დაე ა(x) და ბ(x) – ბ.მ. ფუნქციონირებს x® ა (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, ...). განვიხილოთ მათი თანაფარდობის ზღვარი ზე x® ა.

1. თუ = ბდა ბ- საბოლოო ნომერი ბ¹ 0, შემდეგ ფუნქციები ა(x), ბ(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე სიდიდის ერთი რიგი ზე x® ა.

2. თუ = 0, მაშინ ა(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე უმაღლესი წესრიგი , როგორ ბ(x) ზე x® ა. ცხადია, ამ შემთხვევაში = ¥.

3. თუ ა(x) – ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრე ბ(x), და = ბ¹ 0 ( ბ- საბოლოო ნომერი კÎ ნ ), შემდეგ ა(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე კ-მეე რიგით შედარებით ბ(x) ზე x® ა.

4. თუ არ არსებობს (არც სასრული და არც უსასრულო), მაშინ ა(x), ბ(x) უწოდებენ შეუდარებელი ბ.მ. ზე x® ა.

5. თუ = 1, მაშინ ა(x), ბ(x) უწოდებენ ექვივალენტი ბ.მ. ზე x® ა, რომელიც აღინიშნება შემდეგნაირად: ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა.

მაგალითი 1. ა(x) = (1 – x) 3 , ბ (x) = 1 – x 3 .

აშკარაა, რომ ზე x® 1 ფუნქციები ა(x), ბ(x) არიან ბ.მ. მათი შედარებისთვის, ჩვენ ვპოულობთ მათი თანაფარდობის ზღვარს x® 1:

დასკვნა: ა(x ბ(x) ზე x® 1.

ამის გადამოწმება ადვილია = (დარწმუნდით!), აქედან გამომდინარეობს ეს ა(x) – ბ.მ. სიმცირის მე-3 რიგი, შედარებით ბ(x) ზე x® 1.

მაგალითი 2. ფუნქციები ა 1 (x) = 4x, ა 2 (x) = x 2 , ა 3 (x) = ცოდვა x, ა 4 (x) = ტგ xარიან უსასრულოდ მცირე ამისთვის x® 0. შეადარეთ ისინი:

0, , = 1, = ¥.

აქედან ვასკვნით, რომ ა 2 (x) = x 2 - ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრე ა 1 (x) და ა 3 (x) (ზე x® 0), ა 1 (x) და ა 3 (x) – ბ.მ. ერთი შეკვეთა, ა 3 (x) და ა 4 (x) ეკვივალენტურია ბ.მ., ე.ი. ცოდვა x~ tg xზე x® 0.

თეორემა 1. დაე ა(x) ~ ა 1 (x), ბ(x) ~ ბ 1 (x) ზე x® ა. თუ არსებობს , მაშინ არსებობს და , და = .

მტკიცებულება. = 1, = 1,

= = .

ეს თეორემა აადვილებს საზღვრების პოვნას.

მაგალითი 3.

იპოვე .

ცოდვის პირველი საყურადღებო ზღვრის ძალით4 x~ 4x, tg3 x~ 3xზე x® 0, ასე რომ

თეორემა 2. უსაზღვროდ მცირე ფუნქციები ა(x) და ბ(x) ექვივალენტები არიან (ამისთვის x® ა) თუ და მხოლოდ თუ ა(x) – ბ(x) არის ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრე ა(x) და ბ(x) (ზე x® ა).

მტკიცებულება

დაე ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა. მერე = = 0, ე.ი. განსხვავება ა(x) – ბ(x ა(x) at x® ა(მსგავსია ბ(x)).

დაე ა(x) – ბ(x) – ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრე ა(x) და ბ(x), ჩვენ ამას ვაჩვენებთ ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა:

= = + = 1,

უსაზღვროდ მცირე ფუნქციები.

ჩვენ ვაგრძელებთ ტრენინგ ციკლს "ლიმიტები დუმებისთვის", რომელიც გაიხსნა სტატიებით ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითებიდა ღირსშესანიშნავი საზღვრები. თუ პირველად ხართ საიტზე, გირჩევთ, გაკვეთილიც წაიკითხოთ ლიმიტის ამოხსნის მეთოდებირაც მნიშვნელოვნად გააუმჯობესებს თქვენს სტუდენტურ კარმას. მესამე სახელმძღვანელოში განვიხილეთ უსასრულო ფუნქციები, მათი შედარება და ახლა დროა შეიარაღოთ გამადიდებელი შუშით, რათა გიგანტების ქვეყნის შემდეგ, ლილიპუტების მიწას შეხედოთ. საახალწლო არდადეგები კულტურულ დედაქალაქში გავატარე და დავბრუნდი ძალიან კარგი ხასიათი, ამიტომ კითხვა გვპირდება, რომ განსაკუთრებით საინტერესო იქნება.

ამ სტატიაში დეტალურად იქნება განხილული უსასრულოდ მცირე ფუნქციები, რომელთანაც რეალურად უკვე არაერთხელ შეგხვედრიათ და მათი შედარება. ბევრი მოვლენა მჭიდრო კავშირშია ნულის მახლობლად უხილავ მოვლენებთან. საოცარი საზღვრები, მშვენიერი ეკვივალენტები, ხოლო გაკვეთილის პრაქტიკული ნაწილი ძირითადად ეთმობა მხოლოდ ლიმიტების გამოთვლას შესანიშნავი ეკვივალენტობების გამოყენებით.

უსაზღვროდ მცირე ფუნქციები. უსასრულო მცირეთა შედარება

რა ვთქვა... თუ არის ლიმიტი, მაშინ ფუნქცია გამოძახებულია უსასრულოდ მცირე ერთ წერტილში.

მტკიცების არსებითი პუნქტია ის ფაქტი, რომ ფუნქცია შეიძლება იყოს უსასრულოდ მცირე მხოლოდ კონკრეტულ მომენტში .

მოდით გავავლოთ ნაცნობი ხაზი:

ეს ფუნქცია უსასრულოდ პატარაერთ წერტილში:
უნდა აღინიშნოს, რომ წერტილებში „პლუს უსასრულობა“ და „მინუს უსასრულობა“ იგივე ფუნქცია იქნება უკვე უსასრულოდ დიდი: . ან უფრო კომპაქტური ნოტაციით:

ყველა სხვა წერტილში ფუნქციის ზღვარი ტოლი იქნება ნულის გარდა სასრულ რიცხვისა.

Ამგვარად, ასეთი რამ არ არსებობსროგორც „უსრულოდ მცირე ფუნქცია“ ან „უბრალოდ უსასრულოდ დიდი ფუნქცია“. ფუნქცია შეიძლება იყოს უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი მხოლოდ კონკრეტულ მომენტში .

! შენიშვნა : მოკლედ, მე ხშირად ვიტყვი "უსასრულოდ მცირე ფუნქციას", რაც იმას ნიშნავს, რომ ის უსასრულოდ მცირეა განსახილველ წერტილში.

შეიძლება იყოს რამდენიმე ან თუნდაც უსასრულოდ ბევრი ასეთი წერტილი. მოდით დავხატოთ რაიმე სახის უშიშარი პარაბოლა:

წარმოდგენილი კვადრატული ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა ორ წერტილში - "ერთზე" და "ორზე":

როგორც წინა მაგალითში, უსასრულობაში, ეს ფუნქცია უსასრულოდ დიდია:

ორმაგი ნიშნების მნიშვნელობა :

აღნიშვნა ნიშნავს, რომ ზე და ზე.

აღნიშვნა ნიშნავს, რომ როგორც ზე , ასევე .
ორმაგი ნიშნების "გაშიფვრის" კომენტირებული პრინციპი მოქმედებს არა მხოლოდ უსასრულობებზე, არამედ ნებისმიერ ბოლო წერტილებზე, ფუნქციებზე და რიგი სხვა მათემატიკური ობიექტებისთვის.

ახლა კი სინუსი. ეს არის მაგალითი, სადაც ფუნქცია უსასრულოდ პატარაქულების უსასრულო რაოდენობაზე:

მართლაც, სინუსოიდი "ანათებს" x ღერძს თითოეული "pi"-ს მეშვეობით:

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ზემოდან/ქვემოდან და არ არსებობს ისეთი წერტილი, სადაც ის იქნებოდა უსასრულოდ დიდი, სინუსს მხოლოდ უსასრულობაში შეუძლია ტუჩების ლოცვა.

ნება მომეცით ვუპასუხო რამდენიმე მარტივ კითხვას:

შეიძლება თუ არა ფუნქცია უსასრულობაში იყოს უსასრულოდ მცირე?

Რა თქმა უნდა. ეტლისა და პატარა ეტლის ასეთი შემთხვევები.
ელემენტარული მაგალითი: . ამ ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა, სხვათა შორის, ილუსტრირებულია სტატიაში ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები.

შეიძლება ფუნქცია არ იყოს უსასრულოდ მცირე?
(ნებისმიერ მომენტში დომენები)

დიახ. აშკარა მაგალითია კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი (პარაბოლა) არ კვეთს ღერძს. საპირისპირო დებულება, სხვათა შორის, ზოგადად არ შეესაბამება სიმართლეს - წინა შეკითხვის ჰიპერბოლა, თუმცა ის არ კვეთს x-ღერძს, მაგრამ უსასრულოდ პატარაუსასრულობაში.

უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შედარება

მოდით ავაშენოთ თანმიმდევრობა, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ და გამოვთვალოთ ტრინომის რამდენიმე მნიშვნელობა:

აშკარაა, რომ x მნიშვნელობების შემცირებით, ფუნქცია ყველა სხვაზე უფრო სწრაფად გადის ნულამდე (მისი მნიშვნელობები წითლად არის შემოხაზული). ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია, ვიდრე ფუნქცია , ისევე, როგორც სიმცირის უმაღლესი რიგი, როგორ . მაგრამ ლილიპუტების ქვეყანაში სწრაფი სირბილი არ არის ვაჟკაცობა, „ტონს ადგენს“ ყველაზე ნელა მოძრავი ჯუჯა, რომელიც, როგორც უფროსს შეეფერება, ყველაზე ნელა მიდის ნულამდე. მასზეა დამოკიდებული რამდენად სწრაფადჯამი მიუახლოვდება ნულს:

ფიგურალურად რომ ვთქვათ, უსაზღვროდ მცირე ფუნქცია „შთანთქავს“ ყველაფერს, რაც განსაკუთრებით კარგად ჩანს მესამე ხაზის საბოლოო შედეგში. ზოგჯერ ასე ამბობენ სიმცირის ქვედა რიგი, როგორ და მათი ჯამი.

განხილულ ზღვარში, ამ ყველაფერს, რა თქმა უნდა, ნამდვილად არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან შედეგი მაინც ნულია. თუმცა, "მძიმე წონითები" პრინციპულად იწყებენ თამაშს მნიშვნელოვანი როლიფრაქციების ფარგლებში. დავიწყოთ მაგალითებით, რომლებიც, თუმცა იშვიათია, რეალურ ცხოვრებაში გვხვდება. პრაქტიკული სამუშაო:

მაგალითი 1

ლიმიტის გამოთვლა

აქ არის გაურკვევლობა და შესავალი გაკვეთილიშესახებ ფუნქციებიჩვენ ვიხსენებთ ამ გაურკვევლობის გამჟღავნების ზოგად პრინციპს: თქვენ უნდა დაშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორებად და შემდეგ შეამციროთ რაღაც:

პირველ ეტაპზე მრიცხველში ვიღებთ ფრჩხილებს, ხოლო მნიშვნელში "x". მეორე საფეხურზე ჩვენ ვამცირებთ მრიცხველს და მნიშვნელს "x"-ით, რითაც ვხსნით გაურკვევლობას. ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ დარჩენილი "X"-ები ნულისკენ მიდრეკილია და მივიღებთ პასუხს.

ლიმიტში ბაგელი აღმოჩნდა, შესაბამისად, მრიცხველის ფუნქცია სიმცირის უმაღლესი რიგივიდრე მნიშვნელის ფუნქცია. ან უფრო მოკლე: . Რას ნიშნავს? მრიცხველი მიდრეკილია ნულისკენ უფრო სწრაფადვიდრე მნიშვნელი, რის გამოც შედეგი არის ნული.

როგორც საქმეში უსასრულო ფუნქციები, პასუხი წინასწარ შეიძლება იყოს ცნობილი. მიღება მსგავსია, მაგრამ განსხვავდება იმით, რომ მრიცხველში და მნიშვნელში თქვენ გონებრივად უნდა გააუქმოთ ყველა ტერმინი უფროსიგრადუსი, რადგან, როგორც ზემოთ აღინიშნა, ნელ ჯუჯებს გადამწყვეტი მნიშვნელობა აქვთ:

მაგალითი 2

ლიმიტის გამოთვლა

ნული ნულამდე…. მოდით, სასწრაფოდ გავარკვიოთ პასუხი: გონებრივად გააუქმეთ ყველაფერი უფროსიმრიცხველისა და მნიშვნელის ტერმინები (სწრაფი ჯუჯები):

ამოხსნის ალგორითმი ზუსტად იგივეა, რაც წინა მაგალითში:

ამ მაგალითში სიმცირის უფრო მაღალი რიგის მნიშვნელი, ვიდრე მრიცხველი. როდესაც x მნიშვნელობები მცირდება, მრიცხველის ყველაზე ნელი ჯუჯა (და მთელი ლიმიტი) ნამდვილ მონსტრად იქცევა უფრო სწრაფ მოწინააღმდეგესთან მიმართებაში. მაგალითად, თუ, მაშინ - უკვე 40-ჯერ მეტი .... ჯერ არ არის მონსტრი, რა თქმა უნდა, მოცემული მნიშვნელობით "x", მაგრამ ასეთი უკვე დიდი ლუდის მუცლითაა.

და ძალიან მარტივი დემო ლიმიტი:

მაგალითი 3

ლიმიტის გამოთვლა

პასუხს ყველაფრის გონებრივად გადაგდებით გავიგებთ უფროსიმრიცხველის და მნიშვნელის ტერმინები:

Ჩვენ ვწყვეტთ:

შედეგი არის სასრული რიცხვი. მრიცხველის მფლობელი ზუსტად ორჯერ სქელია, ვიდრე მნიშვნელის პატრონი. ეს არის სიტუაცია, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი სიდიდის ერთი რიგი.

სინამდვილეში, უსასრულო მცირე ფუნქციების შედარება დიდი ხანია გამოჩნდა წინა გაკვეთილებში:
(მაგალითი ნომერი 4 გაკვეთილი ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითები);
(მაგალითი No17 გაკვეთილი ლიმიტის ამოხსნის მეთოდები) და ა.შ.

ამავე დროს შეგახსენებთ, რომ "x" შეიძლება მიდრეკილი იყოს არა მხოლოდ ნულისკენ, არამედ თვითნებური რიცხვისკენ, ასევე უსასრულობისკენ.

რა არის ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანი ყველა განხილულ მაგალითში?

ჯერ ერთი, ლიმიტი საერთოდ უნდა არსებობდეს მოცემულ მომენტში. მაგალითად, არანაირი შეზღუდვა არ არსებობს. თუ , მაშინ მრიცხველის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული "პლუს უსასრულობის" წერტილში (ძირის ქვეშ ვიღებთ უსასრულოდ დიდიუარყოფითი რიცხვი). ანალოგიურად, როგორც ჩანს, პრეტენზიული მაგალითები გვხვდება პრაქტიკაში: რაც არ უნდა მოულოდნელი იყოს, აქ არის ასევე უსასრულო ფუნქციების შედარება და გაურკვევლობა "ნულიდან ნულამდე". მართლაც, თუ, მაშინ. ... გამოსავალი? ვაშორებთ ოთხსართულიან წილადს, ვიღებთ გაურკვევლობას და ვხსნით სტანდარტული მეთოდით.

ალბათ, დამწყებთათვის, რომლებიც იკვლევენ საზღვრებს, გაბურღულია კითხვა: „როგორ ასე? არის 0:0 გაურკვევლობა, მაგრამ ნულზე ვერ გაყოფ! მართალია, არ შეგიძლია. განვიხილოთ იგივე ზღვარი. ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილი "ნულოვანი". მაგრამ ეს, ზოგადად, არ არის საჭირო. მნიშვნელოვანიიმისათვის, რომ ფუნქცია არსებობდეს ნებისმიერში უსასრულოდ ახლოს ნულთანწერტილი (ან უფრო მკაცრად, ნებისმიერ უსასრულო მცირე სამეზობლო ნული).

ლიმიტის, როგორც კონცეფციის ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი

ეს არის "x" უსასრულოდ ახლოსუახლოვდება გარკვეულ წერტილს, მაგრამ ის "არ არის ვალდებული იქ წავიდეს"! ანუ წერტილში ფუნქციის ლიმიტის არსებობისთვის შეუსაბამოთავად ფუნქცია იქ არის განსაზღვრული თუ არა. ამის შესახებ მეტი შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში. კუშის საზღვრები, მაგრამ ახლა, დავუბრუნდეთ დღევანდელი გაკვეთილის თემას:

მეორეც, მრიცხველის და მნიშვნელის ფუნქციები მოცემულ წერტილში უსასრულოდ მცირე უნდა იყოს. მაგალითად, ლიმიტი არის სრულიად განსხვავებული გუნდიდან, აქ მრიცხველის ფუნქცია ნულისკენ არ არის მიდრეკილი: .

ჩვენ სისტემატიზაციას ვუწევთ ინფორმაციას უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შედარების შესახებ:

დაე - უსასრულოდ მცირე ფუნქციები წერტილში(ე.ი. at ) და არსებობს მათი შეფარდების ზღვარი. შემდეგ:

1) თუ , მაშინ ფუნქცია სიმცირის უმაღლესი რიგი, როგორ .
უმარტივესი მაგალითი: , ანუ სიმცირის უფრო მაღალი რიგის კუბური ფუნქცია, ვიდრე კვადრატული.

2) თუ , მაშინ ფუნქცია სიმცირის უმაღლესი რიგი, როგორ .
უმარტივესი მაგალითი: , ანუ სიმცირის უფრო მაღალი რიგის კვადრატული ფუნქცია, ვიდრე წრფივი.

3) თუ სად არის არანულოვანი მუდმივი, მაშინ ფუნქციებს აქვთ იგივე სიდიდის რიგი.
უმარტივესი მაგალითი: სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჯუჯა გადის ნულამდე მკაცრად ორჯერ ნელა ვიდრე , და მათ შორის "მანძილი" მუდმივი რჩება.

ყველაზე საინტერესო შემთხვევაა, როცა . ასეთ ფუნქციებს ე.წ უსასრულოდ მცირე ექვივალენტიფუნქციები.

სანამ ელემენტარულ მაგალითს მოვიყვანთ, მოდით ვისაუბროთ თავად ტერმინზე. ეკვივალენტობა. ეს სიტყვა უკვე გამოყენებულია კლასში. ლიმიტის ამოხსნის მეთოდები, სხვა სტატიებში და შევხვდებით არაერთხელ. რა არის ეკვივალენტობა? არსებობს ეკვივალენტობის მათემატიკური განმარტება, ლოგიკური, ფიზიკური და ა.შ., მაგრამ შევეცადოთ გავიგოთ თავად არსი.

ეკვივალენტობა არის ეკვივალენტობა (ან ეკვივალენტობა) გარკვეული თვალსაზრისით. დროა დაჭიმოთ კუნთები და დაისვენოთ უმაღლესი მათემატიკისგან. ახლა გარეთ კარგი იანვრის ყინვაა, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია კარგად გახურება. გთხოვთ, გადით დერეფანში და გახსენით კარადა ტანსაცმლით. წარმოიდგინეთ, რომ იქ ორი იდენტური ცხვრის ტყავის ქურთუკია ჩამოკიდებული, რომლებიც მხოლოდ ფერით განსხვავდება. ერთი ნარინჯისფერია, მეორე კი მეწამული. მათი გამათბობელი თვისებების მიხედვით, ეს ცხვრის ტყავის ქურთუკები ექვივალენტურია. როგორც პირველ, ისე მეორე ცხვრის ტყავის ქურთუკში ერთნაირად თბილი იქნებით, ანუ არჩევანი უდრის რა ჩაიცვათ ნარინჯისფერი, რა იასამნისფერი - მოგების გარეშე: „ერთი ერთს უდრის ერთს“. მაგრამ გზაზე უსაფრთხოების თვალსაზრისით, ცხვრის ტყავის ქურთუკები აღარ არის ექვივალენტი - ნარინჯისფერი ფერი უკეთესად ჩანს მანქანების მძღოლებისთვის, ... და პატრული არ ჩერდება, რადგან ასეთი ტანსაცმლის პატრონთან ყველაფერი ნათელია. . ამასთან დაკავშირებით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ „ერთი რიგის სიმცირის“ ცხვრის ქურთუკი, შედარებით რომ ვთქვათ, „ნარინჯისფერი ცხვრის ტყავის ქურთუკი“ ორჯერ უფრო „უსაფრთხოა“ ვიდრე „მეწამული ცხვრის ტყავის ქურთუკი“ („რაც უარესია, მაგრამ ასევე შესამჩნევია სიბნელეში. ”). და თუ ერთი პიჯაკით და წინდებით გამოხვალთ სიცივეში, მაშინ განსხვავება უკვე კოლოსალური იქნება, ამდენად, ქურთუკი და ცხვრის ტყავის ქურთუკი "სხვადასხვა რიგის სიმცირისაა".

… zashib, თქვენ უნდა გამოაქვეყნოთ ვიკიპედიაში ამ გაკვეთილის ბმულით =) =) =)

უსასრულოდ მცირე ეკვივალენტური ფუნქციების აშკარა მაგალითი თქვენთვის ნაცნობია - ეს არის ფუნქციები პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი .

მოდით მივცეთ პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ისე, გრაფიკების ძლიერი მამრობითი მეგობრობა შეუიარაღებელი თვალითაც კი ჩანს. მაგრამ საკუთარი დედა მათ არ გამოარჩევს. ამრიგად, თუ , მაშინ ფუნქციები უსასრულოდ მცირე და ექვივალენტურია. რა მოხდება, თუ განსხვავება უმნიშვნელოა? მაშინ ლიმიტში ზემოთ არსებული სინუსი შეიძლება იყოს ჩანაცვლება"x": , ან "x" სინუსების ქვემოთ: . სინამდვილეში, ეს იყო გეომეტრიული მტკიცებულება პირველი შესანიშნავი ლიმიტის =)

ანალოგიურად, სხვათა შორის, შეიძლება ილუსტრირება ნებისმიერი მშვენიერი ლიმიტი, რომელიც უდრის ერთს.

! ყურადღება! ობიექტის ეკვივალენტობა არ გულისხმობს ერთსა და იმავე ობიექტებს! ნარინჯისფერი და მეწამული ცხვრის ტყავის ქურთუკები თბილის ექვივალენტურია, მაგრამ ისინი სხვადასხვა ცხვრის ტყავის ქურთუკებია. ფუნქციები პრაქტიკულად არ განსხვავდება ნულის მახლობლად, მაგრამ ისინი ორი განსხვავებული ფუნქციაა.

Დანიშნულება: ეკვივალენტობა აღინიშნება ტილდით.
მაგალითად: - "x-ის სინუსი x-ის ტოლია", თუ .

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს ძალიან მნიშვნელოვანი დასკვნა: თუ ორი უსასრულო მცირე ფუნქცია ექვივალენტურია, მაშინ ერთი შეიძლება შეიცვალოს მეორით. ეს ტექნიკა ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში და ახლა ჩვენ ვნახავთ, თუ როგორ:

შესამჩნევი ეკვივალენტები შიგნით

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ღირსშესანიშნავი ეკვივალენტობის ცხრილი. სტუდენტი არ ცხოვრობს როგორც ერთი მრავალწევრი, ამიტომ შემდგომი საქმიანობის სფერო ძალიან ფართო იქნება. უპირველეს ყოვლისა, უსასრულოდ მცირე ეკვივალენტური ფუნქციების თეორიის გამოყენებით, ვაჯამებთ გაკვეთილის პირველი ნაწილის მაგალითებს. გასაოცარი საზღვრები. გადაწყვეტის მაგალითები, რომელშიც ნაპოვნია შემდეგი ლიმიტები:

1) მოვაგვაროთ ლიმიტი. შევცვალოთ მრიცხველის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია ექვივალენტური უსასრულო მცირე ფუნქციით:

რატომ არის შესაძლებელი ეს ჩანაცვლება? რადგან უსასრულოდ ახლოს ნულთანფუნქციის გრაფიკი თითქმის ემთხვევა ფუნქციის გრაფიკს.

ამ მაგალითში, ჩვენ გამოვიყენეთ ცხრილის ეკვივალენტობა, სადაც . მოსახერხებელია, რომ არა მხოლოდ "x", არამედ რთული ფუნქციაც შეიძლება იმოქმედოს როგორც "ალფა" პარამეტრი, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ.

2) ვიპოვოთ ლიმიტი. მნიშვნელში ვიყენებთ იგივე ეკვივალენტს, ამ შემთხვევაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სინუსი თავდაპირველად კვადრატის ქვეშ იყო, ამიტომ პირველ ეტაპზე ასევე აუცილებელია მისი მთლიანად მოთავსება კვადრატის ქვეშ.

არ დაივიწყოთ თეორია: პირველ ორ მაგალითში მიიღება სასრული რიცხვები, რაც იმას ნიშნავს ერთი და იგივე სიმცირის რიგის მრიცხველები და მნიშვნელები.

3) იპოვეთ ლიმიტი. შევცვალოთ მრიცხველის უსასრულო მცირე ფუნქცია ეკვივალენტური ფუნქციით , სადაც:

Აქ სიმცირის უფრო მაღალი რიგის მრიცხველი ვიდრე მნიშვნელი. ლილიპუტი (და მისი ეკვივალენტი მიჯეტი) ნულს უფრო სწრაფად აღწევს ვიდრე .

4) იპოვეთ ლიმიტი. მოდით შევცვალოთ მრიცხველის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია ეკვივალენტური ფუნქციით, სადაც:

და აქ, პირიქით, მნიშვნელი სიმცირის უმაღლესი რიგივიდრე მრიცხველი, ჯუჯა უფრო სწრაფად გარბის ნულამდე, ვიდრე ჯუჯა (და მისი ექვივალენტი ჯუჯა).

მშვენიერი ეკვივალენტები უნდა იქნას გამოყენებული პრაქტიკაში?უნდა, მაგრამ არა ყოველთვის. ამრიგად, არც თუ ისე რთული ზღვრების ამოხსნა (როგორც ახლახან განხილული) არასასურველია გასაოცარი ეკვივალენტობების მეშვეობით ამოხსნა. თქვენ შეიძლება გაკიცხოთ ჰაკერული სამუშაოსთვის და აიძულოთ ისინი გადაჭრათ სტანდარტული გზით ტრიგონომეტრიული ფორმულების და პირველი მშვენიერი ლიმიტის გამოყენებით. თუმცა, მოცემული ხელსაწყოს დახმარებით, ძალიან სასარგებლოა გამოსავლის შემოწმება ან თუნდაც სწორი პასუხის დაუყოვნებლივ გარკვევა. გაკვეთილის დამახასიათებელი მაგალითი No14 ლიმიტის ამოხსნის მეთოდები:

სუფთა ასლზე მიზანშეწონილია შეადგინოთ საკმაოდ დიდი სრული გადაწყვეტა ცვლადის ცვლილებით. მაგრამ მზა პასუხი ზედაპირზე დევს - გონებრივად ვიყენებთ ეკვივალენტობას: .

Კიდევ ერთხელ გეომეტრიული მნიშვნელობა: რატომ არის მრიცხველში დასაშვები ფუნქციის ფუნქციით ჩანაცვლება? უსასრულოდ ახლოს ნულთანმათი გრაფიკების გარჩევა შესაძლებელია მხოლოდ ძლიერი მიკროსკოპის ქვეშ.

გადაწყვეტის შემოწმების გარდა, შესანიშნავი ეკვივალენტები გამოიყენება კიდევ ორ შემთხვევაში:

- როდესაც მაგალითი საკმაოდ რთულია ან თუნდაც გადაუჭრელი ჩვეულებრივი გზით;
- როდესაც ღირსშესანიშნავი ეკვივალენტები უნდა იქნას გამოყენებული პირობების მიხედვით.

განვიხილოთ უფრო მნიშვნელოვანი ამოცანები:

მაგალითი 4

იპოვეთ ლიმიტი

ნულიდან ნულამდე გაურკვევლობა დგას დღის წესრიგში და სიტუაცია საზღვრისპირა: გადაწყვეტილების მიღება შესაძლებელია სტანდარტულად, მაგრამ იქნება მრავალი ტრანსფორმაცია. ჩემი აზრით, სავსებით მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ შესანიშნავი ეკვივალენტები აქ:

მოდით შევცვალოთ უსასრულოდ მცირე ფუნქციები ეკვივალენტური ფუნქციებით. ზე:

Სულ ეს არის!

ერთადერთი ტექნიკური ნიუანსი: თავდაპირველად ტანგენსი იყო კვადრატი, ამიტომ ჩანაცვლების შემდეგ არგუმენტიც უნდა იყოს კვადრატი.

მაგალითი 5

იპოვეთ ლიმიტი

ამ ლიმიტის ამოხსნა შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ფორმულებით და საოცარი საზღვრები, მაგრამ გამოსავალი ისევ არ იქნება ძალიან სასიამოვნო. ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით მრიცხველის გარდაქმნის დროს. თუ არის დაბნეულობა ძალასთან, წარმოადგინეთ იგი როგორც პროდუქტი:

მაგალითი 6

იპოვეთ ლიმიტი

მაგრამ ეს უკვე რთული შემთხვევაა, როცა გადაწყვეტის სტანდარტულად განხორციელება ძალიან რთულია. ჩვენ ვიყენებთ შესანიშნავ ეკვივალენტებს:

მოდით შევცვალოთ უსასრულო მცირეები ეკვივალენტებით. ზე:

მიიღება უსასრულობა, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უფრო მაღალი რიგის სიმცირისაა, ვიდრე მრიცხველი.

პრაქტიკა სწრაფად მიმდინარეობდა გარე ტანსაცმლის გარეშე =)

მაგალითი 7

იპოვეთ ლიმიტი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ გაუმკლავდეთ ლოგარითმს ;-)

არ არის იშვიათი, რომ ნახოთ შესანიშნავი ეკვივალენტობები, რომლებიც გამოიყენება ლიმიტების გადაჭრის სხვა მეთოდებთან ერთად:

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის ზღვარი ეკვივალენტური უსასრულო მცირე ზომის და სხვა გარდაქმნების გამოყენებით

გაითვალისწინეთ, რომ ღირსშესანიშნავი პირობითი ეკვივალენტები უნდა იქნას გამოყენებული აქ.

Ჩვენ ვწყვეტთ:

პირველ ეტაპზე ჩვენ ვიყენებთ შესანიშნავ ეკვივალენტებს. ზე:

ყველაფერი ნათელია სინუსით: . რა ვუყოთ ლოგარითმს? ჩვენ წარმოვადგენთ ლოგარითმს ფორმაში და ვიყენებთ ეკვივალენტობას. როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაში

მეორე საფეხურზე ვიყენებთ გაკვეთილზე განხილულ ტექნიკას

რა არის უსასრულო პატარა ფუნქციები

თუმცა, ფუნქცია შეიძლება იყოს უსასრულოდ მცირე მხოლოდ კონკრეტულ წერტილში. როგორც 1-ლ სურათზეა ნაჩვენები, ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა მხოლოდ 0 წერტილში.

სურათი 1. უსასრულოდ მცირე ფუნქცია

თუ ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი იწვევს 1-ს, ფუნქციები ექვივალენტურად უსასრულოდ მცირეა, როგორც x უახლოვდება a-ს.

\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

განმარტება

თუ f(x), g(x) ფუნქციები უსასრულოდ მცირეა $x > a$-ისთვის, მაშინ:

• ფუნქციას f(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე უმაღლესი რიგის g(x) მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• ფუნქციას f(x) ეწოდება n რიგის უსასრულოდ მცირე g(x) მიმართ, თუ ის განსხვავდება 0-დან და ზღვარი სასრულია:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

მაგალითი 1

ფუნქცია $y=x^3$ უსასრულოდ მცირე უმაღლესი რიგია x>0-ისთვის, y=5x ფუნქციასთან შედარებით, რადგან მათი თანაფარდობის ზღვარი არის 0, ეს აიხსნება იმით, რომ ფუნქცია $y=x. ^3$ მიდრეკილია ნულოვანი მნიშვნელობისკენ უფრო სწრაფად:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\ 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim)\limits_(x\ 0-მდე )x=0\]

მაგალითი 2

y=x2-4 და y=x2-5x+6 ფუნქციები ერთიდაიგივე რიგის უსასრულოდ მცირეა x>2-ისთვის, რადგან მათი თანაფარდობის ზღვარი არ არის 0-ის ტოლი:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim)\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim)\limits_(x\2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

ეკვივალენტური უსასრულოების თვისებები

1. ორი ეკვივალენტური უსასრულოების განსხვავება არის უმაღლესი რიგის უსასრულო მცირედი თითოეულ მათგანთან მიმართებაში.
2. თუ უსასრულოდ მცირე უმაღლეს ბრძანებებს გამოვრიცხავთ რამდენიმე უსასრულოდ მცირე სხვადასხვა რიგის ჯამიდან, მაშინ დარჩენილი ნაწილი, რომელსაც მთავარ ნაწილს უწოდებენ, მთელი ჯამის ექვივალენტია.

პირველი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ეკვივალენტური უსასრულო მცირე შეიძლება გახდეს დაახლოებით ტოლი თვითნებურად მცირე ფარდობითი შეცდომით. მაშასადამე, ნიშანი ≈ გამოიყენება როგორც უსასრულოების ეკვივალენტობის აღსანიშნავად, ასევე მათი საკმარისად მცირე მნიშვნელობების სავარაუდო ტოლობის დასაწერად.

ლიმიტების პოვნისას ძალიან ხშირად საჭიროა გამოთვლების სიჩქარისა და მოხერხებულობისთვის ეკვივალენტური ფუნქციების შეცვლა. ეკვივალენტური უსასრულოების ცხრილი წარმოდგენილია ქვემოთ (ცხრილი 1).

ცხრილში მოცემული უსასრულო მცირე ზომის ეკვივალენტობა შეიძლება დადასტურდეს ტოლობის საფუძველზე:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

ცხრილი 1

მაგალითი 3

მოდით დავამტკიცოთ უსასრულო მცირე ln(1+x) და x-ის ეკვივალენტობა.

მტკიცებულება:

1. იპოვეთ რაოდენობების შეფარდების ზღვარი
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებას:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x)) \]
3. იმის ცოდნა, რომ ლოგარითმული ფუნქცია უწყვეტია მისი განმარტების დომენში, შეგიძლიათ შეცვალოთ ლიმიტის ნიშანი და ლოგარითმული ფუნქცია:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\a) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ მარჯვენა)\]
4. ვინაიდან x არის უსასრულო სიდიდე, ზღვარი მიდრეკილია 0-მდე. ასე რომ:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\0) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ მარჯვნივ) =\ln e=1\]

(გამოიყენა მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტი)

ტესტი

დისციპლინა: უმაღლესი მათემატიკა

თემა: საზღვრები. უსასრულო მცირეთა შედარება

1. რიცხვთა მიმდევრობის ლიმიტი

2. ფუნქციის ლიმიტი

3. მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი

4. უსასრულო სიდიდეების შედარება

ლიტერატურა

1. რიცხვთა მიმდევრობის ლიმიტი

მრავალი მათემატიკური და გამოყენებითი ამოცანის ამოხსნას მივყავართ რიცხვების მიმდევრობამდე, რომლებიც მოცემულია გარკვეული გზით. მოდით გავარკვიოთ მათი ზოგიერთი თვისება.

განმარტება 1.1.თუ ყოველი ნატურალური რიცხვი

ზოგიერთი კანონის მიხედვით, ნამდვილ რიცხვს ათავსებენ შესაბამისობაში, შემდეგ რიცხვთა სიმრავლეს ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობა.

განმარტება 1-ზე დაყრდნობით, ცხადია, რომ რიცხვითი მიმდევრობა ყოველთვის შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ელემენტებს. სხვადასხვა რიცხვითი მიმდევრობის შესწავლა აჩვენებს, რომ რიცხვის მატებასთან ერთად მათი წევრები განსხვავებულად იქცევიან. ისინი შეიძლება გაზარდონ ან შემცირდნენ განუსაზღვრელი ვადით, შეუძლიათ მუდმივად მიუახლოვდნენ გარკვეულ რაოდენობას ან საერთოდ არ გამოავლინონ რაიმე კანონზომიერება.

განმარტება 1.2.ნომერი

ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე რიცხვისთვის არის რიცხვითი მიმდევრობის ასეთი რიცხვი იმის მიხედვით, რომ პირობა დაკმაყოფილებულია რიცხვითი მიმდევრობის ყველა რიცხვისთვის.

მიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენტული. ამ შემთხვევაში დაწერეთ

.

ცხადია, რიცხვითი მიმდევრობის კონვერგენციის საკითხის გასარკვევად, აუცილებელია კრიტერიუმი, რომელიც დაფუძნებული იქნება მხოლოდ მისი ელემენტების თვისებებზე.

თეორემა 1.1.(კოშის თეორემა რიცხვითი მიმდევრობის კონვერგენციის შესახებ). იმისათვის, რომ რიცხვითი მიმდევრობა გადაიზარდოს, აუცილებელია და საკმარისია ნებისმიერი რიცხვისთვის

არსებობდა ასეთი რიცხვითი მიმდევრობის რიცხვი იმის მიხედვით, რომ რიცხვითი მიმდევრობის ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის და რომელიც აკმაყოფილებს პირობას და უტოლობა იქნება ჭეშმარიტი.

მტკიცებულება. საჭიროება. მოცემულია, რომ რიცხვითი მიმდევრობა

თანხვედრა, რაც ნიშნავს, რომ განმარტება 2-ის მიხედვით, მას აქვს ლიმიტი. ავირჩიოთ რაღაც ნომერი. შემდეგ, რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის მიხედვით, არის ისეთი რიგითი რიცხვი, რომ ყველა რიცხვისთვის უტოლობა სრულდება. მაგრამ რადგან თვითნებურია, შესრულდება და . ავიღოთ ორი რიგითი რიცხვი და შემდეგ .

აქედან გამომდინარეობს, რომ

, ანუ აუცილებლობა დადასტურებულია.

ადეკვატურობა. Იმის გათვალისწინებით, რომ

. აქედან გამომდინარე, არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ მოცემული პირობისთვის და . კერძოდ, თუ , და , მაშინ ან იმ პირობით, რომ . ეს ნიშნავს, რომ რიცხვითი თანმიმდევრობა შეზღუდულია. ამიტომ, მისი ერთ-ერთი ქვემიმდევრობა მაინც უნდა გადაიზარდოს. დაე . მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს ასევე ემთხვევა.

ავიღოთ თვითნებობა

. მაშინ, ლიმიტის განსაზღვრის მიხედვით, არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ უტოლობა ყველასთვის მოქმედებს. მეორეს მხრივ, პირობით მოცემულია, რომ მიმდევრობას აქვს ისეთი რიცხვი, რომ ყველასთვის და პირობა დაკმაყოფილდება. და შეასწორეთ ზოგიერთი. მაშინ ყველასთვის მივიღებთ: .

აქედან გამომდინარეობს, რომ