Na przełomie XIX-XX wieku. w związku z powstawaniem i wprowadzaniem do życia codziennego nowych typów maszyn, instalacji i Pojazd pracujących pod obciążeniami zmieniającymi się cyklicznie w czasie okazało się, że istniejące metody obliczeniowe nie dają wiarygodnych wyników obliczeń takich konstrukcji. Po raz pierwszy z takim zjawiskiem zetknęli się m.in transport kolejowy kiedy doszło do serii katastrof związanych z pęknięciem osi wagonów i parowozów.
Później okazało się, że przyczyną zniszczenia były naprzemienne naprężenia powstające podczas ruchu pociąg na skutek obracania się osi wagonu wraz z kołami. Jednak początkowo sugerowano, że podczas długotrwałej eksploatacji metal zmienia swoją strukturę krystaliczną - zmęczony. Założenie to nie zostało potwierdzone, jednak w praktyce inżynierskiej zachowała się nazwa „obliczenia zmęczeniowe”.
Na podstawie wyników dalszych badań stwierdzono, że zniszczenie zmęczeniowe spowodowane jest kumulacją miejscowych uszkodzeń w materiale części i rozwojem pęknięć. Właśnie te procesy, które zachodzą podczas pracy różnych maszyn, pojazdów, obrabiarek i innych instalacji podlegających drganiom i innym rodzajom obciążeń zmiennych w czasie, zostaną omówione poniżej.
Rozważ cylindryczną próbkę zamocowaną na jednym końcu we wrzecionie, na drugim wolnym końcu, na który działa siła poprzez łożysko F(Rys. 16.1).
Ryż. 16.1.
Wykres momentu zginającego próbki zmienia się liniowo, a jego maksymalna wartość jest równa FI W punktach przekroju próbki ALE oraz W jest maksimum całkowita wartość Napięcie. Wartość naprężenia normalnego w punkcie L będzie wynosić
W przypadku obrotu próbki z prędkością kątową od punktu przekroju zmieniają one swoje położenie względem płaszczyzny działania momentu zginającego. W trakcie t charakterystyczny punkt ALE obraca się o kąt φ = ω/ i kończy w nowym położeniu ALE"(ryc. 16.2, a).
Ryż. 16.2.
Naprężenie w nowej pozycji tego samego punktu materialnego będzie równe
Podobnie możemy rozważyć inne punkty i dojść do wniosku, że gdy próbka obraca się w wyniku zmiany położenia punktów, naprężenia normalne zmieniają się zgodnie z prawem cosinusów (ryc. 16.2, b).
Aby wyjaśnić proces zniszczenia zmęczeniowego, trzeba będzie odrzucić podstawowe hipotezy dotyczące materiału, a mianowicie hipotezę ciągłości i hipotezę jednorodności. Prawdziwe materiały nie są idealne. Z reguły materiał początkowo zawiera defekty w postaci niedoskonałości sieci krystalicznej, porów, mikropęknięć, obcych wtrąceń, które są przyczyną niejednorodności strukturalnej materiału. W warunkach obciążenia cyklicznego niejednorodność strukturalna prowadzi do niejednorodności pola naprężeń. W najsłabszych miejscach części rodzą się mikropęknięcia, które pod wpływem zmieniających się w czasie naprężeń zaczynają rosnąć, łączyć się, zamieniać w główne pęknięcie. Dostając się do strefy napięcia, pęknięcie otwiera się, aw strefie kompresji wręcz przeciwnie, zamyka się.
Mały lokalny obszar, w którym pojawia się pierwsze pęknięcie i od którego zaczyna się jego rozwój, nazywa się ognisko niepowodzenia zmęczenia. Taki obszar z reguły znajduje się w pobliżu powierzchni części, ale jego pojawienie się w głębi materiału nie jest wykluczone w przypadku jakichkolwiek uszkodzeń. Jednoczesne istnienie kilku takich regionów nie jest wykluczone, dlatego zniszczenie części może rozpocząć się od kilku konkurujących ze sobą ośrodków. W wyniku rozwoju pęknięć przekrój ulega osłabieniu aż do wystąpienia pęknięcia. Po uszkodzeniu strefa propagacji pęknięć zmęczeniowych jest stosunkowo łatwa do rozpoznania. Na przekroju części zniszczonej ze zmęczenia znajdują się dwa ostro różne obszary (ryc. 16.3).
Ryż. 16.3.
1 - obszar wzrostu pęknięć; 2 - rejon pęknięć kruchych
Region 1 charakteryzuje się błyszczącą gładką powierzchnią i odpowiada początkowi procesu niszczenia, który przebiega w materiale ze stosunkowo małą prędkością. Na ostatnie stadium procesie, gdy sekcja dostatecznie się osłabi, następuje gwałtowne lawinowe zniszczenie części. Ten ostatni etap na ryc. 16,3 odpowiada obszarowi 2, który charakteryzuje się szorstką, chropowatą powierzchnią z powodu szybkiego końcowego uszkodzenia części.
Należy zauważyć że studium teoretyczne Wytrzymałość zmęczeniowa metali wiąże się ze znacznymi trudnościami ze względu na złożoność i wieloczynnikowy charakter tego zjawiska. Z tego powodu niezbędne narzędzie staje się podejście fenomenologiczne. W większości wzory do obliczania części zmęczeniowych uzyskuje się na podstawie wyników eksperymentów.
Większość części maszyn w warunkach eksploatacji podlega zmiennym naprężeniom, które zmieniają się cyklicznie w czasie. Analiza awarii pokazuje, że materiały części maszyn, które działają przez długi czas pod działaniem obciążenia zmienne, może zawieść przy naprężeniach mniejszych niż wytrzymałość na rozciąganie i granica plastyczności.
Zniszczenie materiału spowodowane powtarzającym się działaniem zmiennych obciążeń nazywa się zniszczeniem zmęczeniowym lub zmęczenie materiału.
Zniszczenie zmęczeniowe spowodowane jest pojawieniem się mikropęknięć w materiale, niejednorodnością struktury materiałów, obecnością śladów obróbki i uszkodzeń powierzchni oraz skutkiem koncentracji naprężeń.
Wytrzymałość nazywana jest zdolnością materiałów do przeciwstawiania się zniszczeniu pod wpływem naprzemiennych naprężeń.
Okresowe prawa zmian zmiennych napięć mogą być różne, ale wszystkie z nich można przedstawić jako sumę sinusoid lub fal cosinusoidalnych (ryc. 5.7).
Ryż. 5.7. Zmienne cykle napięcia: a- asymetryczny; b- pulsujący; w - symetryczny
Nazywa się liczbę cykli napięcia na sekundę częstotliwość ładowania. Cykle naprężeń mogą mieć stały znak (ryc. 5.7, a, b) lub naprzemiennie (ryc. 5.7, w).
Cykl napięć przemiennych charakteryzuje się: napięciem maksymalnym a max, napięciem minimalnym a min, napięciem średnim a t =(a max + a min)/2, amplituda cyklu s fl = (a max - a min)/2, współczynnik asymetrii cyklu rG= min./maks.
Przy symetrycznym cyklu obciążenia a max = - ci min ; w = 0; gs = -1.
Przy pulsującym cyklu napięcia a min \u003d 0 i \u003d 0.
Nazywa się maksymalną wartość okresowo zmieniającego się naprężenia, przy której materiał może wytrzymać zniszczenie w nieskończoność granica wytrzymałości lub granica zmęczenia.
Aby określić granicę wytrzymałości, próbki są testowane na specjalnych maszynach. Najczęstsze testy zginania są przeprowadzane w symetrycznym cyklu obciążenia. Testy wytrzymałości na rozciąganie-ściskanie i skręcanie są wykonywane rzadziej, ponieważ wymagają więcej skomplikowany sprzęt niż w przypadku zginania.
Do badań wytrzymałościowych wybiera się co najmniej 10 identycznych próbek. Testy przeprowadza się w następujący sposób. Pierwsza próbka jest instalowana na maszynie i obciążana cyklem symetrycznym z amplitudą naprężenia (0,5-0,6) st (o w - wytrzymałość materiału). W momencie zniszczenia próbki liczba cykli jest ustalana przez licznik maszyny N. Druga próbka jest testowana przy niższym napięciu, a zniszczenie następuje przy jeszcze cykle. Następnie testowane są następujące próbki, stopniowo zmniejszając napięcie; rozkładają się z większą liczbą cykli. Na podstawie uzyskanych danych budowana jest krzywa wytrzymałości (rys. 5.8). Na krzywej wytrzymałości istnieje odcinek zmierzający do asymptoty poziomej. Oznacza to, że przy pewnym napięciu a próbka może wytrzymać nieskończenie dużą liczbę cykli bez zniszczenia. Rzędna tej asymptoty określa granicę wytrzymałości. Tak więc dla stali liczba cykli N= 10 7, dla metali nieżelaznych - N= 10 8 .
Na podstawie dużej liczby badań ustalono przybliżone zależności między wytrzymałością graniczną na zginanie a wytrzymałością na inne rodzaje odkształceń.
gdzie st_ |p - granica wytrzymałości dla symetrycznego cyklu rozciąganie-ściskanie; t_j - granica wytrzymałości na skręcanie w warunkach cyklu symetrycznego.
Obezwładniający stres
gdzie W = / / ty tak - moment oporu pręta przy zginaniu. Naprężenie skrętne
gdzie T - moment obrotowy; Wp- biegunowy skręcający moment oporu.
Obecnie granice wytrzymałości dla wielu materiałów są określone i podane w podręcznikach.
Badania eksperymentalne wykazały, że w strefach ostrych zmian kształtu elementów konstrukcyjnych (w pobliżu otworów, rowków, rowków itp.), a także w strefach kontaktu, koncentracja stresu- Wysokie napięcie. Przyczynę powodującą koncentrację naprężeń (otwór, podcięcie itp.) nazywa się koncentrator stresu.
Niech taśma stalowa rozciągnie się na siłę R(Rys. 5.9). W przekroju poprzecznym /' paska działa siła wzdłużna N = R. Napięcie znamionowe, tj. obliczona przy założeniu braku koncentracji naprężeń, jest równa a = R/F.
Ryż. 5.9.
Koncentracja naprężeń maleje bardzo szybko wraz z odległością od piasty, zbliżając się do napięcia znamionowego.
Jakościowo koncentracja naprężeń dla różnych materiałów jest określana przez efektywny współczynnik koncentracji naprężeń
gdzie o _ 1k, t_ i - granice wytrzymałości określone przez naprężenia nominalne dla próbek o koncentracji naprężeń i takich samych wymiarach przekroju jak próbka gładka.
Wartości liczbowe współczynników efektywnej koncentracji naprężeń wyznaczane są na podstawie badań zmęczeniowych próbek. Dla typowych i najczęściej spotykanych postaci koncentratorów naprężeń i podstawowych materiałów konstrukcyjnych uzyskuje się wykresy i tabele, które są podawane w podręcznikach.
Empirycznie ustalono, że granica wytrzymałości zależy od bezwzględnych wymiarów przekroju poprzecznego próbki: wraz ze wzrostem przekroju granica wytrzymałości maleje. Ten wzór został nazwany Współczynnik skali i tłumaczy się tym, że wraz ze wzrostem objętości materiału wzrasta prawdopodobieństwo obecności w nim niejednorodności strukturalnych (wtrącenia żużla i gazu itp.), co powoduje pojawienie się ognisk koncentracji naprężeń.
Wpływ wymiarów bezwzględnych części jest uwzględniany poprzez wprowadzenie współczynnika do wzorów obliczeniowych G, równy stosunkowi granicy wytrzymałości stary dana próbka o danej średnicy d do granicy wytrzymałości a_j geometrycznie podobnej próbki laboratoryjnej (zwykle d=l mm):
Więc dla stali akceptuj e za\u003d e t \u003d e (zwykle r \u003d 0,565-1,0).
Na granicę wytrzymałości wpływa czystość i stan powierzchni części: wraz ze spadkiem czystości powierzchni zmniejsza się granica zmęczenia, ponieważ obserwuje się koncentrację naprężeń w pobliżu jej zadrapań i zadrapań na powierzchni części.
Współczynnik jakości powierzchni jest stosunkiem wytrzymałości granicznej st_ próbki o zadanym stanie powierzchni do wytrzymałości granicznej st_ próbki o powierzchni wypolerowanej:
Zwykle (3 \u003d 0,25 -1,0, ale z utwardzaniem powierzchniowym części specjalnymi metodami (hartowanie prądami Wysoka częstotliwość, cementacja itp.) może być większa niż jeden.
Wartości współczynników określa się zgodnie z tabelami z podręczników do obliczeń wytrzymałościowych.
Obliczenia wytrzymałościowe przy napięciach przemiennych w większości przypadków są one wykonywane jako testowe. Wynik obliczeń jest rzeczywisty współczynniki bezpieczeństwa n, które porównuje się z wymaganymi (dopuszczalnymi) dla danego projektu współczynnikami bezpieczeństwa [P], ponadto musi być spełniony warunek l > [n J] Zwykle dla części stalowych [l] = 1,4 - 3 lub więcej, w zależności od rodzaju i przeznaczenia części.
Przy symetrycznym cyklu zmian naprężeń współczynnik bezpieczeństwa wynosi:
0 dla rozciągnięcia (kompresji)
0 za skręt
0 za zgięcie
gdzie a ich - wartości nominalne maksymalnych naprężeń normalnych i ścinających; KSU, K T- efektywne czynniki koncentracji stresu.
Podczas pracy części w warunkach cykl asymetryczny czynniki bezpieczeństwa nie wzdłuż normalnej i stycznej nx naprężenia są określane za pomocą wzorów Serensena-Kinasoszwilego
gdzie |/ st, |/ t - współczynniki redukcji cyklu asymetrycznego do równie niebezpiecznego cyklu symetrycznego; t, x t- średnie naprężenia; st-cz, x za- amplitudy cykli.
W przypadku kombinacji podstawowych odkształceń (zginanie i skręcanie, skręcanie i rozciąganie lub ściskanie) ogólny współczynnik bezpieczeństwa określa się w następujący sposób:
Otrzymane współczynniki bezpieczeństwa należy porównać z ich wartościami dopuszczalnymi, które są zaczerpnięte z norm wytrzymałościowych lub danych odniesienia. Jeśli warunek jest spełniony n>n wtedy element konstrukcyjny jest uznawany za niezawodny.
Obliczenia dla naprężeń normalnych i ścinających przeprowadza się w podobny sposób.
Szacunkowe współczynniki są wybierane zgodnie ze specjalnymi tabelami.
Podczas obliczeń określane są marginesy bezpieczeństwa dla naprężeń normalnych i ścinających.
Margines bezpieczeństwa dla naprężeń normalnych:
Margines bezpieczeństwa dla naprężeń ścinających:
gdzie σ a- amplituda cyklu naprężeń normalnych; τ a jest amplitudą cyklu naprężenia ścinającego.
Uzyskane marginesy bezpieczeństwa porównuje się z dopuszczalnymi. Przedstawiona kalkulacja jest weryfikacja i jest przeprowadzany podczas projektowania części.
Pytania kontrolne i zadania
1. Narysuj wykresy symetrycznych i zerowych cykli zmian naprężeń przy powtarzalnych napięciach przemiennych.
2. Wymień charakterystyki cykli, pokaż na wykresach średnie naprężenia i amplitudy cyklu. Co charakteryzuje współczynnik asymetrii cyklu?
3. Opisz charakter uszkodzeń zmęczeniowych.
4. Dlaczego siła pod wpływem powtarzających się naprężeń
niższy niż ze stałą (statyczną)?
5. Co nazywa się granicą wytrzymałości? Jak wykreślana jest krzywa zmęczenia?
6. Wymień czynniki wpływające na odporność zmęczeniową.
306 Praktyka 6
PRAKTYCZNE ĆWICZENIA NA SEKCJI
"Wytrzymałość materiałów"
Praktyka 6
Temat 2.2. Obliczenia wytrzymałościowe i sztywnościowe
W napięciu i ściskaniu
Znać kolejność obliczeń wytrzymałościowych i sztywności oraz wzory obliczeniowe.
Umieć przeprowadzić obliczenia projektowe i sprawdzające wytrzymałość i sztywność na rozciąganie i ściskanie.
Wymagane formuły
normalne napięcie
gdzie N- siła wzdłużna; ALE- powierzchnia przekroju.
Wydłużanie (skracanie) drewna
mi- moduł sprężystości; I- początkowa długość pręta.
Dopuszczalne napięcie
[s]- dopuszczalny margines bezpieczeństwa.
Stan wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie:
Przykłady obliczeń wytrzymałościowych i sztywnościowych
Przykład 1Ładunek jest zamocowany na prętach i jest w równowadze (rys. A6.1). Materiałem prętów jest stal, dopuszczalne naprężenie wynosi 160 MPa. Masa ładunku 100 kN. Długość prętów: pierwsza - 2 m, druga - 1 m. Określ wymiary przekroju poprzecznego i wydłużenia prętów. Kształt przekroju to koło.
Sesja praktyczna 6 307
Rozwiązanie
1. Określ obciążenie prętów. Rozważ równowagę
zwrotnica W, określić reakcje prętów. Zgodnie z piątym aksjomatem statystyki (prawo akcji i reakcji) reakcja pręta jest liczbowa
równe obciążeniu pręta.
Stosujemy reakcje wiązań działających w punkcie W. Uwolnienie punktu W z połączeń (rys. A6.1).
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby jedna z osi współrzędnych pokrywała się z nieznaną siłą (rys. A6.1b).
Ułóżmy układ równań równowagi dla punktu W:
Rozwiązujemy układ równań i określamy reakcje prętów.
R 1 = R2 cos60 °; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4 kN.
Kierunek reakcji jest wybrany prawidłowo. Oba pręty są ściśnięte. Obciążenia pręta: F 1= 57,4 kN; F 2 = 115,5 kN.
2. Określ wymagane pole przekroju poprzecznego prętów na podstawie warunków wytrzymałościowych.
Stan wytrzymałości na ściskanie: σ = nie dotyczy≤ [σ] , gdzie
Pręt 1 ( N 1 = F 1):
308 Praktyka 6
Otrzymane średnice są zaokrąglane: d 1 = 25 mm d 2= 32mm.
3. Wyznacz wydłużenie prętów Δl = ----- .
Skrócenie pręta 1:
Skrócenie pręta 2:
Przykład 2 Jednorodna sztywna płyta o ciężarze 10 kN, obciążona siłą F= 4,5 kN i moment obrotowy t= ZkN∙m, podparte w punkcie ALE i zawieszony na pręcie Słońce(Rys. A6.2). Wybierz przekrój pręta w postaci kanału i określ jego wydłużenie, jeśli długość pręta wynosi 1 m, materiałem jest stal, granica plastyczności wynosi 570 MPa, margines bezpieczeństwa dla materiału wynosi 1,5.
Rozwiązanie
1. Wyznacz siłę w pręcie pod działaniem sił zewnętrznych. Układ jest w równowadze, możesz skorzystać z równania równowagi dla płytki: ∑t ALE = 0.
Rb- reakcja prętowa, reakcje zawiasowe ALE nie uważamy.
Sesja praktyczna 6 309
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki reakcja w pręcie jest równa sile działającej z pręta na płytkę. Siła działająca na pręt wynosi 14 kN.
2. Zgodnie z warunkiem siły określamy wymaganą wartość obszaru papieża
odcinek rzeki: o= Nie dotyczy^ [a], gdzie ALE> Nie dotyczy.
Dopuszczalne naprężenia dla materiału pręta
W konsekwencji,
3. Wybieramy odcinek pręta zgodnie z GOST (załącznik 1).
Minimalna powierzchnia kanału wynosi 6,16 cm 2 (nr 5; GOST 8240-89).
Bardziej celowe jest użycie rogu równej półki nr 2
(d\u003d Zmm), - pole przekroju, które wynosi 1,13 cm 2 (GOST 8509-86).
4. Określ przedłużenie pręta:
Na lekcji praktycznej wykonywane są prace obliczeniowe i graficzne oraz przeprowadzana jest ankieta testowa.
Prace rozliczeniowe i graficzne
Ćwiczenie 1. Skonstruować wykresy sił wzdłużnych i naprężeń normalnych wzdłuż długości belki. Wyznacz przemieszczenie swobodnego końca belki. Dwustopniowa belka stalowa obciążona siłami F 1, F 2 , F 3- Obszary przekroju ALE 1i ALE 2 .
310 Praktyka 6
Zadanie 2. Belka AB, na który działają wskazane obciążenia, jest utrzymywany w równowadze przez napór Słońce. Określ wymiary przekroju poprzecznego pręta dla dwóch przypadków: 1) przekrój jest kołem; 2) przekrój - równy narożnik zgodnie z GOST 8509-86. Akceptować [σ] = 160 MPa. Ciężar własny konstrukcji nie jest brany pod uwagę.
Sesja praktyczna 6 311
Broniąc pracy, odpowiedz na pytania zadania testowego.
312 Praktyka 6
Temat 2.2. Rozciąganie i kompresja.
Obliczenia wytrzymałościowe i sztywnościowe
Sesja praktyczna 7 313
Praktyka 7
Obliczanie wytrzymałości przy naprężeniach zmiennych Obliczanie wytrzymałości elementów konstrukcji budowlanych sprowadza się do sprawdzenia nierówności postaci (19.3) Stan wytrzymałości przy naprężeniach zmiennych w czasie współczynnik uwzględniający liczbę cykli obciążenia yv jest współczynnikiem zależnym od od rodzaju stanu naprężenia i współczynnika asymetrii cyklu Na przykład dla konstrukcji stalowych współczynnik yv wyznacza się z Tabeli 19.1 współczynnik a uwzględnia jakość wykończenia powierzchni obliczanego elementu, jego konstrukcję, obecność koncentratorów naprężeń. Dla poszczególnych typów konstrukcji zależność (19.3) może przybierać nieco inną postać. Tak więc przy obliczaniu konstrukcji stalowych o mosty, stosuje się następujące e nierówność: (19.4) gdzie R jest obliczeniową nośnością na rozciąganie, ściskanie i zginanie wyrażoną jako granica plastyczności materiału; m - współczynnik warunków pracy; _ 1 a, 6 - współczynniki uwzględniające gatunek stali i niestacjonarność obciążenia; p - współczynnik asymetrii cyklu naprężeń przemiennych; (i jest efektywnym współczynnikiem koncentracji naprężeń. Współczynnik yv, określony wyrażeniem (19,5), opisuje rodzaj wykresu amplitud granicznych, uwzględniający koncentrację naprężeń, jakość materiału i jego obróbki powierzchniowej, tryb obciążenia i inne czynniki Przykład 19.2 Stężenie przęsła przelotowego most kolejowy podczas przejazdu pociągu działa zmienna siła osiowa. Największa siła rozciągająca jest równa Nmnn= 1200 kN, najmniejsza (ściskająca) Wmr-=200 kN. Odporność obliczeniowa R stali niskostopowej 15XCHD wynosi 295 MPa. Współczynnik warunków pracy m = 0,9. Przekrój poprzeczny jest złożony (Rys. 19.20), a jego pole wynosi LpsSh = 75 cm. 19.20. Stężenie konstrukcyjne stalowej nawierzchni mostu kolejowego Rozwiązanie. Współczynnik asymetrii cyklu określa się w następujący sposób: IJVmml 1 L "max 6 Zgodnie z SNiP 2.05.03-84 przyjmuje się współczynnik P równy 1,5; parametry a \u003d 0,72 i 5 \u003d 0,24. Następnie znajdźmy maksimum naprężenie normalne: N ^ 1200 103 ---=--7 = 160 MPa. Lpepo 75 10"4 W konsekwencji warunek wytrzymałości zmęczeniowej zastrzału jest spełniony. § 19.9. Pojęcie zmęczenia niskocyklowego W przypadku zniszczenia zmęczeniowego wysokocyklowego, omówionego w poprzednich akapitach, materiał ulega odkształceniu sprężystemu. Pęknięcie rozpoczyna się w miejscach koncentracji naprężeń w wyniku rozwoju zaczątkowej rysy i ma charakter kruchy (bez pojawienia się zauważalnych odkształceń plastycznych). Innym rodzajem zmęczenia jest zmęczenie niskocyklowe, rozumiane jako zniszczenie pod wpływem powtarzających się sprężysto-plastycznych odkształceń zmęczeniowych; różni się od wielocyklowego zniszczenia zmęczeniowego obecnością makroskopowego odkształcenia plastycznego w strefie pęknięcia. Ścisła granica między zmęczeniem wysokocyklowym i niskocyklowym nie jest możliwa.W SNiL 11-23--81 zauważono, że sprawdzenie konstrukcji stalowych pod kątem zmęczenia niskocyklowego należy przeprowadzić przy liczbie cykli mniejszej niż rosnąca Nie 19 10 Yu \ Rozważ schematyczny diagram reformowania materiału pokazany na ryc. 19.21, a w pobliżu (ryc. 19.21, 6) to wykres zmian naprężeń w czasie. Podczas pierwszego obciążania po krzywej ОАВ punkt reprezentujący stan materiału przesuwa się po wykresie odkształceń wzdłuż prostej ОВ. Następnie naprężenia maleją i ten sam punkt przesuwa się wzdłuż hynia BBiAi. Gdy naprężenie osiągnie wartość minimalną, następuje zaczyna rosnąć i deformacja postępuje Dalej, ale linia zamknięta A, ABB, . Zakres odkształceń w jednym cyklu jest równy ^ "max £min> a zakres odkształceń plastycznych ^pltaya 1L" 11 to maksymalne i minimalne odkształcenia plastyczne arycyklicznej zmiany naprężeń. Charakter pękania podczas zmęczenia niskocyklowego zależy od zdolności materiału do gromadzenia formacji plastycznych podczas odkształceń cyklicznych. Materiały nazywane są *cyklicznie stabilnymi, jeśli trwałe odkształcenie nie zmienia się we wszystkich cyklach*. Rozważany powyżej przykład ilustruje cechy deformacji takich materiałów. Dla materiałów niszczących się cyklicznie charakterystycznymi cechami są wzrost odkształceń szczątkowych i wzrost całkowitego odkształcenia plastycznego. Wykluczmy z tych równań przemieszczenia u i v, dla których różniczkujemy dwukrotnie pierwszy rząd względem y, drugi względem x i trzeci względem x i y. Dodając dwa górne wiersze i odejmując dolny, otrzymujemy równanie (20.6) Równanie zgodności odkształceń Nazywa się to równaniem zgodności odkształceń, ponieważ podaje niezbędny związek między odkształceniami, który istnieje dla dowolnych ciągłych funkcji przemieszczenia u, v (które mamy wyłączony). Jeśli ciało przed deformacją zostanie mentalnie podzielone na nieskończenie małe „cegiełki”, zostaną im zgłoszone deformacje ex, ey i y oraz zostanie podjęta próba złożenia z powrotem w całe zdeformowane ciało, wówczas możliwe okażą się dwa przypadki . W pierwszym (ryc. 20.5, a) wszystkie elementy będą ściśle do siebie pasować. Takie odkształcenia są łączone i odpowiadają ciągłemu polu przemieszczeń. W drugim przypadku (ryc. 20.5, b) między elementami pojawiają się nieskończenie małe nieciągłości, a żadne ciągłe pole przemieszczeń nie odpowiada takim odkształceniom. q Pole odkształceń, które odpowiada ciągłemu polu przemieszczeń, nazywamy odkształceniami stawów. Deformacje są zgodne, w przeciwnym razie deformacje nazywane są niekompatybilnymi - lokalnymi i niezgodnymi. Równania lokalne (20.3), (20.5) i (20.7) razem tworzą niezbędne osiem równań, których rozwiązanie pozwala znaleźć osiem nieznanych funkcji rozważanego problemu płaskiego. § 20.3. Wyznaczanie naprężeń przez przemieszczenia znalezione w eksperymencie Poniżej opisano, w jaki sposób eksperymentalnie otrzymuje się rodziny prążków interferencyjnych, reprezentujące izolinie jakiegoś czynnika, czyli zbiór punktów, w których ten czynnik ma stałą wartość. Zatem w metodzie mory i interferometrii holograficznej można otrzymać izolinie przemieszczeń v = const i u = const. na ryc. 20.6 pokazuje schemat rodziny izolinii v; \u003d const dla płaskiego stanu naprężenia płyty. Pokażmy, jak za pomocą równań teorii sprężystości możemy przejść od przemieszczeń do naprężeń. Wzory (20.5) umożliwiają obliczenie odkształceń. 20.6. Numeryczne wyznaczanie odkształceń za pomocą otrzymanej eksperymentalnie rodziny izolinii przemieszczeń dla linii pionowej. Obliczamy pochodną cząstkową (dv/dx)j=tgojj jako tangens nachylenia siecznej poprowadzonej przez punkty (i - 1) i (/+ 1). Postępując podobnie dla pochodnej względem współrzędnej y, znajdujemy Zróżnicowanie numeryczne (20.10) w problemie z płaszczyzną Podobnie postępujemy z rodziną izolinii u \u003d const Po nakreśleniu siatki linii równoległych do osi współrzędnych x i y , zgodnie ze wzorami (20.9) i (20.10) zbuduj pole odkształcenia, a następnie pole naprężeń w badanym modelu. Ponieważ punkty węzłowe siatki ortogonalnej na ogół nie pokrywają się z punktami przecięcia z izoliniami, do obliczania odkształceń i naprężeń w węzłach stosuje się wzory interpolacji. Istnieją urządzenia i odpowiednie programy dla komputerów osobistych, które umożliwiają przetwarzanie siatki izolinii w trybie automatycznym. Następnie rozważmy eksperyment z płytą zginającą, dla którego otrzymano rodzinę izolinii ugięcia vv = const (ryc. 20.7, a). W teorii zginania płyt, analogicznie do hipotezy płaskich przekrojów, stosuje się hipotezę prostej normalnej, zgodnie z którą linia t, wchodząc w pozycja t,-i, pozostaje prosty (ryc. 20.7, b). Wtedy dla małych odchyleń (px-dw/dx, (py-dwjdy) i przemieszczeń w płaszczyźnie poziomej dowolnego punktu o współrzędnej z będzie dw v= -(pyz= -z -. Przez (20.11) Podstawiając wzory (20.11 ) do (20.9) , otrzymujemy 8 2 u * V "82w 8xdy 82w yxy \u003d -2z (20.12) - Z ey - r Naprężenia xxy rozłożone na grubości płyty h zgodnie z prawem liniowym (ryc. 20.7 , c) można obliczyć dla znanych odkształceń ( 20.12) zgodnie z prawem Hooke'a (20.8).Aby wyznaczyć drugie pochodne funkcji ugięcia, najpierw uzyskuje się pole ugięcia w węzłach ortogonalnej siatki linii, korzystając ze wzorów interpolacyjnych, którego fragment pokazano na ryc. 20.8. Następnie pochodne w punkcie K można obliczyć za pomocą numerycznych wzorów na różniczkowanie:
