Wynajmować a(x) oraz b(x) – b.m. funkcje w x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Rozważ granicę ich stosunku w x® a.

1. Jeśli = b oraz b- ostateczna liczba b¹ 0, to funkcje a(x), b(x) są nazywane nieskończenie małymi jeden rząd wielkości w x® a.

2. Jeśli = 0, to a(x) nazywa się nieskończenie małym wyższy porządek , Jak b(x) w x® a. Oczywiście w tym przypadku = ¥.

3. Jeśli a(x) – b.m. wyższy porządek niż b(x) i = b¹ 0 ( b- ostateczna liczba kÎ N ), następnie a(x) nazywa się nieskończenie małym k-ty rząd w porównaniu do b(x) w x® a.

4. Jeśli nie istnieje (ani skończony, ani nieskończony), to a(x), b(x) są nazywane niezrównany b.m. w x® a.

5. Jeśli = 1, to a(x), b(x) są nazywane równowartość b.m. w x® a, który jest oznaczony w następujący sposób: a(x) ~ b(x) w x® a.

Przykład 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Oczywiste jest, że w x® 1 funkcje a(x), b(x) są b.m. Aby je porównać, znajdujemy granicę ich stosunku przy x® 1:

Wniosek: a(x b(x) w x® 1.

Łatwo jest zweryfikować, że = (upewnij się!), skąd wynika, że a(x) – b.m. Trzeci rząd małości, w porównaniu do b(x) w x® 1.

Przykład 2. Funkcje a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = grzech x, a 4 (x) = tg x są nieskończenie małe dla x® 0. Porównaj je:

0, , = 1, = .

Stąd wnioskujemy, że a 2 (x) = x 2 - j.m. wyższy porządek niż a 1 (x) oraz a 3 (x) (w x® 0), a 1 (x) oraz a 3 (x) – b.m. jedno zamówienie, a 3 (x) oraz a 4 (x) są równoważne b.m., tj. grzech x~tg x w x® 0.

Twierdzenie 1. Wynajmować a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) w x® a. Jeśli istnieje , to istnieje i , oraz = .

Dowód. = 1, = 1,

= = .

To twierdzenie ułatwia znalezienie granic.

Przykład 3.

Odnaleźć .

Na mocy pierwszej godnej uwagi granicy grzechu4 x~ 4x, tg3 x~ 3x w x® 0, więc

Twierdzenie 2. Nieskończenie małe funkcje a(x) oraz b(x) są równoważne (dla x® a) wtedy i tylko wtedy gdy a(x) – b(x) jest b.m. wyższy porządek niż a(x) oraz b(x) (w x® a).

Dowód

Wynajmować a(x) ~ b(x) w x® a. Następnie = = 0, tj. różnica a(x) – b(x a(x) o godz x® a(podobny do b(x)).

Wynajmować a(x) – b(x) – b.m. wyższy porządek niż a(x) oraz b(x), pokażemy, że a(x) ~ b(x) w x® a:

= = + = 1,

Nieskończenie małe funkcje.

Kontynuujemy cykl szkoleń „limity dla manekinów”, który rozpoczął się artykułami Granice. Przykłady rozwiązań oraz Niezwykłe limity. Jeśli jest to Twój pierwszy raz na stronie, polecam również zapoznać się z lekcją Metody rozwiązywania limitów co znacznie poprawi twoją karmę studencką. W trzecim podręczniku rozważaliśmy nieskończone funkcje, ich porównanie, a teraz pora uzbroić się w lupę, aby po Krainie Gigantów zajrzeć do Krainy Lilliputów. Wakacje sylwestrowe spędziłam w kulturalnej stolicy i wróciłam do bardzo dobry humor, więc lektura zapowiada się szczególnie ciekawie.

W tym artykule omówimy szczegółowo nieskończenie małe funkcje, z którymi już się spotkałeś już wiele razy, oraz ich porównanie. Wiele zdarzeń jest ściśle związanych z niewidzialnymi zdarzeniami bliskimi zeru. cudowne granice, wspaniałe ekwiwalenty, a praktyczna część lekcji poświęcona jest głównie obliczaniu granic przy użyciu wspaniałych równoważności.

Nieskończenie małe funkcje. Porównanie nieskończenie małych

Co mogę powiedzieć ... Jeśli istnieje limit, funkcja jest wywoływana nieskończenie małe w punkcie.

Istotnym punktem twierdzenia jest fakt, że funkcja może być nieskończenie mała tylko w określonym punkcie .

Narysujmy znajomą linię:

Ta funkcja nieskończenie mały w jednym miejscu:
Należy zauważyć, że w punktach „plus nieskończoność” i „minus nieskończoność” ta sama funkcja będzie już nieskończenie duży: . Lub w bardziej zwięzłej notacji:

We wszystkich innych punktach granica funkcji będzie równa liczbie skończonej innej niż zero.

W ten sposób, nie ma takiej rzeczy jako „tylko nieskończenie mała funkcja” lub „tylko nieskończenie duża funkcja”. Funkcja może być nieskończenie mała lub nieskończenie duża tylko w określonym punkcie .

! Notatka : dla zwięzłości często mówię „funkcja nieskończenie mała”, co oznacza, że ​​w danym punkcie jest nieskończenie mała.

Takich punktów może być kilka, a nawet nieskończenie wiele. Narysujmy jakąś nieustraszoną parabolę:

Przedstawiona funkcja kwadratowa jest nieskończenie mała w dwóch punktach – w „jednym” i w „dwóch”:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, w nieskończoności ta funkcja jest nieskończenie duża:

Znaczenie podwójnych znaków :

Notacja oznacza, że ​​przy i przy .

Notacja oznacza, że ​​zarówno at , jak i at .
Komentowana zasada "odszyfrowywania" podwójnych znaków obowiązuje nie tylko dla nieskończoności, ale także dla dowolnych punktów końcowych, funkcji i szeregu innych obiektów matematycznych.

A teraz sinus. To jest przykład, w którym funkcja nieskończenie mały w nieskończonej liczbie punktów:

Rzeczywiście, sinusoida „miga” oś x przez każde „pi”:

Zauważ, że funkcja jest ograniczona od góry/od dołu i nie ma takiego punktu, w którym byłaby nieskończenie duży, sinus może tylko lizać usta w nieskończoności.

Pozwól, że odpowiem na kilka prostych pytań:

Czy funkcja może być nieskończenie mała w nieskończoności?

Oczywiście. Takie przypadki wózka i małego wózka.
Podstawowy przykład: . Nawiasem mówiąc, geometryczne znaczenie tej granicy jest zilustrowane w artykule Wykresy i własności funkcji.

Czy funkcja NIE może być nieskończenie mała?
(W każdym punkcie domeny)

TAk. Oczywistym przykładem jest funkcja kwadratowa, której wykres (parabola) nie przecina osi. Nawiasem mówiąc, odwrotne stwierdzenie generalnie nie jest prawdziwe - hiperbola z poprzedniego pytania, chociaż nie przecina osi x, ale nieskończenie mały w nieskończoności.

Porównanie funkcji nieskończenie małych

Zbudujmy sekwencję, która dąży do zera i obliczmy kilka wartości trójmianu:

Oczywiste jest, że wraz ze spadkiem wartości x funkcja szybciej od wszystkich innych ucieka do zera (jej wartości są zakreślone na czerwono). Mówią, że funkcja niż funkcja , jak również wyższy rząd małości, Jak . Ale szybkie bieganie w Krainie Lilliputów nie jest męstwem, „ton nadaje” najwolniej poruszający się krasnolud, który jak na szefa przystało, najwolniej schodzi do zera. To zależy od niego jak szybko suma zbliży się do zera:

Mówiąc obrazowo, nieskończenie mała funkcja „absorbuje” wszystko inne, co szczególnie dobrze widać w końcowym wyniku trzeciego wiersza. Czasami tak mówią niższy rząd małości, Jak i ich sumę.

W rozważanym limicie wszystko to oczywiście nie ma znaczenia, ponieważ wynik nadal wynosi zero. Jednak „karły wagi ciężkiej” zaczynają grać na zasadzie ważna rola w ułamkach. Zacznijmy od przykładów, które, choć rzadkie, można znaleźć w prawdziwym życiu. praktyczna praca:

Przykład 1

Oblicz limit

Jest tu niepewność i lekcja wprowadzająca o Funkcje przypominamy ogólną zasadę ujawniania tej niepewności: musisz rozłożyć licznik i mianownik na czynniki, a następnie coś zredukować:

W pierwszym kroku usuwamy nawiasy kwadratowe w liczniku i „x” w mianowniku. W drugim kroku zmniejszamy licznik i mianownik o „x”, eliminując w ten sposób niepewność. Wskazujemy, że pozostałe „X” dążą do zera i otrzymujemy odpowiedź.

W limicie bajgiel okazał się więc funkcją licznika wyższy rząd małości niż funkcja mianownika. Lub krócej: . Co to znaczy? Licznik dąży do zera szybciej niż mianownik, dlatego wynik wynosi zero.

Jak w przypadku nieskończone funkcje, odpowiedź może być znana z góry. Odbiór jest podobny, ale różni się tym, że w liczniku i mianowniku musisz MENTALNIE odrzucić wszystkie terminy z SENIOR stopni, ponieważ, jak wspomniano powyżej, powolne karły mają decydujące znaczenie:

Przykład 2

Oblicz limit

Zero do zera…. Znajdźmy od razu odpowiedź: odrzuć wszystko MENTALNIE starszy wyrazy (szybkie karły) licznika i mianownika:

Algorytm rozwiązania jest dokładnie taki sam jak w poprzednim przykładzie:

W tym przykładzie mianownik wyższego rzędu małości niż licznik. Gdy wartości x spadają, najwolniejszy krasnal licznika (i całego limitu) staje się prawdziwym potworem w stosunku do swojego szybszego przeciwnika. Na przykład, jeśli , to - już 40 razy więcej.... jeszcze nie potwór oczywiście z daną wartością "x", ale taki już jest temat z dużym piwnym brzuszkiem.

I bardzo prosty limit demo:

Przykład 3

Oblicz limit

Znajdziemy odpowiedź odrzucając wszystko MENTALNIE starszy terminy licznika i mianownika:

My decydujemy:

Wynik jest liczbą skończoną. Właściciel licznika jest dokładnie dwa razy grubszy od szefa mianownika. Jest to sytuacja, w której licznik i mianownik jeden rząd wielkości.

W rzeczywistości porównanie funkcji nieskończenie małych od dawna pojawiało się w poprzednich lekcjach:
(Przykładowa lekcja nr 4 Granice. Przykłady rozwiązań);
(Przykładowa lekcja nr 17 Metody rozwiązywania limitów) itp.

Przypominam jednocześnie, że „x” może zmierzać nie tylko do zera, ale także do dowolnej liczby, a także do nieskończoności.

Co jest fundamentalnie ważne we wszystkich rozważanych przykładach?

po pierwsze, granica musi w ogóle istnieć w danym punkcie. Na przykład nie ma limitu. Jeżeli , to funkcja licznika nie jest zdefiniowana w punkcie „plus nieskończoność” (pod pierwiastkiem otrzymujemy nieskończenie duży liczba ujemna). Podobne, wydawałoby się, pretensjonalne przykłady można znaleźć w praktyce: bez względu na to, jak nieoczekiwane, tutaj jest również porównanie nieskończenie małych funkcji i niepewności „zera do zera”. Rzeczywiście, jeśli , to . …Rozwiązanie? Pozbywamy się ułamka czteropiętrowego, uzyskujemy niepewność i otwieramy ją standardową metodą.

Być może początkujący, którzy odkrywają granice, są wiercone pytaniem: „Jak to? Niepewność wynosi 0:0, ale nie można dzielić przez zero! Całkiem dobrze, nie możesz. Rozważmy ten sam limit. Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie „zero”. Ale to, ogólnie rzecz biorąc, nie jest wymagane. ważny aby funkcja istniała W DOWOLNYM MIEJSCU nieskończenie blisko zera punkt (a ściślej, w dowolnym) nieskończenie małe sąsiedztwo zero).

NAJWAŻNIEJSZA CECHY LIMITU JAKO KONCEPCJA

czy to "x" nieskończenie blisko zbliża się do pewnego punktu, ale „nie ma obowiązku tam jechać”! Oznacza to istnienie granicy funkcji w punkcie bez znaczenia czy sama funkcja jest tam zdefiniowana, czy nie. Więcej na ten temat przeczytasz w artykule. Granice Cauchyego, ale na razie wróćmy do tematu dzisiejszej lekcji:

Po drugie, funkcje licznika i mianownika muszą być nieskończenie małe w danym punkcie. Na przykład limit pochodzi z zupełnie innego zespołu, tutaj funkcja licznika nie dąży do zera: .

Systematyzujemy informacje dotyczące porównywania funkcji nieskończenie małych:

Wynajmować - nieskończenie małe funkcje w punkcie(tj. w ) i istnieje granica ich stosunków . Następnie:

1) Jeśli , to funkcja wyższy rząd małości, Jak .
Najprostszy przykład: , czyli funkcja sześcienna wyższego rzędu małości niż funkcja kwadratowa.

2) Jeśli , to funkcja wyższy rząd małości, Jak .
Najprostszy przykład: , czyli funkcja kwadratowa wyższego rzędu małości niż funkcja liniowa.

3) Jeśli , gdzie jest niezerową stałą, to funkcje mają ten sam rząd wielkości.
Najprostszy przykład: , innymi słowy, krasnolud dobiega do zera dokładnie dwa razy wolniej niż , a „odległość” między nimi pozostaje stała.

Najciekawszy przypadek to kiedy . Takie funkcje nazywają się nieskończenie mały równowartość Funkcje.

Zanim podamy elementarny przykład, porozmawiajmy o samym terminie. Równorzędność. To słowo było już używane na zajęciach. Metody rozwiązywania limitów, w innych artykułach i spotka się więcej niż raz. Czym jest równoważność? Istnieje matematyczna definicja równoważności, logiczna, fizyczna itp., ale spróbujmy zrozumieć samą istotę.

Równoważność jest równoważnością (lub równoważnością) pod pewnym względem. Czas rozciągnąć mięśnie i odpocząć od wyższej matematyki. Na dworze jest teraz dobry styczniowy mróz, więc bardzo ważne jest, aby dobrze się rozgrzać. Proszę iść na korytarz i otworzyć szafę z ubraniami. Wyobraź sobie, że wiszą tam dwa identyczne kożuchy, które różnią się tylko kolorem. Jeden jest pomarańczowy, drugi fioletowy. Pod względem właściwości ocieplających te kożuchy są równoważne. Zarówno w pierwszym, jak iw drugim kożuchu będzie ci jednakowo ciepło, to znaczy wybór jest równoznaczny z tym, w co się ubrać na pomarańczowo, a co fioletowo - bez wygranej: „jeden do jednego równa się jeden”. Ale z punktu widzenia bezpieczeństwa na drodze kożuchy nie są już równoważne – kolor pomarańczowy jest lepiej widoczny dla kierowców pojazdów,… a patrol się nie zatrzyma, bo z właścicielką takich ubrań wszystko jest jasne . W związku z tym możemy założyć, że kożuchy „jednego rzędu małości”, względnie „pomarańczowy kożuch” są dwa razy „bezpieczniejsze” niż „fioletowe kożuchy” („co jest gorsze, ale także zauważalne w ciemności ”). A jeśli wyjdziesz na mróz w jednej kurtce i skarpetkach, to różnica będzie już kolosalna, więc kurtka i kożuch są „innego rzędu małości”.

… zashib, musisz opublikować na Wikipedii z linkiem do tej lekcji =) =) =)

Oczywisty przykład nieskończenie małych równoważnych funkcji jest ci znany - są to funkcje pierwszy niezwykły limit .

Podajmy geometryczną interpretację pierwszej niezwykłej granicy. Wykonajmy rysunek:

Cóż, silna męska przyjaźń wykresów jest widoczna nawet gołym okiem. ALE ich własna matka ich nie rozróżni. Zatem jeśli , to funkcje są nieskończenie małe i równoważne. A jeśli różnica jest znikoma? Wtedy w limicie sinus powyżej może być zastąpić"x": lub „x” pod sinusem: . W rzeczywistości okazało się, że jest to geometryczny dowód pierwszej niezwykłej granicy =)

Podobnie, przy okazji, można zilustrować jakakolwiek wspaniała granica, który jest równy jeden.

! Uwaga! Równoważność obiektów nie oznacza tych samych obiektów! Pomarańczowe i fioletowe kożuchy są odpowiednikami ciepłych, ale są to różne kożuchy. Funkcje są praktycznie nie do odróżnienia w pobliżu zera, ale są to dwie różne funkcje.

Przeznaczenie: równoważność jest oznaczona tyldą.
Na przykład: - "sinus x jest równoważny x", jeśli .

Z powyższego wynika bardzo ważny wniosek: jeśli dwie nieskończenie małe funkcje są równoważne, to jedną można zastąpić drugą. Ta technika jest szeroko stosowana w praktyce, a teraz zobaczymy, jak:

Niezwykłe równoważności w obrębie

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, będziesz potrzebować niezwykła tabela równoważności. Student nie żyje jako jeden wielomian, więc pole dalszej działalności będzie bardzo szerokie. Najpierw, posługując się teorią nieskończenie małych funkcji równoważnych, przytaczamy przykłady z pierwszej części lekcji Niezwykłe granice. Przykłady rozwiązań, w którym stwierdzono następujące limity:

1) Rozwiążmy granicę. Zamieńmy nieskończenie małą funkcję licznika na równoważną nieskończenie małą funkcję :

Dlaczego ta zamiana jest możliwa? dlatego nieskończenie blisko zera wykres funkcji prawie pokrywa się z wykresem funkcji.

W tym przykładzie użyliśmy równoważności tabeli gdzie . Wygodne jest, że nie tylko „x”, ale także złożona funkcja może pełnić rolę parametru „alfa”, który dąży do zera.

2) Znajdźmy granicę. W mianowniku używamy tej samej równoważności , w tym przypadku :

Należy pamiętać, że sinus był pierwotnie pod kwadratem, więc w pierwszym kroku konieczne jest również umieszczenie go w całości pod kwadratem.

Nie zapomnij o teorii: w pierwszych dwóch przykładach otrzymuje się liczby skończone, co oznacza, że liczniki i mianowniki tego samego rzędu małości.

3) Znajdź limit. Zamieńmy nieskończenie małą funkcję licznika na funkcję równoważną , gdzie :

Tutaj licznik wyższego rzędu małości niż mianownik. Lilliput (i jego odpowiednik karzeł) osiąga zero szybciej niż .

4) Znajdź limit. Zastąpmy nieskończenie małą funkcję licznika funkcją równoważną , gdzie :

A tutaj wręcz przeciwnie, mianownik wyższy rząd małości niż licznik, karzeł ucieka do zera szybciej niż karzeł (i jego odpowiednik).

Czy w praktyce należy używać wspaniałych ekwiwalentów? Powinno, ale nie zawsze. Tak więc rozwiązanie niezbyt złożonych granic (takich jak te właśnie rozważane) jest niepożądane, aby można je było rozwiązać za pomocą niezwykłych równoważności. Możesz zostać wyrzucony za hacki i zmuszony do rozwiązania ich w standardowy sposób przy użyciu wzorów trygonometrycznych i pierwszej wspaniałej granicy. Jednak za pomocą danego narzędzia bardzo korzystne jest sprawdzenie rozwiązania lub nawet natychmiastowe znalezienie prawidłowej odpowiedzi. Charakterystyczny przykład nr 14 lekcji Metody rozwiązywania limitów:

Na czystej kopii wskazane jest sporządzenie dość dużego kompletnego rozwiązania ze zmianą zmiennej. Ale gotowa odpowiedź leży na powierzchni - mentalnie używamy równoważności: .

Jeszcze raz geometryczne znaczenie: dlaczego w liczniku można zastąpić funkcję funkcją ? Nieskończenie blisko zera ich wykresy można odróżnić tylko pod potężnym mikroskopem.

Oprócz sprawdzenia rozwiązania cudowne równoważności są używane w dwóch kolejnych przypadkach:

– gdy przykład jest dość skomplikowany lub w zwykły sposób nierozstrzygalny;
– gdy godne uwagi równoważności muszą być zastosowane według warunku.

Rozważmy bardziej znaczące zadania:

Przykład 4

Znajdź granicę

Niepewność od zera do zera jest na porządku dziennym, a sytuacja jest na granicy: decyzję można podjąć w standardowy sposób, ale będzie wiele przekształceń. Z mojego punktu widzenia całkiem właściwe jest tutaj użycie wspaniałych ekwiwalentów:

Zastąpmy nieskończenie małe funkcje funkcjami równoważnymi. Na :

To wszystko!

Jedyny niuans techniczny: początkowo styczna była podniesiona do kwadratu, więc po zastąpieniu argument musi być również podniesiony do kwadratu.

Przykład 5

Znajdź granicę

Ten limit można rozwiązać za pomocą formuł trygonometrycznych i cudowne granice, ale rozwiązanie znów nie będzie zbyt przyjemne. Jest to przykład do samodzielnego rozwiązania, bądź szczególnie ostrożny podczas przeliczania licznika. Jeśli istnieje pomyłka z uprawnieniami, przedstaw to jako produkt:

Przykład 6

Znajdź granicę

Ale to już trudny przypadek, kiedy bardzo trudno jest przeprowadzić rozwiązanie w standardowy sposób. Używamy wspaniałych odpowiedników:

Zamieńmy nieskończenie małe na równoważne. Na :

Uzyskuje się nieskończoność, co oznacza, że ​​mianownik jest mniejszego rzędu niż licznik.

Praktyka przebiegła szybko bez odzieży wierzchniej =)

Przykład 7

Znajdź granicę

To jest przykład zrób to sam. Zastanów się, jak poradzić sobie z logarytmem ;-)

Nierzadko można zobaczyć niezwykłe równoważności stosowane w połączeniu z innymi metodami rozwiązywania granic:

Przykład 8

Znajdź granicę funkcji używając równoważnych nieskończenie małych i innych przekształceń

Należy zauważyć, że należy tu zastosować niezwykłe równoważności warunkowe.

My decydujemy:

W pierwszym kroku używamy niezwykłych równoważności. Na :

Z sinusem wszystko jest jasne: . Co zrobić z logarytmem? Przedstawiamy logarytm w postaci i stosujemy równoważność . Jak widać, w tym przypadku

W drugim kroku stosujemy technikę omówioną na lekcji

Czym są nieskończone małe funkcje

Jednak funkcja może być nieskończenie mała tylko w określonym punkcie. Jak pokazano na rysunku 1, funkcja jest nieskończenie mała tylko w punkcie 0.

Rysunek 1. Nieskończenie mała funkcja

Jeśli granica ilorazu dwóch funkcji daje 1, mówi się, że funkcje są równoważne nieskończenie małe, gdy x zbliża się do a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definicja

Jeśli funkcje f(x), g(x) są nieskończenie małe dla $x > a$, to:

• Funkcja f(x) jest nazywana nieskończenie małym wyższym rzędem względem g(x), jeśli spełniony jest następujący warunek:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą rzędu n względem g(x), jeśli jest różna od 0 i granica jest skończona:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Przykład 1

Funkcja $y=x^3$ jest nieskończenie małym wyższym rzędem dla x>0, w porównaniu z funkcją y=5x, ponieważ granica ich stosunku wynosi 0, tłumaczy się to tym, że funkcja $y=x ^3$ ma tendencję do szybszego zerowania wartości:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 )x=0\]

Przykład 2

Funkcje y=x2-4 i y=x2-5x+6 są nieskończenie małe tego samego rzędu dla x>2, ponieważ granica ich stosunku nie jest równa 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ to 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Własności równoważnych nieskończenie małych

1. Różnica dwóch równoważnych nieskończenie małych jest nieskończenie mała wyższego rzędu w odniesieniu do każdego z nich.
2. Jeśli odrzucimy nieskończenie małe wyższe rzędy z sumy kilku nieskończenie małych różnych rzędów, to pozostała część, zwana częścią główną, jest równoważna całej sumie.

Z pierwszej własności wynika, że ​​równoważne nieskończenie małe mogą być w przybliżeniu równe z arbitralnie małym błędem względnym. Dlatego znak ≈ służy zarówno do oznaczenia równoważności nieskończenie małych, jak i do zapisania przybliżonej równości ich dostatecznie małych wartości.

Przy znajdowaniu granic bardzo często konieczne jest zastosowanie zmiany funkcji równoważnych dla szybkości i wygody obliczeń. Tabela równoważnych nieskończenie małych jest przedstawiona poniżej (Tabela 1).

Równoważność nieskończenie małych podanych w tabeli można udowodnić na podstawie równości:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Przykład 3

Udowodnijmy równoważność nieskończenie małych ln(1+x) ix.

Dowód:

1. Znajdź granicę stosunku ilości
\[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. W tym celu korzystamy z własności logarytmu:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Wiedząc, że funkcja logarytmiczna jest ciągła w swojej dziedzinie definicji, możesz zamienić znak granicy i funkcję logarytmiczną:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ prawo)\]
4. Ponieważ x jest nieskończenie małą wartością, granica dąży do 0. A więc:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\do a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ po prawej)=\ln e=1\]

(zastosował drugi znaczący limit)

Test

Dyscyplina: Matematyka wyższa

Temat: Limity. Porównanie nieskończenie małych

1. Limit ciągu liczb

2. Ograniczenie funkcji

3. Drugi znaczący limit

4. Porównanie nieskończenie małych wielkości

Literatura

1. Limit ciągu liczb

Rozwiązanie wielu problemów matematycznych i stosowanych prowadzi do ciągu liczb podanych w określony sposób. Poznajmy niektóre z ich właściwości.

Definicja 1.1. Jeśli każda liczba naturalna

zgodnie z pewnym prawem liczba rzeczywista jest umieszczana w korespondencji, a następnie zbiór liczb nazywa się ciągiem liczbowym.

Na podstawie Definicji 1 jasno widać, że ciąg liczbowy zawsze zawiera nieskończoną liczbę elementów. Badanie różnych ciągów liczbowych pokazuje, że wraz ze wzrostem liczby ich członkowie zachowują się inaczej. Mogą rosnąć lub maleć w nieskończoność, mogą stale zbliżać się do pewnej liczby lub w ogóle nie wykazywać żadnej regularności.

Definicja 1.2. Numer

nazywamy granicą ciągu liczbowego, jeśli dla dowolnej liczby istnieje taki numer ciągu liczbowego, w zależności od tego, że warunek jest spełniony dla wszystkich liczb ciągu liczbowego.

Sekwencja mająca granicę nazywana jest zbieżną. W takim przypadku napisz

.

Oczywiście, aby wyjaśnić kwestię zbieżności ciągu liczbowego, konieczne jest posiadanie kryterium, które opierałoby się tylko na właściwościach jego elementów.

Twierdzenie 1.1.(Twierdzenie Cauchy'ego o zbieżności ciągu liczbowego). Aby ciąg liczb był zbieżny, konieczne i wystarczające jest, aby dla dowolnej liczby

istniał taki numer porządkowy w zależności od tego, że dla dowolnych dwóch liczb ciągu liczbowego i spełniających warunek i , nierówność byłaby prawdziwa.

Dowód. Potrzebować. Podaje się, że ciąg liczbowy

jest zbieżny, co oznacza, że ​​zgodnie z definicją 2 ma granicę . Wybierzmy jakiś numer. Wówczas zgodnie z definicją granicy ciągu liczbowego istnieje taki numer ciągu , że dla wszystkich liczb nierówność jest spełniona. Ale ponieważ jest to arbitralne, spełni się i . Weźmy dwie liczby sekwencyjne i , a następnie .

Stąd wynika, że

, to znaczy konieczność jest udowodniona.

Adekwatność. Jeśli się uwzględni

. Istnieje więc liczba taka, że ​​dla danego warunku i . W szczególności, jeśli , i , to lub pod warunkiem, że . Oznacza to, że sekwencja liczbowa for jest ograniczona. Dlatego przynajmniej jeden z jego podciągów musi być zbieżny. Wynajmować . Udowodnijmy, że zbiega się również.

Weźmy arbitralny

. Wtedy, zgodnie z definicją granicy, istnieje taka liczba, że ​​nierówność obowiązuje dla wszystkich . Z drugiej strony przez warunek podaje się, że ciąg ma taką liczbę, że dla wszystkich i warunek zostanie spełniony. i napraw kilka. Wtedy za wszystko otrzymujemy: .

Stąd wynika, że