Mayli a(x) va b(x) – b.m. da ishlaydi x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0 , …). da ularning nisbati chegarasini ko'rib chiqing x® a.

1. Agar = b va b- yakuniy raqam b¹ 0, keyin funksiyalar a(x), b(x) cheksiz kichik deb ataladi bir kattalik tartibi da x® a.

2. Agar = 0 bo'lsa, u holda a(x) cheksiz kichik deb ataladi yuqori tartib , Qanday b(x) da x® a. Shubhasiz, bu holda = ¥.

3. Agar a(x) – b.m. dan yuqori tartib b(x), va = b¹ 0 ( b- yakuniy raqam kÎ N ), keyin a(x) cheksiz kichik deb ataladi k-nchi tartib bilan solishtirganda b(x) da x® a.

4. Agar mavjud bo'lmasa (na chekli, na cheksiz), u holda a(x), b(x) deyiladi tengsiz b.m. da x® a.

5. Agar = 1 bo'lsa, u holda a(x), b(x) deyiladi ekvivalent b.m. da x® a, bu quyidagicha belgilanadi: a(x) ~ b(x) da x® a.

1-misol. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Ko'rinib turibdiki, da x® 1 funktsiyalari a(x), b(x) b.m. Ularni solishtirish uchun ularning nisbati chegarasini topamiz x® 1:

Xulosa: a(x b(x) da x® 1.

Bu = (ishonch hosil qiling!) ni tekshirish oson, shundan kelib chiqadi a(x) – b.m. ga nisbatan kichiklikning 3-tartibi b(x) da x® 1.

2-misol. Funksiyalar a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = gunoh x, a 4 (x) = tg x uchun cheksiz kichikdir x® 0. Ularni solishtiring:

0, , = 1, = ¥.

Shunday qilib, biz xulosa qilamiz a 2 (x) = x 2 - p.m. dan yuqori tartib a 1 (x) va a 3 (x) (da x® 0), a 1 (x) va a 3 (x) – b.m. bitta buyurtma, a 3 (x) va a 4 (x) ekvivalent b.m., ya'ni. gunoh x~tg x da x® 0.

Teorema 1. Mayli a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) da x® a. Agar mavjud bo'lsa, u holda mavjud va , va = .

Isbot. = 1, = 1,

= = .

Bu teorema chegaralarni topishni osonlashtiradi.

3-misol.

Toping.

Sin4ning birinchi ajoyib chegarasi tufayli x~ 4x, tg3 x~ 3x da x® 0, shuning uchun

Teorema 2. Cheksiz kichik funktsiyalar a(x) va b(x) ekvivalentdir (uchun x® a) agar va faqat agar a(x) – b(x) b.m. dan yuqori tartib a(x) va b(x) (da x® a).

Isbot

Mayli a(x) ~ b(x) da x® a. Keyin = = 0, ya'ni. farq a(x) – b(x a(x) da x® a(o'xshash b(x)).

Mayli a(x) – b(x) – b.m. dan yuqori tartib a(x) va b(x), biz buni ko'rsatamiz a(x) ~ b(x) da x® a:

= = + = 1,

Cheksiz kichik funktsiyalar.

Maqolalar bilan ochilgan "Dummies uchun chegaralar" o'quv tsiklini davom ettiramiz Cheklovlar. Yechim misollari va Ajoyib chegaralar. Agar bu saytga birinchi marta kirayotgan bo'lsangiz, darsni ham o'qishni tavsiya qilaman Cheklovlarni yechish usullari bu sizning talaba karmangizni sezilarli darajada yaxshilaydi. Uchinchi qo'llanmada biz ko'rib chiqdik cheksiz funktsiyalar, ularning taqqoslashi va endi o'zingizni kattalashtiruvchi stakan bilan qurollantirish vaqti keldi, shunda Gigantlar mamlakatidan keyin Lilliputlar mamlakatiga qarang. Men Yangi yil bayramlarini madaniyat poytaxtida o'tkazdim va juda ko'p vaqtga qaytdim yaxshi kayfiyat, shuning uchun o'qish ayniqsa qiziqarli bo'lishni va'da qiladi.

Ushbu maqolada batafsil muhokama qilinadi cheksiz kichik funktsiyalar, ular bilan siz allaqachon ko'p marta duch kelgansiz va ularni taqqoslash. Ko'pgina hodisalar nolga yaqin ko'rinmas hodisalar bilan chambarchas bog'liq. ajoyib chegaralar, ajoyib ekvivalentlar, va darsning amaliy qismi asosan ajoyib ekvivalentliklardan foydalangan holda chegaralarni hisoblashga bag'ishlangan.

Cheksiz kichik funktsiyalar. Cheksiz kichiklarni solishtirish

Nima deyishim mumkin ... Agar chegara bo'lsa, u holda funktsiya chaqiriladi bir nuqtada cheksiz kichik.

Tasdiqlashning muhim jihati shundaki funktsiya cheksiz kichik bo'lishi mumkin faqat ma'lum bir nuqtada .

Keling, tanish chiziq chizamiz:

Bu funksiya cheksiz kichik bir nuqtada:
Shuni ta'kidlash kerakki, "ortiqcha cheksizlik" va "minus cheksizlik" nuqtalarida xuddi shu funktsiya allaqachon bo'ladi. cheksiz katta: . Yoki ixchamroq yozuvda:

Boshqa barcha nuqtalarda funktsiya chegarasi noldan boshqa chekli songa teng bo'ladi.

Shunday qilib, bunday narsa yo'q"shunchaki cheksiz kichik funktsiya" yoki "shunchaki cheksiz katta funktsiya" sifatida. Funktsiya cheksiz kichik yoki cheksiz katta bo'lishi mumkin faqat ma'lum bir nuqtada .

! Eslatma : qisqalik uchun men ko'pincha "cheksiz kichik funktsiya" ni aytaman, ya'ni u ko'rib chiqilayotgan nuqtada cheksiz kichikdir.

Bunday nuqtalar bir nechta yoki hatto cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Keling, qandaydir qo'rqmas parabolani chizamiz:

Taqdim etilgan kvadrat funktsiya ikki nuqtada cheksiz kichik - "bir" va "ikki" nuqtada:

Oldingi misolda bo'lgani kabi, abadiylikda bu funksiya cheksiz katta:

Ikkilamchi belgilarning ma'nosi :

Belgilanish da , va da ni bildiradi.

Belgilanish ham , ham da ni bildiradi.
Sharhlangan qo'sh belgilarni "deshifrlash" tamoyili nafaqat cheksizliklar uchun, balki har qanday so'nggi nuqtalar, funktsiyalar va boshqa bir qator matematik ob'ektlar uchun ham amal qiladi.

Va endi sinus. Bu funktsiyaga misol cheksiz kichik cheksiz sonli nuqtalarda:

Darhaqiqat, sinusoid har bir "pi" orqali x o'qini "miltillaydi":

E'tibor bering, funktsiya yuqoridan/pastdan chegaralangan va u bo'ladigan nuqta yo'q cheksiz katta, sinus faqat cheksizlikda lablarini yalashi mumkin.

Keling, bir nechta oddiy savollarga javob beraman:

Funktsiya cheksizda cheksiz kichik bo'lishi mumkinmi?

Albatta. Arava va kichik aravaning bunday misollari.
Boshlang'ich misol: . Aytgancha, ushbu chegaraning geometrik ma'nosi maqolada tasvirlangan Funksiyalarning grafiklari va xossalari.

Funktsiya cheksiz kichik bo'lishi mumkinmi?
(har qanday nuqtada domenlar)

Ha. Aniq misol grafigi (parabola) o'qni kesib o'tmaydigan kvadratik funktsiyadir. Aytgancha, qarama-qarshi bayonot umuman to'g'ri emas - oldingi savoldagi giperbola, garchi u x o'qini kesib o'tmasa ham, lekin cheksiz kichik cheksizlikda.

Cheksiz kichik funksiyalarni solishtirish

Keling, nolga moyil bo'lgan ketma-ketlikni tuzamiz va trinomialning bir nechta qiymatlarini hisoblaymiz:

Ko'rinib turibdiki, x qiymatlarining pasayishi bilan funktsiya boshqalarga qaraganda tezroq nolga o'tadi (uning qiymatlari qizil rang bilan chizilgan). Ular funktsiyadan ko'ra funktsiya deyishadi , va yana kichiklikning yuqori tartibi, Qanday . Ammo Lilliputlar mamlakatida tez yugurish jasorat emas, "ohang" eng sekin harakatlanuvchi mitti tomonidan belgilanadi, u xo'jayinga yarasha, hammadan sekin nolga tushadi. Bu unga bog'liq qanchalik tez yig'indisi nolga yaqinlashadi:

Majoziy ma'noda, cheksiz kichik funktsiya qolgan hamma narsani "singdiradi", bu ayniqsa uchinchi qatorning yakuniy natijasida yaxshi ko'rinadi. Ba'zan shunday deyishadi kichiklikning pastki tartibi, Qanday va ularning yig'indisi.

Ko'rib chiqilgan chegarada bularning barchasi, albatta, muhim emas, chunki natija hali ham nolga teng. Biroq, "og'ir vaznli midgets" printsipial ravishda o'ynashni boshlaydi muhim rol kasrlar ichida. Keling, hayotda kamdan-kam uchraydigan misollardan boshlaylik. amaliy ish:

1-misol

Limitni hisoblash

Bu erda noaniqlik mavjud va kirish darsi haqida funktsiyalari biz ushbu noaniqlikni oshkor qilishning umumiy tamoyilini eslaymiz: siz hisoblagich va maxrajni omillarga ajratishingiz kerak, keyin esa biror narsani kamaytirishingiz kerak:

Birinchi bosqichda biz hisoblagichdagi qavslarni va maxrajdagi "x" ni chiqaramiz. Ikkinchi bosqichda biz numerator va denominatorni "x" ga kamaytiramiz, shu bilan noaniqlikni yo'q qilamiz. Biz qolgan "X" ning nolga moyilligini ko'rsatamiz va biz javob olamiz.

Limitda simit, shuning uchun hisoblagich funktsiyasi paydo bo'ldi kichiklikning yuqori tartibi maxraj funktsiyasidan ko'ra. Yoki qisqaroq: . Bu nima degani? Numerator nolga intiladi Tezroq maxrajdan ko'ra, shuning uchun natija nolga teng.

Vaziyatda bo'lgani kabi cheksiz funktsiyalar, javobni oldindan bilish mumkin. Qabul qilish o'xshash, ammo farqi shundaki, hisoblagich va maxrajda siz barcha shartlarni aqliy ravishda bekor qilishingiz kerak. OTA daraja, chunki yuqorida aytib o'tilganidek, sekin mittilar hal qiluvchi ahamiyatga ega:

2-misol

Limitni hisoblash

Noldan nolga…. Keling, darhol javobni bilib olaylik: hamma narsani aqliy ravishda tashlang oqsoqol hisob va maxrajning shartlari (tezkor mittilar):

Yechim algoritmi avvalgi misoldagi bilan bir xil:

Ushbu misolda hisoblagichga nisbatan kichiklikning yuqori tartibidagi maxraj. X qiymatlari pasayganda, hisoblagichning eng sekin mittisi (va butun chegara) tezroq raqibiga nisbatan haqiqiy yirtqich hayvonga aylanadi. Masalan, agar , keyin - allaqachon 40 barobar ko'p .... hali yirtqich hayvon emas, albatta, berilgan "x" qiymati bilan, lekin bunday allaqachon katta pivo qorin bilan mavzu.

Va juda oddiy demo chegarasi:

3-misol

Limitni hisoblash

Javobni biz hamma narsani aqliy ravishda tashlab, bilib olamiz oqsoqol son va maxraj atamalari:

Biz qaror qilamiz:

Natijada chekli son. Numeratorning egasi maxraj boshlig'idan ikki barobar qalinroq. Bu raqam va maxraj bo'lgan holat bir kattalik tartibi.

Aslida, cheksiz kichik funktsiyalarni taqqoslash avvalgi darslarda allaqachon paydo bo'lgan:
(4-darsga misol Cheklovlar. Yechim misollari);
(Misol № 17 dars Cheklovlarni yechish usullari) va hokazo.

Ayni paytda eslatib o'tamanki, "x" nafaqat nolga, balki ixtiyoriy songa ham, cheksizlikka ham moyil bo'lishi mumkin.

Ko'rib chiqilgan barcha misollarda nima muhim?

Birinchidan, chegara ma'lum bir nuqtada umuman mavjud bo'lishi kerak. Masalan, chegara yo'q. Agar bo'lsa, u holda "ortiqcha cheksizlik" nuqtasida hisoblagich funksiyasi aniqlanmagan (ildiz ostida biz olamiz cheksiz katta salbiy raqam). Shunga o'xshab, amalda da'vogar misollar topilganga o'xshaydi: qanchalik kutilmagan bo'lmasin, bu erda cheksiz kichik funktsiyalar va "noldan nolga" noaniqlik solishtiriladi. Haqiqatan ham, agar bo'lsa, unda. …Yechimi? Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz, noaniqlikni olamiz va standart usul bilan ochamiz.

Ehtimol, chegaralarni o'rganishni boshlayotganlarni savol tug'diradi: "Qanday qilib? 0:0 noaniqlik bor, lekin siz nolga bo'linmaysiz! To'g'ri, qila olmaysiz. Keling, xuddi shu chegarani ko'rib chiqaylik. Funktsiya "nol" nuqtasida aniqlanmagan. Ammo bu, umuman olganda, talab qilinmaydi. muhim funktsiya HAR QANDAY mavjud bo'lishi uchun nolga cheksiz yaqin nuqta (yoki aniqrog'i, istalgan vaqtda cheksiz kichik mahalla nol).

CHEKIMNING ENG MUHIM XUSUSIYATI TUSHUNCHA sifatida

bu "x" cheksiz yaqin ma'lum bir nuqtaga yaqinlashadi, lekin u "u erga borishga majbur emas"! Ya'ni, bir nuqtada funktsiya chegarasi mavjudligi uchun ahamiyati yo'q funktsiyaning o'zi u erda aniqlanganmi yoki yo'qmi. Bu haqda ko'proq maqolada o'qishingiz mumkin. Cauchy chegaralari, lekin hozircha bugungi dars mavzusiga qaytaylik:

Ikkinchidan, pay va maxraj funktsiyalari berilgan nuqtada cheksiz kichik bo'lishi kerak. Shunday qilib, masalan, chegara butunlay boshqa jamoadan, bu erda numerator funktsiyasi nolga moyil emas: .

Biz cheksiz kichik funktsiyalarni taqqoslash bo'yicha ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Mayli - nuqtadagi cheksiz kichik funksiyalar(ya'ni da) va ularning nisbatlarining chegarasi mavjud. Keyin:

1) Agar , u holda funksiya kichiklikning yuqori tartibi, Qanday .
Eng oddiy misol: , ya'ni kvadratikdan kattaroq kichiklik tartibidagi kub funksiyasi.

2) Agar , u holda funksiya kichiklikning yuqori tartibi, Qanday .
Eng oddiy misol: , ya'ni chiziqlidan ko'ra kichiklikning yuqori tartibli kvadratik funksiyasi.

3) Agar , bu erda nolga teng bo'lmagan doimiy bo'lsa, u holda funktsiyalar mavjud bir xil kattalik tartibi.
Eng oddiy misol: , boshqacha qilib aytganda, mitti nolga nisbatan qat'iy ikki barobar sekin yuguradi va ular orasidagi "masofa" doimiy bo'lib qoladi.

Eng qiziqarli holat - bu qachon . Bunday funktsiyalar deyiladi cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalari.

Boshlang'ich misol keltirishdan oldin, keling, atamaning o'zi haqida gapiraylik. Ekvivalentlik. Bu so'z allaqachon sinfda ishlatilgan. Cheklovlarni yechish usullari, boshqa maqolalarda va bir necha marta uchrashadi. Ekvivalentlik nima? Ekvivalentlik, mantiqiy, fizik va hokazolarning matematik ta'rifi mavjud, ammo keling, mohiyatning o'zini tushunishga harakat qilaylik.

Ekvivalentlik - bu qandaydir jihatdan ekvivalentlik (yoki ekvivalentlik).. Mushaklaringizni cho'zish va oliy matematikadan tanaffus qilish vaqti keldi. Hozir tashqarida yaxshi yanvar ayozi, shuning uchun yaxshi isinish juda muhimdir. Iltimos, koridorga boring va kiyim bilan shkafni oching. Tasavvur qiling-a, u erda ikkita bir xil qo'y terisi osilgan, ular faqat rangi bilan farqlanadi. Biri to'q sariq, ikkinchisi binafsha rangda. Issiqlik xususiyatlariga ko'ra, bu qo'y terisi bir xil. Birinchi va ikkinchi qo'y po'stlog'ida ham siz bir xil darajada iliq bo'lasiz, ya'ni tanlov to'q sariq rangga, qanday binafsha rangga - g'alaba qozonmasdan: "birga birga teng". Ammo yo'lda xavfsizlik nuqtai nazaridan, qo'y terisi endi ekvivalent emas - to'q sariq rang transport vositalarining haydovchilariga yaxshiroq ko'rinadi, ... va patrul to'xtamaydi, chunki bunday kiyim egasi bilan hamma narsa aniq. . Shu munosabat bilan, biz taxmin qilishimiz mumkinki, "bir tartibli kichiklik" ning qo'y terisi "to'q sariq palto" "binafsharang qo'y terisi" ga qaraganda ikki baravar xavfsizroqdir (bu yomonroq, ammo qorong'ida ham sezilarli). ”). Va agar siz sovuqqa bitta ko'ylagi va paypoq kiyib chiqsangiz, unda farq allaqachon katta bo'ladi, shuning uchun ko'ylagi va qo'y terisi "boshqacha kichiklik tartibida".

… zashib, siz ushbu darsga havola bilan Vikipediyaga joylashtirishingiz kerak =) =) =)

Cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarning aniq misoli sizga tanish - bu funktsiyalar birinchi ajoyib chegara .

Keling, birinchi ajoyib chegaraning geometrik talqinini beraylik. Keling, chizmani bajaramiz:

Xo'sh, grafikalarning kuchli erkak do'stligi hatto yalang'och ko'z bilan ham ko'rinadi. LEKIN ularning onasi ularni ajrata olmaydi. Shunday qilib, agar bo'lsa, u holda funktsiyalar cheksiz kichik va ekvivalentdir. Agar farq ahamiyatsiz bo'lsa-chi? Keyin chegarada yuqoridagi sinus bo'lishi mumkin almashtiring"x": , yoki sinus ostidagi "x": . Aslida, bu birinchi ajoyib chegaraning geometrik isboti bo'lib chiqdi =)

Xuddi shunday, aytmoqchi, tasvirlash mumkin har qanday ajoyib chegara, bu bittaga teng.

! Diqqat! Ob'ekt ekvivalentligi bir xil ob'ektlarni anglatmaydi! To'q sariq va binafsha rangdagi qo'ylar issiqqa teng, ammo ular turli xil qo'y terilaridir. Funktsiyalar deyarli nolga yaqin, lekin ular ikki xil funktsiyadir.

Belgilanish: ekvivalentlik tilda bilan belgilanadi.
Masalan: - "x ning sinusi x ga ekvivalent", agar .

Yuqoridagilardan juda muhim xulosa kelib chiqadi: agar ikkita cheksiz kichik funktsiya ekvivalent bo'lsa, u holda birini ikkinchisi bilan almashtirish mumkin. Ushbu uslub amaliyotda keng qo'llaniladi va hozir biz buni qanday qilib ko'rib chiqamiz:

Ichidagi ajoyib ekvivalentlar

Amaliy misollarni hal qilish uchun sizga kerak bo'ladi ajoyib ekvivalentlik jadvali. Talaba yagona ko'phad sifatida yashamaydi, shuning uchun keyingi faoliyat sohasi juda keng bo'ladi. Birinchidan, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalar nazariyasidan foydalanib, biz darsning birinchi qismidagi misollarni takrorlaymiz. Ajoyib chegaralar. Yechim misollari, unda quyidagi chegaralar aniqlandi:

1) Keling, chegarani hal qilaylik. Numeratorning cheksiz kichik funksiyasini ekvivalent cheksiz kichik funksiya bilan almashtiramiz:

Nima uchun bunday almashtirish mumkin? chunki nolga cheksiz yaqin funksiyaning grafigi funksiya grafigiga deyarli to‘g‘ri keladi.

Ushbu misolda biz bu erda jadval ekvivalentidan foydalandik. Faqat "x" emas, balki "alfa" parametri sifatida murakkab funktsiya ham ishlashi mumkin, bu nolga intiladi.

2) Keling, chegarani topamiz. Maxrajda biz bir xil ekvivalentlikdan foydalanamiz, bu holda:

E'tibor bering, sinus dastlab kvadrat ostida edi, shuning uchun birinchi bosqichda uni butunlay kvadrat ostiga qo'yish kerak.

Nazariya haqida unutmang: dastlabki ikkita misolda cheklangan sonlar olinadi, bu shuni anglatadiki bir xil kichiklik tartibidagi son va maxrajlar.

3) chegarani toping. Numeratorning cheksiz kichik funksiyasini ekvivalent funksiya bilan almashtiramiz , qayerda:

Bu yerda maxrajga nisbatan kichiklikning yuqori tartibidagi numerator. Lilliput (va uning ekvivalenti) ga qaraganda tezroq nolga etadi.

4) chegarani toping. Numeratorning cheksiz kichik funksiyasini ekvivalent funksiya bilan almashtiramiz, bunda:

Va bu erda, aksincha, denominator kichiklikning yuqori tartibi hisoblagichga qaraganda, mitti mitti (va uning ekvivalenti) dan tezroq nolga qochib ketadi.

Amalda ajoyib ekvivalentlardan foydalanish kerakmi? Bu kerak, lekin har doim emas. Shunday qilib, unchalik murakkab bo'lmagan chegaralarni (xususan ko'rib chiqilganlar kabi) ajoyib ekvivalentlar orqali hal qilish istalmagan. Sizni buzg'unchilik uchun qoralashlari va trigonometrik formulalar va birinchi ajoyib chegara yordamida ularni standart tarzda hal qilishga majbur qilishlari mumkin. Biroq, ushbu vosita yordamida yechimni tekshirish yoki hatto darhol to'g'ri javobni topish juda foydali. Darsning 14-sonli xarakterli misoli Cheklovlarni yechish usullari:

Toza nusxada, o'zgaruvchining o'zgarishi bilan juda katta to'liq echimni tuzish tavsiya etiladi. Ammo tayyor javob sirtda yotadi - biz ekvivalentlikni aqliy ravishda ishlatamiz: .

Yana bir bor geometrik ma'no: nima uchun hisoblagichda funksiyani funksiya bilan almashtirish joiz? Nolga cheksiz yaqin ularning grafiklarini faqat kuchli mikroskop ostida farqlash mumkin.

Yechimni tekshirishdan tashqari, yana ikkita holatda ajoyib ekvivalentlar qo'llaniladi:

- misol odatdagidek murakkab yoki hatto hal qilib bo'lmaydigan bo'lsa;
- shart bo'yicha ajoyib ekvivalentlarni qo'llash kerak bo'lganda.

Keling, yanada mazmunli vazifalarni ko'rib chiqaylik:

4-misol

Chegarani toping

Noldan nolga noaniqlik kun tartibida va vaziyat chegaralangan: qaror standart tarzda qabul qilinishi mumkin, lekin ko'plab o'zgarishlar bo'ladi. Mening fikrimcha, bu erda ajoyib ekvivalentlardan foydalanish juda o'rinli:

Cheksiz kichik funksiyalarni ekvivalent funksiyalar bilan almashtiraylik. Da :

Ana xolos!

Yagona texnik nuance: dastlab tangens kvadrat edi, shuning uchun almashtirishdan keyin argument ham kvadrat bo'lishi kerak.

5-misol

Chegarani toping

Bu chegarani trigonometrik formulalar orqali yechish mumkin va ajoyib chegaralar, lekin yechim yana juda yoqimli bo'lmaydi. Bu o'z-o'zini hal qilish uchun namunadir, ayniqsa hisoblagichni aylantirishda ehtiyot bo'ling. Agar vakolatlar bilan chalkashlik bo'lsa, uni mahsulot sifatida ko'rsating:

6-misol

Chegarani toping

Ammo bu standart usulda yechimni amalga oshirish juda qiyin bo'lganida, bu allaqachon qiyin holat. Biz ajoyib ekvivalentlardan foydalanamiz:

Cheksiz kichiklarni ekvivalentlari bilan almashtiraylik. Da :

Cheksizlik olinadi, ya'ni maxraj hisoblagichga nisbatan kichiklikning yuqori tartibida bo'ladi.

Amaliyot ustki kiyimsiz jadal o'tdi =)

7-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Logarifm bilan qanday kurashish haqida o'ylab ko'ring ;-)

Boshqa cheklovlarni hal qilish usullari bilan birgalikda ishlatiladigan ajoyib ekvivalentlarni ko'rish odatiy hol emas:

8-misol

Ekvivalent cheksiz kichiklar va boshqa transformatsiyalar yordamida funksiya chegarasini toping

E'tibor bering, bu erda ajoyib shartli ekvivalentliklarni qo'llash kerak.

Biz qaror qilamiz:

Birinchi bosqichda biz ajoyib ekvivalentlardan foydalanamiz. Da :

Sinus bilan hamma narsa aniq: . Logarifm bilan nima qilish kerak? Biz logarifmni shaklda ifodalaymiz va ekvivalentlikni qo'llaymiz. Ko'rib turganingizdek, bu holatda

Ikkinchi bosqichda biz darsda muhokama qilingan texnikani qo'llaymiz

Cheksiz kichik funksiyalar nima

Biroq, funktsiya faqat ma'lum bir nuqtada cheksiz kichik bo'lishi mumkin. 1-rasmda ko'rsatilganidek, funktsiya faqat 0 nuqtada cheksiz kichikdir.

1-rasm. Cheksiz kichik funksiya

Agar ikkita funktsiyaning qism chegarasi 1 ga olib kelsa, x a ga yaqinlashganda funktsiyalar ekvivalent cheksiz kichik deyiladi.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Ta'rif

Agar f(x), g(x) funksiyalar $x > a$ uchun cheksiz kichik boʻlsa, u holda:

• Agar quyidagi shart bajarilsa, f(x) funksiya g(x) ga nisbatan cheksiz kichik yuqori tartibli deyiladi:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• f(x) funksiya g(x) ga nisbatan n tartibli cheksiz kichik deb ataladi, agar u 0 dan farq qilsa va chegara chekli bo‘lsa:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

1-misol

$y=x^3$ funksiyasi x>0 uchun y=5x funksiyaga nisbatan cheksiz kichik yuqori tartibdir, chunki ularning nisbat chegarasi 0 ga teng, bu $y=x funksiyasi bilan izohlanadi. ^3$ nolga tezroq intiladi:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]

2-misol

y=x2-4 va y=x2-5x+6 funksiyalar x>2 uchun bir xil tartibdagi cheksiz kichikdir, chunki ularning nisbat chegarasi 0 ga teng emas:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Ekvivalent cheksiz kichiklarning xossalari

1. Ikki ekvivalent cheksiz kichiklarning farqi ularning har biriga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichikdir.
2. Agar biz bir nechta cheksiz kichik tartiblar yig'indisidan cheksiz kichik yuqori tartiblarni olib tashlasak, asosiy qism deb ataladigan qolgan qism butun yig'indiga ekvivalent bo'ladi.

Birinchi xususiyatdan kelib chiqadiki, ekvivalent cheksiz kichiklar o'zboshimchalik bilan kichik nisbiy xato bilan taxminan teng bo'lishi mumkin. Demak, ≈ belgisi cheksiz kichiklarning ekvivalentligini belgilashda ham, ularning yetarlicha kichik qiymatlarining taqribiy tengligini yozish uchun ham ishlatiladi.

Chegaralarni topishda tez-tez hisob-kitoblarning tezligi va qulayligi uchun ekvivalent funktsiyalarni o'zgartirishdan foydalanish kerak. Ekvivalent cheksiz kichiklar jadvali quyida keltirilgan (1-jadval).

Jadvalda berilgan cheksiz kichiklarning ekvivalentligini tenglik asosida isbotlash mumkin:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

1-jadval

3-misol

Cheksiz kichik ln(1+x) va x ning ekvivalentligini isbotlaylik.

Isbot:

1. Miqdorlar nisbati chegarasini toping
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Buning uchun logarifmning xususiyatidan foydalanamiz:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Logarifmik funktsiya o'z ta'rif sohasida uzluksiz ekanligini bilib, siz chegara belgisini va logarifmik funktsiyani almashtirishingiz mumkin:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ o'ng)\]
4. X cheksiz kichik qiymat bo'lgani uchun chegara 0 ga intiladi. Shunday qilib:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ o'ng)=\ln e=1\]

(ikkinchi ajoyib chegara qo'llanilgan)

Nazorat ishi

Fan: Oliy matematika

Mavzu: Cheklovlar. Cheksiz kichiklarni solishtirish

1. Sonlar ketma-ketligi chegarasi

2. Funktsiya chegarasi

3. Ikkinchi ajoyib chegara

4. Cheksiz kichik miqdorlarni solishtirish

Adabiyot

1. Sonlar ketma-ketligi chegarasi

Ko'pgina matematik va amaliy masalalarni hal qilish ma'lum bir tarzda berilgan raqamlar ketma-ketligiga olib keladi. Keling, ularning ba'zi xususiyatlarini bilib olaylik.

Ta'rif 1.1. Agar har bir natural son

ba'zi qonunlarga ko'ra, haqiqiy son yozishmalarga qo'yiladi, keyin raqamlar to'plami sonli ketma-ketlik deb ataladi.

1-ta'rifga asoslanib, sonli ketma-ketlik doimo cheksiz sonli elementlarni o'z ichiga olishi aniq. Turli xil sonli ketma-ketliklarni o'rganish shuni ko'rsatadiki, ularning soni ortib borishi bilan ularning a'zolari boshqacha harakat qiladi. Ular cheksiz ravishda ko'payishi yoki kamayishi mumkin, ular doimiy ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashishlari yoki hech qanday muntazamlik ko'rsatmasligi mumkin.

Ta'rif 1.2. Raqam

sonli ketma-ketlikning chegarasi deyiladi, agar har qanday son uchun sonli ketma-ketlikning barcha raqamlari uchun shart bajarilishiga qarab shunday sonli ketma-ketlik mavjud bo'lsa.

Limitga ega bo'lgan ketma-ketlik konvergent deb ataladi. Bunday holda, yozing

.

Shubhasiz, sonli ketma-ketlikning yaqinlashuvi haqidagi savolga aniqlik kiritish uchun faqat uning elementlarining xususiyatlariga asoslanadigan mezonga ega bo'lish kerak.

1.1 teorema.(sonli ketma-ketlikning yaqinlashuvi haqidagi Koshi teoremasi). Raqamli ketma-ketlik yaqinlashishi uchun har qanday son uchun bu zarur va yetarli

sonli ketma-ketlikning istalgan ikkita soni uchun va shartni qanoatlantiradigan va tengsizlik rost bo'lishiga qarab shunday sonli tartib raqami mavjud edi.

Isbot. Kerak. Raqamli ketma-ketlik berilgan

yaqinlashadi, ya'ni 2-ta'rifga ko'ra, uning chegarasi bor. Keling, bir nechta raqamni tanlaylik. Keyin, sonli ketma-ketlikning chegarasining ta'rifiga ko'ra, shunday tartib raqami mavjud bo'lib, barcha sonlar uchun tengsizlik bajariladi. Lekin u o'zboshimchalik bo'lgani uchun, u bajariladi va . Keling, ikkita tartib raqamini olaylik va keyin .

Demak, bundan kelib chiqadi

, ya'ni zaruriyat isbotlangan.

Adekvatlik. Sharti bilan; inobatga olgan holda

. Demak, berilgan shart uchun shunday son mavjud va . Xususan, agar , va , keyin yoki bu shart. Bu raqam ketma-ketligi cheklanganligini anglatadi. Shuning uchun uning pastki ketma-ketliklaridan kamida bittasi yaqinlashishi kerak. Mayli. ga yaqinlashishini isbotlaylik.

Keling, o'zboshimchalik bilan olaylik

. Keyin, chegara ta'rifiga ko'ra, tengsizlik hamma uchun amal qiladigan raqam mavjud. Boshqa tomondan, shartga ko'ra, ketma-ketlik shunday raqamga ega bo'lib, hamma uchun va shart qondiriladi. va ba'zilarini tuzating. Keyin hamma narsa uchun biz olamiz: .

Demak, bundan kelib chiqadi