Na přelomu XIX-XX století. v souvislosti s tvorbou a vstupem do každodenního života nových typů strojů, instalací a Vozidlo při cyklicky se měnícím zatížení v čase se ukázalo, že stávající výpočtové metody neposkytují spolehlivé výsledky pro výpočet takových konstrukcí. Poprvé se s takovým jevem setkal železniční doprava kdy došlo k řadě katastrof spojených s prasknutím náprav vagónů a parních lokomotiv.
Později se ukázalo, že příčinou destrukce byla střídavá napětí, která při pohybu vznikala vlak v důsledku otáčení nápravy vozu spolu s koly. Původně se však předpokládalo, že během dlouhodobého provozu kov mění svou krystalovou strukturu - unavený. Tento předpoklad se nepotvrdil, nicméně v inženýrské praxi zůstal zachován název „únavové výpočty“.
Na základě výsledků dalších studií bylo zjištěno, že únavové porušení je způsobeno akumulací lokálního poškození v materiálu součásti a rozvojem trhlin. Níže se budeme zabývat těmito procesy, které se vyskytují při provozu různých strojů, vozidel, obráběcích strojů a dalších zařízení vystavených vibracím a jiným typům časově proměnných zatížení.
Uvažujme válcový vzorek upevněný na vřetenu na jednom konci, na druhém volném konci, na jehož konci působí síla přes ložisko F(obr. 16.1).
Rýže. 16.1.
Graf ohybového momentu vzorku se lineárně mění a jeho maximální hodnota je rovna F.I. V bodech průřezu vzorku ALE a V existuje maximum absolutní hodnota Napětí. Hodnota normálového napětí v bodě L bude
V případě rotace vzorku úhlovou rychlostí z bodu příčného řezu mění svou polohu vůči rovině působení ohybového momentu. Během t charakteristický bod ALE otočí o úhel φ = ω/ a skončí v nové poloze ALE"(obr. 16.2, A).
Rýže. 16.2.
Napětí v nové poloze stejného hmotného bodu bude rovné
Podobně můžeme uvažovat i další body a dojít k závěru, že při rotaci vzorku v důsledku změny polohy bodů se normálová napětí mění podle kosinusového zákona (obr. 16.2, Obr. b).
Pro vysvětlení procesu únavového porušení je třeba opustit základní hypotézy o materiálu, konkrétně hypotézu spojitosti a hypotézu homogenity. Skutečné materiály nejsou ideální. Materiál zpravidla zpočátku obsahuje vady v podobě nedokonalostí krystalové mřížky, pórů, mikrotrhlin, cizích vměstků, které jsou příčinou strukturální nehomogenity materiálu. V podmínkách cyklického zatěžování vede strukturální nehomogenita k nehomogenitě napěťového pole. Na nejslabších místech dílu se rodí mikrotrhliny, které pod vlivem časově proměnných namáhání začnou růst, splývají a mění se v hlavní trhlina. Když se dostane do tahové zóny, trhlina se otevře a v kompresní zóně se naopak uzavře.
Nazývá se malá lokální oblast, ve které se objevuje první trhlina a odkud začíná její vývoj ohnisko únavového selhání. Taková oblast se zpravidla nachází v blízkosti povrchu dílů, ale její vzhled v hloubce materiálu není vyloučen, pokud dojde k poškození. Současná existence několika takových regionů není vyloučena, a proto destrukce části může začít z několika center, která si navzájem konkurují. V důsledku rozvoje trhlin se průřez zeslabuje až dojde k lomu. Po porušení je zóna šíření únavové trhliny poměrně snadno rozpoznatelná. V řezu částí zničenou únavou jsou dvě výrazně odlišné oblasti (obr. 16.3).
Rýže. 16.3.
1 - oblast růstu trhlin; 2 - oblast křehkého lomu
Kraj 1 vyznačuje se lesklým hladkým povrchem a odpovídá začátku procesu destrukce, který probíhá v materiálu relativně nízkou rychlostí. Na poslední úroveň procesu, kdy úsek dostatečně zeslábne, dojde k rychlé lavinové destrukci dílu. Tato poslední fáze na Obr. 16.3 odpovídá ploše 2, který se vyznačuje hrubým, drsným povrchem v důsledku rychlého konečného selhání součásti.
Je třeba poznamenat, že teoretické studiumúnavová pevnost kovů je spojena se značnými obtížemi vzhledem ke složitosti a multifaktoriální povaze tohoto jevu. Z tohoto důvodu nezbytný nástroj se stává fenomenologický přístup. Vzorce pro výpočet dílů na únavu jsou z velké části získány na základě experimentálních výsledků.
Většina strojních součástí je v provozních podmínkách vystavena proměnlivému namáhání, které se v průběhu času cyklicky mění. Analýza poruch ukazuje, že materiály strojních součástí, které pracují po dlouhou dobu při působení proměnná zatížení může selhat při napětích nižších než je pevnost v tahu a mez kluzu.
Destrukce materiálu způsobená opakovaným působením proměnných zatížení se nazývá únavové porušení resp únava materiálu.
Únavové selhání je způsobeno výskytem mikrotrhlin v materiálu, heterogenitou struktury materiálů, přítomností stop po obrábění a poškození povrchu a výsledkem koncentrace napětí.
Vytrvalost nazývá se schopnost materiálů odolávat destrukci působením střídavých napětí.
Periodické zákony změny proměnných napětí mohou být různé, ale všechny lze znázornit jako součet sinusoid nebo kosinusových vln (obr. 5.7).
Rýže. 5.7. Cykly s proměnným napětím: A- asymetrické; b- pulzující; v - symetrický
Nazývá se počet napěťových cyklů za sekundu frekvence nakládání. Napěťové cykly mohou mít konstantní znaménko (obr. 5.7, a, b) nebo střídavě (obr. 5.7, v).
Cyklus střídavých napětí je charakterizován: maximální napětí a max, minimální napětí a min, průměrné napětí a t =(a max + a min)/2, amplituda cyklu s fl = (a max - a min)/2, koeficient asymetrie cyklu r G= min/max.
Při symetrickém zatěžovacím cyklu a max = - ci min ; v = 0; g s = -1.
S pulzujícím napěťovým cyklem min \u003d 0 a \u003d 0.
Maximální hodnota periodicky se měnícího napětí, při které může materiál odolávat destrukci neomezeně dlouho, se nazývá limit výdrže nebo mez únavy.
Pro stanovení limitu únosnosti se vzorky testují na speciálních strojích. Nejběžnější ohybové zkoušky jsou pod symetrickým zatěžovacím cyklem. Zkoušky tahově-kompresní a torzní odolnosti se provádějí méně často, protože vyžadují více komplexní vybavení než v případě ohýbání.
Pro testování odolnosti je vybráno alespoň 10 stejných vzorků. Testy se provádějí následovně. První vzorek je nainstalován na stroji a zatížen symetrickým cyklem s amplitudou napětí (0,5-0,6)st (o v - pevnost materiálu v tahu). V okamžiku zničení vzorku je počet cyklů pevně stanoven počítadlem stroje N. Druhý vzorek je testován při nižším napětí a ke zničení dochází při více cykly. Poté se testují následující vzorky, postupně se snižuje napětí; rozpadnou se s více cykly. Na základě získaných dat se sestaví křivka výdrže (obr. 5.8). Na křivce výdrže je úsek směřující k horizontální asymptotě. To znamená, že při určitém napětí a vzorek vydrží nekonečně velký počet cyklů, aniž by se zničil. Pořadnice této asymptoty udává mez únosnosti. Takže u oceli počet cyklů N= 10 7, pro neželezné kovy - N= 10 8 .
Na základě velkého počtu zkoušek byly stanoveny přibližné vztahy mezi mezí únosnosti v ohybu a mezí únosnosti pro jiné typy deformací.
kde st_ |p - mez únosnosti pro symetrický cyklus tah-komprese; t_j - mez torzní únosnosti za podmínek symetrického cyklu.
Namáhání v ohybu
kde W = / / ty tah - moment odporu tyče v ohybu. Torzní napětí
kde T - točivý moment; Wp- polární torzní moment odporu.
V současné době jsou limity odolnosti pro mnoho materiálů definovány a jsou uvedeny v referenčních knihách.
Experimentální studie ukázaly, že v zónách prudkých změn tvaru konstrukčních prvků (v blízkosti otvorů, drážek, drážek atd.), jakož i v kontaktních zónách, koncentrace stresu- vysokého napětí. Důvod způsobující koncentraci napětí (díra, podříznutí atd.) se nazývá koncentrátor stresu.
Nechte ocelový pás natáhnout silou R(obr. 5.9). V průřezu /' pásu působí podélná síla N= R. Jmenovité napětí, tzn. vypočítaná za předpokladu, že neexistuje žádná koncentrace napětí, se rovná a = R/F.
Rýže. 5.9.
Koncentrace napětí velmi rychle klesá se vzdáleností od náboje a blíží se jmenovitému napětí.
Kvalitativně je koncentrace napětí pro různé materiály určena faktorem efektivní koncentrace napětí
kde o _ 1k, t_ a - meze únosnosti určené jmenovitými napětími pro vzorky s koncentrací napětí a stejnými rozměry průřezu jako hladký vzorek.
Číselné hodnoty faktorů efektivní koncentrace napětí jsou stanoveny na základě únavových zkoušek vzorků. Pro typické a nejběžnější formy koncentrátorů napětí a základních konstrukčních materiálů jsou získány grafy a tabulky, které jsou uvedeny v referenčních knihách.
Empiricky bylo zjištěno, že mez únosnosti závisí na absolutních rozměrech průřezu vzorku: se zvětšováním průřezu se mez výdrže snižuje. Tento vzor byl pojmenován měřítko a je vysvětleno skutečností, že s nárůstem objemu materiálu se zvyšuje pravděpodobnost přítomnosti strukturálních nehomogenit v něm (struska a inkluze plynu atd.), což způsobuje výskyt ohnisek koncentrace napětí.
Vliv absolutních rozměrů součásti je zohledněn zavedením koeficientu do výpočtových vzorců G, rovnající se poměru limitu únosnosti starý daný vzorek daného průměru d do meze únosnosti a_j geometricky podobného laboratorního vzorku (obvykle d=l mm):
Takže pro ocel přijměte e a\u003d e t \u003d e (obvykle r \u003d 0,565-1,0).
Mez únosnosti je ovlivněna čistotou a stavem povrchu součásti: s poklesem čistoty povrchu se mez únavy snižuje, protože v blízkosti škrábanců a škrábanců na povrchu součásti je pozorována koncentrace napětí.
Faktor kvality povrchu je poměr meze odolnosti st_, vzorek s daným stavem povrchu k meze odolnosti st_, vzorek s leštěným povrchem:
Obvykle (3 \u003d 0,25 -1,0, ale s povrchovým kalením dílů pomocí speciálních metod (kalení proudy vysoká frekvence, cementace atd.) může být větší než jedna.
Hodnoty koeficientů se určují podle tabulek z referenčních knih o pevnostních výpočtech.
Pevnostní výpočty při střídavých napětích se ve většině případů provádějí jako zkušební. Výsledek výpočtu je skutečný bezpečnostní faktory n, které se porovnávají s požadovanými (přípustnými) pro daný návrh součinitele bezpečnosti [P], navíc musí být splněna podmínka l > [n J] Obvykle pro ocelové díly [l] = 1,4 - 3 nebo více, v závislosti na typu a účelu dílu.
Při symetrickém cyklu změn napětí je bezpečnostní faktor:
0 pro roztažení (komprese)
0 pro twist
0 pro ohyb
kde A jejich - jmenovité hodnoty maximálního normálového a smykového napětí; K SU, K T- efektivní faktory koncentrace stresu.
Při práci dílů v podmínkách asymetrický cyklus bezpečnostní faktory n a podél normály a tečny n x napětí jsou určena podle Serensen-Kinasoshviliho vzorců
kde |/ st, |/ t - koeficienty redukce asymetrického cyklu na stejně nebezpečný symetrický; t, x t- střední namáhání; st th, x a- amplitudy cyklu.
V případě kombinace základních deformací (ohyb a kroucení, kroucení a tah nebo tlak) se celkový součinitel bezpečnosti stanoví takto:
Získané součinitele bezpečnosti by měly být porovnány s jejich přípustnými hodnotami, které jsou převzaty z pevnostních norem nebo referenčních údajů. Pokud je podmínka splněna n>n pak je konstrukční prvek uznán jako spolehlivý.
Výpočty pro normálová a smyková napětí se provádějí podobně.
Odhadované koeficienty se volí podle speciálních tabulek.
Při výpočtu se stanoví bezpečnostní rezervy pro normálová a smyková napětí.
Bezpečnostní rezerva pro normální namáhání:
Mez bezpečnosti pro smyková napětí:
kde σ a- amplituda cyklu normálových napětí; τ a je amplituda cyklu smykového napětí.
Získané meze bezpečnosti jsou porovnány s přípustnými. Uvedený výpočet je ověření a provádí se během návrhu součásti.
Kontrolní otázky a úkoly
1. Nakreslete grafy symetrických a nulových cyklů změn napětí při opakujících se střídavých napětích.
2. Vyjmenujte charakteristiky cyklů, ukažte na grafech průměrné napětí a amplitudu cyklu. Čím se vyznačuje koeficient asymetrie cyklu?
3. Popište povahu únavového poškození.
4. Proč pevnost při opakovaném proměnlivém namáhání
nižší než s konstantním (statickým)?
5. Co se nazývá limit výdrže? Jak se vykresluje únavová křivka?
6. Vyjmenujte faktory, které ovlivňují odolnost proti únavě.
306 Cvičení 6
PRAKTICKÁ CVIČENÍ NA ODDÍLU
"Síla materiálu"
Cvičení 6
Téma 2.2. Výpočty pevnosti a tuhosti
V tahu a tlaku
Znát pořadí výpočtů pevnosti a tuhosti a výpočtové vzorce.
Umět provádět návrhové a ověřovací výpočty pevnosti a tuhosti v tahu a tlaku.
Požadované vzorce
normální napětí
kde N- podélná síla; ALE- plocha průřezu.
Prodlužování (zkracování) dřeva
E- modul pružnosti; já- počáteční délka tyče.
Povolené napětí
[s]- přípustná míra bezpečnosti.
Podmínky pevnosti v tahu a tlaku:
Příklady výpočtů pevnosti a tuhosti
Příklad 1 Zátěž je upevněna na tyčích a je v rovnováze (obr. A6.1). Materiál tyčí je ocel, dovolené napětí je 160 MPa. Hmotnost nákladu 100 kN. Délka tyčí: první - 2 m, druhá - 1 m. Určete rozměry průřezu a prodloužení tyčí. Tvarem průřezu je kruh.
Praktická část 6 307
Řešení
1. Určete zatížení tyčí. Zvažte rovnováhu
body V, určit reakce tyčí. Podle pátého axiomu statistiky (zákon akce a reakce) je reakce tyče numerická
rovnající se zatížení tyče.
Aplikujeme reakce vazeb působících v bodě V. Uvolnění bodu V ze spojů (obr. A6.1).
Souřadný systém volíme tak, aby jedna ze souřadnicových os splývala s neznámou silou (obr. A6.1b).
Sestavme pro bod soustavu rovnic rovnováhy V:
Řešíme soustavu rovnic a určujeme reakce tyčí.
R 1 = R2 cos60 °; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4 kN.
Směr reakcí je zvolen správně. Obě tyče jsou stlačené. Zatížení tyče: F 1 = 57,4 kN; F 2 = 115,5 kN.
2. Z pevnostních podmínek určete požadovanou plochu průřezu tyčí.
Stav pevnosti v tlaku: a = N/A≤ [σ] , kde
Tyč 1 ( N 1 = F 1):
308 Cvičení 6
Výsledné průměry jsou zaokrouhleny: d 1 = 25 mm d 2 = 32 mm.
3. Určete prodloužení tyčí Al = ----- .
Zkrácení tyče 1:
Zkrácení tyče 2:
Příklad 2 Homogenní tuhá deska o gravitaci 10 kN, zatížená silou F= 4,5 kN a kroutící moment t= ZkN∙m, podepřené v bodě ALE a visel na tyči slunce(obr. A6.2). Vyberte průřez tyče ve tvaru kanálu a určete její prodloužení, pokud je délka tyče 1 m, materiál je ocel, mez kluzu je 570 MPa, bezpečnostní rezerva pro materiál je 1,5.
Řešení
1. Určete sílu v tyči při působení vnějších sil. Systém je v rovnováze, pro desku můžete použít rovnici rovnováhy: ∑t ALE = 0.
Rb- reakce tyče, reakce pantu ALE neuvažujeme.
Praktická část 6 309
Podle třetího zákona dynamiky je reakce v tyči rovna síle působící od tyče na desku. Síla v tyči je 14 kN.
2. Podle stavu pevnosti určíme požadovanou hodnotu plochy papeže
říční úsek: o= N/A^ [A], kde ALE> N/[a].
Dovolené napětí pro materiál tyče
Tudíž,
3. Řez tyče vybereme podle GOST (Příloha 1).
Minimální plocha kanálu je 6,16 cm 2 (č. 5; GOST 8240-89).
Vhodnější je použít rovný policový roh č. 2
(d\u003d Zmm), - plocha průřezu, která je 1,13 cm 2 (GOST 8509-86).
4. Určete prodloužení tyče:
Na praktické hodině se provádí výpočtové a grafické práce a provádí se zkušební průzkum.
Sídlištní a grafické práce
Cvičení 1. Sestrojte diagramy podélných sil a normálových napětí po délce nosníku. Určete posunutí volného konce nosníku. Dvoustupňový ocelový nosník zatížený silami F 1, F 2 , F 3- Průřezové plochy ALE 1i ALE 2 .
310 Cvičení 6
Úkol 2. Paprsek AB, na kterou působí udávaná zatížení, je udržována v rovnováze tahem Slunce. Určete rozměry průřezu tyče pro dva případy: 1) řez je kruh; 2) sekce - roh se stejnou policí podle GOST 8509-86. Přijmout [σ] = 160 MPa. Vlastní tíha konstrukce se nebere v úvahu.
Praktická část 6 311
Při obhajobě práce odpovězte na otázky testového úkolu.
312 Cvičení 6
Téma 2.2. Protahování a komprese.
Výpočty pevnosti a tuhosti
Praktická část 7 313
Cvičení 7
Výpočet pevnosti při proměnných napětích Výpočet prvků stavebních konstrukcí na únosnost se redukuje na kontrolu nerovnosti tvaru (19.3) Pevnostní stav při napětích, která jsou proměnná v čase koeficient, který zohledňuje počet zatěžovacích cyklů yv je koeficient závislý na druhu napěťového stavu a koeficientu asymetrie cyklu Například pro ocelové konstrukce je koeficient yv určen z tabulky 19.1 Tabulka 19.1 Hodnota součinitele yv pro ocelové konstrukce "max P Vv Tah Návrhová únavová odolnost , stejně jako součinitel a zohledňuje kvalitu povrchové úpravy počítaného prvku, jeho provedení, přítomnost koncentrátorů napětí.Pro jednotlivé typy konstrukcí může mít vztah (19.3) trochu jinou podobu.Takže při výpočtu ocelových konstrukcí mosty se používá následující e nerovnost: (19.4) kde R je návrhová únosnost v tahu, tlaku a ohybu z hlediska meze kluzu materiálu; m - koeficient pracovních podmínek; _ 1 a, 6 - koeficienty zohledňující jakost oceli a nestacionaritu zatížení; p - koeficient asymetrie cyklu střídavých napětí; (i je efektivní součinitel koncentrace napětí. Koeficient yv, určený výrazem (19.5), popisuje typ diagramu mezních amplitud s přihlédnutím ke koncentraci napětí, kvalitě materiálu a jeho povrchové úpravě, způsobu zatížení. a další faktory Příklad 19.2 Výztuha průchozího ocelového pole železniční most při průjezdu vlaku působí proměnná osová síla. Největší tahová síla je rovna Nmnn= 1200 kN, nejmenší (tlaková) síla Wmr-=200 kN. Konstrukční odolnost R nízkolegované oceli 15XCHD je 295 MPa. Koeficient pracovních podmínek m = 0,9. Průřez je kompozitní (obr. 19.20) a jeho plocha je LpsSh = 75 cm. 19:20. Konstrukční výztuha ocelového svršku železničního mostu Řešení. Koeficient asymetrie cyklu se určuje následovně: IJVmml 1 L "max 6 V souladu s SNiP 2.05.03-84 je koeficient P rovna 1,5; parametry a \u003d 0,72 a 5 \u003d 0,24. Pak najdeme maximum. normální napětí: N ^ 1200 103 ---=--7 = 160 MPa. Lpepo 75 10"4 Tím je splněna podmínka únavové pevnosti výztuhy. § 19.9. Pojem nízkocyklové únavy Při vysokocyklovém únavovém porušení, diskutovaném v předchozích odstavcích, se materiál deformuje elasticky. Lom začíná v místech koncentrace napětí v důsledku rozvoje počínající trhliny a je křehkého charakteru (bez projevů znatelných plastických deformací). Dalším typem únavy je nízkocyklová únava, která je chápána jako porušení při opakovaných pružně-plastických únavových deformacích; od vícecyklového únavového porušení se liší přítomností makroskopické plastické deformace v lomové zóně. Přísná hranice mezi vysokocyklovou a nízkocyklovou únavou není možná.V SNiL 11-23--81 je uvedeno, že kontrola ocelových konstrukcí na nízkocyklovou únavu by měla být prováděna s počtem cyklů menším, než je rostoucí Ne 19 10 Yu \ Uvažujme schematický diagram reformování materiálu znázorněný na Obr. 19.21 a Blízko (obr. 19.21, 6) je graf změn napětí v čase. Při prvním zatěžování po křivce ОАВ se bod představující stav materiálu pohybuje po deformačním diagramu po přímce ОВ. Poté se napětí zmenšují a stejný bod se pohybuje po hynii BBiAi.Když napětí dosáhne minimální hodnoty, se začíná zvětšovat a deformace postupuje Dále, ale uzavřená čára A, ABB, . Rozsah deformací v jednom cyklu je roven ^ "max £min> a rozsah plastických deformací ^pltaya 1L" 11 je maximální a minimální plastická deformace aricyklické změny napětí. Charakter lomu při nízkocyklové únavě závisí na schopnosti materiálu akumulovat plastické útvary při cyklické deformaci. Materiály se nazývají *cyklově stabilní, pokud se trvalá deformace nemění ve všech cyklech*. Výše uvažovaný příklad ilustruje rysy deformace takových materiálů. Pro cyklicky se zhoršující materiály je charakteristický nárůst zbytkových deformací a nárůst celkové plastické deformace. Vynechme z těchto rovnic posuvy u a v, pro které derivujeme první řádek dvakrát vzhledem k y, druhý vzhledem k x a třetí vzhledem k x a y. Sečtením dvou horních řádků a odečtením spodního dostaneme rovnici (20.6) Rovnice kompatibility přetvoření Říká se jí rovnice kompatibility přetvoření, protože dává potřebný vztah mezi přetvořeními, který existuje pro libovolné funkce spojitého přemístění u, v (které máme vyloučeno). Pokud je tělo před deformací mentálně rozděleno na nekonečně malé "cihly", jsou jim hlášeny deformace ex, ey a y a je učiněn pokus složit zpět do celého deformovaného těla, pak se ukáží jako možné dva případy . V prvním (obr. 20.5, a) budou všechny prvky k sobě těsně přiléhat. Takové deformace jsou kloubové a odpovídají spojitému poli posunů. Ve druhém případě (obr. 20.5, b) se mezi prvky objevují nekonečně malé nespojitosti a jakékoli spojité pole posunutí takovým deformacím neodpovídá. q Pole deformací, které odpovídá spojitému poli posunů, se nazývá deformace kloubu. Deformace jsou kompatibilní, jinak se deformace nazývají nekompatibilní - lokální a nekompatibilní. lokální rovnice (20.3), (20.5) a (20.7) dohromady tvoří potřebných osm rovnic, jejichž řešení nám umožňuje najít osm neznámých funkcí uvažované rovinné úlohy. § 20.3. Stanovení napětí pomocí posunů zjištěných z experimentu Níže je popsáno, jak se experimentálně získávají rodiny interferenčních proužků, které představují izočáry nějakého faktoru, tj. místa bodů, ve kterých má tento faktor konstantní hodnotu. V metodě moaré a holografické interferometrii lze tedy získat izočáry posunutí v = const au = const. Na Obr. 20.6 ukazuje diagram rodiny izolinií v; \u003d const pro rovinně napjatý stav desky. Ukažme si, jak pomocí rovnic teorie pružnosti můžeme přejít od posuvů k napětím. Vzorce (20.5) umožňují vypočítat deformace. 20.6. Numerické určení deformací pomocí experimentálně získané rodiny izolinií posunutí pro svislou čáru. Parciální derivaci (dv/dx)j=tgojj vypočítáme jako tangens sklonu sečny protažené body (i - 1) a (/+ 1). Podobně postupujeme u derivace vzhledem k souřadnici y, najdeme Numerickou derivaci (20.10) v rovinné úloze Podobně postupujeme s rodinou izolinií u \u003d const Po nastínění sítě čar rovnoběžných se souřadnicovými osami x a y , podle vzorců (20.9) a (20.10) vytvořte pole deformace a poté pole napětí ve studovaném modelu. Protože uzlové body ortogonální sítě se obecně neshodují s průsečíky s izočárami, používají se k výpočtu deformací a napětí v uzlech interpolační vzorce. Existují zařízení a odpovídající programy pro osobní počítače, které umožňují zpracovávat mřížku izolinií v automatickém režimu. Dále zvažte experiment s ohybovou deskou, pro kterou byla získána rodina průhybových izolinií vv = const (obr. 20.7, a). V teorii ohybu desky se analogicky s hypotézou plochých řezů používá přímá normální hypotéza, podle níž t čára, jít do poloha t,-i, zůstává rovná (obr. 20.7, b). Pak pro malé výchylky (px-dw/dx, (py-dwjdy) a posunutí v horizontální rovině libovolného bodu se souřadnicí z bude dw v= -(pyz= -z -. Podle (20.11) Dosazením vzorců (20.11) ) do (20.9) , dostaneme 8 2 u * V "82w 8xdy 82w yxy \u003d -2z (20.12) - Z ey - r Napětí xxy rozložená po tloušťce desky h podle lineárního zákona (obr. 20.7 , c) lze vypočítat pro známé deformace ( 20.12) podle Hookova zákona (20.8) Pro určení druhé derivace funkce průhybu se nejprve pomocí interpolačních vzorců získá pole průhybu v uzlech ortogonální sítě čar, jehož fragment je znázorněn na obr. 20.8. Poté lze derivace v bodě K vypočítat pomocí numerických derivačních vzorců:
