flux de intrare. Modele matematice tipice

24. Fluxul cererii de intrare

24.1 Structura QS

Studiul QS începe cu analiza fluxului de cerințe de intrare. Fluxul cererii de intrare este un set de cerințe care intră în sistem și trebuie deservite. Fluxul de cerințe de intrare este studiat pentru a stabili tiparele acestui flux și pentru a îmbunătăți în continuare calitatea serviciului.

În cele mai multe cazuri, fluxul de intrare este incontrolabil și depinde de o serie de factori aleatori. Numărul de cereri care sosesc pe unitatea de timp, o variabilă aleatorie. O variabilă aleatorie este, de asemenea, intervalul de timp dintre cererile adiacente primite. Cu toate acestea, se presupune că numărul mediu de cereri primite pe unitatea de timp și intervalul de timp mediu dintre cererile învecinate primite sunt date.

Se numește numărul mediu de clienți care intră în sistemul de așteptare pe unitatea de timp intensitatea cereriiși este determinată de următoarea relație:

Unde T - valoarea medie a intervalului dintre sosirea cererilor succesive.

Pentru multe procese reale, fluxul cerințelor este descris destul de bine de legea distribuției Poisson. Un astfel de flux se numește cel mai simplu.

Cel mai simplu flux are următoarele proprietăți importante:

Proprietatea staționarității, care exprimă invarianţa regimului de curgere probabilistică în timp. Aceasta înseamnă că numărul de clienți care intră în sistem la intervale regulate trebuie să fie constant în medie. De exemplu, numărul de vagoane care sosesc pentru încărcare în medie pe zi ar trebui să fie același pentru diferite perioade de timp, de exemplu, la începutul și la sfârșitul unui deceniu.

nici un efect secundar, ceea ce determină independenţa reciprocă a primirii unuia sau altui număr de cereri de deservire în intervale de timp care nu se suprapun. Aceasta înseamnă că numărul de solicitări care sosesc într-un anumit interval de timp nu depinde de numărul de cereri servite în intervalul de timp anterior. De exemplu, numărul de mașini care au sosit pentru materiale în a zecea zi a lunii nu depinde de numărul de mașini deservite în a patra sau în orice altă zi anterioară a lunii respective.

proprietatea banalității, care exprimă imposibilitatea practică a primirii simultane a două sau mai multe cerințe (probabilitatea unui astfel de eveniment este nemăsurat de mică în raport cu perioada de timp considerată, când aceasta din urmă tinde spre zero).

Deoarece scopul funcționării oricărui sistem de servicii este de a satisface aplicațiile (cerințe) pentru serviciu, fluxul de aplicații (cerințe) este unul dintre conceptele de bază și cele mai importante ale teoriei. la coadă. Trebuie să învățați cum să cuantificați fluxul de cerințe de intrare, dar pentru aceasta trebuie să aflați natura și structura acestuia.

Aproape orice flux de cerințe care intră în sistemul de servicii este un proces aleatoriu. Într-adevăr, dacă luăm t=0 pe momentul inițial, apoi în multe fluxuri (cu excepția cazului în care cerințele ajung strict în termen) este fie imposibil, fie mai degrabă dificil de prezis cu exactitate momentul sosirii următoarei cerințe, precum și momentele de sosire a cerințelor ulterioare. De exemplu, este imposibil de indicat cu exactitate momentele în care sosesc clienții la studio, pacienții la spital, sosesc apelurile la PBX, echipamentele la atelierul de reparații etc.

În consecință, momentele de primire a cererilor, precum și intervalele dintre acestea, sunt, în general, variabile aleatoare independente. Apoi, procesul de primire a cerințelor în sistemul de așteptare ar trebui considerat ca un proces probabilist sau aleatoriu. Să notăm acest proces ca X(t). Această funcție determină numărul de solicitări primite de sistem într-o perioadă de timp . Pentru fiecare t fix, funcția X(t) este o variabilă aleatorie. Într-adevăr, dacă alegem intervale de timp chiar de aceeași durată, atunci în acest caz nu se poate fi sigur că în fiecare dintre aceste intervale vor ajunge același număr de cerințe.

Pentru o perioada de timp s-ar putea să nu existe o singură cerere sau să existe 1, 2, ... cereri. Dar indiferent cât de lungi sunt intervalele de timp pe care le alegem, numărul de aplicații va fi doar un întreg.

Fluxul de cerințe poate fi reprezentat ca un grafic al uneia dintre implementările variabilei aleatoare a funcției X(t), iau numai valori întregi nenegative. În acest caz, graficul (Fig. 24.2) este o linie în trepte cu salturi egale fie cu una, fie cu mai multe unități, în funcție de faptul că cerințele ajung pe rând sau în grupuri. Deci procesul aleatoriu X(t), are următoarele caracteristici.

1. Pentru fiecare fix t funcţie X(t), ia valori întregi nenegative 0, 1, 2,...,R,... și nu scade odată cu creșterea.

2. Numărul de revendicări primite în perioada de timp , depinde de lungimea acestui interval, adică de valoarea lui t.

3. Implementările proceselor sunt linii în trepte, oarecum diferite unele de altele. Din teoria proceselor aleatoare se știe că un proces va fi complet determinat din punct de vedere probabilistic dacă toate legile sale de distribuție multidimensională sunt cunoscute:

Totuși, găsirea unei astfel de funcție în cazul general este o problemă foarte dificilă și uneori de nerezolvat. Prin urmare, în practică, ei încearcă să folosească procese care au proprietăți care fac posibilă găsirea unor modalități mai simple de a le descrie. Aceste proprietăți includ:

Staționaritate (o mai bună uniformitate în timp);

Lipsa efectelor secundare (Markovian), uneori se spune despre absența memoriei;

Ordinaritatea.

Proprietățile enumerate au fost luate în considerare mai sus în studiul proceselor staționare și Markov, așa că aici amintim doar esența acestor proprietăți în ceea ce privește teoria cozilor.

Fluxul de cerințe se numește staționar sau omogen în timp dacă probabilitatea de primire a unui anumit număr de cerințe într-o anumită perioadă de timp depinde numai de lungimea intervalului și nu de poziția sa în timp (cu alte cuvinte, nu depind de origine). Astfel, pentru un flux staționar, probabilitatea ca pe interval va face exact R cerințele este egală cu probabilitatea de primire R cerințe pentru interval [a, a +t] , Unde a>0, adică

Aceasta înseamnă că caracteristicile probabilistice ale fluxului (parametrii legii distribuției) nu ar trebui să se schimbe în timp.

Multe fluxuri de cerere reală au proprietatea staționarității atunci când sunt privite pe perioade scurte. Astfel de fluxuri includ: fluxul de apeluri către PBX la anumite intervale, fluxul de clienți către magazin, fluxul de echipamente radio care necesită reparații, intensitatea traficului de pasageri etc. Cu toate acestea, unele dintre fluxurile enumerate se modifică în timpul ziua (probabilitatea apelurilor noaptea mai mică decât ziua, orele de vârf în transportul public).

În unele fluxuri, numărul de solicitări care au intrat în sistem după un moment arbitrar de timp nu depinde de numărul de solicitări primite anterior și de momentele de sosire a acestora, adică intervalele dintre sosirea solicitărilor sunt considerate valori independente. și nu există nicio legătură între ele. Starea viitoare a sistemului nu depinde de starea lui trecută. Un flux cu această proprietate se numește flux fără efect secundar sau flux Markov. Proprietatea fără efect secundar (lipsa memoriei) este inerentă multor fire reale. De exemplu, fluxul de apeluri către PBX este un flux fără efecte secundare, deoarece, de regulă, următorul apel vine indiferent de când și câte apeluri au fost efectuate până în acest moment.

Într-un număr de cazuri, natura fluxului de cerințe este de așa natură încât apariția simultană a două sau Mai mult cerințele este imposibil sau aproape imposibil. Un flux cu această proprietate se numește flux obișnuit.

În cazul în care un R R >2 (h) -probabilitatea de apariţie pentru interval h mai mult de o cerință, atunci pentru un flux obișnuit ar trebui să fie:

,

adică, caracterul obișnuit al fluxului necesită ca probabilitatea de apariție a mai multor cerințe într-o perioadă scurtă de timp h ar fi o cantitate infinitezimală de ordin mai mare decât h. În unele fluxuri reale această proprietate este evidentă, în timp ce în altele o acceptăm cu o aproximare destul de bună la realitate. Exemple clasice de astfel de flux sunt fluxul de apeluri către PBX și fluxul de clienți în studio.

Un flux de cereri care are aceste trei proprietăți se numește cel mai simplu. Se poate demonstra că orice flux simplu este descris printr-un proces Poisson. În acest scop, amintim definiția procesului Poisson adoptată în teoria funcțiilor aleatoare.

proces aleatoriu X(t) (0≤ t<∞) valori întregi se numesc proces Poisson dacă este un proces cu incremente independente sau dacă orice creștere a procesului pe un interval de timp h este distribuită conform legii Poisson cu parametru λ h, Unde λ>0 acestea.

În special, dacă t=0, X(0)=0, atunci (3) se rescrie după cum urmează:

(4)

Aici V r (h)înseamnă probabilitatea ca evenimentul care ne interesează să se producă exact R o dată la o perioadă de timp h(din punct de vedere al teoriei cozilor V r (h) determină probabilitatea ca într-o perioadă de timp h va intra exact în sistemul de service R cerințe).

Sensul parametrului X este ușor să aflați dacă găsiți așteptările matematice ale procesului Poisson: M [X(t)]=M. La t=1 primim M[X(1)]=1. Prin urmare, există un număr mediu de aplicații pe unitatea de timp. Prin urmare, valoarea λ adesea denumită intensitate sau densitate de flux.

Din definiția procesului Poisson, urmează imediat trei proprietăți, identice cu cele de mai sus:

1) Independenta sporurilor. În independența incrementelor pentru procesul Poisson, nu există niciun efect secundar - procesul Markov.

2) Uniformitate în timp. Aceasta înseamnă că probabilitățile V r (h) nu depind de momentul initial t interval considerat , dar depind doar de lungimea intervalului h:

3) Ordinaritatea. Normalitatea procesului Poisson înseamnă că este practic imposibil ca un grup de cerințe să ajungă în același moment.

Deci, primirea simultană a două sau mai multe cereri într-un interval de timp mic h este puțin probabilă, așadar

ceea ce indică caracterul obişnuit al procesului Poisson.

Astfel, am stabilit că fluxul descris de procesul Poisson este cel mai simplu. Cu toate acestea, ipoteza inversă este de asemenea adevărată, că cel mai simplu flux este descris printr-un proces Poisson. Ca rezultat, cel mai simplu flux este adesea numit și flux Poisson. Procesul Poisson în teoria coadă ocupă un loc aparte, similar cu cel din teoria probabilității, printre alte legi de distribuție, ocupă legea normală. Și ideea nu este că este descris matematic cel mai simplu, ci că este cel mai comun. Fluxul Poisson este un flux limită (un flux asimptotic atunci când un număr mare de alte fluxuri sunt combinate).

Definiție 6.1. Fluxul de intrare este numit cel mai simplu dacă:

1) probabilitatea apariției unuia sau altui număr de aplicații în intervalul de timp depinde doar de durata acestuia și nu depinde de localizarea acestuia pe axa timpului (staționaritatea fluxului de intrare), în plus, aplicațiile ajung singure (ordinaritatea de fluxul de intrare) și independent unul de celălalt (fără efecte secundare în fluxul de intrare);

2) probabilitatea realizării unui eveniment aleatoriu separat (apariția unei aplicații) pe un interval de timp de scurtă durată este proporțională cu un ordin infinitezimal mai mare de micime față de i.e. este unde

3) probabilitatea realizării a două sau mai multe evenimente aleatoare (apariția a două sau mai multe aplicații) pe un interval scurt de timp este valoarea

Absența efectelor secundare în definirea celui mai simplu flux de intrare înseamnă că pentru orice interval de timp care nu se suprapun, numărul de cereri care sosesc într-unul dintre aceste intervale nu depinde de numărul de cereri care sosesc în alte intervale.

În ciuda faptului că fluxurile de intrare și de ieșire ale multor sisteme reale serviciile nu satisfac pe deplin definiția fluxului cel mai simplu, conceptul fluxului cel mai simplu este utilizat pe scară largă în teoria stării de așteptare. Această împrejurare este legată nu numai de faptul că cele mai simple fluxuri sunt destul de des întâlnite în practică, ci și de faptul că suma unui număr nelimitat de fluxuri ordinare staționare cu aproape orice efect secundar este cel mai simplu flux. În acest sens, să luăm în considerare principalele proprietăți ale celui mai simplu flux.

Teorema 6.1. O variabilă aleatorie discretă care ia valori și caracterizează, pentru cel mai simplu flux de intrare, numărul de clienți care intră în sistemul de așteptare pe un interval de timp de durata t, este distribuită conform legii Poisson cu parametrul

Să considerăm un proces aleatoriu scalar cu stări discrete (adică pentru orice moment fix de timp, secțiunea transversală a acestuia) este o variabilă aleatoare discretă cu un set de valori posibile. Fie ca fiind într-o stare să însemne că există k cereri în serviciu sistem.

În conformitate cu condițiile teoremei și definiția celui mai simplu flux, procesul aleatoriu este un proces omogen Markov cu stări discrete, iar pentru orice numere întregi nenegative i și j, densitatea de probabilitate a tranziției sistemului de așteptare. de la stat, la stat în orice moment este determinată de egalitate

Prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații Kolmogorov are următoarea formă:

unde este probabilitatea ca, pe un interval de timp de durata t, sistemul de servicii studiat să primească un număr de solicitări. Și întrucât din Definiția 6.1 a celui mai simplu flux de cereri rezultă că

apoi ajungem la probleme Cauchy cu privire la functie

si functii

Rezolvând secvenţial problemele Cauchy (6.3), (6.4), în cazul celui mai simplu flux de intrare, găsim probabilitatea ca numărul de clienţi pe un interval de timp de durata t să fie egal cu

Relațiile (6.5) înseamnă că variabila aleatoare este distribuită conform legii Poisson cu parametrul

Corolarul 6.1. Dacă fluxul de intrare este cel mai simplu, atunci numărul mediu de clienți care intră în sistemul de așteptare pe un interval de timp de durata t este egal cu

Pentru a determina numărul mediu de aplicații, trebuie să găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatorii. Și întrucât, conform (6.5), se distribuie conform legii Poisson cu parametrul atunci

Conform corolarului dovedit, parametrul Λ este numărul mediu de cereri care sosesc pe unitatea de timp. Prin urmare, se numește intensitatea sau densitatea celui mai simplu flux.

Corolarul 6.2. Dacă fluxul de cereri de intrare este cel mai simplu, atunci varianța unei variabile aleatoare scalare care caracterizează dispersia numărului de cereri care intră în sistemul de așteptare pe un interval de timp de durata t, raportată la valoarea lor medie, este egală cu

M Dacă fluxul de intrare este cel mai simplu, atunci, conform (6.5), variabila aleatoare este distribuită conform legii Poisson cu parametrul Prin urmare,

Să fim atenți la faptul că, conform (6.6) și (6.7), o variabilă aleatoare distribuită conform legii Poisson are aceeași așteptare și varianță.

Exemplul 6.1. Biroul de service primește în medie 12 comenzi pe oră. Considerând fluxul de comenzi ca fiind cel mai simplu, determinăm probabilitatea ca: a) să nu fie primite comenzi în 1 minut; b) nu vor fi primite mai mult de trei comenzi în 10 minute.

Deoarece fluxul de ordine este cel mai simplu și intensitatea, atunci, conform (6.5), avem:

În conformitate cu definiția 6.1 a fluxului cel mai simplu, durata intervalului de timp dintre două cereri care sosesc succesiv este o variabilă aleatorie Pentru a construi modele matematice ale sistemelor de așteptare, este necesar să se cunoască funcția de distribuție a unei variabile aleatoare sau distribuția acesteia. densitate (probabilități)

Teorema 6.2. În cazul celui mai simplu flux de intrare cu intensitatea A, durata intervalului de timp dintre două solicitări consecutive are o distribuție exponențială cu parametrul A.

Flux de informații de intrare

Fluxul de informații de intrare este o secvență de documente și date care urmează să fie introduse în sistemul informațional.

Vezi si: Conținutul informațional

• - un dispozitiv la intrarea sistemului care convertește semnalele de intrare pentru a coordona funcționarea sistemului cu o sursă externă. impact...

  Marele dicționar politehnic enciclopedic

• - un semnal de cale care protejează drumul unui punct separat. Ca V. cu. pot fi folosite semafoare sau semafore. Semaforul de intrare este instalat nu mai aproape de 50 m, semaforul nu este mai aproape de 15 m de inteligența săgeții de intrare ...

  Dicționar tehnic feroviar

• - „... Controlul produselor furnizorului primite de consumator sau client și destinate utilizării la fabricarea, repararea sau exploatarea produselor...” Sursa: Ordinul Roskartografii din 29.06...

  Terminologie oficială

• - controlul conformității cu datele pașapoartelor produselor industriale furnizate pentru construcții...

  Dicționar de construcții

• - fluxul de materiale care intră în sistemul logistic din exterior...

  Glosar de termeni de afaceri

• - un document întocmit într-o formă specifică și care conține date destinate introducerii într-un sistem informatic. Vezi și: Conținut  ...

  Vocabular financiar

• - un set de mesaje care circulă în sistem, necesare implementării proceselor de management...

  Marele Dicţionar Economic

• - fluxul extern de materiale care intră în acest sistem logistic din mediul extern...

  Marele Dicţionar Economic

• - un dispozitiv la intrarea unui sistem sau dispozitiv care convertește acțiunile de intrare în semnale care sunt convenabile pentru procesarea, transmiterea și înregistrarea ulterioară sau pentru coordonarea funcționării sistemelor cu diferite intrări - ...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - ...

  Dicţionar de antonim

• - INTRARE, vezi intrare și...

  Dicționar explicativ al lui Ozhegov

• - INTRARE, intrare, intrare. adj. până la intrare. Usa de intrare. Bilet de intrare. Admisie...

  Dicționar explicativ al lui Ushakov

• - intrare I adj. initial, initial, initial. II adj. 1. A da dreptul de a intra 1. undeva. 2. Servind drept intrare...

  Dicţionar explicativ al Efremova

• - intrare adj., folosire. comp. des 1. Când vorbești despre o ușă, te referi la ușa exterioară care duce în casa ta din stradă. Cineva a pășit pe hol și a deschis ușa din față. 2...

  Dicționarul lui Dmitriev

• - intrare "...

  Dicționar de ortografie rusă

• - ...

  Forme de cuvinte

„Input stream of information” în cărți

Fluxul de informații în natură

autor

Fluxul de informații în natură

Din cartea Antropologie și concepte de biologie autor Kurchanov Nikolai Anatolievici

Fluxul de informații în natură Cum este rescrisă informația genetică într-o celulă ADN? ARN? proteina determină fluxul de informații în fauna sălbatică. Acest flux de informații se realizează în marea majoritate a sistemelor vii. El a primit definiția dogmei centrale

TVA „intrată”.

Din cartea Cum se folosește „simplificat” autor Kurbangaleeva Oksana Alekseevna

TVA „intrată” La achiziționarea unui mijloc fix, organizația cumpărătoare își plătește costul, inclusiv taxa pe valoarea adăugată. Cu toate acestea, o întreprindere care aplică sistemul simplificat de impozitare nu poate rambursa de la buget suma TVA „intrată”. Această sumă

Opriți fluxul de informații dăunătoare

Din cartea De ce mușcă prințesele. Cum să înțelegi și să educi fetele autorul Biddulph Steve

Opriți fluxul de informații dăunătoare Deși urăsim să recunoaștem acest lucru, noi, oamenii, suntem în esență animale de turmă. Căutăm constant recunoașterea de la ceilalți și imităm constant pe cei din jurul nostru, încercând să ne conformăm unei norme general acceptate; în timpul nostru

Fluxul de informații care vine din Africa despre diferitele forme de om fosil ne face să aruncăm o privire nouă asupra procesului de izolare a celor mai vechi strămoși umani de lumea animală și la principalele etape ale formării omenirii.

Din cartea Civilizații antice autor Bongard-Levin Grigori Maksimovici

Fluxul de informații din Africa despre diferite forme Omul fosil ne face să aruncăm o privire nouă asupra procesului de izolare a celor mai vechi strămoși umani de lumea animală și la principalele etape ale formării omenirii. La clarificarea multor probleme contribuie

Convertor de intrare

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (VX) a autorului TSB

Fluxul de informații pentru getint()

Din cartea The C Language - A Beginner's Guide autor Prata Stefan

Fluxul de informații pentru getint() Ce ieșire ar trebui să aibă funcția noastră? În primul rând, nu există nicio îndoială că ar trebui să returneze valoarea numărului citit. Desigur, funcția scanf() face deja acest lucru. În al doilea rând, și acest lucru este foarte important, vom crea o funcție care

Conștiința este un flux de energie și informație

Din cartea Mindsight. Noua știință a transformării personale de Siegel Daniel

Conștiința este fluxul de energie și informație Energia este capacitatea de a efectua o acțiune, cum ar fi mișcarea membrelor sau formarea gândurilor. Fizica o explorează tipuri diferite. Simțim energie radiantă în timp ce stăm la soare, energie cinetică în timp ce ne plimbăm pe plajă sau înot,

Fluxul de informații

Din cartea Culegere de povestiri si romane autorul Lukin Evgeny

Fluxul de informații Imediat, de îndată ce Valery Mihailovici Akhlomov a apărut în pragul sectorului editorial, a devenit clar că la ședința de planificare a fost lovit puternic de cea principală. - Folosiți amabilitatea caracterului meu! spuse el cu furie liniştită. - Mintea este de neînțeles: în

Capitolul 2 DIPLOMAȚIA IMPERIALISMULUI CULTURAL ȘI LIBERUL CURGE A INFORMAȚIILOR

Din cartea autorului

CAPITOLUL 2 DIPLOMAȚIA IMPERIALISMULUI CULTURAL ȘI LIBERA CIRCULARE A INFORMAȚIILOR Timp de un sfert de secol, o doctrină – ideea că nicio barieră nu ar trebui să împiedice fluxul de informații între țări – a dominat gândirea internațională despre comunicații și

Fluxul de informații și filosofia ta personală

Din cartea Think and Do! autor Baranovski Serghei Valerievici

Fluxul de informații și filozofia dumneavoastră personală. Vârsta noastră este bună, fie și doar pentru că conține o mulțime de informații. Numai internetul ne deschide sute de uși noi. Nu-i asculta pe cei care numesc Rețeaua gunoi! Internetul nu este o groapă, ci o bibliotecă prost curățată. Zeci de mii de diverse

autor Gosstandart al Rusiei

Din cartea SOFTWARE OF EMBEDDED SYSTEMS. Cerințe generale la dezvoltare și documentare autor Gosstandart al Rusiei

5.1 Fluxul de informații între procesele ciclului de viață al sistemului și al software-ului

Din cartea SOFTWARE OF EMBEDDED SYSTEMS. Cerințe generale pentru dezvoltare și documentare autor Gosstandart al Rusiei

5.1 Fluxul de informații între procese ciclu de viață sisteme și software 5.1.1 Fluxul de informații de la procesele sistemului la procesele software Procesul de evaluare a siguranței sistemului ar trebui să identifice posibile situații de defecțiune pentru sistem și să stabilească categoriile acestora,

12.37 Ghid de informații despre intrare/ieșire software

Din cartea SOFTWARE OF EMBEDDED SYSTEMS. Cerințe generale pentru dezvoltare și documentare autor Gosstandart al Rusiei

12.37 Informații de intrare/ieșire software manualul de informații de intrare/ieșire Software-ul explică utilizatorului cum să prezinte, să introducă informațiile de intrare și cum să interpreteze informațiile de ieșire, în ce mod (lot sau interactiv) funcționează sistemul

Elemente ale teoriei cozilor

§ 1. Introducere

Teoria cozilor este cunoscută și sub denumirea de Teoria cozilor. Într-adevăr, teoria cozilor este în mare măsură dedicată studiului cozilor care apar în diferite sisteme.

Principalele caracteristici ale sistemelor de așteptare sunt următoarele variabile aleatorii:

timpul mediu pe care un client îl petrece într-o coadă;

procentul de timp în care sistemul este inactiv (din cauza lipsei clienților).

Funcționalitatea sistemelor de așteptare este determinată de următorii factori:

distribuirea momentelor de distribuție a clienților;

distribuirea duratei serviciului;

configurarea sistemului de servicii (serviciu serial, paralel sau paralel-serial);

disciplina la coada (serviciul in ordinea sosirii, serviciul in ordinea inversa, selectia aleatorie a clientilor);

capacitatea blocului de așteptare (limitată sau nelimitată);

capacitatea sau puterea sursei de cerere (limitată și nelimitată);

unele alte caracteristici ale sistemului (capacitatea clienților de a trece de la o coadă la alta, probabilitate de eșec diferită de zero etc.).

Principalii factori sunt primii doi.

Orice sistem de așteptare constă din următoarele elemente principale:

fluxul de clienți de intrare;

dispozitiv de service;

disciplina in linie.

§ 2 . Flux de intrare client

Luați în considerare secvențe de variabile aleatoare

Să ne prefacem că t o = 0 este momentul inițial al funcționării sistemului; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., unde τ k sunt variabile aleatoare independente cu distribuție exponențială cu parametrul λ.

W Aici t 1 - momentul sosirii primului client, τ 1 - intervalul de timp dintre pornirea sistemului și sosirea primului client, τ 2 - intervalul de timp dintre sosirea primului și celui de-al doilea client etc.

Urmare
, definit în modul de mai sus este numit cel mai simplu (Poisson) curgere. O constantă se numește parametrul celui mai simplu flux.

Proprietățile unui flux simplu

1. Deplasarea fluxului de T

Să existe un flux simplu
cu parametrul λ.

Prin deplasarea fluxului prin T, primim fluxul
, care va fi și cel mai simplu flux cu același parametru λ. De exemplu, dacă T este între și , atunci noul flux arată astfel:

, ….

2. Îmbinând două fire

P
Să fie două fluxuri elementare independente

Cu
parametrii λ (1) , λ (2) respectiv. Vom spune că fluxul s-a format ca urmare a fuziunii a două fluxuri, dacă mulțimea ( t k) este uniunea mulțimilor ( t k (1) }, {t k ( 2) ) și elemente ale mulțimii ( t k) sunt sortate în ordine crescătoare.

P
fluxul de ieşire rezultat din fuziunea a două fluxuri elementare independente este şi fluxul elementar cu parametrul λ = λ(1) + λ(2) , Unde λ(j)– parametru de debit

3. Împărțirea celui mai simplu flux

Să existe un flux simplu cu un parametru λ,

și o succesiune de variabile aleatoare independente
, luând două valori:

P(ξ i = 1) = p, P(ξ i = 0) = q, p  0, q  0, p + q = 1.

Astfel de variabile aleatoare sunt numite Bernoulli(cu parametru p). Procedura de divizare a fluxului ( t k) este după cum urmează: număr t i referiți-vă la primul flux dacă ξ i= 1; dacă ξ i= 0, apoi numărul t i referiți-vă la al doilea flux. Numim o astfel de operație de împărțire a unui flux în două Bernoulli(cu parametru p).

Debitele obținute ca urmare a separării Bernoulli a celui mai simplu debit sunt debite cele mai simple independente cu parametrii λ (1) = λp, respectiv λ (2) = λq.

Rețineți că dovezile acestor proprietăți ale celui mai simplu flux pot fi găsite în .

H
herez X(t)În cele ce urmează, vom indica numărul de clienți din sistem în acest moment t, adică

Proprietățile proceselor Poisson

Incrementul procesului Poisson este omogen.

Notează prin X((A,b])= X(b) – X(A) increment de proces, care poate fi interpretat ca numărul de clienți care intră în sistem în intervalul ( A,b]. Omogenitatea înseamnă îndeplinirea condiției:

P( X((A,b]) = k) = P( X((0,b-A]) = k) = P( X(b-A) = k),

acestea. distribuția de probabilitate a numărului de clienți care intră în sistem în interval ( A,b], depinde numai de lungimea acestui decalaj.

Incrementele procesului Poisson sunt independente.

Luați în considerare intervalul (0, b] și să presupunem că este împărțit în intervale care nu se intersectează (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , ( b N-1, b N]. Lăsa b 0 = 0. Atunci X((b 0 , b 1 ]), X((b 1 , b 2]), , X((b N-1, b N ]) este numărul de clienți care intră în sistem în perioadele de timp corespunzătoare. Aceste cantități sunt independente, adică

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1, , X((b N-1, b N ]) = i N) =

P( X((b 0 , b 1 ]) = i 1)  P( X((b N-1, b N ]) = i N).

Dovezi pentru aceste proprietăți pot fi găsite în .

Sarcini pentru § 2.

2.1. Există două variabile aleatorii  1 și  2. Sunt independente și au o distribuție exponențială cu parametri  1 și  2 respectiv. Introducem următoarea variabilă aleatorie:  = min(  1 ,  2). Demonstrați că această mărime are o distribuție exponențială cu parametru = 1 + 2 .

2.2. Având în vedere două variabile aleatoare independente  1 și  2 având o distribuție Poisson cu parametru  1 și  2 respectiv. Fie variabila aleatoare  = 1 + 2. Demonstrați că această mărime are o distribuție Poisson cu parametru  = 1 + 2 .

2.3. Lăsa  este numărul de clienți din magazine și are o distribuție Poisson cu parametrul  . Lăsați fiecare client cu probabilitate p face o achiziție în acest magazin. Este necesar să se demonstreze că numărul de clienți care au făcut o achiziție în acest magazin are o distribuție Poisson cu parametrul p.

2.4. Clienții vin la restaurant conform fluxului Poisson cu o frecvență medie de 20 de clienți pe oră. Restaurantul se deschide la ora 11.00.

a) probabilitatea ca la ora 11.12 să fie 20 de clienți în restaurant, în condițiile în care la ora 11.07 erau 18 clienți în restaurant;

b) probabilitatea ca un nou vizitator să sosească la restaurant între orele 11.28 și 11.30, dacă se știe că vizitatorul anterior a sosit la restaurant la ora 11.25.

2.5. Produsele sunt preluate dintr-un depozit cu o capacitate de 80 de articole în stoc, în conformitate cu fluxul Poisson în rată de 5 articole pe zi.

a) probabilitatea ca în primele două zile să fie preluate din depozit 10 unități de produse;

b) probabilitatea ca până la sfârșitul celei de-a patra zile să nu mai rămână o singură unitate de produs în depozit.

§

3. Procesul morții și al reproducerii

Să construim procesul morții și al reproducerii X(t) „în mod constructiv”.

Luați în considerare două secvențe și. Primul este responsabil pentru intrarea clienților în sistem (reproducție), iar al doilea este responsabil pentru deservirea clienților (deces):

În plus, să fie date două secvențe independente
variabile aleatoare independente cu distribuție exponențială cu parametrul =1.

Proces X(t) este construit după cum urmează. Lăsa
, Unde
. Apoi pe interval
proces X(t) își va păstra valoarea , Unde
,

.

Pe moment t 1 valoare de proces X(t) fie va crește, fie va scădea cu unu în funcție de care dintre cele două momente
vine înainte de:

Am pus astfel sensul procesului X(t) la punctul t 1 egal ; apoi evoluţia procesului X(t) pe interval
, Unde
și
, respectă aceeași lege: X(t) nu se modifică în acest interval momentan t 2

incrementat cu unu dacă
, și scade cu una în caz contrar.

Dacă
, apoi valoarea procesului X(t) crește cu unu la un moment aleator
.

Procesul construit în acest fel
, se numește proces uniform în timp al morții și al reproducerii; distribuțiile sale sunt complet determinate de setul de parametri și distribuția inițială X(0):

Este convenabil să utilizați următoarele diagramă pentru a reprezenta dezvoltarea procesului X(t):

Săgețile de mai sus corespund dinamicii procesului de reproducere: de la i starea, procesul merge la ( i+1)-a stare cu intensitate ; săgeţile de mai jos corespund dinamicii procesului morţii: cu intensitate proces de la i starea merge la ( i-1)-a stare.

Set de caracteristici

descrie distribuția procesului X(t); mai jos prezentam un sistem de ecuatii pe care aceste functii le satisfac.

Rețineți că nu fiecare set de parametri
răspunde unui proces „nedegenerat”. X(t); adevărul este că dacă cifrele cresc foarte repede la
, apoi procesul X(t) în momentul final t poate „exploda”, adică cu o probabilitate pozitivă de a depăși orice nivel și de a crește la
. Așa se face, de exemplu, o populație de bacterii în mediu favorabil. Procesele care descriu reacțiile chimice care duc la o explozie sunt aranjate în mod similar.

Procesele X(t), pentru care toate
, aparțin așa-numitelor procese pure de reproducere. Procese pentru care
, numit procese de moarte pură.

Următoarea lemă oferă condiții necesare și suficiente asupra parametrilor
, care garantează caracterul finit al procesului de reproducere pură
cu parametrii.

Lema. Lăsați procesul de reproducere pură cu parametri. Atunci pentru caracterul finit al procesului este necesar și suficient ca seria să diverge

Lăsa X(t) procesul de moarte și reproducere cu aceiași parametri proces , precum și parametrii
. Este evident că

P( X(t)  )  P( X + (t)  ) .

Prin urmare, obținem un corolar din lemă.

Consecinţă. Dacă pentru un proces arbitrar de moarte a reproducerii X(t) condiţia
, apoi pentru orice
corect P( X(t)  ) = 1, adică procesul este terminat.

Dovada lemei poate fi găsită în .

Sarcini pentru § 3

3.1. Luați în considerare procesul de moarte și reproducere, pentru care

Este necesar să se deseneze o diagramă corespunzătoare acestui proces.

3.2. Permiteți clienților care doresc să primească ajutor telefonic să formeze cel mai simplu flux cu parametrul . Lasă fiecare conversație să dureze - ora indicativa. Lăsa X(t) este numărul de clienți din sistem la momentul t. Desenați o diagramă corespunzătoare procesului X(t).

3.3. Fie în condițiile problemei 3.2

telefonul are o memorie pentru un client: dacă clientul sună și telefonul este ocupat, dar memoria telefonului este liberă, atunci aparatul oferă să închidă și să aștepte un apel. Când telefonul este liber, soneria va suna;

exista comutator automat si doua telefoane, fiecare telefon are propriul operator: daca la momentul apelului clientului exista un telefon gratuit, comutatorul adreseaza automat clientul catre acest telefon;

comutatorul (vezi articolul 2)) are memorie pentru un client;

fiecare telefon (vezi punctul 2)) are o memorie pentru un client.

Pentru toate cazurile de mai sus, desenați o diagramă corespunzătoare procesului X(t).

3.4. Determinați dacă procesele finale de reproducere pură au următoarele rate de reproducere:

A)  k =k +  ,  >0,  >0, k= 0, 1, ...

b)  0 = 1,  k +1 = (k+1) k , k = 0, 1, ...

în)  k =  k , k = 0, 1, ...  > 0.

§ 4. Ecuaţii diferenţiale corespunzătoare procesului de moarte şi reproducere

Să ne prefacem că X(t) este procesul morţii şi al reproducerii cu caracteristici şi. Lasă câteva numere finite Ași B există inegalități  i  A + Bi, i= 0, 1, ...Această condiție garantează sfârșitul procesului X(t). În acest caz, vom fi de acord că săgeata de sus din stânga vine în fiecare stare (chiar la starea 0), în timp ce rata natalității λ poate fi egal cu zero (de exemplu, λ –1 = = 0); din fiecare stare există o săgeată de jos la stânga și intensitatea morții μ poate fi, de asemenea, zero (de exemplu, λ –1 = 0). Extinderea definiției diagramei în acest fel nu schimbă esența problemei, cu toate acestea, va fi utilă în continuarea raționamentului. Luați în considerare o diagramă corespunzătoare procesului nostru X(t):

Indicați, ca înainte, prin

P k (t) = P(X(t) = k), k = 0,1,…,

probabilitatea ca la un moment dat t numarul de clienti X(t) va fi egal cu k.

Teorema 1.CaracteristiciprocesX(t), definit mai sus, satisface următorul sistem de ecuații diferențiale

Unde k = 0,1,…, si conditiile initiale

Nu este deplasat să explici că prima linie (când k= 0) sistemul de ecuații (1) are forma

Dovada. Notează prin P k ( t +Δ) = P(X(t+ Δ) = k).

Să folosim definiția derivatei unei funcții a unei variabile:

.

Luați în considerare aceste evenimente:

A 0 (t, Δ) = (pe segmentul [ t, t+Δ] proces X(t) nu a făcut nici un salt);

A 1 (t, Δ) = (pe segmentul [ t, t+Δ] proces X(t) a făcut exact un salt);

A 2 (t, Δ) = (pe segmentul [ t, t+Δ] proces X(t) a făcut două sărituri sau mai multe).

Atunci este evident că

Indicați în continuare prin

; prin
trei variabile aleatoare exponenţiale cu parametri
. Fie ca toate aceste mărimi să fie independente. Atunci adevărat. Atunci este evident că modul staționar (staționar). P k (t) = P(în sistem în acest moment t situat k clienti).

Găsiți soluția sistemului de ecuații diferențiale, precum și probabilitățile staționare.

4.2. Pentru procesele de moarte și reproducere din problema 3.3 scrieți ecuații diferențiale care relaționează probabilitățile P k (t) = P(în sistem în acest moment t situat k clienti).

Găsiți probabilități staționare.

Sarcina principală a TSMO este de a stabili relația dintre natura fluxului de aplicații la intrarea în QS, performanța unui canal, numărul de canale și eficiența serviciului.

Diferite funcții și cantități pot fi utilizate ca criteriu de eficiență:

• timpul mediu de oprire a sistemului;
• timpul mediu de așteptare la coadă;
• legea de repartizare a duratei de așteptare a unei cerințe în coadă;
• % mediu de cereri respinse; etc.

Alegerea criteriului depinde de tipul de sistem. De exemplu, pentru sistemele cu defecțiuni caracteristica principală este absolutul debitului CMO; criteriile mai puțin importante sunt numărul de canale ocupate, timpul mediu relativ de inactivitate al unui canal și sistemul în ansamblu. Pentru sisteme fără pierderi(cu așteptare nelimitată) cele mai importante sunt timpul mediu de inactivitate în coadă, numărul mediu de cereri din coadă, timpul mediu de rezidență al cererilor în sistem, factorul de inactivitate și factorul de încărcare al sistemului de deservire.

TSMO modern este un set de metode analitice pentru studierea tipurilor de QS enumerate. În cele ce urmează, dintre toate metodele destul de complexe și interesante de rezolvare a problemelor de coadă, vor fi prezentate metodele descrise în clasa proceselor Markov de tip „moarte și reproducere”. Acest lucru se datorează faptului că aceste metode sunt cel mai des folosite în practica calculelor inginerești.

2. Modele matematice ale fluxurilor de evenimente.

2.1. Fluxuri regulate și aleatorii.

Una dintre întrebările centrale ale organizației QS este elucidarea regularităților care guvernează momentele în care cerințele de servicii intră în sistem. Luați în considerare cel mai folosit modele matematice fluxuri de intrare.

Definiție: Fluxul de cerințe se numește omogen dacă îndeplinește următoarele condiții:

1. toate aplicațiile fluxului sunt egale în ceea ce privește serviciul;

în loc de cerințele (evenimentele) fluxului, care prin natura lor pot fi diferite, numai la momentul sosirii lor.

Definiție: Un flux se numește regulat dacă evenimentele din flux urmează unul după altul la intervale de timp stricte.

Funcţie f (x) a densității distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare T - intervalul de timp dintre evenimente are forma:

Unde - funcția delta, M t - așteptare matematică și M t \u003d T, varianța Dm = 0 și intensitatea apariției evenimentelor în flux \u003d 1 / M t \u003d 1 / T.

Definiție: Fluxul este numit Aleatoriu dacă evenimentele sale au loc în momente aleatorii.

Un flux aleator poate fi descris ca un vector aleator, care, după cum se știe, poate fi definit în mod unic de legea distribuției în două moduri:

Unde, zi- valorile Ti(i=1,n),În acest caz, momentele de apariție a evenimentelor pot fi calculate după cum urmează

t 1 \u003d t 0 +z1

t 2 \u003d t 1 +z2

………,

Unde, t 0 - momentul începerii curgerii.

2.2. Cel mai simplu flux Poisson.

Pentru a rezolva un număr mare de probleme aplicate, este suficientă aplicarea unor modele matematice de fluxuri omogene care să satisfacă cerințele staționarității, fără efecte secundare și banalitate.

Definiție: Se spune că un flux este staționar dacă probabilitatea de apariție nevenimentele pe intervalul de timp (t,t + T) depind de localizarea acestuia pe axa timpului t.

Definiție: Un flux de evenimente se numește obișnuit dacă probabilitatea apariției a două sau mai multe evenimente într-un interval de timp elementar D teste o valoare infinitezimală în comparație cu probabilitatea de apariție a unui eveniment în acest interval, i.e. la n=2,3,...

Definiție: Fluxul de evenimente este numit curge fara consecinte, dacă pentru orice interval de timp care nu se suprapun numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care se încadrează pe celălalt.

Definiție: Dacă fluxul satisface cerințele de staționaritate, banalitate și fără consecințe, se numește cel mai simplu flux Poisson.

Se demonstrează că pentru cel mai simplu debit numărul nevenimente care se încadrează pe orice interval zdistribuite conform legii lui Poisson:

(1)

Probabilitatea ca niciun eveniment să nu apară în intervalul de timp z este egală cu:

(2)

atunci probabilitatea evenimentului opus este:

unde prin definiție P(T este funcția de distribuție a probabilității T.De aici rezultă că variabila aleatoare T este distribuită conform legii exponențiale:

(3)

parametrul se numește densitate de flux. În plus,

Pentru prima dată, descrierea celui mai simplu model de curgere a apărut în lucrările unor fizicieni remarcabili de la începutul secolului - A. Einstein și Yu. Smolukhovsky, devotați mișcării browniene.

2.3. Proprietățile celui mai simplu flux Poisson.

Există două proprietăți ale celui mai simplu flux care pot fi utilizate în rezolvarea problemelor practice.

2.3.1. Introducem cantitatea a= X. În conformitate cu proprietățile distribuției Poisson pentrutinde să fie normal. Prin urmare, pentru a mare, pentru a calcula P(X(a) este mai mic sau egal cu n), unde X(a) este o variabilă aleatoare Poisson cu așteptarea a, puteți utiliza următoarea egalitate aproximativă:

2.3.2. O altă proprietate a celui mai simplu flux este legată de următoarea teoremă:

Teorema: Cu o distribuție exponențială a intervalului de timp dintre cerințele T, indiferent de cât a durat acesta, partea rămasă a acestuia are aceeași lege de distribuție.

Demonstrație: fie T distribuit conform legii exponențiale: Să presupunem că intervalul a a durat deja ceva timp a< T. Să găsim legea condițională de distribuție a părții rămase a intervalului T 1 = T-a

Fa (x)=P(T-a X)

Conform teoremei înmulțirii probabilităților:

P((T>a)(T-a z) P(T-a a)=P(T>a) F a (z).

De aici,

este echivalent cu evenimentul a , pentru care P(a ; pe de altă parte

P(T>a)=1-F(a), astfel

F a (x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))

Prin urmare, luând în considerare (3):

Această proprietate are un singur tip de flux - cel mai simplu Poisson.