelite koostamiseks on vaja teada juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni või selle jaotust tihedus (tõenäosused)

Teoreem 6.2. Lihtsaima sisendvoo intensiivsusega A korral on kahe järjestikuse päringu vahelise ajaintervalli kestus eksponentsiaalse jaotusega parameetriga A.

Sisend infovoog

Sisendinfovoog on dokumentide ja andmete jada, mis tuleb infosüsteemi sisestada.

Vaata ka: Teabe sisu

• - süsteemi sisendis asuv seade, mis teisendab sisendsignaale, et koordineerida süsteemi tööd välise allikaga. mõju...

  Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

• - teesignaal, mis kaitseb eraldi punkti teed. Nagu V. koos. võib kasutada valgusfoore või semafoore. Sissepääsu semafor on paigaldatud mitte lähemale kui 50 m, foor ei ole sisendnoole mõistusest lähemal kui 15 m ...

  Raudtee tehniline sõnastik

• - "... Tarbija või kliendi poolt vastu võetud tarnija toodete kontroll, mis on mõeldud kasutamiseks toodete valmistamisel, parandamisel või käitamisel ..." Allikas: Roskartografii tellimus 29.06 ...

  Ametlik terminoloogia

• - ehituseks tarnitavate tööstustoodete passiandmetele vastavuse kontroll...

  Ehitussõnastik

• - materjalivoog, mis siseneb logistikasüsteemi väljastpoolt ...

  Äriterminite sõnastik

• - kindlal kujul koostatud ja infosüsteemi sisestamiseks mõeldud andmeid sisaldav dokument. Vaata ka: sisu  ...

  Finantssõnavara

• - süsteemis ringlevate sõnumite kogum, mis on vajalik juhtimisprotsesside rakendamiseks ...

  Suur majandussõnastik

• - väline materjalivoog, mis siseneb sellesse logistikasüsteemi väliskeskkonnast ...

  Suur majandussõnastik

• - seade süsteemi või seadme sisendis, mis muudab sisendtoimingud signaalideks, mis on mugavad edasiseks töötlemiseks, edastamiseks ja registreerimiseks või erinevate sisenditega süsteemide töö koordineerimiseks -...

  Suur Nõukogude entsüklopeedia

• - ...

  Antonüümide sõnastik

• - SISEND, vaadake sisestamist ja...

  Ožegovi selgitav sõnastik

• - SISEND, sisend, sisend. adj. sissepääsu juurde. Sissepääsu uks. Sissepääsupilet. Sisselaskeava...

  Ušakovi seletav sõnaraamat

• - sisend I adj. esialgne, esialgne, esialgne. II adj. 1. 1. kuhugi sisenemise õiguse andmine. 2. Toimib sissepääsuna...

  Efremova seletav sõnaraamat

• - sisend adj., kasutamine. komp. sageli 1. Kui räägite uksest, peate silmas välisust, mis viib tänavalt teie majja. Keegi astus esikusse ja avas välisukse. 2...

  Dmitrijevi sõnaraamat

• - sisend "...

  Vene õigekirjasõnaraamat

• - ...

  Sõnavormid

"Infovoog" raamatutes

Info liikumine looduses

autor

Info liikumine looduses

Raamatust Antropoloogia ja bioloogia mõisted autor Kurtšanov Nikolai Anatolievitš

Info liikumine looduses Kuidas geneetiline informatsioon DNA rakus ümber kirjutatakse? RNA? valk määrab teabe liikumise eluslooduses. See infovoog realiseerub valdavas enamuses elussüsteemides. Ta sai keskse dogma määratluse

"Sisend" käibemaks

Raamatust Kuidas kasutada sõna "lihtsustatud" autor Kurbangaleeva Oksana Aleksejevna

"Sisendkäibemaks" Põhivara ostmisel tasub ostjaorganisatsioon selle maksumuse koos käibemaksuga. Lihtsustatud maksustamissüsteemi rakendav ettevõtja ei saa aga sisendkäibemaksu summat eelarvest hüvitada. See summa

Peatage kahjuliku teabe liikumine

Raamatust Miks printsessid hammustavad. Kuidas tüdrukuid mõista ja harida autor Biddulph Steve

Peatage kahjuliku teabe voog Kuigi me ei taha seda tunnistada, oleme meie, inimesed, olemuselt karjaloomad. Otsime pidevalt teistelt tunnustust ja jäljendame pidevalt ümbritsevaid, püüdes järgida mõnda üldtunnustatud normi; meie ajal

Aafrikast tulev infovoog fossiilse inimese erinevate vormide kohta paneb meid värske pilguga heitma inimkonna kõige iidsemate esivanemate loomamaailmast isoleerimise protsessi ja inimkonna kujunemise peamisi etappe.

Raamatust Muistsed tsivilisatsioonid autor Bongard-Levin Grigori Maksimovitš

Infovoog Aafrikast umbes erinevaid vorme Fossiilne inimene paneb meid uue pilguga vaatama kõige iidsemate inimeste esivanemate loomamaailmast eraldamise protsessi ja inimkonna kujunemise peamisi etappe. Paljude probleemide selgitamine aitab kaasa

Sisendmuundur

Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (VX). TSB

Getint() teabevoog

Raamatust The C Language – A Beginner's Guide autor Prata Stephen

Getint() teabevoog Mis väljund peaks meie funktsioonil olema? Esiteks pole kahtlust, et see peaks tagastama loetud arvu väärtuse. Muidugi teeb seda juba funktsioon scanf(). Teiseks, ja see on väga oluline, loome funktsiooni, mis

Teadvus on energia ja teabe voog

Raamatust Mindsight. Uus teadus isiklikust muutumisest autor Siegel Daniel

Teadvus on energia ja teabe voog Energia on võime sooritada tegevust, näiteks liigutada jäsemeid või kujundada mõtteid. Füüsika uurib seda erinevat tüüpi. Me tunneme kiirgusenergiat päikese käes istudes, kineetilist energiat rannas jalutades või ujudes,

Info liikumine

Raamatust Novelli- ja romaanikogu autor Lukin Evgeny

Teabe liikumine Kohe, kui Valeri Mihhailovitš Akhlomov toimetussektori lävele ilmus, sai selgeks, et planeerimiskoosolekul tabas teda rängalt peamine. - Kasutage minu tegelase lahkust! ütles ta vaikselt raevukalt. - Mõistus on arusaamatu: sisse

2. peatükk KULTUURIIMPERIALISMI DIPLOMAATSUS JA INFO VABA VOOLU

Autori raamatust

2. PEATÜKK KULTUURIIMPERIALISMI DIPLOMAATSUS JA INFO VABA VOOLU Veerand sajandit on üks doktriin – idee, et riikidevahelist teabe liikumist ei tohi takistada ükski tõke – domineerinud rahvusvahelises suhtluse ja teabevahetuse üle.

Info liikumine ja teie isiklik filosoofia

Raamatust Mõtle ja tee! autor Baranovski Sergei Valerijevitš

Info liikumine ja teie isiklik filosoofia Meie ajastu on hea juba ainuüksi seetõttu, et see sisaldab palju teavet. Ainuüksi Internet avab meile sadu uusi uksi. Ärge kuulake neid, kes nimetavad võrku prügiks! Internet ei ole prügimägi, vaid halvasti puhastatud raamatukogu. Kümned tuhanded mitmekesised

autor Venemaa Gosstandart

Raamatust MANUSSÜSTEEMIDE TARKVARA. Üldnõuded arendusele ja dokumenteerimisele autor Venemaa Gosstandart

5.1 Teabevoog süsteemi ja tarkvara elutsükli protsesside vahel

Raamatust MANUSSÜSTEEMIDE TARKVARA. Üldnõuded arendusele ja dokumenteerimisele autor Venemaa Gosstandart

5.1 Info liikumine protsesside vahel eluring süsteemid ja tarkvara 5.1.1 Teabevoog süsteemiprotsessidest tarkvaraprotsessidesse Süsteemi ohutuse hindamise protsess peaks tuvastama süsteemi võimalikud rikkeolukorrad ja määrama nende kategooriad,

12.37 Tarkvara sisendi/väljundi teabe juhend

Raamatust MANUSSÜSTEEMIDE TARKVARA. Üldnõuded arendusele ja dokumenteerimisele autor Venemaa Gosstandart

12.37 Tarkvara sisend-/väljundteabe sisend-/väljundinformatsiooni käsiraamat Tarkvara selgitab kasutajale, kuidas esitada, sisestada sisendinfot ja tõlgendada väljundinfot, millises režiimis (partii- või interaktiivne) süsteem töötab

Järjekorrateooria elemendid

§ 1. Sissejuhatus

Järjekorrateooriat tuntakse muidu järjekorra teooriana. Tõepoolest, järjekorrateooria on suures osas pühendatud erinevates süsteemides tekkivate järjekordade uurimisele.

Järjekorrasüsteemide peamised omadused on järgmised juhuslikud suurused:

keskmine aeg, mille klient sabas veedab;

süsteemi jõudeoleku aja protsent (klientide puudumise tõttu).

Järjekorrasüsteemide funktsionaalsuse määravad järgmised tegurid:

klientide jaotusmomentide jaotamine;

teenuse kestuse jaotus;

teenindussüsteemi konfiguratsioon (jada-, paralleel- või paralleeljadateenus);

distsipliin järjekorras (teenindus saabumise järjekorras, teenindus vastupidises järjekorras, klientide juhuslik valik);

ooteploki maht (piiratud või piiramatu);

nõudlusallika võimsus või võimsus (piiratud ja piiramatu);

mõned muud süsteemi omadused (klientide võimalus liikuda ühest järjekorrast teise, mitte-null tõenäosus rikkeks jne).

Peamised tegurid on kaks esimest.

Iga järjekorrasüsteem koosneb järgmistest põhielementidest:

sissetulevate klientide voog;

teenindusseade;

distsipliin reas.

§ 2 . Kliendi sisendvoog

Vaatleme juhuslike muutujate jadasid

Teeskleme seda t o = 0 on süsteemi töö algushetk; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., kus τ k on sõltumatud juhuslikud muutujad eksponentsiaalse jaotusega parameetriga λ.

W siin t 1 - esimese kliendi saabumise hetk, τ 1 - ajavahemik süsteemi käivitamise ja esimese kliendi saabumise vahel, τ 2 - ajavahemik esimese ja teise kliendi saabumise vahel jne.

Järjekord
, nimetatakse ülaltoodud viisil määratletud kõige lihtsam (Poisson) voolu. Konstant nimetatakse lihtsaima voolu parameetriks.

Lihtsa voo omadused

1. Voolu nihutamine T poolt

Olgu lihtne vool
parameetriga λ.

Voolu nihutades T, saame oja kätte
, mis on ka kõige lihtsam voog sama parameetriga λ. Näiteks kui T on vahel ja , siis näeb uus voog välja selline:

, ….

2. Kahe lõime ühendamine

P
Olgu kaks sõltumatut elementaarvoogu

Koos
parameetrid λ (1) , λ (2) vastavalt. Ütleme, et voog tekkis kahe voo liitmise tulemusena, kui komplekt ( t k) on hulkade liit ( t k (1) }, {t k ( 2) ) ja komplekti elemendid ( t k) on järjestatud kasvavas järjekorras.

P
kahe sõltumatu elementaarvoo liitmisel tekkiv väljavool on ka parameetriga elementaarvoog λ = λ(1) + λ(2) , kus λ(j)- voolu parameeter

3. Lihtsaima voo poolitamine

Olgu parameetriga lihtne voog λ,

ja sõltumatute juhuslike muutujate jada
, võttes kaks väärtust:

P(ξ i = 1) = lk, P(ξ i = 0) = q, lk  0, q  0, lk + q = 1.

Selliseid juhuslikke muutujaid nimetatakse Bernoulli(koos parameetriga lk). Voolu jagamise protseduur ( t k) on järgmine: number t i viidata esimesele voolule, kui ξ i= 1; kui ξ i= 0, siis arv t i viidata teisele voolule. Nimetame sellist voo kaheks jagamise operatsiooni Bernoulli(koos parameetriga lk).

Lihtsaima voolu Bernoulli eraldamise tulemusena saadud voolud on sõltumatud kõige lihtsamad voolud, mille parameetrid on vastavalt λ (1) = λp, λ (2) = λq.

Pange tähele, et kõige lihtsama voolu nende omaduste tõestused leiate .

H
herez X(t) Järgnevalt tähistame hetkel süsteemis olevate klientide arvu t, st.

Poissoni protsesside omadused

Poissoni protsessi juurdekasv on homogeenne.

Tähistage X((a,b])= X(b) – X(a) protsessi juurdekasv, mida saab tõlgendada kui klientide arvu, kes sisenevad süsteemi intervalli ( a,b]. Homogeensus tähendab tingimuse täitmist:

P( X((a,b]) = k) = P( X((0,b-a]) = k) = P( X(b-a) = k),

need. süsteemi sisenevate klientide arvu tõenäosusjaotus intervallis ( a,b], sõltub ainult selle intervalli pikkusest.

Poissoni protsessi sammud on sõltumatud.

Mõelge intervallile (0, b] ja oletame, et see on jagatud mittelõikuvateks intervallideks (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , ( b N-1, b N]. Lase b 0 = 0. Siis X((b 0 , b 1 ]), X((b 1 , b 2]), , X((b N-1, b N ]) on vastavatel ajaperioodidel süsteemi sisenevate klientide arv. Need kogused on sõltumatud, s.t.

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1, , X((b N-1, b N ]) = i N) =

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1)  P( X((b N-1, b N ]) = i N).

Tõendid nende omaduste kohta leiate aadressilt.

Ülesanded § 2 jaoks.

2.1. Juhuslikke muutujaid on kaks  1 ja  2. Need on sõltumatud ja neil on parameetritega eksponentsiaalne jaotus  1 ja  2 vastavalt. Tutvustame järgmist juhuslikku muutujat:  = min(  1 ,  2). Tõesta, et sellel suurusel on parameetriga eksponentsiaalne jaotus = 1 + 2 .

2.2. Antud on kaks sõltumatut juhuslikku muutujat  1 ja  2, millel on Poissoni jaotus koos parameetriga  1 ja  2 vastavalt. Olgu juhuslik suurus  = 1 + 2. Tõesta, et sellel suurusel on parameetriga Poissoni jaotus  = 1 + 2 .

2.3. Lase  on klientide arv kauplustes ja sellel on parameetriga Poissoni jaotus  . Las iga klient tõenäosusega lk sooritab selles poes ostu. On vaja tõestada, et selles poes ostu sooritanud klientide arvul on parameetriga Poissoni jaotus p.

2.4. Kliendid tulevad restorani Poissoni voolu järgi keskmiselt 20 klienti tunnis. Restoran avatakse kell 11.00.

a) tõenäosus, et kell 11.12 on restoranis 20 klienti, arvestades, et kell 11.07 oli restoranis 18 klienti;

b) tõenäosus, et uus külastaja saabub restorani ajavahemikus 11.28-11.30, kui on teada, et eelmine külastaja saabus restorani kell 11.25.

2.5. Tooted võetakse laost, mille laos on 80 ühikut, vastavalt Poissoni voolule kiirusega 5 kaupa päevas.

a) tõenäosus, et esimese kahe päeva jooksul võetakse laost 10 ühikut kaupa;

b) tõenäosus, et neljanda päeva lõpuks ei ole lattu enam ühtegi tooteühikut.

§

3. Surma ja paljunemise protsess

Ehitame üles surma ja paljunemise protsessi X(t) "konstruktiivselt".

Vaatleme kahte järjestust ja. Esimene vastutab klientide süsteemi sisenemise (paljundamine) ja teine ​​​​klientide teenindamise eest (surm):

Lisaks olgu antud kaks sõltumatut jada
sõltumatud juhuslikud muutujad eksponentsiaalse jaotusega parameetriga =1.

Protsess X(t) on konstrueeritud järgmiselt. Lase
, kus
. Siis vaheajal
protsessi X t) säilitab oma väärtuse , kus
,

.

Hetkel t 1 protsessi väärtus X(t) suureneb või väheneb ühe võrra vastavalt sellele, kumb kahest momendist
tuleb enne:

Seega oleme pannud protsessi tähenduse X t) punktis t 1 võrdne ; siis protsessi areng X(t) intervalli kohta
, kus
ja
, järgib sama seadust: X(t) sellel intervallil hetkel ei muutu t 2

suurendatakse ühe võrra, kui
, ja muidu väheneb ühe võrra.

Kui
, siis protsessi väärtus X(t) suureneb juhuslikul hetkel ühe võrra
.

Sel viisil üles ehitatud protsess
, nimetatakse ajas ühtseks surma- ja paljunemisprotsessiks; selle jaotused on täielikult määratud parameetrite komplektiga ja algjaotus X(0):

Mugav on kasutada järgmist diagrammi esindama protsessi arengut X(t):

Ülaltoodud nooled vastavad reprodutseerimisprotsessi dünaamikale: alates i olekus, protsess läheb ( i+1)-s olek intensiivsusega ; allolevad nooled vastavad surmaprotsessi dünaamikale: intensiivsusega protsess alates i riik läheb ( i-1)-ndas olek.

Funktsioonide komplekt

kirjeldab protsessi jaotust X(t); allpool esitame võrrandisüsteemi, mida need funktsioonid rahuldavad.

Pange tähele, et mitte kõik parameetrid
reageerib "mitte-mandunud" protsessile X(t); fakt on see, et kui numbrid kasvavad väga kiiresti
, siis protsess X(t) viimasel hetkel t võib "plahvatada", st. positiivse tõenäosusega ületada mis tahes taset ja suurendada kuni
. Nii siseneb näiteks bakteripopulatsioon soodne keskkond. Plahvatuseni viivaid keemilisi reaktsioone kirjeldavad protsessid on sarnaselt korraldatud.

Protsessid X(t), mille jaoks kõik
, kuuluvad nn puhas aretusprotsess. Protsessid, mille jaoks
, kutsus puhta surma protsessid.

Järgmine lemma annab parameetritele vajalikud ja piisavad tingimused
, mis tagavad puhta paljunemisprotsessi lõplikkuse
parameetritega.

Lemma. Olgu puhas paljunemisprotsess parameetritega. Siis on protsessi lõplikkuse jaoks vajalik ja piisav, et jada lahkneb

Lase X(t) surma- ja paljunemisprotsess samade parameetritega protsessi , samuti parameetrid
. See on ilmne

P( X(t)  )  P( X + (t)  ) .

Seetõttu saame lemmast järelduse.

Tagajärg. Kui suvalise paljunemisprotsessi surma korral X(t) tingimus
, siis mis tahes
õiglane P( X(t)  ) = 1, st. protsess on lõppenud.

Lemma tõestuse leiab .

Ülesanded § 3 jaoks

3.1. Mõelge surma ja paljunemise protsessile, mille jaoks

Sellele protsessile vastav diagramm on vajalik.

3.2. Laske klientidel, kes soovivad telefoni teel abi saada, moodustada parameetriga kõige lihtsam voog. Las iga vestlus kestab - orienteeruv aeg. Lase X(t) on klientide arv süsteemis ajahetkel t. Joonistage protsessile vastav diagramm X(t).

3.3. Olgu ülesande 3.2 tingimustes

telefonis on mälu ühe kliendi jaoks: kui klient helistab ja telefon on hõivatud, aga telefoni mälu on vaba, siis pakub masin telefonitoru katkestamist ja kõne ootamist. Kui telefon on vaba, heliseb kell;

on automaatlüliti ja kaks telefoni, igal telefonil on oma operaator: kui kliendi kõne hetkel on vaba telefon, siis lüliti adresseerib kliendi automaatselt sellele telefonile;

lülitil (vt punkt 2) on mälu ühe kliendi jaoks;

igal telefonil (vt punkt 2) on mälu ühe kliendi jaoks.

Kõigi ülaltoodud juhtudel joonistage protsessile vastav diagramm X(t).

3.4. Tehke kindlaks, kas puhta paljunemise lõppprotsessid on järgmiste paljunemiskiirustega:

a)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

sisse)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Surma ja sigimise protsessile vastavad diferentsiaalvõrrandid

Teeskleme seda X(t) on surma- ja paljunemisprotsess tunnustega ja. Olgu mõned lõplikud arvud A ja B esineb ebavõrdsust  i  A + Bi, i= 0, 1, ...See tingimus tagab protsessi lõpu X(t). Sel juhul lepime kokku, et vasakpoolne ülemine nool jõuab igasse olekusse (isegi olekusse 0), samas kui sündimuskordaja λ võib olla võrdne nulliga (näiteks λ –1 = = 0); igast olekust on alumine nool vasakule ja surma intensiivsus μ võib olla ka null (näiteks λ –1 = 0). Diagrammi definitsiooni sellisel viisil laiendamine ei muuda asja olemust, kuid see on kasulik edasises arutluskäigus. Mõelge meie protsessile vastavale diagrammile X(t):

Tähistage nagu varemgi

P k (t) = P(X(t) = k), k = 0,1,…,

tõenäosus, et antud hetkel t klientide arv X(t) on võrdne k.

1. teoreem.OmadusedprotsessiX(t), mis on defineeritud ülal, rahuldab järgmist diferentsiaalvõrrandite süsteemi

kus k = 0,1,…, ja algtingimused

Pole kohatu selgitada, et esimene rida (millal k= 0) võrrandisüsteemil (1) on vorm

Tõestus. Tähistage P k ( t+Δ) = P(X(t+ Δ) = k).

Kasutame ühe muutuja funktsiooni tuletise definitsiooni:

.

Mõelge nendele sündmustele:

A 0 (t, Δ) = (intervallil [ t, t+Δ] protsess X(t) ei teinud ainsatki hüpet);

A 1 (t, Δ) = (intervallil [ t, t+Δ] protsess X(t) tegi täpselt ühe hüppe);

A 2 (t, Δ) = (intervallil [ t, t+Δ] protsess X(t) tegi kaks või enam hüpet).

Siis on selge, et

Tähistage edasi

; läbi
kolm eksponentsiaalset juhuslikku muutujat koos parameetritega
. Olgu kõik need kogused sõltumatud. Siis tõsi Siis on ilmne, et statsionaarne (stabiilne) režiim. P k (t) = P(praegu süsteemis t asub k kliendid).

Leia diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahendus, samuti statsionaarsed tõenäosused.

4.2. Surma ja paljunemise protsesside jaoks ülesandest 3.3 kirjutage välja tõenäosustega seotud diferentsiaalvõrrandid P k (t) = P(praegu süsteemis t asub k kliendid).

Leidke statsionaarsed tõenäosused.

TSMO põhiülesanne on luua seos QS-i sissepääsu juures olevate rakenduste voo olemuse, ühe kanali jõudluse, kanalite arvu ja teenuse tõhususe vahel.

Tõhususe kriteeriumina saab kasutada erinevaid funktsioone ja suurusi:

• keskmine süsteemi seisakuaeg;
• keskmine ooteaeg järjekorras;
• nõude järjekorras ootamise kestuse jaotusseadus;
• keskmine % tagasilükatud taotlustest; jne.

Kriteeriumi valik sõltub süsteemi tüübist. Näiteks, tõrgetega süsteemide jaoks peamine omadus on absoluutne läbilaskevõimeühine turukorraldus; vähem olulised kriteeriumid on hõivatud kanalite arv, ühe kanali keskmine suhteline jõudeaeg ja süsteem tervikuna. Kadudeta süsteemide jaoks(piiramatu ootamisega) kõige olulisemad on keskmine jõudeaeg järjekorras, keskmine päringute arv järjekorras, päringute keskmine viibimisaeg süsteemis, jõudetegur ja teenindava süsteemi koormustegur.

Kaasaegne TSMO on analüütiliste meetodite komplekt loetletud QS-tüüpide uurimiseks. Alljärgnevalt on kõigist üsna keerukatest ja huvitavatest järjekorraprobleemide lahendamise meetoditest välja toodud "surma ja paljunemise" tüüpi Markovi protsesside klassis kirjeldatud meetodid. See on tingitud asjaolust, et neid meetodeid kasutatakse kõige sagedamini tehniliste arvutuste praktikas.

2. Sündmuste voogude matemaatilised mudelid.

2.1. Regulaarsed ja juhuslikud vood.

QS-i organisatsiooni üks keskseid küsimusi on nende seaduspärasuste väljaselgitamine, mis valitsevad hetked, mil teenusenõuded süsteemi sisenevad. Kaaluge enim kasutatud matemaatilised mudelid sisendvood.

Definitsioon: Nõuete voogu nimetatakse homogeenseks, kui see vastab järgmistele tingimustele:

1. kõik voo rakendused on teenuse osas võrdsed;

voolu nõuete (sündmuste) asemel, mis oma olemuselt võivad olla erinevad, ainult nende saabumise ajal.

Definitsioon: Voogu nimetatakse regulaarseks, kui sündmused voos järgnevad üksteise järel rangete ajavahemike järel.

Funktsioon f (x) juhusliku suuruse T tõenäosusjaotuse tihedusest - sündmuste vaheline ajavahemik on kujul:

Kus - delta funktsioon, M t - matemaatiline ootus ja M t \u003d T, dispersioon Dm = 0 ja sündmuste toimumise intensiivsus voolus \u003d 1 / M t \u003d 1 / T.

Definitsioon: Voolu nimetatakse juhuslik kui selle sündmused toimuvad juhuslikel aegadel.

Juhuslikku voogu saab kirjeldada kui juhuslikku vektorit, mida, nagu teada, saab jaotusseadusega üheselt defineerida kahel viisil:

kus, zi- väärtused Ti(i=1,n),Sel juhul saab sündmuste toimumise hetked arvutada järgmiselt

t 1 \u003d t 0 +z1

t 2 \u003d t 1 + z2

………,

kus, t 0 - voolu alguse hetk.

2.2. Lihtsaim Poissoni vool.

Suure hulga rakendusülesannete lahendamiseks piisab, kui rakendada homogeensete voogude matemaatilisi mudeleid, mis vastavad statsionaarsuse nõuetele, ilma järelmõju ja tavalisuseta.

Definitsioon: Voolu nimetatakse statsionaarseks, kui esinemise tõenäosus nsündmused ajavahemikul (t,t + T) sõltuvad selle asukohast ajateljel t.

Definitsioon: Sündmuste voogu nimetatakse tavaliseks, kui kahe või enama sündmuse toimumise tõenäosus elementaarse ajaintervalli D jooksul ton lõpmata väike väärtus võrreldes ühe sündmuse toimumise tõenäosusega selles intervallis, s.t. juures n = 2,3,…

Definitsioon: Sündmuste voogu nimetatakse vool ilma tagajärgedeta, kui mittekattuvate ajavahemike puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv teisele langevate sündmuste arvust.

Definitsioon: Kui vool rahuldab statsionaarsuse, tavalisuse ja tagajärgedeta nõudeid, nimetatakse seda lihtsaim Poissoni vool.

On tõestatud, et kõige lihtsama voolu korral on arv nmis tahes intervallile z langevad sündmusedjaotatud vastavalt Poissoni seadusele:

(1)

Tõenäosus, et ajavahemikul z ei ilmu ühtegi sündmust, on võrdne:

(2)

siis on vastupidise sündmuse tõenäosus:

kus definitsiooni järgi P(T on tõenäosusjaotuse funktsioon T.Siit saame, et juhuslik suurus T on jaotatud vastavalt eksponentsiaalseadusele:

(3)

parameetrit nimetatakse voo tiheduseks. Enamgi veel,

Esimest korda ilmus kõige lihtsama voolumudeli kirjeldus sajandi alguse silmapaistvate füüsikute - A. Einsteini ja Yu. Smolukhovski Browni liikumisele pühendatud töödes.

2.3. Lihtsaima Poissoni voolu omadused.

Kõige lihtsamal voolul on kaks omadust, mida saab kasutada praktiliste ülesannete lahendamisel.

2.3.1. Tutvustame kogust a= X. Vastavalt Poissoni jaotuse omadustelesee kipub olema normaalne. Seetõttu saate suure a puhul P(X(a) arvutamiseks n-st väiksem või sellega võrdne), kus X(a) on Poissoni juhuslik muutuja ootusega a, kasutada järgmist ligikaudset võrdsust:

2.3.2. Veel üks lihtsaima voolu omadus on seotud järgmise teoreemiga:

Teoreem: Nõuete T vahelise ajaintervalli eksponentsiaalse jaotusega, olenemata sellest, kui kaua see kestis, on ülejäänud osal sama jaotusseadus.

Tõestus: olgu T jaotatud vastavalt eksponentsiaalseadusele: Oletame, et intervall a on kestnud juba mõnda aega a< T. Leiame intervalli T ülejäänud osa jaotuse tingimusliku seaduse 1 = T-a

Fa(x)=P(T-a x)

Tõenäosuse korrutamise teoreemi järgi:

P((T>a)(T-a z) P(T-a a)=P(T>a) F a (z).

Siit,

on samaväärne sündmusega a , mille puhul P(a ; teiselt poolt

P(T>a)=1-F(a), seega

Fa (x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))

Seega, võttes arvesse (3):

Sellel omadusel on ainult üks voolutüüp - kõige lihtsam Poisson.